АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ СИЛ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВОДОНАСЫЩЕННОСТИ ВБЛИЗИ НЕФТЯНЫХ СКВАЖИН Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 532.546:949.8

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ГРАВИТАЦИОННЫХ СИЛ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВОДОНАСЫЩЕННОСТИ ВБЛИЗИ НЕФТЯНЫХ СКВАЖИН

О. Б. Бочаров, И. Г. Телегин

(Институт водных и экологических проблем СО РАН, Новосибирск;

Тюменский государственный нефтегазовый университет; Российский научный центр, компания «Бейкер Хьюз БВ»)

Ключевые слова: водонасыщенность, нефтеотдача, краевые условия, двухфазная фильтрация Key words: water saturation, oil recovery, boundary conditions, two-phase fitiration

Для учета двухфазности потоков, капиллярных и гравитационных сил при гидродинамическом моделировании нефтяных месторождений используется модель фильтрации Мас-кета-Леверетта (МЛ модель) [1]. Общие свойства решений различных краевых задач для этой модели в области течения анализировались в [2-4]. С развитием методов повышения нефтеотдачи и инверсии данных скважинного каротажа большой интерес вызывает детализация процессов, происходящих в окрестности скважин, то есть граничные свойства решений. МЛ модель позволяет использовать богатый набор возможных краевых условий, описанных в частности в [4-5]. В работе [5] исследовалось влияние некоторых граничных условий на распределение водонасыщенности в окрестности нагнетательных скважин.

В данной работе изучается влияние уклонов продуктивных слоев на распределение во-донасыщенности вблизи добывающих скважин в зависимости от используемых краевых условий для изотермической модели фильтрации Маскета-Леверетта.

1. Уравнение МЛ-модели В одномерном случае, при заданной суммарной скорости фильтрации v(t), уравнение для водонасыщенности в МЛ модели можно записать [3]:

m§ = l(K0a0i-d-p-f - v(t)b) (1)

ot ox ox ox

где x e[0, L] - пространственная переменная, t - время, S - динамическая водонасыщенность порового пространства, определяемая по формуле S = (Sj - Sj0)/(1 - Sj0 - S0), S, -истинная насыщенность флюидом порового пространства (индекс i=1 соответствует воде, а i=2 - нефти), S0 - остаточная насыщенность, m = да0 (1- S° - S0) - эффективная пористость, a (s) = k2b / /, b = b =_k_, b (5) =_ki / ^i_ - доля i-й фазы в пото-

k +' (k / / + k2 / / ) ке, / = / / /, / - вязкость i-й фазы, k, (s) - относительные фазовые проницаемости, V - скорости фильтрации, v = v + v2, m - пористость, K0 - тензор абсолютной проницаемости, pc (s) = у(т0 / K )12 j(s) - капиллярное давление, j(s) - функция Леверетта, у - коэффициент поверхностного натяжения, f = (р - р2 )g ■ eX, g ■ eX = g ■ cos(g, ex ), eX -орт оси OX, g - вектор ускорения свободного падения, g - ускорение свободного падения.

Свойства функциональных параметров МЛ модели, а также качественные свойства её решений описаны [3,4,6]. Вопросы построения и свойств численных решений классической задачи вытеснения для уравнения (1) подробно рассмотрены в работах [2,4,8], где сравниваются решения в условиях несжимаемости жидкостей ( р = cOnst ), в негоризонтальном

g ф 0, несжимаемом ( m = const ), однородном ( K0 = const ) нефтяном пласте при задании для уравнения (1) различных начально-краевых условий.

Положив v(t) = V = const, введем безразмерные величины: x = x / L, t = tV0 /(mL) . Черта

над x , и t в дальнейшем опускается, уравнение (1) запишется в [8]:

°s = - Ga - b) = -°Vl, (2)

dt dx dx dx

где s = y(m0K0 )1/2 /(V0L^2) - капиллярный параметр, a(s) = k2b , u(s) = -j, G = K0 (p - p2 )g ■ ex /(VИ2 ) ■ При s = 0 будем иметь модель Баклея-Леверетта.

2. Постановка начально-краевой задачи

Начальные условия для водонасыщенности задаем в виде

s( x,0) = s0 (x).

Краевые условия для водонасыщенности на входе.

Классический вариант условия: на входе в пласт задается водонасыщенность:

S lx=0 = 1, (3а)

что соответствует поступлению в пласт только смачивающей фазы.

Другой вариант, если вместо насыщенности на нагнетательной скважине задаётся расход вытесняющей фазы:

ViU =-(sa - Ga - b) lx=o = 1. (3б)

ox

Данное условие позволяет изучать динамику изменения s(x,t) при x = 0 во времени.

