Анализ затрат предприятия с помощью вейвлет-преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

46 (349) - 2013

Экономикд-математическде моделирование

Economic-mathematicaC modeting

УДК 519.6:517.44+658.15

анализ затрат предприятия

с помощью вейвлет-преобразований

analysis of costs of the enterprise using wavelet-transform

Артур Александрович МИЦЕЛЬ,

доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем управления, Томский государственный

университет систем управления и радиоэлектроники; профессор кафедры высшей математики и математической физики, Национальный исследовательский Томский политехнический университет E-mail: [email protected] Алеся Николаевна ШЕМЯКИНА, E-mail: [email protected]

В статье изложен метод анализа экономических показателей с использованием вейвлетов. С помощью дискретной вейвлет-фильтрации произведена декомпозиция экономического временного ряда, выявлены локальные особенности. На основе вейвлет-преобразований и регрессионного анализа составлен прогноз экономических показателей. Результаты приведены на примере затрат одного из филиалов ООО «Газпром трансгаз Томск».

Ключевые слова: временной ряд, дискретное вейвлет-преобразование, спектр, тренд, сезонность, шум.

Arthur A. MITSEL',

Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Automated Control Systems, the Tomsk State University of Control

Systems and Radio Electronics; Professor of the Department of the Higher Mathematics and Mathematical Physics, the National Research Tomsk Polytechnic University E-mail: [email protected] Alesia N. SHEMIAKINA E-mail: [email protected]

In the article the method of the analysis of economic indicators with use wavelet is presented. Using of a discrete wavelet - filtration decomposition of an economic temporary row is made, local features are revealed. On the basis of wavelet transformations and regression analysis the forecast of economic indicators is made. The results are given on the example of expenses JSC «GazpromTransgazTomsk» branches

Keywords: time row, discrete wavelet - transformation, range, trend, seasonality, noise.

Введение

Основная информация о динамических экономических системах содержится в одномерных временных рядах экономических показателей, при этом шаг дискретизации может составлять минуты, часы,

дни, недели, месяцы, кварталы, годы. Выбор шага дискретизации зависит как от вида экономической системы, так и от цели исследования. Так, при изучении фондового рынка исследования курсовых колебаний ценных бумаг могут проводиться и с ежеминутными данными, и с ежедневными данными.

Краткосрочный анализ деятельности предприятия, как правило, проводится на данных с наименьшим шагом дискретизации, равным одному дню. Для долгосрочного анализа финансового состояния предприятий используют ежемесячные данные. В статье авторы используют доступные в Интернете экономические показатели с наименьшим шагом дискретизации - один месяц.

Для анализа и количественного прогноза экономических показателей необходимо в том или ином виде сформировать модель динамической системы. В простейшем случае - по ее одномерной реализации.

Проблема анализа экономических показателей в виде сложных нестационарных рядов встречается в источниках [2, 11, 16, 18, 19], где основная цель работ состоит в том, чтобы одномерный временной ряд представить в виде набора компонент, а именно, в выделении циклических составляющих. В этом случае формирование модели ряда состоит в его декомпозиции на соответствующие компоненты.

Чтобы выделить из временного ряда циклические составляющие, оценивают спектр этого временного ряда после вычета тренда. Обычно для оценки спектра применяют фурье-анализ или вейвлет-анализ. В данной работе используются вейвлет-преобразования.

Вейвлет-анализ широко используется в различных областях науки и техники, таких как сейсмология, анализ речи, обработка изображений, изучение мультифрактальных объектов, разных сигналов в медицине (ЭКГ). Это можно встретить в работах [1, 8, 17].

В экономике применение вейвлет-преобразо-вания представлено в работах [4, 15].

Вейвлеты - это обобщенное название семейства математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых все функции получаются из одной базовой (порождающей) посредством ее сдвигов и растяжений по оси времени. Таким образом, главная особенность вейвлетов -это двумерная развертка сигнала, причем время и частота -независимые переменные.

Вейвлет-анализ (ВА) применяется для обработки неста-

1-

0,5-

-0,5

ционарных высокочастотных сигналов, методы вейвлет-анализа хорошо описывают локальные особенности сигналов (скачки, аномальные наблюдения и т. п.). Вейвлет-анализ успешно применяется для фильтрации широкого класса помех, анализа сложных особенностей сигналов, их объединения и разделения.

