CC BY
2
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПРОИЗВОДСТВЕ И ПРОМЫШЛЕННОЙ ПРАКТИКЕ INTELLIGENT TECHNICAL SYSTEMS IN MANUFACTURING AND INDUSTRIAL PRACTICE
05.13.18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ,
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
MATHEMATICAL MODELING, NUMERICAL METHODS
AND COMPLEX PROGRAMS
DOI: 10.33693/2313-223X-2021-8-2-56-62
Анализ в задаче группового преследования
множества целей на возможность одновременного достижения
А.А. Дубанов ©
Бурятский государственный университет имени Д. Банзарова, г. Улан-Удэ, Российская Федерация
E-mail: alandubanov@mail.ru
Аннотация. В данной статье рассматривается кинематическая модель задачи группового преследования множества целей. В статье рассматривается вариант модели, когда все цели достигаются одновременно. В данной модели направление скоростей преследователем может быть произвольным, в отличие от метода параллельного сближения. В методе параллельного сближения векторы скоростей преследователя и цели направлены в точку на окружности Аполлония. Предложенная модель преследования основана на том, что преследователь старается следовать прогнозируемой траектории движения. Прогнозируемая траектория является составной кривой. Составная кривая состоит из дуги окружности и прямолинейного сегмента. Вектор скорости преследователя, приложенный к точке нахождения преследователя, касается данной окружности. Прямолинейный сегмент проходит через точку нахождения цели и касается указанной окружности. Полученная составная линия служит аналогом линии визирования в методе параллельного сближения. Итерационный процесс расчета точек траектории преследователя состоит в том, что следующая точка положения есть точка пересечения окружности с центром в текущей точке положения преследователя, с линией визирования, соответствующей точке следующего положения цели. Радиус такой окружности равен произведению скорости преследователя на промежуток времени, соответствующий временному шагу итерационного процесса. Время достижения цели каждого преследователя есть зависимость от скорости движения и минимального радиуса кривизны траектории. Многофакторный анализ модулей скоростей и минимальных радиусов кривизны траекторий каждого из преследователей для одновременного достижения своих целей основан на методах многомерной начертательной геометрии. Для этого, вводятся на эпюре Радищева плоскости проекций: радиуса кривизны траектории и скорости, радиуса кривизны траектории и времени достижения цели. Оптимизирующими факторами служат задаваемое время достижения цели и заданное значение скорости движения преследователя. Данный метод построения траекторий преследователей для достижения множества целей в заданные значения времени может быть востребован разработчиками автономных беспилотных летательных аппаратов.
Ключевые слова. Многофакторный анализ, эпюр Радищева, цель, преследователь, траектория, радиус кривизны
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке инновационного гранта Бурятского государственного университета в 2021 г. «Управление четырехзвенным манипулятором по сигналам, полученным с нейроинтерфейса»
DOI: 10.33693/2313-223X-2021-8-2-56-62
Analysis in the Problem of Group Pursuit of Multiple Goals for the Possibility of Simultaneous Achievement
A.A. Dubanov ©
Banzarov Buryat State University, Ulan-Ude, Russian Federation
E-mail: alandubanov@mail.ru
Abstract. This article discusses a kinematic model of the problem of group pursuit of a set of goals. The article discusses a variant of the model when all goals are achieved simultaneously. In this model, the direction of the speeds by the pursuer can be arbitrary, in contrast to the method of parallel approach. In the method of parallel approach, the velocity vectors of the pursuer and the target are directed to a point on the Apollonius circle. The proposed pursuit model is based on the fact that the pursuer tries to follow the predicted trajectory of movement. The predicted trajectory is a compound curve. A compound curve consists of a circular arc and a straight line segment. The pursuer's velocity vector applied to the point where the pursuer is located touches the given circle. The straight line segment passes through the target point and touches the specified circle. The resulting compound line serves as an analogue of the line of sight in the parallel approach method. The iterative process of calculating the points of the pursuer's trajectory is that the next point of position is the point of intersection of the circle centered at the current point of the pursuer's position, with the line of sight corresponding to the point of the next position of the target. The radius of such a circle is equal to the product of the speed of the pursuer and the time interval corresponding to the time step of the iterative process. The time to reach the goal of each pursuer is a dependence on the speed of movement and the minimum radius of curvature of the trajectory. Multivariate analysis of the moduli of velocities and minimum radii of curvature of the trajectories of each of the pursuers for the simultaneous achievement of their goals is based on the methods of multidimensional descriptive geometry. To do this, the projection planes are entered on the Radishchev diagram: the radius of curvature of the trajectory and speed, the radius of curvature of the trajectory and the time to reach the goal. The optimizing factors are the set time for reaching the goal and the set value of the speed of the pursuer. This method of constructing the trajectories of pursuers to achieve a variety of goals at given time values may be in demand by the developers of autonomous unmanned aerial vehicles.
