CC BY
8Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского
Серия «Физико-математические науки» Том 24 (63) № 3 (2011), с. 89-97.
УДК 517.98
В. М. Статкевич
АНАЛОГИ ФОРМУЛ КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ
Предложена система линейных дифференциальных уравнений для функций на бесконечномерном гильбертовом пространстве, когда в качестве операторных коэффициентов выступают многочлены от нерегулярного эллиптического оператора (Lu)(x) = j (u"(x)). Для такой системы доказаны аналоги формул Крамера.
Ключевые слова: бесконечномерное пространство, оператор Лапласа-Леви, нерегулярный (существенно бесконечномерный) эллиптический оператор, формулы Крамера.
Введение
Оператор Лапласа для функций бесконечномерного аргумента ввёл П. Леви [1]. Предложенный им оператор Лапласа-Леви имеет необычные свойства с точки зрения конечномерной теории для оператора второго порядка- удовлетворяет правилу Лейбница L(uv) = Lu ■ v + u ■ Lv и обращается в нуль на цилиндрических функциях. Последнее дало основание Г.Е. Шилову, редактору перевода [1], назвать такой оператор "существенно бесконечномерным". Различные версии оператора Лапласа-Леви изучались Е.М. Полищуком, М.Н. Феллером, Г.Е. Шиловым, А.С. Немиров-ским, И.Я. Дорфман, В.Я. Сикирявым (подробная библиография и современное состояние теории изложено в [2]). Существенно бесконечномерный эллиптический оператор (СБЭО), введённый Ю.В. Богданским [3] (см. также [4, 5]), обобщает оператор Лапласа-Леви и наследует его основные свойства. Другой подход к построению дифференциальных операторов в бесконечномерном пространстве, основанный на представлении (Lu)(x) = tr Au"(x), где A - неотрицательный ядерный оператор,
^ А - его след, был предложен независимо Ю.Л. Далецким и Л. Гроссом (подробную библиографию см., например, в [6]).
Линейные уравнения порядка п с оператором Лапласа-Леви изучались в [7, 8], с оператором квазидифференцирования (одним из обобщений оператора Лапласа-Леви) - в [9, 10], с СБЭО - в [11]. В [11, теорема 1] для СБЭО и в данной работе для нерегулярного эллиптического оператора (см. п. 2) доказана единственность решений, а явные формулы решений совпадают: выясняется, что результат обусловлен функциональным классом и, как следствие, нильпотентностью полугруппы, порождаемой оператором. В [7, 10] в иных функциональных классах доказано существование фундаментальной системы решений, содержащей п элементов, построен аналог вронскиана. Полученные в п. 2 результаты используются в п. 3, но имеют также самостоятельное значение.
Системы (Ьик)(х) = Фк(х, и1,..., ип), к = 1,..., п с оператором Лапласа-Леви исследовались в [8], с оператором квазидифференцирования - в [9], с СБЭО - в [12]: получены условия существования и единственности решения, а для линейных систем (Ьик)(х) = ^П=11гк(х)щ(х) + фк(х) (в [8] фк = 0) найдены явные формулы. Предлагаемая в п. 3 настоящей работы система линейных уравнений с нерегулярным эллиптическим оператором рассматривается, по-видимому, впервые; аналогичный результат с СБЭО был доложен автором на конференции "КРОМШ-2011" [13].
1. Нерегулярные эллиптические операторы
Пусть Н - бесконечномерное сепарабельное вещественное гильбертово пространство; Вс (Н) - банахово (относительно операторной нормы) пространство самосопряжённых ограниченных линейных операторов в Н; Вд = {х € Н | ||х|| ^ Я} -фиксированный шар радиуса Я; 3 - конус неотрицательных линейных функционалов на Вс (Н).
Пусть ] € 3 - ненулевой функционал, ядру которого принадлежат все операторы конечного ранга. В работе [3] такой функционал предложено называть существенно бесконечномерным, такие функционалы образуют конус 3+ С 3. Каждый функционал ] € 3 допускает разложение ] = + у2, где ,]1(С) = ^ АС, А - неотрицательный ядерный оператор, € 3+, причём такое разложение единственно (см., например,
[4, 5]).