Постановка задачи

На первом этапе необходимо провести декомпозицию экономического временного ряда с помощью вейвлет-преобразования.

Пусть у = {уп, п = 0,1,..., Ь - 1} - временной ряд с расстоянием между отсчетами т. е. частота дискретизации составляет / = 1 / Будем считать, что Ь = 2/ J е N.

В зависимости от вида сигнала и от того, чего аналитик хочет добиться, выбирается вейвлет-фун-кция. В данном случае для очистки сигнала от шума авторы используют вейвлет Добеши 4 (рис. 1). Ее используют при дискретном анализе, она проста в использовании, обеспечивается принципиальная возможность реконструкции сигналов и функций. Обозначим ^ = (Ь00 а00 а10, а11 а20,..., а23,...,

а а

ы/- 1,0'"' "/- 1,2

/-1

1) - вектор коэффициентов, подсчитанных с помощью прямого дискретного вей-влет-преобразования (ПДВП) по ряду у. По этим коэффициентам с помощью обратного дискретного вейвлет-преобразования можно однозначно восстановить временной ряд. Если положить Ь0 0 равным нулю, все остальные вейвлет-коэффициенты оставить без изменений и сделать обратное дискретное вейвлет-преобразование (ОДВП), то результат будет такой же, как если из ряда у вычесть полиноми-

2 3 4 5

Рис. 1. Вейвлет Добеши 4

альный тренд степени N — 1. Напомним также, что для широкого класса стохастических процессов с хорошей точностью можно считать, что вейвлет-коэффициенты а. независимы и распределены как

Для удобства будем это обозначать записью ^ = Ж (у), а обратное ОДВП будем обозначать записью

У = Ж».

Энергия ряда на уровне разрешения. определяется выражением

21 -1

Р = !<

(1)

-г=г'

(2)

. =

0,

а

1 ,*'

1 = 0,1,..., .2 - 1 ] к = к - 1, j2,..., 7 - 1

а. + Ъ 1,"

а(2) =-п— а,

Ьп , г. 1

а + К 1,

где коэффициенты апи Ъ — = 0,1,..., 2 - 1 вычисляются по формулам:

К = (а

а- = а г -

4—2

2 2 2 + а

1+1,[2п] .+1,[2п+1]

)/2.

Определим дискретный вейвлет-спектр (ДВС) как вектор размерности. + 1, равный Р(К20, Ро, Р,...р-1).

Здесь .-я компонента ДВС показывает, сколько энергии временного ряда содержится в указанном отрезке частот.

Предположим, необходимо разделить временной ряд длины Ь = 21, . е N на составляющие (циклическую и трендовую). Для этого на основе вейвлет-коэффициентов w = W (у) подсчитывается ДВС. Пусть, например, ДВС имеет два пика на уровнях разрешения. и.2 > .1 + 2. Разделим вектор коэффициентов w на два вектора коэффициентов w1 и w2 одинаковой с вектором w длины по формулам: 1 = 0,1,... 11 +1 1 к = Л + 2,..., 7 -1/'

Ъ(1) = ъ • Ъ(2) = 0 "0,0 "0,0 > 0,0

После этого подсчитываем ОДВП векторов

12

w1 и w2, т. е. выделяем две искомые составляющие у (1) = (1)) и у (2) = W_1(w (2)). Трудности возни-

кают, если, например, .2 = .1 + 2, т. е. когда между пиками ДВС нет промежутка. Необходимо решить, какому именно из векторов ^ (1) или w (2)) приписать коэффициенты, у которых значение уровня разрешения равно. = .1 + 1. Предлагается использовать следующий подход.

Пусть 1 такой уровень разрешения, что энергия этого уровня разрешения Р1 заключена между двумя пиками ДВС. Вейвлет-коэффициенты припишем векторам w (1) и w (2) по следующему правилу:

(1) а-а.' = 1,п

При таком подходе а.п + а® = а. п, т. е. векторы w (1) и w (2) остаются аддитивными: w (1) + w (2) = w. Это очень важно, так как выделяемые компоненты тоже будут аддитивными у (1) + у (2) = W_1(w (1)) + + (2)) = у.

