CC BY
30НИ.......У.......ИИ1
АНАЛОГИЯ И ОБОБЩЕНИЕ КАК СПОСОБ ПОЛУЧЕНИЯ НОВОГО ЗНАНИЯ
Даглар Мамедярович Мамедяров, директор МКОУ «Митаги - Казмалярская СОШ» Дербентского района Республики Дагестан, кандидат педагогических наук, г. Дербент
• треугольные числа • пирамидальные числа • коэффициенты разложения бинома Ньютона
Одним из весьма важных типов умозаключений является так называемое традуктив-ное умозаключение (лат. ^аСыйо - перемещение), при котором от двух или нескольких суждений некоторой степени общности переходят к новому суждению той же общности. Как метод исследования, традукция заключается в том, что, установив сходство двух объектов в некотором, делают вывод о сходстве тех объектов и в другом отношении. Важнейшим видом традуктивного умозаключения является аналогия (греч. апа!од1а - соответствие, сходство). При умозаключении по аналогии знание, получаемое из рассмотрения какого-либо объекта («модели»), переносится на другой, менее изученный (менее доступный для исследования, менее наглядный и т.п.) в каком-либо смысле объект. По отношению к конкретным объектам заключения, получаемые по аналогии, носят, вообще говоря, лишь вероятный характер: они являются одним из источников научных гипотез, индуктивных рассуждений и играют важную роль в научных открытиях [2, с. 93].
Аналогия является, пожалуй, одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогии часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изученного объекта, которые могут быть затем подтверждены или опровергнуты опытом, или более строгими рассуждениями.
В процессе обучения математике учителю следует не только самому пользоваться полезными аналогиями, но и приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. При этом учащиеся должны понимать, что выводы, полу-
ченные по аналогии, требуют обязательного обоснования, так как не исключено то, что они могут оказаться ошибочными. Например, по аналогии с известными признаками делимости на 3 и на 9 можно сформулировать вероятный признак делимости на 27: «Если сумма цифр числа делится на 27, то и само число делится на 27». Однако это утверждение неверно, убедиться в этом можно на каком-нибудь конкретном примере [2, с. 94].
Однако следует помнить: широкое применение аналогии в процессе обучения математике является одним из эффективных приемов, способных пробудить у учащихся живой интерес к предмету, приобщить их к тому виду деятельности, который называют исследовательским. Кроме того, широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения школьниками учебного материала, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному (что способствует также и актуализации знаний).
Важное значение для получения нового знания имеет научный метод - обобщение. При обобщении мысленно выделяют какое-нибудь свойство, принадлежащее множеству объектов и объединяющее эти объекты воедино.
Приведем примеры применения аналогии и обобщения. Учащиеся, варьируя числами сочетаний, обнаружили такие равенства:
С^+С1 = 2-1 = 1, С}-С} = 1, С4-С1 = 1.
Учащиеся думают, что получим, если поменяем разность между номерами чисел сочетаний? Проверяют:
Ci-C,1 = 2, Ci-Ci = 2, Ci = Ci = 2, Ci-Ci = 2.
31 '42 '5 3 '64
и т. д. Учащиеся делают вывод: выполняется равенство C1, ,-С1 = d. И замечают, что
~ n+d n '
коэффициенты перед числами сочетаний являются коэффициентами разложения бинома Ньютона (a-b)r. По аналогии с полученными равенствами учащиеся получают следующие равенства для коэффициентов (a-b)2 и так далее.
Для n=2 получают: С2-2С,+С0 = о, C'i-2C2+Ci = о, С}-2С3-С2 = о, С5-2С,+С1 = о и т.д. При d=2 получают: С5-2С3+С} = о: С6-2С1+С1 = о. С1-2С5+С3 = о и т.д.
Для d=3 получают: С6-2С3+С1 = о, С^С^С1 = о, С^С^+С1 и т.д.
В общем виде записывают равенство:
с+^с^+с1 = о.
n+2d n+d n
Далее учащиеся проверяют справедливость этой закономерности для r = 3, 4, 5 и т. д. Получают: С14-3С13+3С12-С11 = о, С15-3ci+3ci-ci = о, С6-3С1+3С4-С3 = о, ci-
432 '65 43 '6
3С5+3С1+С1 = о и т.д. ÇMCi+ôC^q+C1 = о, С7-4С6+6С5-4С4+С3 = о, С8-4С7+6С(1-4С5+С4 = о, С8-4С4-4С1+С1 = о, С1о-5С1+1оС6-1оС1+5С1-С0 = 0 и т. д . Учащиеся в общем виде записывают равенства: С* -2С* +С1 = о, С*-3С* +3С*-
n+2d n+d n ' n+3d n+2d n+d
Ci = 0, С^С^С^С^С = 0
С^С^+тС+^С^-С = 0 и так да-
"n+5d
лее.
Далее записывают обобщенную формулу:
Сгг+гС *** ±СкСп 0*
Учащихся интересует вопрос: выполняется ли эта закономерность для чисел? Получают: С\-2С1+С\ = 1, С^С^+С2 = ^С2-2С2+С3 = 1, С2-2С5+С2 = 1 и т. д. Учащиеся выдвигают гипотезу: должно выполнятся равенство С2п+2-2Сп+г+С1п = 1. Используя определение числа сочетаний, доказывают это тождество. У учащихся возникает мысль: что получим? Если заменим последовательности п+2, п+1, п на п+4, п+2, п? Получают следующие равенства: = 4, 66-264+62 = 4, Ог-2С\+Съ = 4 и т.д.
