Аналог дискретного принципа максимума Понтрягина в ступенчатой задаче управления для систем, описываемых разностными уравнениями типа Вольтерра Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 65

Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ CONTROL OF DYNAMICAL SYSTEMS

Научная статья УДК 517.977.56 doi: 10.17223/19988605/65/1

Аналог дискретного принципа максимума Понтрягина в ступенчатой задаче управления для систем, описываемых разностными уравнениями типа Вольтерра

Айтадж Вагиф кызы Керимова1, Камиль Байрамали оглы Мансимов2

12Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан 2 Институт систем управления Министерства науки и образования Азербайджана, Баку, Азербайджан

1 [email protected] 2 [email protected]

Аннотация. Рассматривается ступенчатая задача оптимального управления для системы, описываемой разностными уравнениями типа Вольтерра, которые представляют собой дискретные аналоги интегро-диффе-ренциальных уравнений типа Вольтерра. При предположении, что управляющие функции принадлежат непустым и ограниченным множествам, решена задача оптимального управления для функционала типа Больца.

Применяя один вариант классического метода приращений, построена формула для приращения функционала качества. Доказан аналог дискретного принципа максимума, носящий глобальный характер, и, как следствие, получен точечный аналог дискретного принципа максимума.

Ключевые слова: дискретный принцип максимума Понтрягина; разностное уравнение типа Вольтерра; метод приращений, функционал качества; допустимое управление; необходимое условие оптимальности; приращение функционала.

Для цитирования: Керимова А.В., Мансимов К.Б. Аналог дискретного принципа максимума Понтрягина в ступенчатой задаче управления для систем, описываемых разностными уравнениями типа Вольтерра // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 65. С. 4-14. doi: 10.17223/19988605/65/1

Original article

doi: 10.17223/19988605/65/1

An analogue of Pontryagin's discrete maximum principle in the stepwise control problem for systems described by Volterra type difference equations

Aytaj V. Karimova1, Kamil B. Mansimov 2

12 Baku State University, Baku, Azerbaijan 2 Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan

1 [email protected] 2 [email protected]

Abstract. A stepwise optimal control problem is considered for a system described by Volterra-type difference equations, which are discrete analogues of Volterra type integro-differential equations. Assuming that the control functions belong to nonempty and bounded sets, the optimal control problem for a Boltz type functional is solved.

© А.В. Керимова, К.Б. Мансимов, 2023

Using one variant of the classical increment method, a formula for incrementing the quality functional is constructed. An analogue of the discrete maximum principle, which is of a global nature, is proved, and as a consequence, a point analogue of the discrete maximum principle is obtained.

Keywords: Pontryagin's discrete principle of maximum; Volterra type difference equation, increment method; quality functionality; admissible control; necessary optimality condition; increment of the functional.

For citation: Karimova, A.V., Mansimov, K.B. (2023) An analogue of Pontryagin's discrete maximum principle in the stepwise control problem for systems described by Volterra type difference equations. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 65. pp. 4-14. doi: 10.17223/19988605/65/1

Введение

К настоящему времени дискретные задачи оптимального управления еще относительно мало исследованы. Вместе с тем проблема установления необходимых условий оптимальности в ряде дискретных задач оптимального управления рассмотрена в работах [1-4]. В работе [1] получены необходимые условия оптимальности в задаче управления, описываемой разностным аналогом одномерного уравнения Вольтерра.

Работа [2] посвящена доказательству линеаризованного условия максимума и исследованию случая его вырождения в одной задаче управления, описываемой дискретным аналогом гиперболического уравнения первого порядка.

Исследование случая вырождения дискретного аналога принципа максимума для задачи оптимального управления, описываемой дискретным аналогом системы Гурса-Дарбу, выполнено в работе [3].

В [4] для одной дискретной задачи оптимального управления с недифференцируемым критерием качества получено необходимое условие оптимальности в терминах производных по направлениям.

В ряде работ исследуются многоэтапные и ступенчатые процессы, а также процессы с переменной структурой [5-9]. Изучению многоэтапных (ступенчатых) задач оптимального управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, посвящены работы [5-10] и др. В исследованиях [5, 6, 8], используя различные приемы, авторы получили необходимые условия оптимальности типа принципа максимума Понтрягина. Последовательному улучшению многоэтапных процессов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, посвящена работа [7]. В [10] получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков в случае открытых областей управления.