Стоит отметить, что масштабные коэффициенты Ъ.п несут информацию о трендовом, глобальном поведении сигнала, в то время как вейвлет-коэффи-циенты а. п несут информацию о локальном отклонении сигнала от тренда [4, 5].

Декомпозиция экономического ряда затрат предприятия

Проведем декомпозицию временного ряда общих затрат предприятия. Исходными данными будут служить помесячные данные общих эксплуатационных затрат с 2008 по 2013 г. одного из филиалов ООО «Газпром трансгаз Томск». Выборка состоит из 72 значений затрат. Однако для дискретного вейвлет-преобразования обязательным условием является представление ряда в виде 2/ элементов, где 7 - целое число. Были выбраны 26 значений затрат предприятия. Этот временной ряд представлен на рис. 2.

На исходном графике (см. рис. 2) видно, что присутствует циклическая составляющая. Пики приходятся на четвертые кварталы, на конец года, что можно объяснить тем, что именно в конце года происходят такие мероприятия, как капитальный ремонт транспорта, в конце года выплачиваются социальные выплаты работникам и т. п.

Расчет вектора вейвлет и масштабных коэффициентов w с помощью прямого вейвлет-преобразо-вания проводился в пакете Mathcad 15. Был выделен дискретный вейвлет-спектр сигнала согласно формуле (1), который представлен на рис. 3.

Анализ рис. 3 показывает, что ДВС имеет пики при 1 = 0 и 1 = 3. Проведем разделение вектора на три вектора w (1), w (2), w (3) при. = 0, 2, 4 по формулам (2). Причем данные векторы имеют ту же длину,

2

III1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

х

и

о

х

и

о

О о сч сч сч

© сч © сч © сч © СЧ © СЧ © сч © сч © сч

« я 2 Л л <о Л % а >5 Л л <о Л % а >5 Л л <о с*

I и о X и и х и и

64 <

Рис. 2. Затраты предприятия с января 2008 г. по апрель 2013г., млн руб.

Р

Рис. 3. Дискретный вейвлет-спектр затрат предприятия

1 I мм ММ ММ М 1 II 1 П 1 II II II 11111 1 1 1 1 1 II 1111 1 1 1 111 м 1 м 11 м 111

со со со © © © сч <N1 сч го

© © © © © © © © © © © © © О © © ©

сч сч сч сч сч сч сч сч СЧ сч сч сч сч <N1 сч сч сч

А >5 Л Л >5 Л Л >5 Л Л >5 Л Л « Л Л х

£ а ю к Л а ю к те а ю к Л а 1 Л а 1 Л а !з

X * X и £ X и £ X и £ х и £ х и £ 1

о О и и и

Исходный сигнал Трендовая составляющая

Рис. 4. Исходный ряд и трендовая составляющая затрат, млн руб.

что и вектор вейвлет-коэффициентов м. Проведя обратное ДВП векторов м (1), w (2) и w (3), получим составляющие сигнала Т = (1)), 7 = 1, 2, 3. Графики этих векторов представлены на рис. 4-6.

Видно, что первая составляющая указывает на бизнес-цикл или трендо-вую составляющую (см. рис. 4). Это можно объяснить тем, что именно в м (1) приписан коэффициент Ь0 0, который, как отмечалось ранее, отвечает за тренд. В остальных случаях этот коэффициент был обнулен.

Составляющая Т(2) (см. рис. 5) представляет собой более высокочастотные (сезонные) колебания.

Составляющую Т(3) можно рассматривать как шумовые колебания, обусловленные больше какими-то локальными событиями, произошедшими за конкретный месяц, не поддающиеся учету и регистрации (см. рис. 6).

Это хорошо иллюстрирует график суммы компонент Т (1) и Т (2) и исходный временной ряд (рис. 7). Получена более сглаженная кривая, не включающая шумовые колебания.

Данный метод разложения исходного ряда помогает не только наглядно просмотреть закономерности изменения значений, но и прогнозировать данные. Если каждую составляющую спрогнозировать с помощью регрессионного анализа, сложить, мы получим будущие прогнозные данные исходного ряда.

