Анализ влияния изменений экономической политики в отношении инвестиций на инвестиционную стратегию фирмы Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Матвеев Р.И. Анализ влияния изменений экономической политики в отношении инвестиций на инвестиционную стратегию фирмы Дата: 16/10/2010 Номер: (24) УЭкС, 4/2010

Аннотация: Построена стохастическая модель инвестиционного процесса в

непрерывном времени с учетом неопределенности спроса, позволяющая учесть влияние изменений экономической политики в отношении инвестиций на инвестиционную стратегию фирмы в условиях, когда фирма располагает неполной информацией относительно инвестиционной политики органов власти.

Ключевые слова: стохастическая модель, неопределенность, инвестиционная

политика, оптимизация

Abstract: We develop a stochastic model of an investment process in continuous time taking account of a demand uncertainty, which allows for the impact of economic policy change on investment behavior is analyzed under the conditions, when the firm has incomplete information concerning investment policy of authorities.

Keywords: stochastic model, uncertainty, investment policy, optimization

Матвеев Роман Иванович, кандидат экономических наук, доцент Кисловодского института экономики и права

in63@mail.ru

Выходные данные статьи: Матвеев Р.И. Анализ влияния изменений экономической политики в отношении инвестиций на инвестиционную стратегию фирмы // Управление экономическими системами: электронный научный журнал, 2010. - № 4 (24). - № гос. рег. статьи 0421000034/0138. - Режим доступа к журн.:

http://uecs.mcnip.ru.

Введение

Когда изменение экономической среды отражает новую экономическую политику, вводимую органами власти, естественно допустить, что фирма имеет некоторые предположения относительно ожидаемого момента введения изменений. Если, например, изменения экономической политики касаются изменения инвестиционной налоговой скидки, разумно ожидать ее снижения в периоды экономического подъема, когда активная проинвестиционная политика неактуальна, и повышения в периоды экономического спада для стимулирования инвестиций [1,2].

В настоящей работе предложен метод моделирования воздействия изменения экономической политики на инвестиционную стратегию фирмы, учитывающий тип информации, которой обладает фирма при принятии инвестиционного решения. В

предлагаемом подходе субъективное ожидание, касающееся момента изменения инвестиционной политики, а также степень неточности такого предположения являются входными параметрами. В построенной ниже модели изменение инвестиционной политики происходит при достаточно высокой реализации стохастического процесса, характеризующего величину инвестиционной возможности (опциона инвестирования). Это, например, отражает тот факт, что, как отмечалось выше, снижение инвестиционной налоговой скидки может произойти с большей вероятностью в периоды экономического подъема.

Экономико-математическая модель инвестиционного процесса

Построим экономико-математическую модель инвестиционного процесса, позволяющую учесть влияние изменений экономической политики в отношении инвестиций на инвестиционную стратегию фирмы. Стоимость инвестиционного проекта определяется следующим стохастическим дифференциальным уравнением, соответствующим геометрическому броуновскому движению [3,4]

сО/ (/-) = аУ (£)<& + ^

в котором параметр ® обозначает детерминированную тенденцию, есть

волатильность стоимости инвестиционного проекта, а - приращение

винеровского случайного процесса. Безрисковая процентная ставка в экономике равна ■г , причем имеет место неравенство Фирма максимизирует стоимость опциона

Р{У)

инвестирования ' 7.

Предполагается, что скачок инвестиционных затрат происходит в момент, когда стоимость инвестиционного проекта достигает некоторого граничного значения (триггер-точки). Этот скачок может быть вызван, например, снижением инвестиционной налоговой скидки, увеличением стоимости применяемых ресурсов, увеличением процентной ставки по кредиту или ростом цены предложения готового бизнеса. Предполагается, что фирма не владеет информацией о точной величине стоимости инвестиционного проекта, соответствующей скачку инвестиционных затрат, однако знает плотность распределения вероятности этой случайной величины.