В предлагаемой работе рассматривается одна двухэтапная (ступенчатая) задача оптимального управления, описываемая различными разностными уравнениями, представляющими собой дискретный аналог интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. Получены необходимые условия оптимальности типа принципа максимума Л.С. Понтрягина [11].

1. Постановка задачи оптимального управления

Пусть и с Яг, V с Я4 - заданные непустые и ограниченные множества, и (V) - г-мерная дискретная, )- ^-мерная дискретная вектор-функции управляющих воздействий, Т ={^0,¿0 +1,...,^ -1} и Т ={^1, ^ +1,. ., -1} - заданные конечные последовательности, причем разности 1Х — ^ и — ^ являются натуральными числами.

Каждую пару (и^),у^)) управляющих воздействий и(V) и у^), удовлетворяющих условиям

и(0 еи с Яг, V е Т1, (1)

у^) е V с Я, V еТ2 (2)

назовем допустимым управлением.

Рассмотрим задачу нахождения минимального значения функционала типа Больца

Ъ«, т, х(т), и(т))

J (u, v) = ф (x(ti)) + ф2 (y(t2)) + £

2

t =to

x^^t, x, y(x), v(x))

(3)

определенного на решениях системы разностных уравнений Вольтерра

г

х(г +1) = /;(г,х(г),и(г)) + £ а (г, т,х(т),и(т)), г е21, (4)

т=г0 г

у(г+1) = /2 (г,у(г),у(г)) + £^(г,т,у(т),Чт)), гег2 (5)

т=1

c начальными условиями

х(го) = х0> (6)

у(0 = О (х (г,)). (7)

Как видно, уравнения (4) и (5) являются дискретными аналогами интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра. Здесь ф1 (х), ф2 (у) - заданные, непрерывно дифференцируемые скалярные функции, а (г, т, х, и), а (г, т, у, V) - заданные дискретные по (г, т) и непрерывные по (х, и) и (у, V) соответственно «-мерные вектор-функции, /1(г, х, и), /2(г, у, V) - заданные, дискретные по ( и непрерывные по (х,и) и (у, V) соответственно «-мерные вектор-функции, ^ (г, т, х,и), (г, т, у, V) -заданные дискретные по (г, т) и непрерывные по (х, и) и (у, V) вместе

д^(г, т, х,и) Ж, (г, т, у,V) „ с -, - соответственно скалярные функции, хо - заданный постоянный вектор,

дх ду

О(х) - заданная непрерывно дифференцируемая «-мерная вектор-функция.

Допустимое управление (и(г), у(г)), доставляющее минимальное значение функционалу (3) при

ограничениях (1), (2), (4)-(7), назовем оптимальным управлением.

Предполагается, что в рассматриваемой задаче оптимальное управление существует. Цель работы - вывод необходимых условий оптимальности первого порядка в рассматриваемой задаче.

2. Построение формулы приращения функционала качества

Пусть (и0 (г),V0 (г),х° (г),у0 (г)) и (и (г) = и0 (г) + Ди (г), V(г) = V0 (г) + Дv (г), х (г) = х0 (г) + Дх(г), у (г ) = у0 (г ) + Ду (г)) - некоторые допустимые процессы. Тогда, ясно, что приращение (Дх (г), Ду (г)) траектории (х0 (г), у0 (г)) будет решением задачи

Дх(г +1) = [/(г,х(г),и (г))-/1 (г, х0(г),и0(г))] + £[а (г,т,х(т),и (т))-а, (г,т,х0(т),и0(т))], (8)

т=г0

х(г 0) = 0, (9)

Ду (г +1) = [/2 (г, у (г), V (г))-/(г, у0 (г), V0 (г))] + £ [а, (г, т, у (т), V (т))-а, (г, т, у0 (т), V0 (т))], (10)

т=1

Ду (г1 ) = О (х (г1))-О (х0 (г1)). (11)

Запишем общее приращение функционала

Д1 (и0, V0) = ф1( х (О)-ф1( х0(г1)) + ф,( у (г,))-ф,( у 0(г,)) + 4 -1 * '2 -1 * (12)

+ ЕЕ[^(г, т, х (т), и (т)) - Ъ1(г, т, х0(т), и 0(т))] + ХЕ[^2(г, т, у (т), 7(т)) - Ъ2(г, т, у 0(т), V0(т)) ]. ' 7

Предположим, что у0 = у0 (г), I = 1,2, - пока произвольные «-мерные дискретные и ограниченные вектор-функции.