Прогноз затрат предприятия

Прогноз трендовой и циклической составляющих затрат предприятия будем строить на период с мая 2013 г. по апрель 2014 г.

Прогноз трендовой составляющей. Прогнозная модель строится на основе коэффициентов трендовой составляющей вейвлет-преобразования.

" }

5

0

2

80 т 70 60 50 40 30 20 10 0 -10

1 1 1 1111 1111 11111 11111 1111 гтл СО -гп СО

о о о о о о о о

л ж л л ж л л

а си а си а -

¡¡с £ 1 ю »1 ¡¡С £ 1 ю »1 £ и &

* I и * I и * <

Исходный сигнал ~™ Циклическая составляющая

Рис. 5. Исходный ряд и циклическая составляющая затрат, млн руб.

80 -I.........................................................................................................................................................................................................................................................................

50 40 30 2010 0

-

111111111111111111111111 ■ 1111 ■ 11111111111

со СО

о о о

г^ гч

5К л о* ю Л 2 л

§ и л

I и <

Исходный сигнал

Шумовая составляющая

Рис. 6. Исходный ряд и шумовая составляющая затрат, млн руб.

II1II 1111 11111 1111 III 11111111 11111 1 1 1 1 1

о о ^ со со

о о о о о о о о о о

X а ю »1 Ё и О л си 2 £ * л о* ю »1 I и о й « О. СС * л о* ю »1 I и о л Си 2 £ * £

3 1 и & <

" Исходный сигнал Сумма составляющих Т*1-1 и Т®

Рис. 7. Сравнение суммы составляющих Т (1) и Т (2) с исходным рядом затрат, млн руб.

В качестве регрессионной модели выбрано уравнение Ух = 29 890 + + 441,82Г - 4,113Г2.

Поиск коэффициентов уравнения регрессии осуществлялся с помощью метода наименьших квадратов. Процедура поиска была реализована в Mathcad.

Коэффициент детерминации построенной модели Я2 = 0,92, ^-статистика Фишера равна 332 при теоретическом значении, равном 3,15 (уровень значимости а = 0,95)' значения ¿-статистики для коэффициентов модели равны соответственно: ¿1 = 15, ¿2 = 9 (теоретическое значение ¿-статистики Стьюдента при уровне значимости 0,95 ¿Т = 1,67).

Значимость коэффициента детерминации подтверждается по статистике Фишера - Снедекора - FSш¡бл = 350,75 при теоретическом значении 3,15 при уровне значимости 0,95.

После проверки адекватности модели необходимо проанализировать остатки

е = у"у,

где у - эмпирические данные.

Проверим гипотезу о нормальном распределении остатков с помощью критерия Пирсона. Остатки распределены нормально с вероятностью 95 %. Проверка реализована в программе Statistica.

Таким образом, можно сделать вывод о значимости всех полученных коэффициентов и модели в целом, и, следовательно, использование модели в расчетах статистически обоснованно.

На рис. 8 приведен прогноз трен-довой составляющей затрат на 12 мес. (номера месяцев с 65 по 76). Здесь же приведен коридор ошибок. Видно, что с увеличением периода прогноза коридор ошибок растет.

Прогноз сезонной составляющей. Прогнозная модель строится на основе коэффициентов сезонной составляющей вейвлет-преобразования.

В качестве регрессионной модели было подобрано следующее уравнение:

45-1

40

35-

30

25'

------- —Г""

..........

......л<>................................................................................................................................................................................................................................

✓ * о*

64 70 76

1 4 7 10 16 22 28 34 40 46 52 58

О Эмпирические данные Линия регрессии ...... Прогнозные данные ----Коридор ошибок

Рис. 8. Прогноз трендовой составляющей затрат на 2013-2014 гг, млн руб ~к(Г -12,46)

Номер месяца

Модель прогноза сезонной составляющей на 12 мес. (с мая 2012 г. по апрель 2013 г.) приведена на рис. 9.

Коэффициент детерминации построенной модели Я2 = 0,89.

