CC BY
32
Вычислительные технологии
Том 13, Специальный выпуск 5, 2008
Анализ временного отклика в несогласованных многосегментных линиях связи
К. Е. Афанасьев, Е.А. Вершинин, С.Н. Трофимов Кемеровский государственный университет, Россия e-mail: keafa@kemsu.ru, keen@kemsu.ru, sergei@kemsu.ru
This work addresses a problem arising in analysis of the multiwire transmission lines — computation of the transient response in mismatched transmission lines. The analysis is carried out by the TVD-scheme of the Godunov method, well-proven for a large class of problems of gas dynamics, theory of shallow water, magnetohydrodvnamics.
Введение
Использование параллельных проводников для передачи сигналов имеет длинную историю и огромное количество приложений в современной технике. С ростом плотности монтажа и быстродействия устройств появилась необходимость моделирования все более сложных и тонких процессов в линиях передачи сигналов. Это привело к усложнению и удорожанию изготовления экспериментальных макетов, необходимости точного и дорогого измерительного оборудования, росту требований к квалификации исследователя-экспериментатора. Широкое распространение вычислительной техники, резкий рост ее производительности, а также возможность быстрого получения вычисленных характеристик для любых параметров проводников, изменяющихся в самых широких диапазонах, сделали численное моделирование несравнимо эффективнее экспериментального. Одной из таких задач является анализ временного отклика в несогласованных многосегментных линиях передачи, искажение сигнала в которых может привести к некорректному поведению радиоэлектронного оборудования. Теоретическим основам и вычислительным моделям посвящено огромное число публикаций, среди них можно выделить работы как зарубежных авторов (А. Джорджевич, Ф. Теше, М, Нак-хла и др.), так и отечественных (Л.Н. Кечиев, Н.Д. Малютин, Т. Р. Газизов и др.).
1. Постановка задачи
Переходные процессы в линиях передачи описываются обобщенными телеграфными уравнениями. Для N проводников система уравнений имеет вид
д д
дх к ' ; дЬ т
дд —1(х,г) = -с и(х,г) - с—и(х,г),
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2008.
где В, Ь, С, С — матрицы параметров проводников. Первая пара слагаемых в системе (1) описывает процесс распространения электромагнитного поля, вторая — взаимодействие между проводниками [1].
Граничные условия для ^'-го сегмента имеют вид
и;=(пкг)и0\ =
/ 7 _ +(2)
где Кг — коэффициент преломления в г-м узле; О,- — коэффициент отражения в ]-ш узле; — характеристическое сопротивление г-го сегмента.
2. Метод Годунова
Поскольку процессы в проводных структурах описываются системой гиперболических уравнений, для анализа временного отклика в несогласованной линии может быть использован метод Годунова, В основе метода лежит идея использования точных решений уравнений с кусочно-постоянными начальными данными для построения разностной схемы [2, 3],
Для многопроводной линии без потерь систему (1) можно записать в виде
.дп ди , .
Лтй + Вт = °- (3)
где А и В — матрицы соответствующих коэффициентов, а и — вектор токов и напряжений.
Система (3) при этом может быть переписана в виде
А*АА^+А*ВА^ = 0, (4)
дЬ дх
где Л* — транспонированная матрица Л. Поскольку А и В — симметрические матри-
А
каноничеекому виду с диагональной матрицей М:
дь ^ дь , .
*+мт = 0' (5)
где V — вектор-функция V = Л-1и. Данная система распадается па т* независимых уравнений для отдельных компонент
= (6)
Компоненты носят название римановых инвариантов и сохраняют постоянные значения вдоль характеристик Ах/АЬ = /1т.
3. ТУБ-схема
Для повышения порядка аппроксимации решения и уменьшения нефизичных осцилляции в данной работе применяется ТУБ-схема, Значения величин на гранях вычислительных ячеек определяются с помощью реконструкции по усредненным значениям в их центрах:
1. 1
'Ь) {»X/) ^тп I )
—Ах, -Ах 2 ' 2
(7)
Задачей наклонов ат является ограничение роста осцилляций там, где это угрожает устойчивости схемы, ТУБ-схемы вместо условия сохранения монотонности уменьшают или сохраняют полную вариацию функции. Численная схема является ТУБ-схемой, если она удовлетворяет свойству
ТУ0к+1 < ТУ0к. (8)
Это означает, что сумма пространственных вариаций в среднем не должна увеличиваться, т, е, численные осцилляции не могут расти.
Построение схемы высокого порядка точности осуществляется путем сочетания использования кусочно-линейной аппроксимации величин внутри ячеек с алгоритмом двухшагового пересчета по времени [4].
Предиктор (первый шаг). Предполагается, что внутри дискретных ячеек для всех значений сеточных функций заданы кусочно-линейные распределения вида
V (Ьк, ж) = V? + а? (х - ж,), х Е
К 1 л
X] ~ 2 хз + 2
(9)
где ж, — пространственная координата центра ячейки с номером а? _ вектор наклонов распределения функции V внутри ячейки.
