Анализ упруго – пластического состояния вершины трещины при симметричном деформировании Текст научной статьи по специальности «Физика»

АНАЛИЗ УПРУГО - ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ ПРИ СИММЕТРИЧНОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ

В.Н. ШЛЯННИКОВ, А.М. ТАРТЫГАШЕВА, Б.В. ИЛЬЧЕНКО

Казанский государственный энергетический университет

В статье исследуется напряженно-деформированное состояние пластины, ослабленной прямолинейной сквозной внутренней трещиной при двухосном нагружении. Основное внимание сосредоточено на оценке влияния условий двухосного нагружения и ориентации трещины посредством несингулярного члена на поля напряжений в пластической области вершины трещины и установлении закономерностей изменения параметра, корректирующего классическое решение Хатчинсона-Райса- Розенгрена. Параметры состояния среды заданы по определяющим уравнениям теории течения. Поставленная задача решена численно на основе метода конечных элементов с привлечением вычислительного комплекса ANSYS. В результате расчетов для плоского напряженного состояния получены поля напряжений для двух ориентаций трещины и установлена зависимость корректирующего множителя полей Хатчинсона-Райса-Розенгрена от условий нагружения, описываемых несингулярным членом.

Теоретической основой прогнозирования остаточного ресурса элементов энергетического оборудования при наличии в них исходных и накопленных повреждений является упруго-пластическая механика трещин. Одно из главных направлений развития механики трещин, обеспечивающих ее практическое приложение, состоит в анализе и расчете параметров напряженно деформированного состояния (НДС) в элементе конструкции или детали с трещиной. Основой работ этого направления являются фундаментальные аналитические решения краевых упругих и нелинейных задач с позиций механики сплошной среды. При этом значительное внимание уделяется не столько полям параметров НДС, сколько амплитуде сингулярности, известной как коэффициенты интенсивности напряжений (КИН), которые для форм смещения берегов трещины по типу нормального отрыва и поперечного сдвига имеют вид [1,2]

к 1 =^Па [1 + л)_(1 _п)со82а] к2 =^Па [ - п)зт 2а] (1)

где а - номинальное напряжение в направлении оси ОУ; а - полудлина трещины; а - угол ориентации трещины относительно приложенных напряжений а; п -соотношение двухосных номинальных напряжений.

Кроме амплитуды сингулярности важное значение в анализе состояния тела с трещиной имеют и собственно поля напряжений, деформаций и перемещений, отражающие упругое или упруго-пластическое состояние материала при различных условиях нагружения.

Распределение компонент напряжений в области вершины трещины описывается соответствующими упругими и упруго-пластическими решениями

© В.Н. Шлянников, А.М. Тартыгашева, Б.В Ильченко Проблемы энергетики, 2003, № 11-12

[1,2,3,4]. Упругие поля напряжений, как правило, представляются в виде разложения в ряд по собственным функциям Вильямса [1,2]

ст у = Т5 & 5 х + Кіг -1/2 Гу (0)+ г -1 Лу (0)+ г -3/2 Бу (0)

-1

.-3/2;

(2)

Это решение имеет асимптотический характер, и обычно удерживаются два первых члена разложения:

К 2 . 0

. 81П —

л/2пг 2

К1 0

ст х , еоз —

х 4ъТ 2

+ ст(1 -п)ео«2а,

К1 0

ст у , еоз —

У л/2ПТ 2

К1 .00 30 К2 0

ст , зт—еоз —ео«— + , х еоз —

. 4ъТг 2 2 2 2

' . ^ 30

1 - «1П — «1П — 2 2

0 30

1 + 31П — «1П---------

2 2

0 30

2 + еоз —еоз — 2 2

+

К2 .0 0 30

+ , «1^ —ео^ео* —,

л/2пТ 2 2 2

0 30

1 - «1П — «1П---

2 2

(3)

Здесь г,0 - полярные координаты с центром в вершине трещины; К1 и К2-определяются формулами (1). В явном виде компоненты напряжений зависят от полярных координат г, 0 и несингулярного члена (третье слагаемое в первом уравнении (3)), обозначаемого Т. Этот член называется несингулярным потому, что не зависит от радиальной координаты.