Оценка дисперсии ошибок модели: с = 2 870 при уровне значимости 0,9; ^-статистика Фишера для полученной модели равна 40,3 при теоретическом значении, равном 1,95 (уровень значимости а = 0,95); теоретическое значение

У2 = 0,735 - 5 079^

+10 65Ып +4 7^т -4 803sin

- 23,09) 7,975 к(Г - 29,15)'

4,536 к(Г - 37,37) 8,106

+4 435sin

1617cos

- 2 077^

- 2 665cos

к(Г - 51,36) 4,423

8,146

к(Г - 25,25)

6,665 к(Г - 47,66) 11,66 к(Г - 64,23)' 6,239

где ^ - время, отсчитываемое от января 2008 г., мес. 15-

¿-статистики Стьюдента при уровне значимости равно 0,95, ¿Т = 2,0003, а полученные значения ¿-статистики для коэффициентов модели равны соответственно: ¿п1 = 3,5; Iп2 = 4,3; ¿п3 = 5,6; = 4; I, = 9,8; I = 5,6; I . = 4,8; I в = 3; = 8,8; = 5,3.

п5 ' ' п6 ' ' п7 ' ' п8 ' п9 ' ' п10 '

Значимость коэффициента детерминации подтверждается. Наблюдаемое значение ^^набл = 42,882 при теоретическом значении 1,9 и уровне значимости 0,95. Таким образом, можно сделать вывод о значимости всех полученных коэффициентов и модели в целом. То есть использование модели в расчетах статистически обоснованно.

После проверки адекватности модели необходимо проанализировать остатки

I I I I I I I I I I I I I I I м I I I I I I I

1 4 7 10 16 22

I I I I I I I I I I I I I I I I

28 34 40 46

..............................Н0Мер

месяца

52 58 64 70 76

О Эмпирические данные Линия регрессии ...... Прогнозные данные ----Коридор ошибок

Рис. 9. Модель прогноза сезонной составляющей затрат на 2013-2014 гг., млн руб.

8 = у - у, 55Т

где у - эмпирические данные.

Гипотеза о нормальном распределении остатков также подтверждается с вероятностью 95 %.

Анализ результатов

Построив регрессионные модели составляющих затрат и спрогнозировав их, была построена прогнозная модель затрат предприятия на период с мая 2012 г. до мая 2014 г. Эта модель (рис. 10) имеет вид

1 = 29 890 + 441,8Г - 4,113г2 -

О Реальные данные — Прогнозные данные

IX X XI XII

----Коридор ошибок

Рис. 10. Модель для прогноза затрат предприятия на 12 мес. (май 2012 г. - апрель 2013 г.), млн руб.

-5 079^

+1617008

-2 077гоз

-2 665008

-12,46) 8,146 ~к(Г - 25,25)

6,665 ~к(Г - 47,66)" 11,66 к(Г - 64,23) 6,239

-10 65Ып

-4 7148т

- 4 803sin

-4 4358т

- 23,09) 7,975 к(Г - 29,15)"

4,536 к(Г - 37,37)" 8,106 ~к(Г - 51,36) 4,423

Анализ рис. 10 показывает, что фактические значения операционных затрат в апреле и мае 2013 г. попадают в доверительный интервал прогноза, что подтверждает качество построенной модели. С вероятностью Р = 81 % прогноз верен.

Заключение

Основным источником информации о краткосрочных тенденциях в экономике являются временные ряды статистических показателей поме-

сячной динамики. Однако сопоставление уровней таких рядов обычно не позволяет делать выводы о краткосрочных тенденциях непосредственно, без проведения расчетов. Причина в том, что эти временные ряды содержат календарные, сезонные и нерегулярные (шумовые) составляющие, не несущие информации о краткосрочных тенденциях и затрудняющие идентификацию последних. Для анализа краткосрочных тенденций экономической динамики ряды должны быть подвергнуты обработке с целью удаления из них этих составляющих [15].

В работе представлена методика применения вейвлет-фильтра Добеши для выделения циклических переменных. По одному наблюдаемому временному ряду авторы восстановили три ненаблюдаемых, соответствующих тренду, календарной и нерегулярной составляющих динамики затрат предприятия. Полученные результаты дают возможность выявить локальные особенности временного ряда и получить более точную информацию для стратегического планирования. С помощью методов статистического анализа был составлен прогноз затрат предприятия на следующий год.

Список литературы

1. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // Успехи физических наук. 1996. Т. 166. Вып. 11. С. 1145-1170.

