CC BY
84
УДК 372.851
А. И. Шерстнёва, В. С. Шерстнёв, О. В. Янущик АНАЛОГИЯ ПРИМЕНЕНИЯ КАК ИНСТРУМЕНТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТУДЕНТОВ
Изучена аналогия применения как связующее звено между различными разделами математики с целью развития математического мышления студентов.
Ключевые слова: аналогия применения, алгебра, геометрия, системы линейных неравенств, многогранники.
В настоящее время наше восприятие пресыщено огромным потоком информации, создаваемым новыми научными достижениями и технологиями. В таких условиях возникает потребность в специалистах, не только обладающих определенным количеством знаний, но и умеющих эффективно анализировать поступающую информацию, обобщать, сопоставлять, проводить аналогию. Это неуклонно меняет требования к методам образования выпускников вузов. Одним из приоритетных направлений высшей школы является задача научить студента быть думающим, хорошо ориентированным в современных тенденциях науки и производства специалистом.
В результате анализа литературы было выявлено, что процесс обучения любой науке в значительной степени строится на переносе отношений и свойств из одной системы в другую. Это обстоятельство лежит в основе применения такого метода научного познания, как метод аналогии. Перенос знаний, полученных при изучении одного объекта, на другие объекты - важнейшая задача не только развития науки, но и образования, поэтому формирование у студентов умения «мыслить» аналогиями, применять методы аналогии в познании окружающей действительности следует рассматривать как один из эффективных путей подготовки востребованных специалистов.
Под методом аналогии в обучении математике будем понимать такой метод обучения, при котором обоснованно и целенаправленно устанавливаются связи между различными ее разделами.
Вопрос использования аналогии в обучении не является новым и рассматривался с разных сторон в работах отечественных и зарубежных ученых. Результатом исследований явилось осознание следующих фактов. Во-первых, было установлено, что аналогия определяет особую форму мысли -вывод по аналогии, - отличительной чертой которой является перенос информации с одного сложного объекта (модели) на другой (оригинал) (А. И. Уёмов, Д. Пойа и др.). Во-вторых, опытным путем было доказано, что использование аналогии в обучении является целесообразным, так как это может быть полезно при повторении материала, установлении связей различных разделов математики (О. А. Аракелян, С. Е. Лапин и др.), отыска-
нии студентами способов решения задач, изучении с ними отдельных фактов физики и математики (В. Г. Болтянский, Г. Д. Балк, С. Ф. Бондарь, С. Е. Каменецкий, З. Крыговская и др.). В-третьих, было осознано, что применение аналогии в обучении развивает творческие способности студентов, а степень овладения аналогией характеризует уровень творческого развития человека (Ж. Адамар, С. Банах, Б. А. Викол, В. В. Давыдов, В. А. Крутец-кий и др.). Наконец, давно было замечено, что дети с первых шагов познания мира, а также в процессе учения стихийно пользуются аналогией (Ф. П. Ага-пьев, В. И. Зыкова и др.).
Мы будем придерживаться определения понятия математической аналогии, данного Е. А. Беляевым: «Математическая аналогия есть тождественность в широком смысле каких-либо систем математических объектов, возникающая как результат совмещения данных систем и основывающаяся на внутреннем сходстве и взаимосвязанности математики в целом» [1, с. 26].
При определении понятия «аналогия» мы считаем, что аналогия есть понятие, обозначающее некоторое сходство между различными объектами, процессами или системами в тех или иных свойствах, функциях, соотношениях элементов, структурах и порядке действий. Аналогия представляет собой один из видов сходства, но сходство само не является аналогией. Сходство существует объективно. Аналогия - это продолжение начального сходства с участием мышления человека. Анализ литературы показал, что различные объекты могут быть аналогичными, если у них существуют некоторые сходные существенные свойства или признаки.
В литературе выделяют следующие виды аналогий: аналогия применения, аналогия обобщения, аналогия контакта, предельная аналогия, аналогия преобразования, тривиальная аналогия. Пусть заданы внешне разнородные системы объектов произвольной природы. Если в них глубоко заложено сходство и есть возможность применить к ним один и тот же математический аппарат, то говорят об аналогии применения. Используемый математический аппарат выступает в данном случае как своеобразный язык, на котором формулируется общность разнородных систем объектов.