Key words: multivariate analysis, Radishchev diagrams, target, pursuer, trajectory, radius of curvature
Acknowledgments. This work was financially supported by the the innovative grant of Buryat State University in 2021, "Control of Four-Link Manipulator Based on Signals on Neural Network Interface"
FOR CITATION: Dubanov A.A. Analysis in the Problem of Group Pursuit of Multiple Goals for the Possibility of Simultaneous Achievement. Computational Nanotechnology. 2021. Vol. 8. No. 2. Pp. 56-62. (In Russ.) DOI: 10.33693/2313-223X-2021-8-2-56-62
ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим модель расчета траектории преследователя на плоскости, где в каждый момент времени от преследователя до цели строится прогнозируемая траектория, которой преследователь будет стараться придерживаться (рис. 1).
Кривые 11(б), 12(з), Цб) (см. рис. 1) состоят из сегмента дуги окружности и прямолинейного отрезка. Радиус окружностей и есть ограничение по кривизне прогнозируемых траекторий движения преследователей в нашей модели. Если преследователь находился в момент начала преследования в точке Р. с вектором скорости V, то центр окружности С радиуса г будет находиться в точке:
C = P ± r
Рис. 1. Групповое преследование множества целей Fig. 1. Group pursuit of multiple goals
V
INTELLIGENT TECHNICAL SYSTEMS IN MANUFACTURING AND INDUSTRIAL PRACTICE
Затем из точки положения цели Т. строится касательная к окружности (С, г.).
Совокупность касательной и окружности будет базовой линией прогнозируемой траектории движения преследователя I Отметим, что в уравнении базовой линии из одно-параметрического множества прогнозируемых траекторий параметризация производится от ее длины дуги.
При новом положении цели Т линия I.смещается, оставаясь параллельной самой себе (рис. 2).
30
ю
FRAME ,1* FRAME
Г 0 -10
-20 -10 0 10 20
^'¿a.i' (^IojIfbame' (-^„.Jfraue' *TraeetFR(lME
Рис. 2. Однопараметрические сети прогнозируемых траекторий движения преследователей Fig. 2. One-parameter networks of predicted trajectories of pursuers
Если i-й преследователь в момент времени t находится в точке P.. (рис. 3), имея при этом прогнозируемую траекторию движения l. (s), соединяющую с текущим положением цели Т., то следующая точка траектории преследователя будет точка P .
Рис. 3. Итерационный процесс расчета траектории преследователя Fig. 3. Iterative process of calculating the trajectory of the pursuer
Точка P.. + 1 есть точка пересечения линии l. ^s), соответствующей положению цели T. + 1 в следующий момент времени tj + v и окружности с центром в точке P.. и радиусом | V.lAt, At = t. + 1 - t. Такова модель построения траекторий преследователя.
Рассмотрим задачу группового преследования, когда группа преследователей догоняет группу целей. Будем считать, что каждый преследователь P стремится достичь своей цели T, хотя у некоторых преследователей цели могут совпадать, как показано на рис. 1 и 2.
Причем преследователь Р. достигает цели Т. за определенное время ^, двигаясь с определенной скоростью V.. Для одновременного достижения целей необходимо равенство всех значений t| определенному значению.
На рис. 1 показано, что для изменения длины базовой линии можно изменять радиус касательной окружности. Касательная окружность была введена для того, чтобы преследователь мог плавно перейти на прямолинейную траекторию. Если бы это было так, то задача была бы сведена к преследованию методом параллельного сближения.
Поскольку начальная скорость преследователя направлена произвольно, то при помощи составной базовой линии, которая при движении цели перемещается, оставаясь параллельной сама себе, происходит плавный переход к методу параллельного сближения с соблюдением ограничений по кривизне (рис. 2).
