CC BY
56
2009
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика
№ 1(6)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.63: 519.652
К.Е. Афанасьев, Е.А. Вершинин, С.Н. Трофимов
АНАЛИЗ ПОМЕХ ОТРАЖЕНИЯ В НЕОДНОРОДНЫХ МНОГОПРОВОДНЫХ ЛИНИЯХ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ
В настоящей работе рассматривается анализ помех отражения в неоднородных многопроводных линиях передачи во временной области. Анализ проводится с помощью TVD-схемы метода Годунова. Проведено сравнение результатов численного моделирования с результатами других авторов и экспериментом. Результаты численного моделирования представлены в виде графиков для напряжений в сигнальной и пассивной линиях.
Ключевые слова: линия передачи, метод Годунова, TVD-схема.
Задача распространения сигнала вдоль несогласованных линий передач играет центральную роль в современных технологиях обработки и передачи сигналов. Скоростные аналоговые и цифровые цепи любого уровня интеграции предлагают широкий выбор примеров простых и многопроводных, однородных и неоднородных линий связи, присоединенных к устройствам с различными входными характеристиками. Понижение времени установления уровня амплитуды сигнала подчеркивает важность эффектов распространения и искажения сигналов вследствие воздействия паразитных эффектов, таких как отражение от несогласованностей, перекрестные наводки и скин-эффект, которые являются наиболее значимыми в большинстве приложений.
Одной из важных задач является анализ временного отклика в несогласованных линиях передачи, искажение сигнала в которых может привести к некорректному поведению радиоэлектронного оборудования. Теоретическим основам и вычислительным моделям посвящено большое количество публикаций, среди них можно выделить работы как зарубежных авторов (A.R. Djordjevic [1], M.S. Nakhla [2] и др.), а также отечественных (Л.Н. Кечиев [3], Н.Д. Малютин [4], Т.Р. Газизов [5] и др.).
Значительный интерес представляет анализ временного отклика в неоднородных линиях передачи, погонные параметры которых изменяются вдоль линии. Коэффициенты распространения, волновое сопротивление и фазовая скорость таких линий в общем случае являются функциями координат, а отраженные волны возникают не только на концах линий, но и во всех ее сегментах. Замещение неоднородной линии передач каскадным соединением однородных линий с различными, но постоянными в пределах каждого сегмента волновыми сопротивлениями для дальнейшего численного анализа представлено в работах зарубежных авторов (например, C.-W. Hsue [6]).
В настоящей работе проводится анализ временного отклика в многосегментной линии передачи с помощью ТУО-схем метода Годунова.
1. Постановка задачи
В общем случае Ж-проводная линия передачи сигналов описывается обобщенными телеграфными уравнениями. Система из 2Ы уравнений имеет следующий вид [7]:
-—и (х, г) = Я ■ I (х, г) + ь ■—I (х, г), дх дг (,)
—I (х, г) = и ■ о (х, г)+с — и (х, г), дх дг
где Я, Ь, С, О - матрицы собственных и взаимных параметров проводников.
В любой момент времени напряжение и ток в линии можно рассматривать как сумму напряжений и токов только двух волн - падающей (ипад), перемещающейся от источника энергии к приемнику, и отраженной, перемещающейся от приемника к источнику (иотр). Суммарное напряжение (ток) в линии представляет собой сумму всех падающих и отраженных волн. Волна, дошедшая до конца линии, отражается с определенным коэффициентом отражения, зависящим от волнового сопротивления линии и оконечной нагрузки [7].
Граничные условия системы (1) имеют вид
и- х=0 = Е- —+К ■ и-, к- = -£--------------,
-|х=0 - я„ +1, -- - я„ +1,
<5/ * <5/ *
Яп - г,
и-\х=1 = 2- и, 2- = -Ящ +
где и- - напряжение в --м проводнике, К - коэффициент отражения обратной волны от источника энергии в --м проводнике, Е- - напряжение на источнике энергии, Я& - сопротивление источника энергии, 2- - коэффициент отражения прямой волны от оконечной нагрузки в -м проводнике, Яп - сопротивление оконечной нагрузки, - волновое сопротивление --го проводника, - = 1, N .