Назовём множество О С Вс(Н) почти компактным, если любого е > 0 существуют компактное множество К С Вс(Н) и числа п € М, й > 0 такие, что К + Qn,d является е-сетью для О (тут Qn,d С Вс(Н) - множество операторов, ранг которых не превышает п, а норма не превышает й).
Пусть 2 - множество функций класса С2(Н) по Фреше, носители которых лежат в шаре Вд, и'' равномерно непрерывна на Н, а множество {и''(х) | х € Вя} является почти компактным. X - замыкание 2 по норме $Щ)Х£Ве |и(х)| - вещественная коммутативная банахова алгебра без единицы относительно поточечных операций.
Оператор Ь: X э 2 э и(х) ^ 1 ](и"(х)) € X является дифференциальным оператором второго порядка. Если он представим в виде 2 ^ Ли"(х), то согласно [14]
2
назовём его регулярным эллиптическим, если же непредставим - нерегулярным. Согласно [3] под СБЭО понимается оператор Ь в случае ] € 1+, такой оператор удовлетворяет правилу Лейбница.
Нерегулярный оператор Ь корректно определён и допускает замыкание Ь, порождающее в X (С о)-полугруппу сжатий Т(Ь) [4, 5]. Полугруппа нильпотентна > 0 : Т(Ьо) = 0), позитивна (Уи ^ 0, УЬ ^ 0 : Т(Ь)и ^ 0), кроме того, (и € 2) ^ (Т(Ь)и € 2). Для СБЭО результат усиливается - полугруппа приобретает свойство мультипликативности (Уи, V € X, УЬ ^ 0 : Т(Ь)(иь) = Т(Ь)и ■ Т(Ь)ь).
2. Линейные уравнения высшего порядка
Пусть О - произвольное множество; Т(О) - банахова алгебра всех вещественных ограниченных функций на О (относительно поточечных операций и вир-нормы); X - замкнутая подалгебра в Т(О) (потому (и € X) ^ (|и| € X)); Б(в) - нильпотентная (С0)-полугруппа в X (Ев0 > 0 : Б(в0) = 0). Генератор полугруппы А = Б'(0) определён на плотном в X множестве О (А), более того, множество О(А') = Р| О(Ап) также плотно в X [15, теорема 2.3, с. 60].
В данном пункте рассматривается линейное уравнение порядка п
(Апи)(х) + а1 (Ап-1и)(х) + ... + ап-1(Аи)(х) + ап и(х) = / (х) (1)
с постоянными коэффициентами а1,...,ап € С, / € X. Область определения и -множество О(Ап), которое плотно в X, так как содержит О(А'). Пусть многочлен Рп(Ь) = Ьп + а1Ьп_1 + ... + ап_1Ь + ап имеет различные корни Х1,..., Ак кратности Р1,... ,Рк соответственно.
Лемма 1. Пусть Рп(Ь) имеет единственный корень \1 € С. Тогда уравнение (1)
(-1)" у8° 0-Х180п-1/
имеет и притом единственное решение и(х) = (п_1)! /о0 е-Х18зп-1(3 (в)/)(х)<1з.
Доказательство. Лемма доказывается индукцией по п.
База индукции п = 1. Уравнение (1) принимает вид Аи — Х1и = /. Резольвента Я\1 и = /0+' е_Х18Б(в)иёв = /8 е_Х18Б(в)иёв существует для всех А1, потому и =
— /о0 е_М8Б(в)/<в.
Шаг индукции Рп+1(Ь) = (Ь — А^^1 = (Ь — А1)Рп(Ь). Уравнение (1) записывается следующим образом: (А — А1 )Рп(А)и = /, Рп(А)и = — /08° е_Х1ТБ(т)/<т, и = (__Г1! /о° е_Х18вп_1Б(в) (— /8° е_Х1Т Б(т )/<т) <в. Полугрупповое свойство Б (в),
замена t = s + т и изменение порядка интегрирования приводят к формуле
u = ((n_i+! Г0 е XltS(t)fdtJsn 1ds, которая и доказывает лемму. (n )! о
Теорема 1. Уравнение (1) имеет и притом единственное 'решение u(x) = — Jq0 ^^=1 ResA=Am P"(A) (S(s)f )(x)ds, где Res обозначает вычет функции в точке.
