Научная статья на тему 'Анализ устойчивости периодических колебаний в нелинейных непрерывно-дискретных системах'

Анализ устойчивости периодических колебаний в нелинейных непрерывно-дискретных системах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
35
6
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ / СИГМА-ДЕЛЬТА АЦП / СИГМА-ДЕЛЬТА МОДУЛЯТОР / ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ / ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ / ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ / СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ / УСТОЙЧИВОСТЬ

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Чувыкин Борис Викторович, Долгова Ирина Анатольевна, Еременко Алексей Владимирович

В статье решается задача определения условий возникновения периодических колебаний в нелинейных непрерывно-дискретных системах на примере сигма-дельта модулятора третьего порядка, который является основным элементом в структуре высокоточного сигма-дельта аналого-цифрового преобразователя. Наличие периодических колебаний в непрерывно-дискретных системах является необходимым условием устойчивой работы модулятора и обеспечение высокой точности аналого-цифрового преобразования. В статье приводится метод компьютерного моделирования для нахождения граничных значений коэффициентов обратной связи сигма-дельта модулятора для режима перехода к хаотическим колебаниям. В основе метода положен анализ состояния вход/выход интеграторов в фазовой плоскости и анализ спектра выходных сигналов сигма-дельта модулятора третьего порядка, что позволяет получать количественные оценки чувствительности к отклонениям значений коэффициентов обратной связи от граничный значений, соответствующих устойчивому состоянию наличия периодических колебаний. Приводится simulink-модель сигма-дельта модулятора третьего порядка, в прямом канале которого включены аналоговые интеграторы, охваченные импульсной обратной связью. Даны количественные результаты моделирования и графические иллюстрации перехода от режима периодических колебаний непрерывно-дискретной системы к режиму хаотических колебаний.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Чувыкин Борис Викторович, Долгова Ирина Анатольевна, Еременко Алексей Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Анализ устойчивости периодических колебаний в нелинейных непрерывно-дискретных системах»

PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2013, 1 (21)

SENSOR, DEVICE AND SYSTEM DESIGN______________________________________________________

УДК 681.518.3

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ

Чувыкин Борис Викторович, доктор технических наук, профессор, Пензенский государственный университет, 440026, Российская Федерация, г. Пенза, ул. Красная, 40, тел. 8 (8412) 36-82-38, e-mail: [email protected], [email protected]

Долгова Ирина Анатольевна, кандидат технических наук, доцент, Пензенский государственный университет, 440026, Российская Федерация, г. Пенза, ул. Красная, 40, тел. 8 (8412) 36-82-38, e-mail: [email protected], [email protected]

Еременко Алексей Владимирович, кандидат технических наук, доцент, Пензенский государственный университет, 440026, Российская Федерация, г. Пенза, ул. Красная, 40, тел. 8 (8412) 36-82-38, e-mail: [email protected], [email protected]

В статье решается задача определения условий возникновения периодических колебаний в нелинейных непрерывно-дискретных системах на примере сигма-дельта модулятора третьего порядка, который является основным элементом в структуре высокоточного сигма-дельта аналого-цифрового преобразователя.

Наличие периодических колебаний в непрерывно-дискретных системах является необходимым условием устойчивой работы модулятора и обеспечение высокой точности аналого-цифрового преобразования. В статье приводится метод компьютерного моделирования для нахождения граничных значений коэффициентов обратной связи сигма-дельта модулятора для режима перехода к хаотическим колебаниям. В основе метода положен анализ состояния вход/выход интеграторов в фазовой плоскости и анализ спектра выходных сигналов сигма-дельта модулятора третьего порядка, что позволяет получать количественные оценки чувствительности к отклонениям значений коэффициентов обратной связи от граничный значений, соответствующих устойчивому состоянию наличия периодических колебаний.

Приводится simulink-модель сигма-дельта модулятора третьего порядка, в прямом канале которого включены аналоговые интеграторы, охваченные импульсной обратной связью. Даны количественные результаты моделирования и графические иллюстрации перехода от режима периодических колебаний непрерывно-дискретной системы к режиму хаотических колебаний.