Уравнение для учета изменения V по времени в центре ячейки имеет вид
ук+1 -ук ^ (Ук + ±Ахак) - Р (Ук - ±Ахак) , ч -з_ + -2-3_2_-^-2-з_]_ = 0_ 10)
АЬ Ах к '
Предиктор (второй шаг). Значение функции V па промежуточном слое по времени ( + Формуле
= + (п)
Корректор. На этом шаге применяется схема (6):
^-3- + /1 32 , 3 2 = О,
где все значения определяются решением задачи Римана с кусочно-постоянными
2
начальными данными:
V, + 2 + -Аха , х]Ц < О,
7 (12)
к+х 1 к
Уз+1 ~ хЗЦ>0-
Величины наклонов ат модифицируются ограничителями, которые являются некоторыми функциями, задающими и одновременно ограничивающими наклоны ат на основе анализа значений ут или конечных разностей — ут.
В данной работе мпогосегмептпая .пиния рассматривается как набор однородных сегментов с некоторыми элементами в узлах. Граничные условия определяются дня каждого сегмента исходя из характеристик элементов в узлах и значений амплитуд сигнала, приходящих из соседних сегментов.
4. Численные результаты
Рассмотрим структуру (рис. 1), которая состоит из двух последовательно соединенных двухпроводных отрезков линий передачи |5|,
Параметры отрезка 1: I = 0.2 м; Ь11 = Ь22 = 494.6 нГн/м, Ь12 = Ь21 = 63.3 нГн/м; С11 = С22 = 62.8 иФ/м, С12 = С21 = — 4.9 иФ/м; Я11 = К22 = 0.1 Ом/м, Я12 = Я21 = 0.02 Ом/м; Оц = С22 = 0.1 См/м, С12 = С21 = —0.01 См/м.
Параметры отрезка 2: I = 0.3 м; Ь11 = Ь22 = 750 нГн/м, Ь12 = Ь21 = 95 нГн/м; С11 = С22 = 133 пФ/м, С12 = С21 = -9 пФ/м; Яп = Я22 = 75 Ом/м, Я12 = Я21 = 15 Ом/м; Си = С22 = 0.1 См/м, С12 = С21 = -0.01 См/м.
Параметры элементов цепей: Я1 = 50 Ом, К2 = К3 = К4 = 100 Ом. На один из проводников отрезка подается трапециевидный импульс с параметрами: амплитуда Е0 = 2 В, длительность вер шины ¿^ = 6 не, время фронта и спада ¿г = tf = 1 не.
Получены следующие результаты (рис. 2). Из рисунка видны удовлетворительные совпадения форм сигнала и пиковых значений напряжений. Преимущество по сравнению с другими подходами состоит в том, что, возможно, вычисление отклика выполняется в каждом узле оконечной и соединительной цепи.
НЗЬЛЛЛ^
VI
Отрезок 1 Отрезок 2
АЛАН
vз
У5
-Л/уу 0трезок 1. 0трезок2 ЛАДН
М2
У4
У6
Рис. 1. Структура из двух последовательно соединенных отрезков .линий передачи
1.4 1.2 1.0
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2
и, В
!ис
12 15 18 21
и,в
■9 3 6 9 12 15 18 21
Рис. 2. Результаты для моделирования отклика без потерь: а результат, полученный авторами статьи; б результат из работ [5 7]
Заключение
Проведено вычисление временного отклика многосегментных, многопроводных линий передачи. Выполнено сравнение полученных результатов с результатами других авторов [5-7], Отмечено удовлетворительное качественное совпадение форм сигнала, В итоге получен инструмент для исследования временного отклика фрагментов межсоединений с учетом взаимовлияний проводников.
Список литературы
fl] Achar R., Nakhla M.S. Simulation of High-Speed Interconnects // Proc. IEEE. 2001. Vol. 89, N 5. P. 693-728.
[2] Годунов C.K., Забродин A.B. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 374 с.
[3] Афанасьев К.Е., Вершинин Е.А. Моделирование помех отражения в многопроводных линиях связи // Вычисл. технологии. 2006. Т. 11, спецвыпуск. С. 117-127.
[4] Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: Физматлит, 2001. 608 с.
[5] ЗАБОЛОЦКИЙ A.M. Передача импульсных сигналов в многопроводных межсоединениях с неоднородным диэлектрическим заполнением: автореф. дис.... канд. техн. наук. Томск, 2007.
[6] Газизов Т.Р., Заболоцкий A.M. Модальные искажения импульсного сигнала в многопроводной линии передачи // Матер. 6-й Всерос. научно-практ. конф. "Проблемы информационной безопасности государства, общества и личности", Томск, 2-4 июня 2004 г. С. 125-128.
[71 Djordjevic A.R., Sarkar Т.К. Analysis of Time Response of Lossy Multiconductor Transmission Line Networks // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 1987. Vol. MTT-35, N 10. P. 898-908.
Поступила в редакцию 28 марта 2008 г.