2. Метод С.К. Годунова
Поскольку переходные процессы в проводных структурах описываются системой гиперболических уравнений, то для анализа временного отклика в несогласованной линии может быть использован метод Годунова [8]. В основе метода лежит идея использования точных решений уравнений с кусочно-постоянными начальными данными для построения разностной схемы [8]. Для многопроводной линии без потерь (Я = 0, О = 0) систему (1) можно записать в виде
Л—и + В—и = 0, (2)
дг дх
где А и В - матрицы соответствующих коэффициентов при напряжениях и токах, и - вектор-столбец напряжений и токов.
Например, для двухпроводной линии без потерь матрицы А и В будут иметь следующий вид:
( C — C ° 11 °21 0 C21 0 (0 1 0 0N
Л= 0 Ai 0 L21 , В = 1 0 0 0
C12 0 0 0 0 0 1
1 0 L12 0 L22 У v 0 0 1 0 У
Система (2) при этом может быть переписана в виде
ЛТЛЛ—U + ЛТВЛ — U = 0,
дt дх
где Лт - транспонированная матрица Л [8]. Поскольку А и В - симметрические матрицы, причем матрица А - положительно определенная, то систему (2) можно привести к каноническому виду с диагональной матрицей М :
—V + M—V = 0, dt дх
(3)
где вектор-функция К = Л~[и. Данная система распадается на т независимых уравнений для отдельных компонент у1
ду(т)
,(m) .
dt
- + Vm
3v(m)
дх
= 0.
,,(m)
Компоненты у ‘"' носят название римановых инвариантов и сохраняют постоянные значения вдоль характеристик ёх/ё = цт.
Схема, предложенная в работе [8], имеет первый порядок точности по времени и по пространству.
3. Total Variation Diminishing (TVD-схема)
Согласно современным представлениям, влияние численной диффузии на получаемое решение должно быть сведено к минимуму. При построении численных методов типа Годунова повышенного порядка точности по пространству применяются кусочно-линейные или кусочно-полиномиальные распределения функций внутри дискретной ячейки с определенными ограничениями на величины коэффициентов соответствующих полиномов. Одна из сложностей задачи построения кусочно-линейных распределений сеточных функций связана с неоднозначностью выбора величин наклонов для этих распределений.
Для повышения порядка аппроксимации решения и уменьшения нефизичных осцилляций в данной работе применяется TVD-схема метода Годунова.
Значения величин на гранях вычислительных ячеек определяются с помощью реконструкции по усредненным значениям в их центрах. Для этого задается процедура реконструкции:
u( х) = um +amX
—1 Ах, — Ах 2 2
Задачей наклонов ат является ограничение роста осцилляций там, где это угрожает устойчивости схемы. ТУО-схемы вместо условия сохранения монотонно-
сти уменьшают или сохраняют полную вариацию функции. Такое условие невозрастания вариации численного решения, или TVD принцип, является более слабым, чем требование монотонности схемы.
Полная вариация (Total Variation - TV) для дискретной функции ukm имеет вид
M M
TV [u] = TV0 = X \ukm+1 - ukm\ =YK\, A m = ukm +1 - ^m ■ m=1 m=1
Численная схема является TVD-схемой, если она удовлетворяет свойству
TV0k+1 < TV0k.
Это означает, что сумма пространственных вариаций, в среднем, не должна увеличиваться, т. е. численные осцилляции не могут расти.
Построение схемы высокого порядка точности осуществляется путем сочетания использования кусочно-линейной аппроксимации величин внутри ячеек с различными алгоритмами пересчета по времени. Используется двухшаговый пересчет предиктор - корректор [9].
Предиктор: первый шаг. Предполагается, что внутри дискретных ячеек для всех значений сеточных функций заданы кусочно-линейные распределения вида
’(tk, x ) =
= v) + аk (x-xj'
x. -1 Ax, x. +1 Ax
1 2 1 2
~ • к
где ху - пространственная координата центра ячеики с номером у, а ау - вектор
наклонов распределения функции и внутри ячейки.
Уравнение для учета изменения и по времени в центре ячейки имеет вид
Vк," - у) + (’1 + 7 Ах а)-(’1 - 7 ^-а к) = о.
Аґ Ах
Предиктор: второй шаг. Значение функции V на промежуточном слое по вре-
2-
мени t + 2 At вычисляется по формуле
vk+* = 1 (v k+1+—
Корректор: на данном шаге применяется схема (3) :
vk+1 vk V. ! - V. !
v, — v, 1 + — 1 -1
-1----j-+v——— = 0,
t h
где все значения V. x определяются решением задачи Римана с кусочно-
1 + 2
постоянными начальными данными:
Д+1 1 k
Ax а
2
V1 2 + — Ax а —, при ц< 0,
к+— 1 к У}-+12 - 2 Ах а}+1, при ц > 0.