Из тождеств (8) и (10) получаем

X у0'( V )Дх (V +1) = £ у0'(г)[ / (V, х (V), и (г))—/1 (г, X0 (V), и0 (V ))]■

г=го

+ '

г г

X^Г (г)[& (г,х,х(т),и(х)) — & (г,х,х0 (х),и0 (х))

т=го

(13)

X )Ду (г + 1) = Х V 2'( г )[Л (г, У (г), V (г)) — / (г, у0 (г), у0 (г))] +

г=^

г

+

•-2__

X

г=г

¿у2'(г)[ & 2 (г, х, у (х), V (х)) — & (г, х, у0 (х), V0 (х))]

х=4

(14)

Учитывая начальные условия (9) и (11) легко доказать, что

гу0 (г)Дх(г + 1) = УГ (— 1)Дх(¿1 ) + г V0 (Г — 1)Дх(0,

г=г0 х=0

Хх ^)ду (,+1) = у22 ^ 2—1)ду ((2)—(^ — 1)Ду ()+г у 2 ('—1)ДУ (0.

(15)

(16)

г=\

х=4

Введем аналоги функций Гамильтона-Понтрягина в виде:

4—1

Н1 (г, X(г),и (г), у0 (г)) = у0' (г)/1 (г,х(г),и (г)) + ХК' (х)& (х,г, х(г),и (г)) — ^ (х,г,х(г),и (г))],

х=г к —1

Н 2 (г, у (г), V (г), у0 (г )) = у 0'( г) /2 (г, у (г), у (г )) + ХК(х) & (х, г, у (г), V (г)) — я, (х, г, у (г), V (г))].

х=г

С учетом вида функции Гамильтона-Понтрягина и тождества (13)-(16) приращение (12) функционала качества (3) представляется в виде:

Д/ (и0, V0) = Ф[(х (г1)) — Ф[( х0(г1)) + ^2(у(г2)) — Ф2(у 0(г2)) +

+у0' (г1 — 1) Дх(г1) + X у0' (г — 1) Дх(г) — X[Н (г, X(г),и (г), у0 (г)) — Н (г, х0(г),и0(г), у0 (г))] +

г=г,

и —1

+ у2'( г2 — 1)Ду (г2) —V 2( г1 —1)(о (х (г,)) — О (х0 (г1 ))) + £ у 2' (г — 1)Ду (г)

и —1

г=г

—X (Н2 (г, у (г), V (г), у2 (г)) — Н2 (г,у0 (г), V0 (г), у0 (г))).

г=г1

Используя аналог формулы Тейлора, получим

Ф (х (г1)) — Ф (х0 (г)) = дф1' (х°(г1)) Дх (г1) + «1 (I Дх (г1 )||),

(17)

дх

Ф2 (у (г2)) —Ф2 (у0 (г2))=дф2'(у°(г2)) Ду (г2) + «2 (|Д (г2)||),

у2'( г1 — 1)(О (х (г1)) — О (х0 (г1 ))) = у0( г1 — 1) Ох (х0 (г ))Дх (г1) + « (||Дх (г1 )||), Н1 (г, х(г),и (г), у0 (г)) — Н1 (г,х0(г),и0(г), у0 (г)) = = Н (г, х0 (г),и (г), у0 (г)) — Н (г, х0 (г),и0(г), у0 (г)) + дН (г,х0(г),и (г),у0 (г)) дН (г,х0(г),и0(г),у0 (г))"'

(18)

(19)

(20)

(21)

дх

дх

Дх (г)-

г, —1

г=г

dH[(t, x0(t), u °(t), у 0 (t))

dx

+

Ax (t) + o4 (||Ax (t I),

H 2 (t, y (t), v (t), у2 (t)) - h 2 (t, y0 (t), v0 (t), у 0 (t)) =

= H2 (t, y0 (t), v (t), у? (t))-H 2 (t, y0 (t), v0 (t), у 2 (t ))■ dH2 (t,y0 (t),v (t),у2 (t)) dH2 (t,y0 (t),v0 (t),у2 (t))"'

+

dy dy

dH2 (t, y0 (t), v0 (t), у 2 (t))

Ay (t )-

(22)

dy

Ay (t)+«5 (lA (t )||).