Ключевые слова: нелинейные непрерывно-дискретные системы, сигма-дельта АЦП, сигма-дельта модулятор, периодические колебания, хаотические колебания, фазовая плоскость, спектральный анализ, устойчивость

PERIODIC FLUCTUATIONS IN NONLINEAR CONTINUOUS-DISCRETE SYSTEMS: ANALYSIS OF STABILITY

Chuvykin Boris V., D.Sc. (Engineering), Professor, Penza State University, 40 Krasnaya St., Penza, 440026, Russian Federation, phone 8 (8412) 36-82-38, e-mail: [email protected], chu-vykin_bv@mail. ru

Dolgova Irina A., Ph.D. (Engineering), Associate Professor, Penza State University, 40 Krasnaya St., Penza, 440026, Russian Federation, phone 8 (8412) 36-82-38, e-mail: [email protected], [email protected]

Yeremenko Alexey V., Ph.D. (Engineering), Associate Professor, Penza State University, 40 Krasnaya St., Penza, 440026, Russian Federation, phone 8 (8412) 36-82-38, e-mail: [email protected], [email protected]

ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (21) 2013 КОНСТРУИРОВАНИЕ ДАТЧИКОВ, ПРИБОРОВ И СИСТЕМ

The article discusses the challenge of using a nonlinear continuous-discrete (NCD) system to determine the causes of its periodic fluctuations. The NCD system would contain a third-order sigma-delta modulator, a key element in the structure of a high-precision sigma-delta analog-to-digital converter. The presence of periodic fluctuations in continuous-discrete systems, the critique relates, is a necessary condition for stable modulator functioning and high-precision analog-to-digital conversion. The document presents a method of computer simulation that establishes the boundary values for feedback coefficients of the sigma-delta modulator whenever chaotic fluctuations for mode transition occur. The method is based on an analysis of the integrator input/output in the phase plane and of the output signals from the third-order sigma-delta modulator. It enables the user to obtain quantitative estimates of the latter device's sensitivity to variation-coefficient-value feedback from the boundary values, which corresponds to a steady availability state for periodic fluctuations. The commentary notes that a Simulink-model is used by the third-order sigma-delta modulator, which includes direct-channel analog integrators and provides covered-pulse feedback. Finally, the blueprint presents the quantitative results of the simulation and a graphical illustration of the NCD system's transition from periodic to chaotic fluctuations.

Keywords: nonlinear continuous-discrete systems, sigma-delta ADC, sigma-delta modulator, periodic fluctuations, chaotic fluctuations, phase plane, spectral analysis, stability

В настоящее время благодаря сочетанию уникальных свойств: высокой точности (до 24 разрядов), линейности, малого энергопотребления, сигма-дельта АЦП (^Д-АЦП) широко используются в нелинейных непрерывно-дискретных системах (например, датчикопреобразующая аппаратура). Одним из важнейших элементов в ^Д-АЦП является преобразователь аналогового сигнала в цифровую однобитную последовательность. Классическая структура такого преобразователя - это ^Д-модулятор, в прямом канале которого включены аналоговые интеграторы, охваченные импульсной обратной связью. Сигнал обратной связи представляет собой двухуровневый сигнал, формируемый однобитным ЦАП.

При проектировании непрерывно-дискретных систем возникает необходимость обеспечения устойчивости работы ^Д-модулятора как элемента таких систем. Для обеспечения устойчивости требуется провести анализ условий возникновения периодических и хаотических колебаний с целью выбора значений постоянных времени интеграторов.

Рассмотрим условия возникновения периодических и хаотических колебаний в нелинейной непрерывно-дискретной системе, включающей ^Д-модулятор третьего порядка [2-4]. Модель структуры такой системы разработана в среде Mathlab Simulink и представлена на рис. 1.

Y[n]

Рис. 1. Вариант структуры ^Д-модулятора третьего порядка

PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2013, 1 (21) SENSOR, DEVICE AND SYSTEM DESIGN

Математическая модель сигма-дельта модулятора третьего порядка в виде системы разностных уравнений (1) будет иметь следующий вид:

Т (

и1[п] = и1[п-1] + Т (Х [

( Т / Л

"[И-1] - 7[п-1],

U

- и + Td

— йог«-!1 н-------

2[n] - u2[n-1]

T2

U1[n-1] - Y[n-1] +

Td

U3[n] — U3[n-1] + ^" T3

(

U2[n-1] - 7[n-1] +

Id.

2T1

Td

[n-1] - Y[n-1],

(1)

2T2

U

1[n-1] - Y[n-1] + ^ (X[n-1] - Y[n-1],

Td

- X [

3Ti [‘

JJ

Y[n] = sign(U3[п]У

где X[n] - амплитуда входного сигнала; Y[n\ - амплитуда выходного сигнала на n-ом цикле преобразования; Т^ - период цикла преобразования; U[[n], U2[п\, U3[n] - амплитуды выходных сигналов интеграторов в конце n-ого цикла преобразования; Ту, Т?, Т - постоянные времени интеграторов.

В данной модели (см. рис. 1) период цикла преобразования принят Тd = 1, а значения постоянных времени интеграторов подобраны таким образом (Ту = 4, Tz = 2, Т3 = 1), что в заданном диапазоне изменения значений входного сигнала Х наблюдается устойчивая работа ^Д-модулятора.