Рис. 2 дополнен ссылкой на анимированное изображение, где можно посмотреть плавный переход к параллельному сближению.
Целью данной статьи является описание метода, при котором преследователь достигает цели в назначенное время из допустимых значений. Как следствие, можно рассматривать одновременное достижение своих целей группой преследователей.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
МНОГОМЕРНОЙ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
По результатам исследований, разработана тестовая программа одновременного достижения целей преследователями, которую можно посмотреть на ресурсе [6]. В этой программе предложен алгоритм, который реализует итерационную схему расчета траектории преследователя, показанную на рис. 3.
В модели считается, что существует зависимость для преследователя Р, который достигает своей цели Т, за время t
t = Р(Р , Г, пр, пТ^р, VT, Я),
где Р , Ts - координаты точек положения преследователя и цели в момент начала процесса преследования; пр, пТ -единичные векторы направления движения преследователя и цели в момент начала процесса преследования; VP, VT -модули скоростей преследователя и цели в процессе преследования; Я - радиус окружности, смысл которой показан на рис. 1 и 3.
Фактически, в модели подсчитывается число шагов, за которые преследователь достигает цель. Число шагов, при известном дискретном промежутке времени, можно сопоставить со временем реальным.
Если цель движется прямолинейно и равномерно, то нашу зависимость времени достижения цели в уже начавшемся итерационном процессе можно считать функцией от двух переменных: t = Р (VР, Я), от модуля скорости преследователя и от радиуса кривизны окружности.
Хотя, в модели считается, что преследователь движется с постоянной скоростью Ур, но ничто не мешает нам изменять значения модуля скорости, как и радиуса кривизны. Допустим, что модуль скорости принимает дискретные значения из ряда V, I е [1 : Ы], а радиус окружности из рисунков 1, 3 принимает значения Я;,] е [1 : М].
Для дальнейших исследований применяется эпюр Радищева [1], где используются координатные плоскости (Я, V) и (Я, ^ (рис. 4).
На рис. 4 показано экспериментальное построение временных зависимостей ^ . = Я, Я). На плоскости (Я, ^ схематически показаны графики зависимостей времен достижения цели преследователем от радиуса окружности Я при фиксированном значении скорости Vp.
В качестве одного из оптимизирующих факторов [1] на плоскости (Я, ^ выбирается равенство t = где ^ - требуемое время достижения цели. Далее, на плоскости, для решения нашей задачи, на плоскости (Я, V) в качестве второго
оптимизирующего фактора выбирается равенство V. = V.,
р р0
где V - это постоянная скорость преследователя.
Рис. 4. Определение радиуса окружности на эпюре Радищева Fig. 4. Determination of the radius of a circle on the Radishchev plot
Хотя, в постановке задачи говорится о том, что модуль скорости преследователя является неизменным, построенный ряд значений скоростей необходим для расчета радиуса окружности Я0 на плоскости проекций (Я, V).
По линиям связи на плоскости проекций (Я, V) находятся соответствующие точки пересечения с линиями уровня скоростей VP (рис. 4). По полученным точкам в тестовой программе выполняется полиномиальная регрессия и, в итоге, получаем функцию зависимости скорости преследователя от радиуса окружности, при которой происходит достижение цели за время
Затем ищется точка пересечения функции Vp = /(Я)
(см. рис. 4) с линией уровня V. = V. . Абсцисса точки пересе-
р р0
чения Я0 и есть искомый радиус окружности, чтобы достичь
цели Т преследователем Р за время ^ со скоростью V..
0 Р0 Расчет ведется при условии того, что цель движется равномерно и прямолинейно. Если цель изменяет направление или скорость, то для достижения ее рассчитывается новый радиус окружности составной базовой линии (аналог линии визирования метода параллельного сближения), ставится новое время достижения при прежней скорости преследователя.
Низший предел времени достижения цели при ее равномерном и прямолинейном движении будет, когда скорость преследователя направлена в точку К на окружности Аполлония [2-5] (рис. 5).
Рис. 5. Окружность Аполлония Fig. 5. Circle of Apollonius
INTELLIGENT TECHNICAL SYSTEMS IN MANUFACTURING AND INDUSTRIAL PRACTICE
Окружностью Аполлония называется геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух заданных точек - величина постоянная, не равная единице. На рис. 5 это можно проиллюстрировать как
ы = М ы.
