CC BY
5PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2013, 1 (21)
SENSOR, DEVICE AND SYSTEM DESIGN______________________________________________________
УДК 681.518.3
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ
Чувыкин Борис Викторович, доктор технических наук, профессор, Пензенский государственный университет, 440026, Российская Федерация, г. Пенза, ул. Красная, 40, тел. 8 (8412) 36-82-38, e-mail: irina-penza@mail.ru, chuvykin_bv@mail.ru
Долгова Ирина Анатольевна, кандидат технических наук, доцент, Пензенский государственный университет, 440026, Российская Федерация, г. Пенза, ул. Красная, 40, тел. 8 (8412) 36-82-38, e-mail: irina-penza@mail.ru, chuvykin_bv@mail.ru
Еременко Алексей Владимирович, кандидат технических наук, доцент, Пензенский государственный университет, 440026, Российская Федерация, г. Пенза, ул. Красная, 40, тел. 8 (8412) 36-82-38, e-mail: irina-penza@mail.ru, chuvykin_bv@mail.ru
В статье решается задача определения условий возникновения периодических колебаний в нелинейных непрерывно-дискретных системах на примере сигма-дельта модулятора третьего порядка, который является основным элементом в структуре высокоточного сигма-дельта аналого-цифрового преобразователя.
Наличие периодических колебаний в непрерывно-дискретных системах является необходимым условием устойчивой работы модулятора и обеспечение высокой точности аналого-цифрового преобразования. В статье приводится метод компьютерного моделирования для нахождения граничных значений коэффициентов обратной связи сигма-дельта модулятора для режима перехода к хаотическим колебаниям. В основе метода положен анализ состояния вход/выход интеграторов в фазовой плоскости и анализ спектра выходных сигналов сигма-дельта модулятора третьего порядка, что позволяет получать количественные оценки чувствительности к отклонениям значений коэффициентов обратной связи от граничный значений, соответствующих устойчивому состоянию наличия периодических колебаний.
Приводится simulink-модель сигма-дельта модулятора третьего порядка, в прямом канале которого включены аналоговые интеграторы, охваченные импульсной обратной связью. Даны количественные результаты моделирования и графические иллюстрации перехода от режима периодических колебаний непрерывно-дискретной системы к режиму хаотических колебаний.
Ключевые слова: нелинейные непрерывно-дискретные системы, сигма-дельта АЦП, сигма-дельта модулятор, периодические колебания, хаотические колебания, фазовая плоскость, спектральный анализ, устойчивость
PERIODIC FLUCTUATIONS IN NONLINEAR CONTINUOUS-DISCRETE SYSTEMS: ANALYSIS OF STABILITY
Chuvykin Boris V., D.Sc. (Engineering), Professor, Penza State University, 40 Krasnaya St., Penza, 440026, Russian Federation, phone 8 (8412) 36-82-38, e-mail: irina-penza@mail.ru, chu-vykin_bv@mail. ru
Dolgova Irina A., Ph.D. (Engineering), Associate Professor, Penza State University, 40 Krasnaya St., Penza, 440026, Russian Federation, phone 8 (8412) 36-82-38, e-mail: irina-penza@mail.ru, chuvykin_bv@mail.ru
Yeremenko Alexey V., Ph.D. (Engineering), Associate Professor, Penza State University, 40 Krasnaya St., Penza, 440026, Russian Federation, phone 8 (8412) 36-82-38, e-mail: irina-penza@mail.ru, chuvykin_bv@mail.ru
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (21) 2013 КОНСТРУИРОВАНИЕ ДАТЧИКОВ, ПРИБОРОВ И СИСТЕМ
The article discusses the challenge of using a nonlinear continuous-discrete (NCD) system to determine the causes of its periodic fluctuations. The NCD system would contain a third-order sigma-delta modulator, a key element in the structure of a high-precision sigma-delta analog-to-digital converter. The presence of periodic fluctuations in continuous-discrete systems, the critique relates, is a necessary condition for stable modulator functioning and high-precision analog-to-digital conversion. The document presents a method of computer simulation that establishes the boundary values for feedback coefficients of the sigma-delta modulator whenever chaotic fluctuations for mode transition occur. The method is based on an analysis of the integrator input/output in the phase plane and of the output signals from the third-order sigma-delta modulator. It enables the user to obtain quantitative estimates of the latter device's sensitivity to variation-coefficient-value feedback from the boundary values, which corresponds to a steady availability state for periodic fluctuations. The commentary notes that a Simulink-model is used by the third-order sigma-delta modulator, which includes direct-channel analog integrators and provides covered-pulse feedback. Finally, the blueprint presents the quantitative results of the simulation and a graphical illustration of the NCD system's transition from periodic to chaotic fluctuations.