Доказательство. Теорема доказывается индукцией по k.
Базу индукции k = 1 (единственный корень Лг кратности n) доказывает лемма 1, поскольку вычет ResA=A1 р (a) = ResA=A1 (a-Ai)" = dn-1 f(\ Л )n e-As А = (-1)n-1 e-Ais sn-1
t
1 а" 1 I {\ \ \п е \ _ 1) —Л]^ „п
(п-1)! ШПл^л1 аЛ"-1 ^(Л Л1) (Л—Лх)^ = (п—1)! е 6
Шаг индукции. Рассмотрим новый многочлен С(Ь) = Рп(£)(£ — Лк+1)р. Уравнение (1) принимает вид С(А)и = Рп(А)(А — Лк+1/)ри = /, и =
— /о'° ае8Л=Лк+х (л—!-к+1)Р 5(в) (— /о'° ^Л=Лт ре-Л) ^(т)/йт) йв. Здесь и далее
I - единичный оператор. Поскольку все корни Л1,..., Лк+1 различны, то можно выбрать охватывающие их контура Г1,..., Гк+1 попарно непересекающимися. Меняем порядок интегрирования, делаем замену £ = в + т:
so so-s k
1 f f f dzi f e-zis-z2T
u = — W ds J S(s + T)fdT J^J (zi — Ak+i)^ =
0 0 Гк+i rm
so k t
f S(t)fdt y l , dzr л l i e(z2-zi)s-z2tds =
4n2J m=r / (zi — Ak+i)p / Pn(zv)J
0 m=irfc+i rm 0
so _ t k
e zit , f dz2
= ¿1S<W (zi^dzi У f
(г1 — Лк+1)р т=1 ^ — ,2)Рп(,2)
О Гк+1 гт
¿/Е/— Лк+^с,,—,2) =11 — ^ (2)
0 Гт Гк + 1
Применив к функции ад
(,2) = (г 1—Ы теорему о полной сумме вычетов, получим, что £т=1 / Гт = М) , 2/1 = — /о° Ке8л=Лк+1 Й5(/ Внутренний интеграл 12 имеет вид / Гк+1 (^1— Лк+Ор(^1—^2) = 2П 1=Лк+1 (^1 —Лк+1)Р(г 1—*2) =
(Р—) Ит* 1^Лк+1 а!-1! ((,1 — Лк+1)р 2)) = — (^2—2Лк+1)Р. Подстановка
этих результатов в формулу (2) доказывает теорему по индукции. Единственность решения уравнения (1) следует из существования резольвенты оператора А.
Следствие 1 (о непрерывной зависимости решения уравнения (1) от функции /). Пусть и(х) = и(х, /), и0(х) = и0(х, /0) - решения уравнения (1) с функциями /, /0 соответственно. Тогда Уе > 0 Ей > 0 : (||/ — /0У < 5) ^ (\\и — и0У < е).
Доказательство. Факт следует из того, что и — и0 = (—1)пЯ1Х11 ... ЯХ^ (/ — /0), ||и — и01| < ||ДХ1 ||р1 ■ ... ■Шхь\\Рк ■/ — /01|. 1 '
Следствие 2. Пусть а1,...,ап € М. Тогда решение уравнения (1) есть вещественная функция.
Доказательство. Уравнение (1) запишем в виде (А — А11)Р1 ■... ■ (А — Ак 1)Рк и = / .В условиях следствия корни Рп(Ь) или вещественные, или комплексно-сопряжённые, потому следствие достаточно доказать для уравнения (А — ц1)(А — ц*1)и = /, где ц = а + вг, ц* = а — вг. А решение данного уравнения (согласно формуле Эйлера) -
и = — /о8° ((А — ц) (Х_ы\_р*)) +ИШХ^* ((А — ц*) (х4)(\_р*))) Б(в)/<в =
в /08° е_а8 ё'т(вв)Б(в)/<,в. Заметим, что решение уравнения (1) в общем случае расписывается с учётом формулы Эйлера подобным образом.
Следствие 3. Резольвентные множества операторов Ап и Рп(А) таковы: р(Ап) = С, р(Рп(А)) = С.
Следствие 4. Оператор Рп(А) замкнут (см. [16, теорема 7, с. 642]).