При рассмотрении множественного преследования группы целей, то в тестовой программе производится предварительный расчет траекторий движения преследователей при заданных начальных параметрах. Из времен достижения целей для расчета одновременного достижения выбирается наибольшее время. И это время выбирается критерием для расчета траекторий остальных преследователей. Этот момент проиллюстрирован на рис. 2, который дополнен ссылкой на анимированное изображение, где можно будет посмотреть на одновременное достижение цели двумя преследователями.
На рис. 6 показано, как для одного из преследователей было установлено более короткое время достижения цели. Рис. 6 также дополнен ссылкой на анимированное изображение, где можно посмотреть достижение целей в различное назначенное время.
24 30
Рис. 6. Достижение целей в различное назначенное время Fig. 6. Achieve goals at different designated times
РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
На рис. 7 приведены некоторые результаты работы многофакторного анализа в задаче одновременного достижения цели двумя преследователями. Цель движется прямолинейно и равномерно. Для каждого преследователя построили ряд допустимых скоростей. Ряд допустимых значений радиуса окружности варьируется при помощи дискретных переменной dR. На графиках рис. 7 это шкала dR.
На плоскости проекций ^Я, ^ строим однопараметри-ческую сеть линий. Каждая линия соответствует определенному значению скорости и выражает зависимость времени достижения цели от приращения радиуса окружности. На графике рис. 7 показана однопараметрическая сеть линий скоростей одного из преследователей. Для второго в тестовой программе многофакторного анализа построена аналогичная сеть.
Для каждого преследователя выбирается первый оптимизирующий фактор [1], отвечающий за одновременное достижение, t = t0, где t0 - наибольшее из времен достижения цели, если бы преследователи независимо догоняли цель при таких же начальных условиях. На плоскости (dR, t) ищутся точки пересечения с линий уровня t = t0 с линиями скоростей однопараметрической сети. Точки пересечения находятся при помощи встроенных процедур решения уравнений. В системе компьютерной математики MathCAD это может быть процедура root. Найденным точкам пересечения отвечают значения dR и V на плоскости проекций (dR, V).
К полученным точкам на плоскости проекций применяется встроенная процедура полиномиальной регрессии и находится характеристическая кривая зависимости скорости от радиуса окружности составной базовой линии, которые приведены на рис. 1.
На рис. 7, на плоскости проекций (dR, V) изображена такая же характеристическая линия зависимости скорости и для другого преследователя. Далее, применятся второй оптимизирующий фактор V1 = V2 = V0. В тестовой программе объекты движутся с одинаковыми скоростями. Встроенными средствами компьютерной математики ищутся точки пересечения с линией уровня V = V0. Этим точкам соответствуют значения dR1 и dR2.
При запуске итерационного процесса с заданным значением времени достижения цели t0, с заданными модулями скоростей движения V0, с найденными значениями приращений dR1 и dR2 к начальному радиусу окружности достигнуто одновременное достижение цели двумя преследователями. Этот факт продемонстрирован дополнением к рис. 2.
В данной статье предложен метод достижения группой преследователей множества целей, в котором может назначаться время достижения. Одновременное достижение целей есть частный результат данного метода. Данный метод является развитием метода параллельного сближения. Если данный метод реализовать в пространстве, то следует добиться того, чтобы векторы преследователя и цели находились в одной плоскости.
Если задача преследования происходит в трехмерном пространстве, и мы хотим свести ее к методу параллельного сближения, но скорость преследователя направлена произвольно, то базовую линию прогнозируемых траекторий движения преследователя следует строить в плоскости, образованной линией визирования и скоростью преследователя.
Следующий шаг преследователя будет точка пресечения сферы с радиусом равным шагу преследователя и базовой линии, параллельно перенесенной так, чтобы один ее конец совмещался с точкой положения цели.