Различают внешнюю и внутреннюю аналогии применения. Внешняя аналогия применения позволяет установить связь математического аппарата и тех явлений действительного мира, которые он описывает. Возникновение понятий числа, фигуры и т. д. связано с внешней аналогией применения. Приведем классический пример этого вида аналогии: аппарат дифференциальных уравнений, применяемый к различным объектам действительности.
Дж. Максвелл получил систему дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное поле. Для электромагнитного поля в вакууме из этих уравнений можно получить важное следствие:
82 Е
8ґ2
■ = с
82 Е 8 Е 8 Е
Л
8х 8у
822
где Е - напряженность электрического поля;
82 В
(
8ґ2
■ = с
82 В 8 В 8 В
к8х 8у 82 у
где В - напряженность магнитного поля.
А до этого было известно, что локальное возмущение в изотропной упругой среде распространяется в виде волн, описываемых уравнением
82 и 8ґ2
2
= V
82и 8 и 8 и
Л
8х 8у
822
где и(х, у, 2, 0 - отклонение от начального покоя в точке (х, у, 2, 0 в момент времени ї и V - скорость распространения.
«Подобные закономерности возникают, - как отмечает У У Сойер, - в связи с такими явлениями, как гравитация, свет, звук, теплота, магнетизм, электрический ток, электромагнитные излучения, морские волны, полет самолета и строение атома, не говоря уже об одной чисто математической теории первостепенной важности - теории функций комплексного переменного. Мы здесь имеем дела не с двенадцатью отдельными теориями, а с одной теорией, имеющей двенадцать применений. Физически эти применения различны, математически -одинаковы» [2, с. 15].
Когда математический аппарат используется для нужд различных областей внутри самой математики, то говорят о внутренней аналогии применения.
Примером такого вида аналогии служит следующий факт. Решение уравнения 3х + 7х + 2х = 12х строится на характерных свойствах функции: разделив обе части на 12х, которое не равно нулю ни при каких значениях х є Я, будем иметь
- +
В левой части полученного уравнения стоит убывающая функция, а в правой части - константа.
Графики убывающей функции и константы могут иметь лишь одну точку пересечения, абсцисса которой легко находится подбором для исходного уравнения, это х = 1; разномонотонность функций, стоящих в разных частях уравнения (*), доказывает наличие лишь одного корня (х = 1).
Еще один пример внутренней аналогии - теория множеств - позволила ученым интерпретировать в математике различные ее области.
Во время зарождения математики и ее развития обнаружилась тесная связь между алгебраическими утверждениями и геометрическими образами. Исторически теорема Пифагора всегда связывалась с понятием площади и формулировалась на языке площадей: «площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах» [3, с. 236].
Аналогию между числами и геометрическими образами можно найти у Евклида. С числом у него связан образ отрезка, с произведением двух множителей - плоскостное число, с произведением трех чисел - телесное, а множители при умножении Евклид называет сторонами. «Когда же два числа, перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее <число> называется плоскостным, стороны же его - перемножаемые между собой, производят нечто, то возникающее есть телесное, стороны же его - перемножаемые между собой числа» [3, с. 16].
С появлением буквенной символики связь между числами и геометрическими образами начинает ослабевать. Э. Мах пишет: «Изобретение алгебры основано на том, что была усмотрена аналогия между операциями над числами при всем различии этих последних. Там, где величины аналогичным образом входят в вычисления, достаточно рассчитать только одну величину, чтобы потом одной подстановкой чисел по аналогии получить остальные» [4, с. 227].
Однако и на более высоких ступенях развития науки аналогия продолжает играть важную роль. В XVII в. благодаря работам французского философа и математика Р. Декарта возник метод координат, тем самым появилась возможность проводить аналогии между алгеброй и геометрией. Так, любому действительному числу можно сопоставить точку на числовом луче, паре действительных чисел - точку на координатной плоскости и т. д.