Следствие 5. ВХ* ... ^/ = (—1)п_1 /8° ^ ^х=хт Р-Х)Б(в)/<в.
Положим О = Н, X = X, А = Ь (см. п. 1). Тогда результаты данного пункта справедливы для уравнения (1) с нерегулярным эллиптическим оператором, в частности, с СБЭО. Кроме того, возможно повысить гладкость решения:
Следствие 6 (о повышении гладкости решения). Для уравнения (1) с нерегулярным эллиптическим оператором из / € 2 следует и € 2.
Доказательство. Согласно п. 1 в условиях следствия Т(Ь)/ € 2, откуда и € 2.
3. Система линейных уравнений с операторными коэффициентами
(многочленами от оператора А)
Рассмотрим систему линейных уравнений с операторными коэффициентами (многочленами от оператора А, см. п. 2):
п
^ Рг,к (А)ик = /г (г = 1,...,п). (3)
k=1
Тут fi,...,fn е X; Pik(t) = tdik + a1ktdik-1 + ... + а£к-11 + a^ - многочлен
степени dik ^ 0 с коэффициентами a1k,..., adk е R. Степень многочлена Pi k бу-
' 1 di, k '
дем также обозначать deg Pi,k. Оператор Pi,k(A) при d^k > 0 определён на плотном
в X множестве D(Adi>k) и, в силу следствия 4, замкнут; при di,k = 0 он кратен I и определён на всём X. Потому областью определения Uk является множество D(Adk), где dk = max(di,k,..., dn,k); при dk = 0 областью определения Uk является всё X. В дальнейшем будут приведены достаточные условия существования и единственности решения системы (3).
Пусть многочлен Q(t) степени d > 0 с вещественными коэффициентами имеет различные корни Л1,..., Ak е C. Оператор Q(A): D(Ad) ^ X согласно п. 2 имеет обратный (Q(A))-1 = - /QS0 Em=i ResA=Am S(s)ds: X ^ D(Ad), в силу следствия 2 сумма в данной формуле вещественна. Соответствующий многочлену нулевой степени оператор Q(A) = aI при a = 0 также имеет обратный (Q(A))-1 = a I. D(A^) - собственное линейное многообразие (незамкнутое) операторов Q(A) и (Q(A))-1, т.е. Q(A)(D(A~)) С D(A~), (Q(A))-1 (D(A~)) С D(A~).
Пусть F = { Q^j} - поле рациональных функций (оно является полем частных
кольца многочленов). Каждой функции Q^j е F сопоставим некий замкнутый
оператор ф( Q^tj). При этом для отображения ф должны выполняться условия: а)
ф(Qi(i) + QW) = ф(Qi(i)) + ф(QW); б) ф(Qi(i) . Qs(i)) = ф(QiCt)). ф(Оз№) поскольку ф( Q2 (tj + Q4 (tj ) = ф( Q2 (tj )+ ф( Q4 (tj ); б) ф( Q2 (tj Q4 (tj ) = ф( Q2 (tj ) ф( Q4 (tj ), п°ск°льку
функции щ§, коммутируют то и операторы ф(), ф() должны коммутировать; в) ф(1) = I; г) ф((^^у)-1) = (ф())-1. Проверку условий а)-г) необходимо проводить с учётом областей определения замкнутых операторов. Тогда можно считать, что ф(^) является полем замкнутых операторов, и применять аппарат линейной алгебры.
Отображение ф: Q^j ^ (Q2(A))-1|d(a^)Q1(A)|d(a~j удовлетворяет условиям а)-г), перечисленным выше, в частности, имеет место коммутация ф( Q^tj) и ф(Q3(tj). Операторы ф(Q^j) записываются в явном виде согласно п. 2. Заметим,
что для отображений Qjg ^ (Q2(A))-1Q1(A) и ^ Q1 (A)(Q2(A))-1 - бо-
лее простых и "очевидных" - в условиях а)-б) возникают трудности, связанные с областями определения соответствующих операторов. Действительно, оператор (Q2(A))-1Q1(A) переводит D(Adl) в D(Ad2), где d1 = degQ1 > 0, d2 = degQ2 > 0. Оператор Q1(A)(Q2(A))-1 имеет большую область определения: при d1 = d2 он переводит X в X; при d1 > d2 - D(Adl-d2) в X; при d1 < d2 - X в D(Ad2-dl).