Обозначим через к такую реализацию процесса, при которой вводится новая

К Л

экономическая политика, и инвестиционные затраты возрастают с в до ], причем 1 * ^ 1 в Предполагаем, что фирма не знает величину к , однако ей известна плотность распределения вероятностей этой величины ^ (предполагаем, что

чКУ)

функция * непрерывна и дважды дифференцируема в своей области

определения).

Заметим, что использование случайного процесса Пуассона для моделирования скачкообразных изменений экономической политики представляется неадекватным, поскольку интенсивность скачков в этом стационарном случайном процессе, описываемая единственным параметром, не связана с экономической динамикой (это соответствует предположению о том, что время само по себе, а не экономическая среда управляет изменениями экономической политики). Кроме того, фирма способна в некоторой степени оценить точность своих предположений относительно момента

изменения инвестиционной политики, т.е. дисперсию своей оценки времени наступления этого события. Подход, основанный на использовании случайного процесса Пуассона, не позволяет включить этот тип неопределенности в анализ, поскольку предполагает единственный параметр, характеризующий интенсивность потока скачков.

Следовательно, модель, основанная на использовании случайного процесса Пуассона, испытывает недостаток степеней свободы, необходимых для адекватного описания и ожидания фирмой момента изменения экономической политики, и точности этого ожидания.

Поскольку стоимость проекта, при которой происходит увеличение инвестиционных затрат, связанных с изменением экономической политики, заранее неизвестна, возможны два сценария. В первом сценарии инвестирование происходит до изменения инвестиционных затрат, а во втором сценарии инвестирование имеет место после того, как увеличение инвестиционных затрат произошло. Следовательно, стоимость опциона инвестирования, отражающая структуру ожидаемого выигрыша, имеет следующий вид

РХГ.Г |/= /.) = РЛПШПТ,)- ) + (і - р,(П)ЩПТн) - 1нУ'т‘]

(2)

где

оператор математического ожидания.

, ^ ^ - условная (зависящая от

- V

наивысшеи реализации процесса у , г ) вероятность того, что инвестиционные

Т.

затраты не увеличатся до того, как инвестирование осуществлено оптимально, а 5 и

* обозначают моменты остановки, соответствующие первому пересечению оптимального инвестиционного порога при низких и высоких инвестиционных затратах соответственно (оптимальные моменты инвестирования, которые трактуются как оптимальные моменты остановки процесса наблюдения за приведенной прибылью). После преобразования получаем следующую задачу оптимизации, позволяющую найти оптимальный инвестиционный порог

(3)

Здесь ^ * представляет собой оптимальный инвестиционный порог в случае, если

V

инвестирование имеет место до увеличения инвестиционных издержек, а * есть максимальная реализация процесса до момента увеличения инвестиционных

1-ув)

издержек. Следовательно, отношение нреДСТВВЛЯег Собой веР0_

того, что скачок инвестиционных затрат не произойдет до момента времени, когда

к 5, при условии, что этот скачок не произошел при значениях к' , меньших . Уравнение (3) поэтому интерпретируется следующим образом: стоимость опциона инвестирования (инвестиционной возможности) равна взвешенному среднему значений двух опционов инвестирования. Эти опционы инвестирования

Л д

соответствуют инвестиционным затратам й и й соответственно при условии, что инвестирование осуществляется оптимально (при ^5, если инвестированные затраты равны 1(2, и при ~ я , если скачок инвестиционных затрат уже произошел). Оптимальные инвестиционные стратегии

Решение задачи максимизации (3) позволяет установить следующее Утверждение (доказательства этого и следующих Утверждений не приводятся ввиду громоздкости).

V;

Утверждение 1. Инвестирование оптимально осуществляется при значении ' 5 являющемся решением следующего уравнения

(4)

к{х) -

Ф)

Функция ^ имеет следующую интерпретацию. Вероятность скачка

инвестиционных затрат, возникающего в течение ближайшего приращения стоимости

проекта ^ у (при условии, что увеличение инвестиционных затрат не произошло до

/г(х)

этого момента), равна к(У)с(У

умноженной на величину приращения стоимости

проекта, т.е.