Краевые условия для водонасыщенности на выходе.

На выходе, как правило, используется условие — | = о ■ Это условие реализует раз-

Ox x=

ные гипотезы об условиях вытекания:

• пренебрежение градиентом капиллярного давления по сравнению с градиентами давления в фазах [2];

• истечение фазы пропорционально её подвижности ( c. = K0kf (S) / д )[7];

• вариант условия свободного истечения в задачах гидродинамики [9].

В более общем виде данное условие можно записать следующим образом:

sa flu = 0. (4а)

ox

Фактически это соответствует пренебрежению капиллярными силами в окрестности нефтяной скважины.

С другой стороны, известно, экспериментально установленное явление, называемое «концевым» эффектом [1,2], которое заключается в том, что смачивающая фаза не вытекает из гидрофильного пласта до того момента, пока её насыщенность на выходе не достигает максимально возможного значения, равного 1. При этом происходит выравнивание давлений в фазах согласно свойству функции Леверетта j(l) = 0. В момент достижения этого значения, смачивающая фаза прорывается с дальнейшим сохранением на выходе постоянного значения ее насыщенности. То есть, если t' - момент прорыва, то на эксплутационной скважине имеем условие:

v1|x=1 = 0, при t < t ; (4б)

S |rf = 1, при t > t' .

Данное краевое условие (4б) является более сложным по сравнению с условием (4а).

Для получения краевого условия на выходе часто используется гипотеза о пропорциональности расходов фазы v функции b (доля фазы в общем потоке жидкости по модели Баклея-Леверетта):

vi |x=1 = bv.

С учетом обезразмеривания эти уравнения можно переписать в виде (b = b¡):

v1 U = b |x=1 = -(sa - Ga - b) |x=1 . ox

В итоге приходим к условию:

(sa- Ga)|x=1= 0 . (4в)

ox

Данное уравнение при G = 0 (отсутствие гравитационного влияния) переходит в более простое (4а).

В работе [4], для вывода граничного условия используется гипотеза о том, что доля фазы в суммарном потоке на выходе из пористой среды пропорциональна ее подвижности:

V! 1=1 ^^ 1ЛХ

Выражая ^ и подставляя в равенство v = V + V , получим следующее выражение:

, k2_ и,

v 1х=1 = М1 ■

kl_ и

Отсюда, как и ранее, опять приходим к (4в).

Мы рассмотрим при условии (3б) на входе, варианты (4а), (4б) и (4в) на выходе. Получаем 3 начально--краевых задачи: вариант 1 - (3б), (4а), вариант 2 - (3б), (4б) и вариант 3 - (3б), (4в). Анализ решений данных задач, при отсутствии гравитационных сил (G = 0) с акцентом на поведение решения вблизи нагнетательной скважины * = 0 представлен в работе [5].

3. Численный алгоритм

Введем сетку СО с распределенными узлами юкх = {х,. = ¡к, г" = пт, г = 0,...,^, п = 0,1,2,...}, к = 1_N - шаг по пространственной координате, т = Кк2 - шаг по временной переменной, К - число Куранта. Шаг к брался равным 0,005 (N = 200), а т = 0,00025. В дальнейшем при записи разностных схем используются обозначения, принятые в работе [10].

Уравнение для 8(хД) аппроксимировалось неявной разностной схемой первого порядка:

»+1 _ п ___

-L = т(^П+1_2«"+1 _а"_1/2«"+1)_(Оа)1 _Ъ"+\ г = 1,N_1, п = 0,1,..;5,° = 0,г = 0,N. (5)

Т И хг

Краевое условие (4б) аппроксимировалось следующим образом:

и "+1 "

к Яа-Яь п п+1 п 1п+1

--= 1 + ш^1 _ Оа-12 _ Ъу,.

2 т ,

Краевое условие (4а) заменялось разностным уравнением:

п+1 _ п п.

_ _ п п+1 _^ п _ ип+1

= _ , aN_1/2Ux,N _ GaX,N _ ЪхN ■ Т И

Нелинейное условие (4б) аппроксимировалось разностной системой:

N ——ГУГ,п 1!п+1 -¡-Ьп+1 /.Г'/'

= ыaN_1/2uX! + GaN_1 /2 + ЪN_1/2 , г ^ г .