Здесь ||а|| есть норма вектора а = (а,а2,...,ап)' в линейном «-мерном пространстве Я", определяе-

мая

формулой ||а|| = Х|а; |, °(а) - величина, имеющая более высокий порядок малости,

чем а,

т.е.

о(а)

а

-> 0 при а ^ 0, а (') для векторов - операция скалярного произведения, для матриц - транс-

понирования.

Учитывая разложения (18)-(22), в формуле приращения (17) получим, что

AJ (u 0, V ) —Ax (t, ) + d!M Ay (, )-

dx

dy

4-1 dH,'( t, x0(t), u 0(t), у? (t))

+у?' (t! -1) Ax (t!) + X у?' (t -1) Ax (t) - X 1 ^ ^^ ()) Ax (t) -

t— Iq t— Iq

1 -1,

h -1 -X

t—L

X [ H1 (t, x0(t), u (t), у? (t))-H1 (t, x0(t), u °(t), у? (t))]

t—t?

dH, (t, x0 (t),u (t), у? (t)) dH1 (t, x0 (t),u0(t), у? (t))

dx

dx

Ax (t)-

+ у 2( t2 - 1) Ay (t2 )-у22(11 -1)

dG' (x0 (t1))

-2 *

Ax (t1 ) + X

dH 2 (t, y0 (t), v0 (t), у2 (t))

ч 1

-X

t—tl

dx t=h dy

t2 -1

(H2 (t, y0 (t),v (t), у2 (t)) - H2 (t,y0 (t), v0 (t), у2 (t)))

t—t

dH2 (t,y0 (t),v (t),у2 (t)) dH2 (t,y0 (t),v0 (t), у2 (t)) '

Ay (t )-

dy dy

k

Ay(t)-

+ o

1 (¡Ax(t1 )||) + 02 (¡Ay (t2 )||) - 03 (¡Ax (t1 )||) + X04 (A(t)||) +X05 (||Ay (t)||) .

(23)

Если предполагать, что вектор-функции у° = у° (г), 1 = 1,2, удовлетворяют соответственно соотношениям

дИх (г, х0(г),и0(г), у0 (г))

у? (t -1) —

dx

dф 1(x0 (t)) dG'(x0 (t))

у0 (,. -1)—-Ai-M+—у2 («.-1),

dx

dx

(24)

—1

у2 (г -1) =

дя2 (г, У0 (г), V0 (г), У 0 (г))

у0 (г2 -1) = -

дУ

дф2 ( У0 ( '2 ))

ду

(26) (27)

то формула приращения (23) примет вид:

4-1

Ы (и0, V0) = -I [я (г, х0(г), и (г), у0 (г)) - я (г, х0(г), и 0(г), у0 (г))] -

г, -1

-I

г=г0

дя (г, л0 (г), и (г), у0 (г)) дя (г, х0(г), и 0(г), у0 (г))'

дл

дх

Ах (г)-

г2 -1

-I (я 2 (г, у0 (г), V (г), у 2 (г))-я2 (г, у0 (г), V0 (г), У (г)))-

г=г_

~2_*

-I

г=г1

дя2 (г,у0 (г),V(г),у2 (г)) дя2 (г,у0 (г),V0 (г),У (г))"

ду ду

к

Ау (г)-

+0 (|Ах(г1 )||) + 02 Ау (г2 )||) - Оз (||Лх(г1 )||) + IО4 (||Лх(г)||) -Iо5 (||Ау (г)||) . (28)

Заметим, что соотношения (24)-(25) и (26)-(27) являются задачами Коши для линейных разностных уравнений (24) и (27) относительно (г) и (г) соответственно. Они являются сопряженной системой для рассматриваемой задачи.

