CC BY
19
Математическое моделирование
149
УДК 519. 21
А.В. Бирюков АНИЗОТРОПНЫЕ РАЗБИЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА
Одной из основных геометрических характеристик случайного разбиения пространства на структурные блоки является скалярная функция векторного аргумента /(ё) , значение которой равно среднему числу пересечений единичного отрезка с поверхностью структурных блоков в направлении вектора ё. Если /(ё)=сот1, то разбиение естественно назвать изотропным. Таковым является, например, разбиение пространства пуассоновским множеством плоскостей.
Здесь же мы будем рассматривать важное для приложений анизотропное разбиение пространства п системами параллельных плоскостей на выпуклые многогранники. При этом значение функции /(ё) равно среднему числу пересечений единичного отрезка с гранями многогранников в направлении вектора ё .
Задача состоит в поиске направлений, по которым функция /(ё) достигает экстремальных значений, - осей анизотропии.
Каждой системе плоскостей поставим в соответствие вектор Р, /= 1 Г п. При этом Р орто-
гонален плоскостям / - й системы и по модулю равен среднему числу пересечений единичного отрезка с плоскостями системы в направлении этого вектора. Тогда, как нетрудно видеть, значение /(ё) равно сумме абсолютных величин скалярных произведений р • ё .
Множество направлений, для которых эти произведения положительны, будучи пересечением полупространств, является многогранным конусом Е. Для всех ё еЕ имеем /(е) = с ■ е, где
с есть сумма всех р . Очевидно, что /(с ) является локальным максимумом для множества направлений Е.
Вектор с является одной из линейных комбинаций Я1Р1 +... + Л„Р„, где коэффициенты независимо друг от друга принимают значения (+1) или (-1). Поскольку векторы р найдены с точностью до знака, число линейных комбинаций, по-
гьП-1
рождающих многогранные конусы, равно 2 .
Таким образом, выбирая линейную комбинацию с наибольшим модулем, получаем направление для наибольшего значения функции /(ё), т. е. одну из осей анизотропии разбиения.
Наименьшее значение функции /(ё достигается в направлении одного из ребер многогранных конусов, т. е. в направлении одного из векторных
произведений р х Рк, а именно в направлении
векторного произведения с наименьшим модулем.
В механической интерпретации задача поиска осей анизотропии состоит в поиске наибольшей и наименьшей равнодействующей системы сил, в которой каждая сила независимо от других может менять направление на противоположное. Приведем пример расчета для п=3.
Пусть векторы Р имеют координаты
Р(1,2,1) Р2 (2,-1,2) Р3 (3,1,1)
Найдем координаты четырех линейных комбинаций Р + Р2 + Р3, Р + Р2 -Р3, Р -Р2 + Р3,
-Р + Р2 + Р3. Они равны соответственно (6,2,4); (0,0,2); (2,4,0); (4,-2,0). Наибольший модуль, равный д/56, имеет линейная комбинация
р" + р + рз, дающая направление одной из осей
анизотропии.
Среди векторных произведений
Р1х Р2 (5,0,-5) Р1х Р3 (1,2,-5); Р2 х Р3 (- 3,4,5) наименьший модуль, равный л/30, имеет векторное произведение Р х Р3, которое и определяет направление второй оси анизотропии.
По изложенной схеме проведены исследования трещиноватости породных массивов угольных месторождений Кузбасса, рассеченных тремя системами параллельных плоскостей - трещин. В полевых условиях для определения направления использовались угловые параметры - азимут и угол наклона к горизонтальной плоскости.
Одновременно проводилось круговое сейсмическое зондирование массивов. Установлено, что оси анизотропии трещиноватости совпадают с осями сейсмической анизотропии. При этом отношение экстремумов функции /(ё), в среднем равное 1,57, практически совпадает с отношением экстремальных значений скорости сейсмической волны, составляющим в среднем 1,62.
□ Автор статьи:
Бирюков Альберт Васильевич - докт.техн.наук, проф.каф. высшей математики КузГТУ Тел. 8-3842-39-63-19