Теперь к вопросу нахождения окружности Аполлония и точки К в трехмерном пространстве. Сама окружность будет находиться в плоскости, образованной линией визирования и скоростью цели. Параметры окружности Аполлония такие как центр окружности (т. Q), радиус окружности r, точка Аполлония (т. A), точка K определяются вектором скорости цели, модулем скорости преследователя, положениями преследователя и цели. Имеется аналитическое решение этой в плоской системе координат, показанной на рис. 5. Центр координат находится в точке положения цели, вектор абсцисс будет единичным вектором вдоль линии визирования, соединяющей положения преследователя и цели, а вектор ординат будет перпендикулярным вектору абсцисс, но в плоскости, образованной линией визирования и вектором скорости цели.
19,0 -0,300
0,300 dЯ
-0,225
-0,300
-0,075
0,000 QvLf.t
0,075
0,150
0,225
0,300 dR
Рис. 7. Результаты многофакторного анализа Fig. 7. Results of multivariate analysis
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Методы многомерной начертательной геометрии, применяемые в статье, заключались в вариации модулей скоростей и радиусов прилегающих к траекториям преследователей окружностям. Хотя по условиям задачи модули скоростей преследователей являются неизменными. Использование в качестве одного из оптимизирующих факторов фиксированного значения модуля скорости преследователя является основным в данной статье. Если анализировать модули ско-
ростей, радиусы прилегающих к преследователям окружностей и начальные направления движения преследователей, то следует прибегнуть к модели четырехмерного пространства, изложенного в работах Болотова (гиперэпюр Болотова).
Результаты исследований, приведенные в данной статье, могут быть востребованы разработчиками барражирующих беспилотных летательных аппаратов, которые выполняют групповые согласованные задачи. Роль оператора наведения может быть сведена к указанию целей и контролю над выполнением задач.
Литература
1. Волков В.Я., Чижик М.А. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов: монография. Омск: Издатель-ско-полиграфический центр ОГИС, 2009. 101 с.
2. Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967.
3. Понтрягин Л.С. Линейная дифференциальная игра уклонения // Труды МИАН СССР. 1971. Т. 112. С. 30-63.
References
1. Volkov V.Ya., Chizhik M.A. Graphic optimization models of multifactor processes: Monograph. Omsk: Publishing and Printing Center OGIS, 2009. 101 p.
2. Isaacs R. Differential games. Moscow: Mir, 1967.
3. Pontryagin L.S. Linear differential game of evasion. Proceedings Steklov Mathematical Institute of the USSR. 1971. Vol. 112. Pp. 30-63.
INTELLIGENT TECHNICAL SYSTEMS IN MANUFACTURING AND INDUSTRIAL PRACTICE
4. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
5. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 222 с.
6. Одновременное достижение цели на плоскости. URL: http:// dubanov.exponenta.ru (дата обращения 22.05.2021)/
7. Видео, результаты программы моделирования одновременного достижения цели. URL: https://www.youtube.com/ watch?v=7VNHNwCbWrg (дата обращения: 22.05.2021).
8. Видео, результаты моделирования одновременного достижения двух целей тремя преследователями с визуализацией сети линий прогнозируемых траекторий. URL: https://www.youtube. com/watch?v=NNJDJOJT34I (дата обращения: 22.05.2021).
9. Видео, результаты моделирования одновременного достижения двух целей тремя преследователями без визуализации сети линий прогнозируемых траекторий. URL: https://www.youtube. com/watch?v=tdbgoNoby3A (дата обращения: 22.05.2021).
10. Видео, результаты моделирования одновременного достижения двух целей тремя преследователями в назначенные значения времени. URL: https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v= F6MTsWZL2BY&feature=youtu.be (дата обращения: 22.05.2021).
11. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Задача по преследованию скоординированных беглецов // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 75-79.
12. Банников А.С. Некоторые нестационарные задачи группового преследования // Труды Института математики и информатики УдГУ. 2013. Вып. 1 (41). C. 3-46.
13. Банников А.С. Нестационарная задача группового преследования // Труды Математического центра имени Лобачевского. Вып. 34. Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2006. С. 26-28.
14. Изместьев И.В., Ухоботов В.И. Задача преследования маломаневренных объектов с терминальным множеством в виде кольца // Материалы междунар. конф. «Геометрические методы в теории управления и математической физике: дифференциальные уравнения, интегрируемость, качественные теория». Рязань, 15-18 сентября 2016 г. Итоги науки и техники. Темат. обз. № 148. М.: ВИНИТИ РАН, 2018. С. 25-31.
15. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020665641. Кинематическая модель метода параллельного сближения.
16. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2020666553. Моделирование траектории преследователя на поверхности методом параллельного сближения.
17. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2021618896. Моделирование метода параллельного сближения на поверхности.
18. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2021618920. Модель параллельного сближения на плоскости группы преследователей с одновременным достижением цели.
4. Krasovsky N.N., Subbotin A.I. Positional differential games. Moscow: Science, 1974.
5. Petrosyan L.A. Differential pursuit games. Leningrad: Publishing house of Leningrad State University, 1977. 222 p.
6. Simultaneous achievement of the goal on the plane. URL: http:// dubanov.exponenta.ru (data of accesses: 05.22.2021).
7. Video, results of the simulation program for the simultaneous achievement of the goal. URL: https://www.youtube.com/ watch?v=7VNHNwCbWrg (data of accesses: 05.22.2021).
8. Video, simulation results of the simultaneous achievement of two goals by three pursuers with visualization of a network of lines of predicted trajectories. URL: https://www.youtube.com/ watch?v=NNJDJOJT34I (data of accesses: 05.22.2021).
9. Video, the results of modeling the simultaneous achievement of two goals by three pursuers without visualizing the network of lines of predicted trajectories. URL: https://www.youtube.com/ watch?v=tdbgoNoby3A (data of accesses: 05.22.2021).
10. Video, simulation results of the simultaneous achievement of two goals by three pursuers at designated times. URL: https://www. youtube.com/watch?app=desktop&v=F6MTsWZL2BY&feature=you tu.be (data of accesses: 05.22.2021).
11. Vagin D.A., Petrov N.N. The problem of pursuing coordinated fugitives. Izvestiya RAN. Theory and control systems. 2001. No. 5. Pp. 75-79.
12. Bannikov A.S. Some non-stationary problems of group pursuit. Proceedings of the Institute of Mathematics and Informatics of UdSU. 2013. Issue 1 (41). Pp. 3-46
13. Bannikov A.S. The nonstationary problem of group pursuit. Proceedings of the Lobachevsky Mathematical Center. Vol. 34. Kazan: Publishing house of the Kazan Mathematical Society, 2006. Pp. 26-28.
14. Izmestiev I.V., Ukhobotov V.I. The problem of pursuing low-maneuverable objects with a terminal set in the form of a ring. Proceedings of the International Conference "Geometric Methods in Control Theory and Mathematical Physics: Differential Equations, Integrability, Qualitative Theory". Ryazan, September 15-18, 2016. Results of Science and Technology. Topic. Obz. No. 148, Moscow: VINITI RAN, 2018. Pp. 25-31.
17. Certificate of state registration of a computer program No. 2020665641. Kinematic model of the parallel approach method.
18. Certificate of state registration of a computer program No. 2020666553. Simulation of the pursuer's trajectory on the surface by the method of parallel approach.
19. Certificate of state registration of the computer program No. 2021618896. Simulation of the method of parallel approach on the surface.
20. Certificate of state registration of the computer program No. 2021618920. Model of parallel approach on the plane of a group of pursuers with the simultaneous achievement of the goal.
Статья проверена программой Антиплагиат. Оригинальность - 69,88%
Рецензент: Заятуев Б.В., заведующий кафедрой «Геометрия и МПМ» Института математики и информатики Бурятского государственного университета им. Д. Банзарова
Статья поступила в редакцию 24.05.2021, принята к публикации 26.06.2021 The article was received on 24.05.2021, accepted for publication 26.06.2021
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ
Дубанов Александр Анатольевич, кандидат технических наук; доцент Бурятского государственного университета им. Д. Банзарова. Улан-Удэ, Российская Федерация. РИНЦ Author ID: 137019; ORCID: 0000-00021855-2562; SCOPUS Author ID: 57208819594; Web of Science Researcher ID: AAG-6697-2021; E-mail: alandubanov @mail.ru
ABOUT THE AUTHOR
Alexander А. Dubanov, Cand. Sci. (Eng.); assotiate professor at the Banzarov Buryat State University. Ulan-Ude, Russian Federation. Author ID: 137019; ORCID: 0000-0002-1855-2562; SCOPUS Author ID: 57208819594; Web of Science Researcher ID: AAG-6697-2021; E-mail: alandubanov@mail.ru