3. Оценка норм приращений Ах(г) и Ау (г) траекторий х° (г) и у0 (г)

Для получения необходимых условий оптимальности с помощью формулы приращения (28) понадобятся оценки для ||Ах(г)|| и ||Ау (г)||. Принимая во внимания задачу (8)-(9) и применяя дискретный аналог формулы Фубини (см., напр.: [12]) можно записать

г

Ах(г +1) = I (/ ( х, х(т),и(т)) - / ( X, х0 (х),и0 (х)}) -

+

+1

х=%

-I Ах(т) =

-1Ах (х) =

I [&1 ( X, 5 х (5),и (5)) - & ( х, 5 х° (5), и0 (5))]

_5=г0

= К / (х, х (х), и (х)) - /1 (х, х0 (х), и0 (х))) +1 (5, х, х (х), и (х)) - а (5, х, х0 (х), и0 (х))_

х=го х=го [ 5=х

I / .

-К /1 (х, х0 (х), и (х))-/1 (х, х0 (х), и0 (х)))-!^! (5, х, х0 (х), и (х))-& (5, х, х0 (х), и0 (х))]-^ (х) =

х=го 5=х х=0

г г г

= К /1 (х, х (х), и (х))-/1 (х, х0 (х), и (х^ + Д gx ( 5, х, х (х), и (х))-& (5, х, х0(х), и (х))]-^ (х).

х=г0 /

х=г0 5=х х^0

Из последнего соотношения, переходя к норме и используя условие Липшица, а также правило треугольника, получим

Ах (г +1)||< АЦ|Ах (х)!-^! /1 (х, х0 (х), и (х))-/1 (х, х0 (х), и0 (х))

х=4) х=4)

+

х=г

+I|a (s,X,x0 (x),u (t)) - g (s,x,x0 (x),u0 (1

где L — const > 0 - некоторая постоянная.

Применяя к последнему неравенству дискретный аналог леммы Гронуолла-Беллмана (см., напр.: [12, 13]) будем иметь

|| Ax (t )||< L

X f (x, x0 (x), u (x))-f (x, x0 (x), u0 (t))

+

t -, + XX||g1 (s,X,x0 (x),u(x)) - g1 (s,x, x0 (x),u0 (t))||]

s—x

Здесь L — const > 0 - некоторая постоянная.

Для оценки ||Ay (t)|| рассмотрим два возможных варианта. Первый вариант: Av(t)ф 0, Au (t) — 0 . Тогда, используя задачу

Ay (t +1) — [f (t, y (t), v (t)) - f (t, y0 (t), v0 (t))]

t

+ X[g2 (t, X, y (x), v (x)) - g2 (t, x, y0 (t), v0 (t))], y(t1) — 0,

x—t1

по аналогии с доказательством оценки (29) доказывается, что при Au (t) — 0

II Ay (t )|| — A X [| f (t, у 0 (t), v (t)) - f (t, y0 (t), v0 (t))

x—t,

(29)

+

t

+ Xfc(t, X, У0 (x), v (x))-g2( t, X, y0 (t), v0 (x))

(30)

где L — const > 0 - некоторая постоянная.

Второй вариант. Пусть Au (t) Ф 0, Av(t) — 0 . Тогда из задачи (10)—(11) получаем, что в этом случае Ay (t) является решением задачи

Ay (t +1) — [ f2 (t,y (t), v0 (t)) - f2 (t,y0 (t), v0 (t))] +

+ X [ g2 (t, X, y (x), v0 (t))-g 2 (t, x, y0 (x), v0 (x))-Ay (t)],

Ay (t1) — G (x (t1))-G (x0 (t1)).

С учетом начального условия (32) уравнение (31) может быть записано в виде:

t ._ _. Ay (t +1) — XX [f (x,У (x), v0 (x)) - f2 (x,y0 (x), v0 (t))] +

(31)

(32)

T—

+

t—t1

XX [g2 (t, X, У (x), v (x))-g2 (t, x, / (x), v0 (t))] + G (x (t1))-G (x0 {tx)).

(33)

В (33), переходя к норме и используя условию Липшица, получим, что

t

Ay (t +1)|| < L4 X[||Ay (x)| +1| Ax (t1 )|],

(34)

X—ч

где L4 — const > 0 - некоторая постоянная.

Применяя к неравенству (34) дискретный аналог леммы Гронуолла-Беллмана, будем иметь

|| Ay (t )||< L5I |Ax (t1 )|, (35)

где L — const > 0 - некоторая постоянная.

s—x

x—t

s—T

Из неравенства (35) учитывая оценку (29) будем иметь следующую оценку:

\ -1

Ду (t )=L

X f (х,х0 (т),и(х))-f (х,х0(х),и0(х)) +

4 -1,

(36)

+ g (s,т'(т),u (т))-gi (s,т>(т),и0 (т))||

s=x

где Z6 = const > 0 - некоторая постоянная.