[2 т

Для краевого условия (4в) использовалось соотношение:

1 п+1 _ п /А п+1 _А п+1 Л

к Хы _ эы _ ^п „п+1 ./^„п (ЪN _ ЪN-1)

= ьaN-1_2uX ,1 + GaN-1_2 ~ '

2 т , 2

где = a((s" + )_2) . Система уравнений (5) решалась методом правой прогонки. Для нелинейных функций Ъ(я) и и(Я) применялась линеаризация по Ньютону:

ляг1)=)+■ ("Г1 _ яп) .

ая

На каждом временном шаге вычисляли основные характеристики процесса вытеснения: положение х (/) - фронтовой водонасыщенности в БЛ модели , которая определяется

решением нелинейного уравнения аЪ(яс) _ Ъ(яс ) = 0 с помощью метода деления пополам.

Также контролировалась обводненность пласта ^(г) = 100%} Я(х,г)ах. В расчетах исполь-

0

зовались модельные параметры и данные:

к = я 2, к = (1 _ я)2, ] = (1 _ ")/(0,9 + я), р / р2 = 1,25, ц = 0,1.

яп+1 = 1, г > Г

N

Далее на рисунках (1-5) тонкими линиями обозначены решение s(x,t) и характеристики с использованием условия (4а), точками - результаты расчета с использованием условия (4б), толстыми - решения, полученные с использованием условия (4в).

4. Заводнение продуктивного слоя сверху

Приведены решения, полученные для вариантов 1, 2 и 3 при £ — 0,1 и О — 0,5 > 0 , то есть заводнение ведётся с верхнего края пласта (см. рис. 1). Выведены графики, характеризующие поведение решения вблизи нефтяной скважины (см. рис. 2). После подхода

фронта вытеснения к добывающей скважине ( I — I^ ) для всех 3-х вариантов насыщенность достаточно быстро выходит на значение, близкое к фронтовой (5 — 0,3015). Далее графики существенно расходятся. Капиллярное запирание (4б) приводит к быстрому росту 5 до 1. Условие свободного выхода (4а) дает профиль 5(1, t) соответствующий пространственному распределению насыщенности в пласте. Условие (4в) реализует процесс всплытия более легкой нефти после достижения водой скважины. В результате чего ее обводненность увеличивается по сравнению с вариантом свободного выхода фаз (см. рис. 2). То есть условие (4в), в данном случае, осуществляет как бы «гравитационное запирание» более легкой фазы. Экстремум водонасыщенности в точке Х=1 (см. рис.1) объясняется использо-

ди

ванием краевого условия £__Оа) | _ — 0, которое приводит к следующему выражению:

дх х~

— — О /(—£. ) . Так как по свойствам функции Леверетта, й < 0 , а О > 0, то в точке дх йз йз

д5

х — 1 значения производной — становятся положительными, что и приводит к формирова-

дх

нию максимума.

Рис.1. Распределение б(хР) при 0=0,5 Рис.2. Графики s(l>t) к рис.1

5. Заводнение продуктивного слоя снизу

Приведены графики s(x,t) и s(1,t) соответственно для вариантов 1, 2 и 3 при О — —0,5 < 0, то есть заводнение ведётся с нижней части слоя (см. рис. 3, 4). После подхода фронта вытеснения (t — ^ ), учет гравитационного всплытия нефти условием (4в) приводит к меньшей обводненности добывающей скважины по сравнению с условием свободного выхода (4а), то есть имеет место эффект, обратный предыдущей задаче: происходит гравитационное запирание тяжелой фазы (см. рис.4). Следует отметить, что в данных условиях, в период

времени между подходом фронта вытеснения I^ и моментом прорыва воды t' по условию (4б), взаимодействие гравитационных и капиллярных сил выглядит нагляднее, более растянутым по времени. В задаче п. 4 «условие капиллярного запирания» (4б) быстро обеспечивает наибольшую обводненность добывающей скважины. Здесь же (см. рис. 4) при

данном соотношении £ и О, до определенной обводненности, гравитационное запирание более тяжелой фазы (вода) мощнее, чем капиллярное запирание. В результате накопление воды на выходе при условии (4 в) происходит быстрее.

Рис 3. Распределение х(х, X при О = -0,5

Рис 4. Графиии s(Рt) к рис. 3

6. Капиллярно-гравитационное взаимодействие на выходе

Взаимодействие капиллярных и гравитационных сил в окрестности нефтяной скважины можно проследить по графикам (см. рис. 5-8).