Keywords: nonlinear continuous-discrete systems, sigma-delta ADC, sigma-delta modulator, periodic fluctuations, chaotic fluctuations, phase plane, spectral analysis, stability
В настоящее время благодаря сочетанию уникальных свойств: высокой точности (до 24 разрядов), линейности, малого энергопотребления, сигма-дельта АЦП (^Д-АЦП) широко используются в нелинейных непрерывно-дискретных системах (например, датчикопреобразующая аппаратура). Одним из важнейших элементов в ^Д-АЦП является преобразователь аналогового сигнала в цифровую однобитную последовательность. Классическая структура такого преобразователя - это ^Д-модулятор, в прямом канале которого включены аналоговые интеграторы, охваченные импульсной обратной связью. Сигнал обратной связи представляет собой двухуровневый сигнал, формируемый однобитным ЦАП.
При проектировании непрерывно-дискретных систем возникает необходимость обеспечения устойчивости работы ^Д-модулятора как элемента таких систем. Для обеспечения устойчивости требуется провести анализ условий возникновения периодических и хаотических колебаний с целью выбора значений постоянных времени интеграторов.
Рассмотрим условия возникновения периодических и хаотических колебаний в нелинейной непрерывно-дискретной системе, включающей ^Д-модулятор третьего порядка [2-4]. Модель структуры такой системы разработана в среде Mathlab Simulink и представлена на рис. 1.
Y[n]
Рис. 1. Вариант структуры ^Д-модулятора третьего порядка
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2013, 1 (21) SENSOR, DEVICE AND SYSTEM DESIGN
Математическая модель сигма-дельта модулятора третьего порядка в виде системы разностных уравнений (1) будет иметь следующий вид:
Т (
и1[п] = и1[п-1] + Т (Х [
( Т / Л
"[И-1] - 7[п-1],
U
- и + Td
— йог«-!1 н-------
2[n] - u2[n-1]
T2
U1[n-1] - Y[n-1] +
Td
U3[n] — U3[n-1] + ^" T3
(
U2[n-1] - 7[n-1] +
Id.
2T1
Td
[n-1] - Y[n-1],
(1)
2T2
U
1[n-1] - Y[n-1] + ^ (X[n-1] - Y[n-1],
Td
- X [
3Ti [‘
JJ
Y[n] = sign(U3[п]У
где X[n] - амплитуда входного сигнала; Y[n\ - амплитуда выходного сигнала на n-ом цикле преобразования; Т^ - период цикла преобразования; U[[n], U2[п\, U3[n] - амплитуды выходных сигналов интеграторов в конце n-ого цикла преобразования; Ту, Т?, Т - постоянные времени интеграторов.
В данной модели (см. рис. 1) период цикла преобразования принят Тd = 1, а значения постоянных времени интеграторов подобраны таким образом (Ту = 4, Tz = 2, Т3 = 1), что в заданном диапазоне изменения значений входного сигнала Х наблюдается устойчивая работа ^Д-модулятора.
На рис. 2 в фазовой плоскости представлен график зависимости выходного сигнала (по оси Y) от входного сигнала (по оси X) для интегратора Int 3 (см. рис. 1) при значении сигнала на входе системы X = 0,5. Замкнутая траектория на рис. 2 свидетельствует о наличии в системе периодического процесса.
Рис. 2. График зависимости выходного сигнала от входного сигнала для интегратора Int 3
Значение периода колебаний можно определить по спектру выходного сигнала, приведенного на рис. 3, или непосредственно по виду однобитного сигнала с выхода элемента Sign, представленного на рис. 4 (в данном случае период T = 16 тактам работы £Л-модулятора) [1].