4. Необходимое условие оптимальности

Введем в рассмотрение следующие множества:

fi (t, х0 (t) ,U)={«1: «1 = fi (t, x0 (t), и (t)), и (t)eU, t e^}, (37)

gi (t, x, x0 (x) ,U ) = |a2: a2 = g (t, x, x0 (x), и (x)), и (x)eU, xe ?}, (38)

F (t,x,x0(x),U) = |«з: «з = F; (t,x,x0(x),и(x)), и(x)eU,xeTj}, (39)

f2 (t,y° (t),V) = |Pi: Pi = f2 (t,У0 (t),v(t)), v(t) e V, t e T2}, (40)

g2(t,x,/(x),V) = |P2: P2 = g2(t,x,/(x),v(x)), v(x)e V, xeT2}, (41)

F2 (t, x, y0 (x) ,V) = |Рз: P3 = F2 (t, x, / (x), v (x)), v (x)eV, xeT2}. (42)

Предположим, что эти множества при всех (t, x, x0 (x))((t, x, y0 (x))) выпуклы.

В силу предположения о выпуклости множеств (37)-(42) специальное приращение допустимого управления и0 (t) можно определить по формуле

Див (t) = и (t;s)-и0 (t), t e?. (43)

Здесь se[0,i] - произвольное число, а и (t, s) - такое произвольное допустимое управление, что для соответствующего произвольного допустимого управления и (t)

fi (t,x0(t),и(t;s))-fi (t,x0(t),и0(t}) = s[fi (t,x0(t),и(t))-fi (t,x0(t),и0(t))], (44)

gi (t, x, x0 (x), и (x; s))-gi (t, x, x0 (x), и0 (x)) = s[ gi (t, x, x0 (x), и (x))-gi (t, x, x0 (x), и0 (x))], (45) Fi (t,x,x0 (x),и (x;s)) - Fi (t,x,x0 (x),и0 (x)) = s[F (t,x,x0 (x),и (x)) - F (t,x,x0 (x),и0 (x))]. (46)

Далее специальное приращение допустимого управления v° (t) определим по формуле

Д^(t) = v(t;ц)- v0 (t), t e?2. (47)

Здесь ц e [0, i] - произвольное число, а v(t, ц) - такое произвольное допустимое управление, что для соответствующего ему произвольного допустимого управления v (t)

f2 (t, y0 (t), v (t; ц))-f2 (t, y0 (t), v0 (t)) = ц [ (t, y0 (t), v (t))-f2 (t, y0 (t), v0 (t ))], (48)

g2 (t, x, y0 (x), v (x; ц))-g2 (t, x, y0 (x), v0 (x))^ (t, x, y0 (x), v (x))-g2 (t, x, y0 (x), v0 (x))], (49) F2 (t, x, y0 (x), v (x; ц))-F2 (t, x, y0 (x), v0 (x)) = ц[F2 (t, x, y0 (x), v (x))-F2 (t, x, y0 (x), v0 (x))]. (50) Через (Д^е (t), Дуе (t)) обозначим специальное приращение траектории (x0 (t),y0 (t)), отвечающее специальному приращению (43) управляющей функции и0 (t) .

T=t

Из оценки (29), учитывая формулы (44)-(46), получаем

||ДхЕ (t)||< Це, t е Т и ^, (51)

а из оценки (36) следует, что

||ДУе^)||< Ц8е, t е Т2 и t2. (52)

Тогда из формулы приращения (28) получаем справедливость разложения

3 (и (V) + Дие (V), V0 (t)) - 3 (и0 (t), V0 (V)) =

V -1 . (53)

= -е£(Н (t,л0«),u(t),у°0 (V)) -Н (t,x0(t),иV),у°0 (V))) + о(е).