На рис. 2 в фазовой плоскости представлен график зависимости выходного сигнала (по оси Y) от входного сигнала (по оси X) для интегратора Int 3 (см. рис. 1) при значении сигнала на входе системы X = 0,5. Замкнутая траектория на рис. 2 свидетельствует о наличии в системе периодического процесса.

Рис. 2. График зависимости выходного сигнала от входного сигнала для интегратора Int 3

Значение периода колебаний можно определить по спектру выходного сигнала, приведенного на рис. 3, или непосредственно по виду однобитного сигнала с выхода элемента Sign, представленного на рис. 4 (в данном случае период T = 16 тактам работы £Л-модулятора) [1].

ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (21) 2013 КОНСТРУИРОВАНИЕ ДАТЧИКОВ, ПРИБОРОВ И СИСТЕМ

ш 40-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-с 20

0

® О

“ -20 ш

1 -40

I -И

03

^ .00----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

Frame: 2 Frequency (mHz)

Рис. 3. Спектр выходного сигнала

0.5 -...............................................................:..............................................................................................:...............................;...............................:..............................................................................................— ■

О -.................................................................:..............................................................................................-...............................-...............................:..............................................................................................— I

•0.5 -..............................................................і..............................................................................................I...............................І...............................с..............................................................................................— I

_1IZZ_........................... ............................. Г ................................I.......................... ...................................................................і ..............................I..............................і .........................._i_..............................~

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Рис. 4. Однобитный сигнал с выхода элемента Sign

Результаты моделирования показали, что при отклонении значения сигнала на входе системы Х от Х = 0,5 на величину большую 10-9 наблюдается постепенный переход от периодических к хаотическим колебаниям. На рис. 5 представлен график зависимости выходного сигнала от входного сигнала для интегратора Int 3.

2 1 ■

іп

< 05-1 ■

-2

-2

Рис. 5. График зависимости выходного сигнала от входного сигнала для интегратора Int 3 при X > 0,5 + 10-9

Наличие незамкнутой траектории на рис. 5 свидетельствует о наличии в системе хаотического процесса. Это подтверждает и вид спектра выходного сигнала, приведенный на рис. 6.

PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2013, 1 (21) SENSOR, DEVICE AND SYSTEM DESIGN

Frame: 2 Frequency [mHz}

Рис. 6. Спектр выходного сигнала при X > 0,5 + 10Л-9

Таким образом, исследование модели (рис. 1) показало, что в нелинейных непрерывнодискретных системах возникают как периодические, так и хаотические колебания. В результате проведенного анализа устойчивости периодических колебаний ^Д-модулятора третьего порядка, в прямом канале которого включены аналоговые интеграторы, охваченные импульсной обратной связью, выяснилось, что имеет место очень высокая чувствительность нахождения системы в устойчивом состоянии (наличие процесса периодических колебаний) к отклонению значения амплитуды входного сигнала от заданной величины (на 10-9). При этом наблюдается переход системы в неустойчивое состояние (возникает процесс хаотических колебаний).

Список литературы

1. Шахов Э. К. ЕД-АЦП: Цифровая фильтрация и децимация / Э. К. Шахов, Б. В. Чувыкин // Датчики и системы. - 2007. - № 2. - С. 44-50.

2. Швец В. Архитектура сигма-дельта АЦП и ЦАП / В. Швец, Ю. Нищирет // Chip News. - 1998. - № 2. - C. 2-11.

3. Schreier R. Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation / R. Schreier, S. R. Nor-sworthy, G. C. Temes. - IEEE Computer Society Press, 1996. - 476 p.

4. Schreier R. Understanding delta-sigma data converters / R. Schreier, G. C. Temes. - New Jersey : IEEE Press, 2005. - 446 p.

References

1. Shakhov E. K., Chuvykin B. V. ЕД-ATsP: Tsifrovaya filtratsiya i detsimatsiya [ЕД-ADC: Digital filtering and decimation]. Datchiki i sistemy [Sensors and Systems], 2007, no. 2, pp. 44-50.

2. Shvets V., Nishchiret Yu. Arkhitektura sigma-delta ATsP i TsAP [Architecture of sigma-delta ADC and DAC]. Chip News, 1998, no. 2, pp. 2-11.

3. Schreier R., Norsworthy S. R., Temes G. C. Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation. IEEE Computer Society Press, 1996. 476 p.

4. Schreier R., Temes G. C. Understanding delta-sigma data converters. New Jersey, IEEE Press, 2005. 446 p.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.