Проанализировано, как параметры, характеризующие динамику стоимости проекта, влияют на оптимальный инвестиционный порог. Установлено, что оптимальный инвестиционный порог (при прочих равных условиях) возрастает с ростом начальных инвестиционных затрат и убывает с ростом величины потенциального увеличения

Д

этих затрат, а также с ростом параметра 1 1:

Утверждение 2. Влияние параметров модели на оптимальный инвестиционный порог определяется следующими соотношениями

>0

<0

<0

Последнее неравенство означает, что инвестиционный порог увеличивается с ростом неопределенности стоимости проекта и убывает с ростом различия между процентной ставкой в экономике и скоростью роста стоимости проекта.

Оптимальная инвестиционная стратегия зависит не только от характеристик проекта самого по себе, но и также от предположений фирмы относительно плотности распределения вероятностей, определяющей ожидаемое изменение экономической политики. Параметры этого распределения могут испытывать воздействие органов власти. Например, информационная кампания относительно ожидаемых изменений инвестиционной налоговой скидки приводит к уменьшению дисперсии распределения, лежащего в основе случайной величины, определяющей изменения экономической политики. Поэтому важно знать, как изменения неопределенности, связанные со стоимостью проекта, соответствующей скачку инвестиционных расходов, влияют на стратегии оптимального инвестирования фирмы.

Степень риска возникновения скачка инвестиционных расходов

является одной из определяющих величин для вычисления оптимального порога

инвестирования. Хотя эта величина является экзогенной для фирмы, она может

управляться другой стороной, например, органами власти. Из соотношения (4) следует

Утверждение.

Утверждение 3. Оптимальный инвестиционный порог убывает с ростом соответствующей степени риска возникновения скачка инвестиционных расходов, т.е. имеет место следующее неравенство

Полученный результат означает, что возрастающая вероятность скачка инвестиционных затрат приводит к более раннему оптимальному исполнению опциона инвестирования.

Кроме того, неравенство (5) означает, что для любого параметра плотности распределения случайной величины, определяющей скачок, имеет место следующее

условие: для любых

Используя соотношение (6), можно установить, как изменения параметров плотности распределения случайной величины, определяющей возникновение скачка, влияют на оптимальный инвестиционный порог.

Проанализируем, как неопределенность значения триггер-точки, определяющей

(6)

скачок увеличения инвестиционных затрат, влияет на оптимальный инвестиционный порог. Неопределенность значения триггер-точки, определяющей переход к более высоким инвестиционным затратам, задавалась с помощью сохраняющего математическое ожидание спреда (увеличения дисперсии случайной величины при сохранении ее математического ожидания неизменным). Установлено, что для каждой степени неопределенности значения триггер-точки, определяющей наступление

У<Е[У*]

скачка увеличения инвестиционных затрат,

К

обозначаемое риск

¥є(¥„ЦУ~])

, ¥е[У(0\У,]

* такое, что при *-*

возникновения *.

скачка

существует значение

функция -(") инвестиционных затрат)

(характеризующая возрастает, а при

снижается с ростом этой неопределенности. Такой

что

вид

V.

соотношения между степенью риска и неопределенностью означает,

\yio\vj

снижается с ростом неопределенности, если попадает в интервал ' л -1, и возрастает в противном случае. Следовательно, чтобы определить характер воздействия неопределенности значения триггер-точки, определяющей наступление скачка увеличения инвестиционных затрат, необходимо установить относительное

V. к.

положение ' 5 и г *. Обозначим среднее квадратическое отклонение плотности распределения значений триггер-точки, определяющей наступление скачка

увеличения инвестиционных затрат, через ®. Поскольку выражение для " 5 известно

V.