ПРИКАСПИЙСКИЙ ЖУРНАЛ: управление и высокие технологии № 1 (21) 2013 КОНСТРУИРОВАНИЕ ДАТЧИКОВ, ПРИБОРОВ И СИСТЕМ
ш 40-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-с 20
0
® О
“ -20 ш
1 -40
I -И
03
^ .00----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Frame: 2 Frequency (mHz)
Рис. 3. Спектр выходного сигнала
0.5 -...............................................................:..............................................................................................:...............................;...............................:..............................................................................................— ■
О -.................................................................:..............................................................................................-...............................-...............................:..............................................................................................— I
•0.5 -..............................................................і..............................................................................................I...............................І...............................с..............................................................................................— I
_1IZZ_........................... ............................. Г ................................I.......................... ...................................................................і ..............................I..............................і .........................._i_..............................~
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Рис. 4. Однобитный сигнал с выхода элемента Sign
Результаты моделирования показали, что при отклонении значения сигнала на входе системы Х от Х = 0,5 на величину большую 10-9 наблюдается постепенный переход от периодических к хаотическим колебаниям. На рис. 5 представлен график зависимости выходного сигнала от входного сигнала для интегратора Int 3.
2 1 ■
іп
< 05-1 ■
-2
-2
Рис. 5. График зависимости выходного сигнала от входного сигнала для интегратора Int 3 при X > 0,5 + 10-9
Наличие незамкнутой траектории на рис. 5 свидетельствует о наличии в системе хаотического процесса. Это подтверждает и вид спектра выходного сигнала, приведенный на рис. 6.
PRIKASPIYSKIY ZHURNAL: Upravlenie i Vysokie Tekhnologii (CASPIAN JOURNAL: Management and High Technologies), 2013, 1 (21) SENSOR, DEVICE AND SYSTEM DESIGN
Frame: 2 Frequency [mHz}
Рис. 6. Спектр выходного сигнала при X > 0,5 + 10Л-9
Таким образом, исследование модели (рис. 1) показало, что в нелинейных непрерывнодискретных системах возникают как периодические, так и хаотические колебания. В результате проведенного анализа устойчивости периодических колебаний ^Д-модулятора третьего порядка, в прямом канале которого включены аналоговые интеграторы, охваченные импульсной обратной связью, выяснилось, что имеет место очень высокая чувствительность нахождения системы в устойчивом состоянии (наличие процесса периодических колебаний) к отклонению значения амплитуды входного сигнала от заданной величины (на 10-9). При этом наблюдается переход системы в неустойчивое состояние (возникает процесс хаотических колебаний).
Список литературы
1. Шахов Э. К. ЕД-АЦП: Цифровая фильтрация и децимация / Э. К. Шахов, Б. В. Чувыкин // Датчики и системы. - 2007. - № 2. - С. 44-50.
2. Швец В. Архитектура сигма-дельта АЦП и ЦАП / В. Швец, Ю. Нищирет // Chip News. - 1998. - № 2. - C. 2-11.
3. Schreier R. Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation / R. Schreier, S. R. Nor-sworthy, G. C. Temes. - IEEE Computer Society Press, 1996. - 476 p.
4. Schreier R. Understanding delta-sigma data converters / R. Schreier, G. C. Temes. - New Jersey : IEEE Press, 2005. - 446 p.
References
1. Shakhov E. K., Chuvykin B. V. ЕД-ATsP: Tsifrovaya filtratsiya i detsimatsiya [ЕД-ADC: Digital filtering and decimation]. Datchiki i sistemy [Sensors and Systems], 2007, no. 2, pp. 44-50.
2. Shvets V., Nishchiret Yu. Arkhitektura sigma-delta ATsP i TsAP [Architecture of sigma-delta ADC and DAC]. Chip News, 1998, no. 2, pp. 2-11.
3. Schreier R., Norsworthy S. R., Temes G. C. Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation. IEEE Computer Society Press, 1996. 476 p.
4. Schreier R., Temes G. C. Understanding delta-sigma data converters. New Jersey, IEEE Press, 2005. 446 p.