' =¿0

Теперь через (Длц (V), Душ (t)) обозначим специальное приращение траектории (л0 (V),у0 (V)),

отвечающее специальному приращению (47) управляющей функции V0 (V). При этом ясно, что

Дл (V) = 0, V е Т и ^, (54)

а из оценки (30) получаем

||ДуДV)||< Цц, V е Т2 и(55)

Принимая во внимания формулу (47) и оценку (55), из формулы приращения (28) получаем, что

3 (и (V), V0 (V ) + Д^ ))-3 (и0 (V), V0 (V )) =

4 чч (56)

= -ц£(Н2 (V,у0(V),V(V),у2 (V))-Н2(V,у0 (V),V0(V),у°2(V))) + о(ц).

г

Из установленных разложений (53) и (56) следует

Теорема 1. Если множества (37)-(42) выпуклы, то для оптимальности допустимого управления (и0 (V), V0 (V)) необходимо, чтобы неравенства

^ -1

£(Н (V,x0(t),u(t),у0(V))-Я, (V,x0(t),и0(t),у0(V)))<0, (57)

V=0 ^ -1

£(Н2 (V,у0 (V),V(V),у2 (V)) -Н2 (V,у0 (V),V0 (V),у2 (V))) < 0 (58)

выполнялись для всех допустимых управляющих функций и (V) и v(t) соответственно.

Доказанная теорема является аналогом дискретного принципа максимума для рассматриваемой задачи.

Предположение о выпуклости множеств (37)-(42) позволяет получить аналог дискретного принципа максимума, носящий глобальный характер. А без предположения о выпуклости множеств (37)-(42) в различных дискретных задачах управления можно получить результаты, носящие только локальный характер (см., напр.: [11, 13, 14]).

Заметим, что при использовании произвольности допустимых управлений и (V) и v(t) получается следствие теоремы 1, носящее точечный характер.

Теорема 2. Для оптимальности допустимого управления (и0 (V),V0 (V)) необходимо, чтобы неравенство

Н (6, л0 (0),и, у0(9)) - Н (0, л°(6),и0(9), у0 (9)) < 0 выполнялось для всех и е и и 9е Т , а неравенство

Н2(9,у0(9),V,у0(9)) -Н2(9,у0(9),у0(9),у2(0)) < 0 выполнялось для всех VеУ и 9еТ2.

Заключение

В работе исследуется одна ступенчатая дискретная задача оптимального управления, описываемая дискретными аналогами двух интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра.

С применением модифицированного варианта метода приращений получена формула для приращения критерия качества, носящего конструктивный характер.

Налагая определенные условия гладкости на данные задачи и предполагая выпуклость множеств типа допустимых скоростей рассматриваемых уравнений, с помощью специальных вариаций управляющих воздействий из установленной формулы приращения функционала качества получено необходимое условие оптимальности типа дискретного принципа максимума Понтрягина.

Список источников

1. Мансимов К.Б., Чырахова М.У. Необходимые условия оптимальности в одной дискретной ступенчатой задаче управле-

ния // Вестник Воронежского университета. Сер. Физика. Математика. 2021. № 3. С. 106-113.

2. Кадырова С.Ш., Мансимов К.Б. Об оптимальности квазиособых управлений в одной граничной задаче управления дис-

кретными системами типа Россера // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2019. № 49. С. 4-13.

3. Мамедова Т.Ф., Мансимов К.Б. Об оптимальности особых управлений в задаче управления ступенчатыми дискретными

двухпараметрическими системами // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2018. № 42. С. 12-22.

4. Гараева Э.А., Мансимов К.Б. Необходимое условие оптимальности в задаче управления с дискретным временем при не-

дифференцируемом критерии качества // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2017. № 38. С. 4-10.

5. Розова В.Н. Оптимальное управление ступенчатыми системами // Автоматика и телемеханика. 1972. № 3. С. 15-23.

6. Батурин В.А., Дыхта В.А., Москаленко А.И. и др. Методы решения задач теории управления на основе принципа расши-

рения. Новосибирск : Наука, Сиб. отд-ние, 1990. 190 с.

7. Габелко К.Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов // Автоматика и телемеханика. 1974. № 11. С. 72-80.

8. Розова В.Н. Оптимальное управление ступенчатыми системами с неинтегральным функционалом // Вестник Российского

университета дружбы народов. Сер. Прикладная математика и компьютерная математика. 2002. № 1 (1). С. 131-136.

9. Никольский М.С. Об одной вариационной задаче с переменной структурой // Вестник Московского университета.

Сер. Вычислительная математика и кибернетика. 1987. №2. С. 36-41.