2. Бессонов В. А. Введение в анализ российской макроэкономической динамики переходного периода. М.: Институт экономики переходного периода, 2003. 152 с.

3. Бессонов В. А., Петроневич А. В. Сезонная

корректировка как источник ложных сигналов. М.: ВШЭ, 2013.

4. Бурнаев Е. В. Применение вейвлет-преоб-разования для анализа экономических временных рядов / Математическое моделирование развивающихся экономических систем // В сб. научн. трудов летней школы по экономико-математическому моделированию ЭКОМОД-2006. Киров: ВятГУ, 2006. С. 95-170.

5. Бурнаев Е. В., Оленев Н. Н. Мера близости для временных рядов на основе вейвлет-коэффи-циентов // Тр. XLVIII научн. конф. МФТИ. Долгопрудный: ФУПМ, 2005. С. 108-110.

6. Витязев В. В. Вейвлет-анализ временных рядов. СПб: СПбГУ, 2001. 58 с.

7. ВоскобойниковЮ. Е. ГочаковА. В., КолкерА. Б. Фильтрации сигналов и изображений: фурье и вейв-лет-алгоритмы (с примерами в Mathcad): монография. Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2010. 188 с.

8. Гончаров А. А. Использование вейвлетов при построении моделей объектов управления с нерегулярным измерением выхода // Моделирование систем. 2013. № 1.

9. Губанов В. А. Выделение нестационарной циклической составляющей из временных рядов. URL: http://www.ecfor.ru/pdf.php?id=books/sa2006/07.

10. Губанов В. А. Выделение тренда из временных рядов макроэкономических показателей // Научые труды ИНПРАН. М.: МАКС Пресс, 2005.

11. Губанов В. А. Оценка и прогноз конъюнктурных циклов в трендах экономических временных рядов // Науч. тр. ИНПРАН. 2006. Т. 4. С. 154-175.

12. Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: СОЛОН-Р, 2002. 448 с.

List of references

1. Astaf'eva N.M. Wavelet - analysis: bases of theory and examples of application [Veivlet-analiz: osnovy teorii i primery primeneniia], Successes of physical sciences - Uspekhi fizicheskikh nauk, 1998, no. 11, pp. 1145-1170.

2. Bessonov V. A. Introduction to Analysis of Russian Macroeconomic Dynamic of Transitional Period [Vvedeniye v Analiz Rossiyskoy Makroekonomicheskoy Dinamiki Perekhodnogo Perioda]. Moscow: the Institute of Transitional Period Economic, 2003, p. 152.

3. Bessonov V. A., Petronevich A. V. Season correction as source of false signals [Sezonnaya Korrektirovka kak Istochnik Lozhnykh Signalov]. Moscow: Economic High School, 2013.

4. Burnayev E. V. Wavelet - transformation application for analysis of economic temporary ranks [Primeneniye Veyvlet-Preobrazovaniya dlya Analiza Ekonomicheskikh Vremennykh Ryadov], Mathematical modeling of developing economic systems - Matem-aticheskoe modelirovanie razvivaiushchikhsia ekonomicheskikh sistem, Sb. nauchn. trudov letnei shkoly po ekonomiko-matematicheskomu modelirovaniiu EK0M0D-2006, Kirov, ViatGU, 2006, pp. 95-170.

13. Дьяконов В. П. MATLAB. Обработка сигналов и изображений: отец. справочник. СПб: Питер, 2002. 608 с.

14. Короленко П. В., Рыжикова Ю. В. Моделирование и обработка случайных сигналов и структур: учеб. пособие. М.: МГУ, 2012. 67 с.

15. Огородов А. П. Применение теории вейвлет-преобразования в исследовании финансовых рядов. URL: http://fetmag. mrsu. ru/2009-3/pdf/Financial_ transient_series. pdf.

16. Садовникова Н. А, Шмойлова Р. А. Анализ временных рядов и прогнозирование: учеб. пособие. М.: МЭСИ, 2001. 67 с.

17. Солодчук А. А. Исследование суточного хода геоакустической эмиссии на озере Микижа в период 2006-2007 гг. URL: http://www. kscnet. ru/ivs/publication/young_conf/2008/2/art15.pdf.