Аналогия применения дает возможность изучения студентами такого фундаментального понятия современной математики, как линейное неравенство, и его связи с геометрическими объектами. В ходе изучения этого вопроса функции используемых задач выступают весьма своеобразно - они составляют единое целое с изложением теоретического материала, с их помощью вводятся, изуча-
ются и закрепляются важнейшие математические понятия, связанные с понятиями выпуклых множеств, плоскости, пространства, фундаментального набора решений и др.
Используя аналогию, можно показать, как системы линейных неравенств с двумя или тремя неизвестными описывают соответственно выпуклые многоугольники и многогранники. Так, всякий выпуклый многоугольник (многогранник) можно задать аналитическим способом, а именно системой линейных неравенств. Например, параллелепипед со сторонами 3, 5, 4 можно задать системой линейных неравенств
х < 3, у < 5,2 < 4,
х > 0, у > 0,2 > 0.
Геометрическая интерпретация линейных неравенств помогает студентам глубже осмыслить такие понятия, как плоскость, пространство, вооружить их геометрическим методом решения.
Реализация связей различных разделов математики необходима для воспитания у студентов по-
нимания единства математики, в частности, для ознакомления с аналитической моделью геометрических фигур, причем для этого включаются задачи, решение которых требует знания как алгебраического, так и геометрического материала. Как показали проведенные исследования, аналогия, которую можно установить между геометрическими фигурами и системами линейных неравенств, позволяет развивать интерес студентов к различным разделам математики, а также представляет интерес изучение выпуклых многоугольников и многогранников и их выражение алгебраической моделью. Мысленное представление изменяющихся фигур или их элементов положительно сказывается на развитии пространственного и аналитического мышления, формирование которого является одной из приоритетных задач высшей школы. Включение в процесс обучения различным разделам математики задач, которые предполагают использование как геометрического, так и алгебраического материала, способствует повышению математической культуры учащихся.
Список литературы
1. Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. М.: Изд-во МГУ, 1975. 112 с.
2. Горбачева Н. В. Метод аналогии как средство развития творческого мышления учащихся при обучении их элементам сферической геометрии: дис. ... канд. пед. наук. Омск, 2001. 164 с.
3. Далингер В. А., Костюченко Р. Ю. Аналогия в геометрии: учеб. пос. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2001. 149 с.
4. Мах Э. Познание и заблуждение. Очерки по психологии исследования. М.: Изд-во С. Скирмунта, 1909. 471 с.
Шерстнёва А. И., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры.
Томский политехнический университет.
Пр. Ленина, 30, г. Томск, Томская область, Россия, 634050.
E-mail: sherstneva@tpu.ru
Шерстнёв В. С., кандидат технических наук, доцент кафедры.
Томский политехнический университет.
Пр. Ленина, 30, г. Томск, Томская область, Россия, 634050.
E-mail: vss@tpu.ru
Янущик О. В., кандидат педагогических наук, доцент кафедры.
Томский политехнический университет.
Пр. Ленина, 30, г. Томск, Томская область, Россия, 634050.
E-mail: sherstneva@tpu.ru
Материал поступил в редакцию 05.10.2010.
A. I. Sherstnyova, V S. Sherstnyov, O. V Yanushchik ANALOGY OF APPLICATION AS THE TOOL OF STUDENTS’ MATHEMATICAL EDUCATION
The analogy of application as a link between various sections of mathematics for the purpose of development of students’ mathematical thinking is studied in the article.
Key words: analogy of application, algebra, geometry, systems of linear inequalities, polyhedrons.
Sherstnyova A. I.
Tomsk Polytechnic University.
Pr. Lenina, 30, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634050. E-mail: sherstneva@tpu.ru
Sherstnyov V. S.
Tomsk Polytechnic University.
Pr. Lenina, 30, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634050. E-mail: vss@tpu.ru
Yanushchik O. V.
Tomsk Polytechnic University.
Pr. Lenina, 30, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634050. E-mail: sherstneva@tpu.ru