Положим P = (Pi,k(A)|D(A-j)nnk=1. Пусть detP = det|Pi,k(A)|D(A^j|n]k=1 = (-1)i(CTjPki,1(A)|D(A-j . ..Pk„,n(A)|D(A^j - определитель матрицы P, где a = (k\ ... kn) - перестановка длины n, l(a) - чётность перестановки a. Нестандартной индексации Pkm,m (вместо привычной Pm,km) объяснение будет дано далее. detP является многочленом от оператора A степени deg det P не выше maxCT (dk1,1 + ... + dkn,n), все формулы классического определителя сохраняются. Если det P = 0 (т.е. нулевому оператору), то матрица P имеет обратную P-1 = (detP)-1(Pi,k)T. Тут
Pi,k - алгебраическое дополнение элемента (i,k) матрицы P - многочлен от оператора A степени deg Piik. Заметим, что необязательно degdet P > deg P'i,k, может выполняться и обратное неравенство, и равенство.
Предположим, что detP = 0 и выполнены условия f\,...,fn е D(Arx). Тогда существует P-1, щ = (P-1)i,k fk = (det P)-1 ^П=1 Pf, i = l,...,n.
Рассмотрим сумму, стоящую в правой части последней формулы. Для системы линейных алгебраических уравнений это результат раскрытия по i-му столбцу определителя, полученного заменой i-го столбца на столбец правой части. Но, если в определении det P, механически заменить Pi,n на fi, то соответствующие слагаемые превратятся в элементы X; замена же Pik на fi для k = n приведёт к тому, что соответствующие слагаемые вообще не определены. Пусть dets P = det\Pi,1(A)lD(A... Pi,s-1 (A)ID(Afi Pi,s+1(A)ID(A... Pi,n(A)lD(Ä^)\rn=1 = (-l)l(a^ Pki,1(A)lD(Ä^) . . . Pks-i,s-1(A)lD(Ä^) Pks+i,s+1 (A)lD(Ä^)Pkn,n(A)lD(ÄfkB ;
такой аналог определителя, в отличие от оператора det P, является элементом X. Нестандартная индексация в определении det P теперь объясняется тем, что в противном случае определение dets P пришлось бы чрезмерно усложнять.
Таким образом доказана теорема:
Теорема 2. Пусть ёе! Р = 0; /1,..., /п € Б(А^). Тогда единственное 'решение системы (3) имеет вид иг = (ёе!Р)_1 ёе^Р, г = 1,... ,п. Эти формулы естественно назвать аналогами формул Крамера.
Положив О = Н, X = X, А = Ь (см. п. 1), получим аналоги формул Крамера для системы (3) с нерегулярным эллиптическим оператором, в частности, с СБЭО.
Пример. Рассмотрим систему Ьи1 + и1 + и2 = /1, Ь2и1 + Ьи2 = /2 с нерегулярным эллиптическим оператором. Сначала предположим, что /1,/2 € 0(Ь
L2 | D
(Ltc ) LID(L
Здесь Р = Л^Ьс^) {Ь^А. оператор ёе!Р = ёе!
у { ЬШ(Ь—) у
(Ь + 1)\и(1-)Ь\о(1-) — Ь2\в(1-)1 \о(1-) = Ь\о(1-) ненулевой. П(Ь^) - собственное линейное многообразие соответствующих операторов, потому искомое решение и1 = (ёе! Р)_1 ёе^^ | = Ь _1(Ь /1 — /2) = /1 + Ц° Т (/Ь, и2 =
(ёе!Р)_1 ёе! {Ь+)1о(1 / = Ь_1(Ь/2 + /2 — Ь/ = —Ь/1 + /2 — Т(/М. Здесь
и1,и2 € Б(ЬХ).
Теперь откажемся от условий /1, /2 € 0(ЬОбласть определения и1 - множество 0(Ь2), и2 - О(Ь). Оператор Ь замкнут, потому можно показать, что решение находится по формулам, приведенным выше, при /1 € 0(Ь2), /2 € О(Ь). Кроме того, при дополнительных условиях Ь/1 € 2, /2 € 2 решение имеет повышенную гладкость и1, и2 € 2.