Существует несколько способов вычисления наклонов ат в дискретной ячейке с номером т для сеточной функции V. Величины наклонов ат модифициру-
ются ограничителями ут, которые являются некоторыми функциями, задающими и одновременно ограничивающими наклоны ат на основе анализа значений ит или конечных разностей ит+1 - ит . В данной работе применяется ограничитель БирегЬее [9].
4. Неоднородные линии передачи
Неоднородной линией передачи (НЛП) называют систему, у которой вдоль некоторой выбранной пространственной координаты х изменяются характерные размеры области поперечного (по отношению к оси Ох сечения или (и) диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, заполняющей линию. Коэффициенты распространения, волновое сопротивление и фазовая скорость таких линий в общем случае являются функциями координат, а отраженные волны возникают не только на концах линий, но и во всех ее сегментах.
Общим подходом для численного анализа является замещение НЛП каскадным соединением однородных линий передачи с различными, но постоянными в пределах каждого сегмента волновыми сопротивлениями. В результате получаем многосегментную линию передачи, с собственными характеристиками каждого однородного сегмента (например, в работе С.-^ №ие [6] АЯ-процессор замещается 8-секционной эквивалентной линией передачи).
5. Многосегментность
Многосегментная линия передачи рассматривается как набор однородных сегментов с какими-либо нагружающими элементами в узлах. При анализе многосегментной линии подразделение волн на прямые и обратные оказывается недостаточным. Волна, падающая на узел соединения двух линий, имеющих разные параметры, распадается на две, одна из которых переходит из первой линии во вторую, а другая отражается от места соединения двух линий. При отражении волны от конца линии преломленной волны нет.
Граничные условия и коэффициенты отражения и преломления определяются для каждого сегмента исходя из характеристик элементов в узлах и значений амплитуд волн, приходящих из соседних сегментов:
ТI'\ = К • V'-1 + К'
| х= Хо ~ прг пад отр_у отр >
Т 1\ = К' • Т1* + К' • Т 1'+1
|х=Х{ ~ отрг * пад пр5 * отр’
где ТТ - напряжение в '-м сегменте, ипад - падающая волна в г-м сегменте, Т -отраженная волна в г-м сегменте, К'^ - коэффициент преломления для приходящей из (' -1) -го сегмента волны, К'отр^ - коэффициент отражения падающей волны от конца '-го сегмента, К'отр - коэффициент отражения отраженной волны от начала '-го сегмента, К^, - коэффициент преломления для приходящей из
(' +1) -го сегмента волны.
6. Численные результаты Пример 1. Вычислим временной отклик для схемы на рис. 1 из работы [1].
е К1
|-0-ЛЛ/У-
Т а б л и ц а 1
-АМН
Я2
ЛЛ/У-
2
3 Я4
-АМН
4
¿11 = ¿22 494,6 нГн/м
¿12 = ¿21 63,3 нГн/м
С11 = С22 62,8 пФ/м
С12 = С21 -4,9 пФ/м
Я = 50 Ом, Я2 = Я3 = Я4 = 100 Ом
Рис. 1. Линия передачи с двумя сигнальными проводниками
На активный проводник подается трапециевидный импульс с параметрами: амплитуда Е0 = 1 В, длительность вершины = 6 нс, время фронта и спада = tf = 1,5 нс (параметры линии представлены в табл. 1).
На рис. 2 представлены формы напряжений на выводах активной линии (рис. 2, а, в) и пассивной линии (рис. 2, б, г). Сплошная линия - напряжение в начале линии, штрихпунктирная - напряжение в конце линии. В пассивной линии (рис. 2, б, г) возникает наведенный сигнал, вызванный электромагнитными наводками от активной линии (сплошная линия - перекрестная помеха на ближнем конце, штрихпунктирная - перекрестная помеха на дальнем конце). Из рисунков видны хорошие совпадения форм сигнала и пиковых значений напряжения.
Рис. 2. Форма напряжений на выводах линии передачи без потерь:
а, б - результаты из работы [13]; в, г - результаты, полученные авторами статьи
Пример 2. Рассмотрим структуру, которая состоит из двух последовательно соединенных двухпроводных отрезков линий передачи (рис. 3) [1, 10].