18. Butter F. A. G. den, Fase M. M. G. Seasonal Adjustment as a Practical Problem. N. -Y.: Elsevier Science Publisher, 1991.

19. Gomez V., Maravall V. Estimation, Prediction, and Interpolation for Nonstationary Series With the Kalman Filter // Journal of the American Statistical Association. June 1994. Vol. 87. No. 426.

5. BurnayevE. V, OlenyevN.N. Proximity measure for temporary ranks on basis wavelet coefficients [Mera blizosti dlia vremennykh riadov na osnove veivlet koeffitsientov], Nauchnoy konferentsii MFTI - Works from XLVIII Science Conference, Dolgoprudny, 2005, pp.108-110.

6. Vityazev V. V. Wavelet analysis of time series [Veyvlet-analiz Vremennykh Ryadov], St Peterburg, 2001. 58 p.

7. Voskoboynikov Yu. Ye, GorchakoA. V., Kolker A. B. Filtering of signals and images: fourier and wavelet algorithms (with examples in Mathcad) [Filtratsii Signalov i Izobrazheniy: Furye i Veyvlet Algoritmy (s Primerami v Mathcad]. Novosibirsk: (Sibstrin), 2010, 188 p.

8. Goncharov A.A. Using wavelet for developing models of managing objects with irregular output measuring [Ispolzovaniye VeyvletovPri PostroeniiModeley Obyektov Upravleniya s Neregulyarnymi Izmeneniyami Vykhoda], Modelirovanie system - Modeling Systems, 2013, no. 1.

9. Gubanov V. A. Allocation of non-stationary cyclic component from temporary ranks [Vydeleniye Nestatsionarniy Tsiklicheskoy Sostavlyayushchey iz Vremennykh Ryadov]. URL: http://www. ecfor. ru/pdf. php?id=books/sa2006/07.

10. Gubanov V A. Trend allocation from temporary ranks of macroeconomic indicators [Vydeleniye Trenda iz Vremennykh Ryadov Makroekonomicheskikh Poka-zateley], Scientific Works INPRAN. Moscow: MAKS-press, 2005.

11. Gubanov V. A. Valuation and forecasting of opportunistic cycles in trends of economic time series [Otsenka i Prognoz Konyukturnykh Tsiklov v Trendakh Ekonomicheskikh Vremyannykh Ryadov], Scientific works, 2006, vol. 4. pp. 154-175.

12. Dyakonov V. P. Wavelets. From the theory to practice [Veivlety. Ot teorii k praktike]. Moscow: SOLON-R, 2002, 448 p.

13. Dyakonov V. P. MATLAB: Developing of signals and images [MATLAB: Obrabotka Signalov i Izobrazheniy], Special handbook. St Petersburg, 2002, 608 p.

14. Korolenko P. V., Ryzhikov Yu, V. Modeling and processing of casual signals and structures [Modelirov-aniye i Obrabotka Sluchaynykh Signalov i Struktur]. Moscow, 2012, p. 67.

15. Ogorodov A. P. Application of wavelet transforms theory in research of financial ranks [Primeneniye Teorii Veyvlet Preobrazovaniya v Issledovanii Finan-sovykh Ryadov]. URL: http://fetmag. mrsu. ru/2009-3/pdf/Financial_transient_series. pdf.

16. Sadovnikova N. A., Shmoilova R. A. Analysis and forecasting of time ranks [Analiz Vremyannykh Ryadov i Prognozirovanie]. Moscow, MESI, 2004.

17. SolidchukA. A. Research of daily run of geoa-coustic emission on Mikizha Lake in period 2006-2007 [Issledovaniye Sutochnogo Khoda Geoakusticheskoy Emissii na Ozere Mikizha v Period 2006-2007]. URL: http://www. kscnet. ru/ivs/publication/young_ conf/2008/2/art15.pdf.

18. Butter F. A. G. den, Fase M. M. G. Seasonal Adjustment as a Practical Problem. N. -Y. : Elsevier Science Publisher, 1991.

19. Gomez V. , Maravall V. Estimation, Prediction, and Interpolation for Nonstationary Series With the Kalman Filter, Journal of the American Statistical Association June, 1994, Vol. 87, no. 426.

60

3K0H0MMHECKMM AHAJ1M3: WSOPTtSl it