= 9, C2-2Cn+Cn = 9, Cп-2Cп+C3 = 9 и т.д. Учащиеся замечают, что в правых частях получается квадрат разности номеров
чисел сочетаний. Выдвигают гипотезу: должно выполнятся равенство С7п+1й~ 2^+^ = С2. Используя определение числа сочетаний, доказывают это. Учащиеся увидели в этих равенствах аналогию с коэффициентами разложения бинома Ньютона (, получим ли мы подобные закономерности, если заменим коэффициенты 1, 2, 3 на 1. 3, 3.1 и т.д.?). Проверяют при С= 1, получают:
С3-3С3+3С3-С? = 1, cз-зc3+зcз-cn = 1, С3-
4 3 21 '5 4 32 '6
зС^+зС^-СЗ = 1 и т.д.
При С=2 получают: С^-зС^+зС^-С3 = 4, С3-зС^+зС^-С^ = 4, С3-3С6+3С3-С! = 4 и т.д. Учащиеся выдвигают гипотезу: выполняется равенство С+З^3С^+3С3+с-С3+с = сР,
^с"3^3^ = с3. Далее пр°веряют справедливость этих равенств для коэффициентов разложения бинома четвертой и пятой степеней и т. д. Получают и записывают в общем виде следующие тождества:
Cn+4d~4C4+3d+6C4+nd+4C4+d+Cn = Си+5С_
5 С5+4С+10С5+3 с"10 С5+2С+5 С5+с-С5 = с и т.д. В более общем виде записывают тождество:
С°СГ+ с-С1С+( 1)С-С2Сг+( 2)+ ... ±СгСг = С.
г п+гС г п+(г-1)С г п+(г-2) г п
Учащиеся, варьируя числами сочетаний, получают следующие равенства: С3-2с3+с3 = 3, С3-2С3+С3 = 4, С3-2С3+С3 = 5, С8-2С3+С6 = 6, С9-2С8+С7 = 7, и т.д. Учащиеся замечают, что выполняется равенство Съ+2-2Съп+г+Съп = п (при С=1), С7-2С3+С3 = 16, С3-2С3+С4 = 20, С9-2С6+С3 = 45,
53 64 '9 63 '
СГ0-2С6+С3 = 80 и т.д.
Учащиеся приходят к выводу, что выполняется равенство: C3J+nd-2C3n+d+C3J = С2(п+С-1)С. В общем виде доказывают это. Далее учащиеся проверяют равенство для чисел Сп4, С5п и т.д. Получают:С4-2С4+С4 = 6(ф, с{-2С4+С4 = 10(С5), С5-2С6+С5 = 10(С5), С8-2С5+С5 = 20(С3) и т.д.
Учащиеся замечают интересный факт: во всех равенствах в правой части получают числа С-2.
Учащиеся составляют следующие равенства: С4-3С6+3С5-С4 = 4, C-3C4+3CÎ-CÎ = 5,
7 6 5 4 ' 8 7 65 '
С4-3С8+3С7-С6 = 6 и т.д.
90
МАМЕДЯРОВ Д.М.АНАЛОГИЯ И ОБОБЩЕНИЕ КАК СПОСОБ ПОЛУЧЕНИЯ НОВОГО ЗНАНИЯ
НИ.......У.......ИИ1
Учащиеся замечают, что выполняется равенство: С4—3С4+3С4—С4 = п ... , С4 —
п+3 п+2 п+1 п ' п+3
3С4 +3С4 —С4 = п
-"-п+2 11 •••
Учащиеся, таким образом, получают множество интересных тождеств. Приведем еще пример обобщения. Учащиеся комбинируют числами, получают: С2+2С1+С0 = С2, С5+2С5+С1 = С3, С45+2Св5+С25 = С* ... и т.д. С4—3 С3+3 С2—С' = С4 С4-3С3+3С'2-С1 = С4 С3+3С2+3С1+3С0 =С3, С6+3С2+3С6+С6 = С9 и
5 5 5 5 8 66 66 9
т.д.
Учащиеся записывают в общем виде тождества: Ст+2Ст—1+Ст—2 = Ст+2, Ст+3Ст—
" п п п п+2 п п
1+3Ст—2+Ст—3 = Стп+3 [с. 98] и т. д.
Далее учащиеся записывают обобщенную формулу для биномиальных коэффициен-
тов. Можно привести много примеров. При организации такой познавательной деятельности у учащихся развиваются не только исследовательские умения и навыки, но и повышается интерес к предмету. □
ЛИТЕРАТУРА
1. Мамедяров Д.М., Вакилов Ш.М. Как научить учащихся «маленьким открытиям» Модернизация системы непрерывного образования. III Международная научно-практическая конференция. Дербент, 2011. - 263 с.
2. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Саннинский, В.Я. Методика преподавания математики в средней школе. Просвещение, 1980. - 368 с.