Выводы
В работе предложена система линейных уравнений с операторными коэффициентами - многочленами от нерегулярного эллиптического оператора. Приведены достаточные условия существования и единственности решения, а само решение представлено в виде явных формул - аналогов формул Крамера. Также исследовано линейное уравнение высшего порядка с нерегулярным эллиптическим оператором для случая постоянных коэффициентов.
Автор благодарит Ю.В. Богданского за ценные замечания и внимание к работе.
Список литературы
[1] Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. - М.: Наука, 1967. - 512с.
[2] Feller M.N. The Lévy Laplacian. - Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 2005. - 153p.
[3] Богданский Ю.В. Задача Коши для параболических уравнений с существенно бесконечномерными эллиптическими операторами // Укр. мат. журнал. - 1977. - 29, №6. -С. 781-784.
[4] Богданский Ю.В. Задача Коши для уравнения теплопроводности с нерегулярными эллиптическими операторами // Укр. мат. журнал. - 1989. - 41, №5. - С. 584-590.
[5] Bogdansky Yu.V., Dalecky Yu.L. Cauchy problem for the simpliest parabolic equation with essentially infinite-dimensional elliptic operator // Suppl. to chapters IV, V in book: Dalecky Yu.L., Fomin S.V. Measures and differential equations in infinite-dimensional space. - Amsterdam - New York: Kluwer Acad. Publ., 1991. - pp. 309-322.
[6] Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. - М.: Наука, 1983. - 384с.
[7] Полищук Е.М. Линейные уравнения в функциональных лапласианах // УМН. - 1964. -т. 19, вып. 2(116). - C. 163-170.
[8] Шилов Г.Е. О некоторых вопросах анализа в гильбертовом пространстве. III // Мат. сборник. - 1967. - т. 74(116), №1. - С. 161-168.
[9] Сикирявый В.Я. Оператор квазидифференцирования и связанные с ним краевые задачи // Труды Моск. матем. об-ва. - 1972. - т. 27. - С. 195-246.
[10] Сикирявый В.Я. Линейные квазидифференциальные уравнения // Укр. мат. журнал. -1975. - 27, №1. - С. 121-127.
[11] Богданський Ю.В., Статкевич В.М. Лтшт диференщальт рiвняння з суттево нескiнченновимiрmими операторами // Науковi вкт НТУУ "КП1". - 2008. - №2. -С. 144-147.
[12] Статкевич В.М. Системи суттево несктченновшпрпих диференщальних ргвнянь // Укр. мат. журнал. - 2011. - 63, №9. - С. 1257-1262.
[13] Статкевич В.М. Об одной системе линейных существенно бесконечномерных уравнений // КР0МШ-2011. Тезисы докладов. - Симферополь, 2011. - С. 51.
[14] Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщённые функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. II. Дифференциальные операторы и их преобразования Фурье // Труды Моск. матем. об-ва. - 1972. - т. 27. - С. 247-282.
[15] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967. - 464с.
[16] Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. 1 Общая теория. Пер. с англ. -М.: ИЛ, 1962. - 896с.
Аналоги формул Крамера для системи лшшних диференщальних р1в-нянь з нерегулярним елштичним оператором
Запропонована система лгнгйних диференщальних ргвнянь для функцгй на нескгнченновимгрному ггльбертовому просторг, коли в якостг оператор-них коефгцгентгв виступають многочлени вгд нерегулярного елгптичного оператора (Lu)(x) = j(и"(ж)). Для таког системи доведет аналоги формул Крамера.
Ключов1 слова: нескшченновим1рний простар, оператор Лапласа-Лев^ нерегуляр-ний (суттево нескшченновим1рний) елштичний оператор, формули Крамера.
Cramer's rule analog for simultaneous linear differential equations with nonregular elliptic operator
Simultaneous linear differential equations for functions on an infinite-dimensional Hilbert space with nonregular elliptic operator (Lu)(x) = j(u"(x)) polynomial coefficients are proposed. Cramer's rule for such simultaneous equations is proved.
Keywords: infinite-dimensional space, Laplace-Levy operator, nonregular (essentially infinite-dimensional) elliptic operator, Cramer's rule.