10. Исмайлов Р.Р., Мансимов К.Б. Об условиях оптимальности в одной ступенчатой задаче управления // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. № 10. C. 1758-1770.

11. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В. Методы оптимизации. Минск : Четыре четверти, 2011. 472 с.

12. Souyousefain M., Leela S. Stability results for difference equations of Volterra type // Appl. Math. Comput. 1990. V. 36 (1). P. 51-61.

13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М. : Наука, 1981. 400 с.

14. Мансимов К.Б. Дискретные системы. Баку : Изд-во БГУ, 2013. 151 с.

References

1. Mansimov, K.B. & Chyrakhova, M.U. (2021) Necessary optimality conditions in one discrete stepwise control problem. Vestnik

Voronezhskogo universiteta. Ser. Fizika. Matematika - Proceedings of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics. 3. pp. 106-113.

2. Gadirova, S.Sh. & Mansimov, K.B. (2019) About optimality quasi-singular controls in one boundary control problem of Rosser

type discrete system. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 49. pp. 4-13. DOI: 10.17223/19988605/49/1

3. Mamedova, T.F. & Mansimov, K.B. (2018) On optimality of singular controls in control problem of the step discrete two-

parametric systems. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 42. pp. 12-22. DOI: 10.17223/19988605/42/2

4. Garayeva, E.A. & Mansimov, K.B. (2017) Necessary optimality condition in one discrete control problem from nondifferentiable

control cost. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 38. pp. 4-10. DOI: 10.17223/19988605/38/1

5. Rozova, V.N. (1972) Optimal control of step systems. Avtomatika i telemekhanika. 3. pp. 15-23.

6. Baturin, V.A., Dykhta, V.A., Moskalenko, A.I. et al. (1990) Metody resheniya zadach teorii upravleniya na osnove printsipa

rasshireniya [Methods for solving problems of control theory based on the principle of expansion]. Novosibirsk: Nauka.

7. Gabelko, K.N. (1974) Consistent improvement of multi-stage processes. Avtomatika i telemekhanika. 11. pp. 72-80.

8. Rozova, V.N. (2002) Optimal control of step systems with non-integral functional. Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby

narodov. Ser. Prikladnaya matematika i komp'yuternaya matematika. 1(1). pp. 131-136.

9. Nikolsky, M.S. (1987) On a variational problem with a variable structure. VestnikMoskovskogo universiteta. Ser. Vychislitel'naya

matematika i kibernetika. 2. pp. 36-41.

10. Ismailov, R.R. & Mansimov, K.B. (2006) On optimality conditions in a step control problem. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki - Computational Mathematics and Mathematical Physics. 10. pp. 1758-1770.

11. Gabasov, R., Kirillova, F.M. & Alsevich, V.V. (2011)Metody optimizatsii [Optimization Methods]. Minsk: Chetyre chetverti.

12. Souyousefain, M. & Leela, S. (1990) Stability results for difference equations of Volterra type. Appl. Math. Comput. 36(1). pp. 51-61. DOI: 10.1016/0096-3003(90)90074-D

13. Vasiliev, F.P. (1981)Metody resheniya ekstremal'nykh zadach [Methods for Solving Extreme Problems]. Moscow: Nauka.

14. Mansimov, K.B. (2013) Diskretnye sistemy [Discrete Systems]. Baku: BSU.

Информация об авторах:

Керимова Айтадж Вагиф кызы - диссертант кафедры «Математическая кибернетика» Бакинского государственного университета (Баку, Азербайджан). E-mail: [email protected]

Мансимов Камиль Байрамали оглы - профессор, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией «Методы управления в сложных динамических системах» Института систем управления Министерства науки и образования Азербайджана (Баку, Азербайджан); заведующий кафедрой «Математическая кибернетика» Бакинского государственного университета (Баку, Азербайджан). E-mail: [email protected]

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Karimova Aitaj V. (Post-graduate Student, Department of Mathematical Cybernetics, Baku State University, Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected]

Mansimov Kamil B. (Professor, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Laboratory "Control Methods in Complex Dynamic Systems" of the Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan); Head Department of Mathematical Cybernetics, Baku State University, Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected]

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 30.05.2023; принята к публикации 08.12.2023 Received 30.05.2023; accepted for publication 08.12.2023