Приведено отклонение обводненностей пласта при применении условий (4б) — и (4в) —Цв от соответствующего параметра ^ , при t — 1 >> ? в процентах: 2в — 100(^„(1) — (1))/(1), — 100^(1) — Пб(1))/П,(1)(см. рис. 5, 6), то есть ^ характеризует влияние гравитации при условии капиллярного запирания (4б), 2в при использовании условия выхода по подвижностям (4в). Условие (4в) более чувствительно к уклону пласта, а именно: при смене знака G, 2в также меняет знак, в то время как меняет только модуль (см. рис.5), хотя и значительно. Условие (4 в) более симметрично влияет на решение при смене знака G (см. рис. 5, 6).

Рис. 5. Влияние капиллярных сил на обводненность при различныгх О

Рис 6. Влияние наклона пласта на обводненность при £ — 0,1

Приведено сравнение поведения водонасыщенности на выходе из пласта при условиях (4 а) - свободный выход и (4 в) - выход пропорционально подвижностям при различных £ (см. рис. 7) и О (см. рис. 8).Динамику по величине капиллярных сил можно наблюдать лишь при малых £ < 0,2 (см. рис.7). В дальнейшем наблюдается выход на ассимптотиче-ский режим, определяемый величиной G. Гравитационные силы сильнее влияют на реше-

ние при условии (4а), потому, что оно выключает капиллярные силы на выходе.

s 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

m -■

il —- --□

-Ш—(4в) при G=1

-(4a) при G=1

■ (4в) при G=-1

-(4a) при G=-1

s - -0-(4a) -СИ4В)

06 -

0.3 -

i-T-T-e-

0.2

0.4

0.6

0.8

Рис. 8. Влияние гравитации на s(1,1) при s = 0,1

Рис. 7. Влияние капиллярных сил на динамику б(1,1) при | G |=1

При | С | > 1 водонасыщенности, полученные при условиях (4а) и (4в) ведут себя подобным образом (см. рис. 8). При | С |<1 условие (4в) дает большую свободу к взаимодействию капиллярных и гравитационных сил. Наблюдаются симметричные по знаку О локальные экстремумы.

Проведённые численные эксперименты показывают, что различные гидродинамические и математические условия на скважинах приводят к разным пространственным и временным распределениям водонасыщенности в прискважинных областях. Это может оказать влияние на интерпретацию данных каротажа и на создание проектных документов разработки месторождений.

Условие капиллярного запирания в виде (4б) очень жестко воздействует на решение, за-давливая возможное проявление других эффектов. Для данного класса задач, вероятно, наиболее адекватными являются условия выхода пропорционально подвижностям (4в).

Список литературы

1. Коллинз Р. Течения жидкостей через пористые материалы. - M. : M^, 1964.

2. Швидлер M. И., Леви Б. И. Одномерная фильтрация несмешивающихся жидкостей.- M.: Недра, 1970. - 156 с.

3. Доманский А. В. Исследование методов повышения нефтегазоотдачи. - Южно-Сахалинск: Изд-во СахГУ, 2000. - 152 с.

4. Коновалов А. Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. - Новосибирск: Наука, СО АН, 19SS. - 166 с.

5. Бочаров О. Б., Телегин И. Г. Влияние граничных условий на водонасыщенность вблизи скважин. // Известия вузов. Нефть и газ. - 2011. - № 2.- С.18-25.

6. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Mонaхов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей.- Новосибирск: СОАН СССР, Наука, 19S3. - 316 с.

7. Бочаров О. Б., Телегин И. Г. Сравнительный анализ некоторых разностных схем для задач двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил // Вычислительные технологии. 2003. Том S. № 4. -C. 23-31.

S. Бочаров О. Б., Телегин И. Г. Численное исследование неизотермической фильтрации несмеши-вающихся жидкостей в гравитационном поле // Теплофизика и Аэромеханика. 2004. Том 11. № 2. -C. 2S1-290.

9. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.- M.: M^, 19S0. - 616 с.

10. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. - M: Наука. 1971.- 552 с.

Сведения об авторах

Телегин Игорь Григорьевич, к.ф.-м.н., доцент, Тюменский государственный нефтегазовый университет, тел.:8(3452)632391, е-maiI: igteIegin@yandex.ru

Бочаров Олег Борисович, к.ф.-м.н., доцент, Институт водных и экологических проблем СО РАН, тел.: 8(383)3332808, е-maiI:bob@ad-sbras.nsc.ru

Teleguin I. G., Candidate of Science, associate professor, Tyumen State OiI and gas University, phone: 8(3452)632391, е-maiI: igteIegin@yandex.ru

Bocharov O. B., Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, associate professor, Institute of water and ecoIogyprobIems, SB RAS, phone: 8(383)3332808, е-maiI:bob@ad-sbras.nsc.ru