к

(см. (4)), необходимо только вычислить ” *как функцию такое, что для каждой

пары

(V,(V)

8к(У)

имеет место следующее соотношение

дсо

к

= 0

Для

большинства часто используемых плотностей распределения * убывает с ростом неопределенности. Следовательно, при относительно низких степенях

неопределенности имеет место соотношение

^ < К (< ЩУ ]). ПОСКОЛЬКУ

при

У<К

* степень риска возрастает по 5 снижается, когда неопределенность

значения триггер-точки, определяющей наступление скачка увеличения инвестиционнык затрат, возрастает. После того, как неопределенность достигает

V.

аі

некоторого критического значения, например,

соответствующего равенству

^ , степень риска при ^ снижается с ростом и оптимальный

инвестиционный порог начинает увеличиваться. Это означает, что оптимальный

инвестиционный порог достигает своего минимума при О) — О) Таким образом, получаем

Утверждение 4. Имеет место немонотонное соотношение между оптимальным инвестиционным порогом и неопределенностью значения триггер-точки, определяющей наступление скачка увеличения инвестиционных затрат. При низких значениях неопределенности малое увеличение неопределенности приводит к более раннему оптимальному инвестированию. Обратная ситуация имеет место при высокой степени неопределенности значения триггер-точки. Существует

УШ) = У.(а?)

единственное значение & , такое, что 1, которое разделяет

области низкого и высокого уровней неопределенности значения триггер-точки.

Интерпретация этого результата достаточно проста. При низких степенях неопределенности, касающейся изменения экономической политики, фирма реагирует на увеличение этой неопределенности более ранним инвестированием (т.е.

при более низких значениях у ). Это объясняется тем, что вероятность более раннего введения изменения экономической политики увеличивается. Однако когда эта неопределенность становится достаточно высокой, фирма более склонна игнорировать информацию, касающуюся ожидаемык изменений инвестиционных возможностей, поскольку качество этой информации слишком сильно ухудшилось. Предельные воздействия более высокой вероятности более раннего введения повышения инвестиционных затрат и увеличившейся составляющей шума в предположении фирмы относительно точки скачка инвестиционных расходов,

взаимно компенсируются при уровне неопределенности, равном

6?

Табл. 1 показывает соотношение между неопределенностью момента возникновения скачка инвестиционных затрат и оптимальным инвестиционным порогом для различнык уровней инвестиционнык затрат после скачка. Результаты, представленные в трех частях табл. 1, соответствуют различным комбинациям темпа роста и волатильности стоимости проекта. Результаты ясно демонстрируют немонотонную зависимость оптимального инвестиционного

Таблица 1. Оптимальные инвестиционные пороги, вычисленные для трех различных комбинаций темпа роста и волатильности стоимости проекта

ЩУ ] =160

I

И

110

125

150

200

500

оО

Уе = 200

110

125

150

200

500

СО

¥е =158,77

110

125

150

200

500

со

V. =371*85

186.48 176.96 169.02 161.85 152.76 148.22 ек = 0,02

153.41

149.08 145.39 142.21 1т гт

ск = 0,01

302.09 270.82 246.79 225.19

194.54

160.54

ск = 0,02

50

177.91

166.88

158.64

151.68

143.32

1ГП

а = 01

150.18

144.74

140.59

1Ш

1т

\т

С7= ОД

281.54

248.50

223.99

202.79

174.42

145.73

<7=0,3

к

25

169.62

158.90

151.65

145.98

139.64

т

г = 0,05

147.36

142.11

138.53

т

т

т

г = 0,05

271.10

236.21

210.45 188.74 162.24

140.46

Г = 0,05

10

162.32 153.95 149.62 146.76 143.93 142.74

147.40

144.45 142.69

141.45 140.35 140.11

302.07

230.52

203.01

179.47

155.32 144.60

5

159.57

154.10 151.99 150.71 149.47 148.94

150.42

149.04

148.25

147.69 147.20

147.10

302.07

201.37

201.22

176.70 154.80 149.97

Результаты численных расчетов представлены для следующих параметров:

I' =Ю0

инвестиционные затраты до скачка е , инвестиционные затраты после скачка

1И 00, среднее квадратическое отклонение плотности распределения

вероятностей предположений фирмы относительно момента изменения

~ м— 5___100 к (0)=140

экономической политики ш ' 7 ; «Ш|» означает, что имеет место

немедленное инвестирование порога от неопределенности, связанной с возникновением скачка инвестиционного затрат. Например, рассмотрим пример

расчета при ® — 0,02 и О"—ОД Когда предположение фирмы относительно ожидаемого возникновения скачка инвестиционных затрат достаточно точное

возможность удвоения эффективных инвестиционных затрат приводит к ожидаемому времени инвестирования в проект 4,91 лет. Когда неопределенность, связанная с возникновением скачка инвестиционных затрат, становится умеренной (

), ожидаемое время инвестирования снижается до 2,78 лет. Наконец, когда предположения фирмы относительно момента скачка инвестиционных затрат

становятся очень неточными —100) ожидаемое время инвестирования возрастает до 9,67 лет. Если инвестиционные затраты на проект очень сильно возрастают, ожидаемое время до момента инвестирования существенно сокращается, особенно если неопределенность относительно момента возникновения скачка инвестиционных

затрат высока. При ® — 5 СрОК начала инвестирования составляет 4,13 лет, а при

® — оптимально немедленное инвестирование. В случае, соответствующем очень низкой точности предположения фирмы относительно момента скачка

(са = 100)

инвестиционных затрат ' ожидаемое время до начала инвестирования

составляет 3,80 лет.

Заключение

Итак, в работе получены следующие основные результаты. Выведено уравнение, которое неявно определяет стоимость инвестиционного проекта, при которой фирма безразлична между выбором инвестирования и отказа от инвестирования. Это значение стоимости инвестиционного проекта представляет собой оптимальный инвестиционный порог. Показано, что это пороговое значение снижается с ростом степени риска увеличения инвестиционных затрат. У становлено, что для большинства часто используемых функций плотности распределения вероятностей степень рискавозникновения скачка инвестиционных расходов сначала растет, а затем снижается с ростом степени неопределенности значения триггер-точки, определяющей скачок увеличения инвестиционного затрат. Это приводит к выводу, что оптимальный инвестиционный порог инвестирования снижается с ростом неопределенности, если эта неопределенность невелика и возрастает с ростом неопределенности величины барьера, если уровень той неопределенности высок. Следовательно, для органов власти, заинтересованных в ускорении инвестирования, может быть указан оптимальный (строго положительный) уровень неопределенности величины барьера роста инвестиционных затрат, и этот уровень соответствует минимальному инвестиционному порогу. Кроме того, показано, что рост неопределенности величины прироста инвестиционных затрат приводит к откладыванию инвестирования. Это означает, что эффективная политика, стимулирующаяболее раннее инвестирование, должна минимизировать неопределенность информации потенциальных инвесторов относительно величины

ожидаемого изменения экономической политики.

Библиографический список

1. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. Пер. с англ. - М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 1997.

2. Воронцовский А.В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. - СПб.: Изд-во С.-Петербургского университета, 1998.

3. Наталуха И.Г. Стратегии оптимального хеджирования процентного риска облигациями // Финансы и кредит. - 2005. - № 30 (198). - С. 38-40.

4. Матвеев Р.И. Моделирование оптимального входа фирмы в рынок и рыночного лидерства в стохастической дифференциальной игре // Сборник научных трудов VII Международного симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». - Кисловодск, 2005.

5. Dixit A.K., Pindyck R.S. Investment under Uncertainty. - Princeton University Press, 1994.

№ гос. рег. статьи 0421000034/0138

Это статья Журнал ВАК :: Управление экономическими системами: электронный научный

журнал http ://uecs.mcnip.ru

URL этой статьи: http://uecs.mcnip.ru/modules.php?name=News&file=article&sid=218