^ Отрезок 1 Отрезок 2 ^3
Н^МЛ/Ч —7^т-\
VI У3 Л Отрезок 1
ЛМл
V2
V4
V5
Отрезок 2 Л
тр АЛАН
V6
Т а б л и ц а 2
Отрезок 1 Отрезок 2
¿11 = ¿22 494,6 нГн/м 750 нГн/м
¿12 = ¿21 63,3 нГн/м 95 нГн/м
С11 = С22 62,8 пФ/м 133 пФ/м
С12 = С21 -4,9 пФ/м -9 пФ/м
Л1 = 50 Ом, Л2 = Л3 = Л4 = 100 Ом
Рис. 3. Структура из двух последовательно соединенных отрезков
На один из проводников отрезка подается трапециевидный импульс с параметрами: амплитуда Ео = 2 В, длительность вершины = 6 нс, время фронта и
спада tr = tj■ = 1 нс (параметры линии представлены в Таблице 2).
При условии линейности нагружающих цепей были получены следующие результаты (рис. 4).
Рис. 4. Сравнение результатов для моделирования отклика без потерь: а - результат из работ [13, 5]; б - результат, полученный авторами статьи
На рис. 4 представлены формы напряжений в начале (У1), между отрезками (У3) и в конце (У5) активной линии. Вследствие несогласованности нагрузок на концах и различных характеристик отрезков линии в ней возникают отраженные волны, поэтому формы сигнала в начале линии, в месте соединения отрезков и в конце линии различны. Значения напряжения, вычисленные по описанному в статье алгоритму, с графической точностью совпадают с опубликованными результатами других авторов [1, 10].
Пример 3. Рассмотрим неоднородную линию передачи (рис. 5) из работы [6].
18,020
500 57,980 102,70 156,32 0 66,270
77,460
46,620 52,110 500
210,65
Рис. 5. 8-секционная эквивалентная ЛЯ-процессору линия передачи
мм
В линию подается импульс (рис. 6, а). На рис. 6, б представлена форма сигнала на приемнике 8-ми секционной эквивалентной AR-процессору линии передачи, полученная с помощью измерений (Real) и численного моделирования (Ideal) [6].
U, B 0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
U, B 0,4
0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6
п
0 1 2 3 4 5 t, нс
■ - Ideal — Real
I J S г'
и
_г
0 1 2
5 t, нс
Рис. 6. Форма сигнала на входе эквивалентной ЛЯ-процессору линии передачи (а); значение напряжения на конце эквивалентной ЛЯ-процессору линии передачи [6] (б); результат, полученный авторами статьи (в)
а
б
Во время прохождения сигнала по линии, при переходе из одной секции в другую, он претерпевает изменения из-за несогласованности секций между собой (различные волновые сопротивления). Форма сигнала на приемнике (рис. 6, в), полученная в результате численного моделирования прохождения сигнала в 8-ми секционной линии передачи, практически неотличима от опубликованных результатов других авторов [6].
Пример 4. Сравнение с экспериментальными данными.
Проведем сравнение с результатами экспериментальных измерений тестовых структур. Экспериментальные данные получены в лаборатории ТУСУРа с помощью программного обеспечения «ИмпульсМ» для векторного измерителя характеристик цепей Р4-И-01 [11]. На рис. 7 представлена исследуемая структура.
В линию подается тестовый сигнал «Видеоимпульс» (амплитуда - 1 В, длительность - 0,1 мкс) и «Хевисайда функция» (амплитуда - 1 В) [11]. Линия разомкнута на конце (параметры линии представлены в табл. 3).
На рис. 8 представлены результаты экспериментальных измерений напряжения в начале исследуемой структуры: рис. 8, а - на вход линии подается сигнал «Хевисайда функция», рис. 8, б - на вход линии подается сигнал «Видеоимпульс».
Т а б л и ц а 3
е Ях
Ь@-ЛЛЛ,
Отрезок 1
Отрезок 2
АЛЛ/
Отрезок 1 Отрезок 2
ь 494,6 нГн/м 750 нГн/м
с 62,8 пФ/м 133 пФ/м
Я1 = 50 Ом, Я2 = х Ом
Рис. 7. Исследуемая структура из двух последовательно соединенных отрезков
Рис. 8. Форма напряжения в начале линии (экспериментальные данные)
На рис. 9 представлена форма напряжения в начале линии при подаче в линию сигнала «Хевисайда функция» (рис. 9, а) и «Видеоимпульс» (рис. 9, б). Из рисунков видны хорошие совпадения форм сигнала и пиковых значений напряжений. Имеется хорошее качественное совпадение с экспериментальными данными, а небольшие отличия вызваны тем, что характеристики кабеля имеют допустимые отклонения (ГОСТ 11326.35-79, волновое сопротивление 50±4 Ом).
Рис. 9. Форма напряжения в начале линии (результат численного моделирования)
Я
2
Пример 5. Непараллельные проводники.
Рассмотрим перекрестную помеху в неоднородной линии, составленной из двух проводников, расположенных не параллельно друг другу (рис. 10) [12].
В активный проводник подается треугольный импульс с параметрами: амплитуда Е0 = 1 В, время фронта и спада tr = tf = 20 нс (параметры линии: I = 1 м,
радиус г = 1 мм, высота над поверхностью к = 3 см, расстояние между провод-
никами в начале В0 = 5 мм, в конце В1 = 15 мм, индуктивность и емкость изменяются по следующему закону:
¿11 = ¿22 (2-1, ¿12(х) = ¿21(х) = 7^ + -4Г— ,
2п I г 1 4п { В2 (х)
С(х) = 60Ц0¿~\.х), В(х) = В0 + х(£>! - В0)).
Рис 10. Два проводника, расположенных не параллельно друг другу
Из-за учета взаимовлияний в пассивном проводнике возникает наведенный сигнал. На рис. 11 приведена перекрестная помеха на ближнем конце: рис. 11, а -результат из работы [12], рис. 11, б - результат, полученный авторами статьи. Из рисунков видны хорошие совпадения форм сигнала и пиковых значений напряжения.
Рис. 11. Изменение напряжения в начале пассивной линии Заключение
Разработаны алгоритмические модели для вычисления временного отклика и перекрестных помех в неоднородной многопроводной линии передачи. По итогам сравнительных экспериментов показано совпадение результатов численного моделирования с расчетами других авторов [1, 6, 10, 12] и экспериментальными данными. Погрешность моделирования относительно эксперимента находится в диапазоне (3 - 8) %. На основании полученных результатов можно сделать вывод
о работоспособности алгоритма и возможности его применения в задачах анализа помех отражения и перекрестных наводок в неоднородных многопроводных линиях передачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Djordjevic A.R., Sarkar T.K. Analysis of time response of lossy multiconductor transmission line networks // IEEE Trans. Microwave Theory Techniq. 1987. V. 35. No. 10. P. 898 - 908.
2. AcharR., NakhlaM.S. Simulation of high-speed interconnects // Proc. of the IEEE. 2001. V. 89. No. 5. P. 693 - 728.
3. Князев А.Д., Кечиев Л.Н., ПетровБ.В. Конструирование радиоэлектронной и электронно-вычислительной аппаратуры с учетом электромагнитной совместимости. М.: Радио и связь, 1989. 224 с.
4. Малютин Н.Д. Многосвязные полосковые структуры и устройства на их основе. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. 164 с.
5. Газизов Т.Р. Уменьшение искажений электрических сигналов в межсоединениях / Под ред. Н.Д. Малютина. Томск: Изд-во НТЛ, 2003. 212 с.
6. Pan T.-W., Hsue C.-W. Modified transmission and reflection coefficients of nonuniform transmission lines and their applications // IEEE Trans. Microwave Theory Techniq. 1998. V. 46. No 12. P. 2092 - 2097.
7. Демирчян К.С., Нейман Л. Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: В 3 т. Учебник для вузов. Т. 2. 4-е изд. СПб.: Питер, 2006. 576 с.
8. Численное решение многомерных задач газовой динамики / Под ред. С.К. Годунова. М.: Наука, 1976. 374 с.
9. Карамышев В.Б. Монотонные схемы и их приложения в газовой динамике: Учебное пособие. Новосибирск, 1994. 100 с.
10. Заболоцкий А.М. Передача импульсных сигналов в многопроводных межсоединениях с неоднородным диэлектрическим заполнением: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Томск, 2007.
11. Лощилов А.Г., Семенов Э.В., Малютин Н.Д. Цифровой измерительный комплекс для измерения частотных и импульсных характеристик четырехполюсников // Изв. Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. №. 8. С. 37 - 41.
12. Grivet-Talocia S., Canavero F. Weak solution of the nonuniform multiconductor transmission lines // Electromagnetic Compatibility. 1998. V. 2. P. 964 - 968.
Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета и оргкомитетом VII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование». Поступила в редакцию 21 ноября 2008 г.