Сам по себе несингулярный член отражает влияние номинальных напряжений а, а также зависит от коэффициента двухосности п и угла ориентации трещины а :

Т = а(1 _п)соз2а . (4)

Заметим, что представленные здесь формулы относятся к плоской задаче. Недостатком упругого решения является отсутствие возможности учета двухосности напряжений при симметричном нормальном отрыве, хотя многочисленными экспериментальными исследованиями показано, что такое влияние имеет место и реализуется оно в основном через зону пластической деформации в области вершины трещины. Отсюда следует необходимость решения задачи в упруго-пластической постановке.

Рассмотрим бесконечную пластину, находящуюся в условиях двухосного нагружения и ослабленную внутренней сквозной произвольно-ориентированной прямолинейной трещиной длиной Ь = 2а, ориентированной под углом а к номинальному напряжению в направлении оси ОУ (рис.1).

Наше внимание будет сосредоточено на окрестности вершины трещины в виде круговой области радиуса Я, на три порядка превышающего радиус кривизны самой вершины трещины р, т.е. р/Я = 10 _3 (рис. 2). Диапазон изменения несингулярного члена, нормированного на предел текучести материала ао,

выбран Т = (Т / а о) е (_1;1).

Рис. 1. Бесконечная пластина с произвольно-ориентированной трещиной в условиях двухосного нагружения

Внешний радиус Я выбирается так, чтобы выполнялись условия упругости по всему периметру области. На этом периметре будут задаваться упругие поля перемещений в следующем виде:

К1 г 0

----л— еоэ —

Є \2л 2

1 ( і) • 2 0 -(к- 1)+ Э1П —

+ К 2 г . 0

+---—л --ЭШ —

Є У2п 2

— (к +1)+ еоэ2 —

+

+11—{г [еоэф + 2а) + к еоэ(0 - 2а) - 2э1п 0 э1п 2а] + (к + 1) еоэ 2а}, 8Є

К1 г . 0

иу =----л —эт —

у Є Ъп 2

К 2 г 0

+-----л — еоэ —

Є Ъп 2

— (1 - к) + э1п2 0

(5)

+

+ (1 8(?)СТ Гг[э1П(2а - 0) + к«т(2а + 0)- 2э1п0еоэ2а] + (к +1) э1п 2а}.

их ~

б)

Рис. 2. Окрестность вершины трещины: а) круговая область радиуса Я; б) расчетная схема

В этих формулах С - модуль сдвига; к = (3 - 4у) - для плоской деформации, к = (3 -у)/(1 -V) - для плоского напряженного состояния , где V - коэффициент Пуассона, а их, Ыу - компоненты перемещений, зависящие от коэффициентов

интенсивности напряжений К1 и К2, полярных координат г и 0, номинального напряжения а, угла ориентации трещины а, коэффициента двухосности п. Несингулярный член, входящий в эти формулы, является явной функцией перечисленных параметров.

Все изменения исследуемых условий нагружения будут воспроизводиться через граничные перемещения их и и у, которые задаются на контуре

выделенной области. Этот факт дает большие преимущества при решении задачи методом конечных элементов, т.к. исключает необходимость переформирования расчетной схемы для каждого нового варианта сочетания внешних условий нагружения (номинального напряжения а, угла ориентации трещины а, коэффициента двухосности нагружения п ). В литературе данный подход известен как модифицированный метод задания граничных условий [5,6,7,8].

Существует классическое решение Хатчинсона-Райса-Розенгрена (ИЯЯ)

[3,4], описывающее поля компонент напряжений, деформаций и перемещений в пластической области вершины трещины,

а у = Кг-1/( я+1) дц (0; и). (6)

Это решение имеет асимптотический характер и является одночленным приближением, т.е. не может отражать влияние несингулярного члена Т . Актуальность влияния несингулярного члена на поля параметров в пластической области вершины трещины обусловлена тем, что решение ИВВ используется при интерпретации экспериментальных данных и при проведении расчетов несущей способности элементов конструкций в физически нелинейной постановке. Однако рядом исследований установлено, что экспериментальные распределения перемещений и деформаций отличаются от решения И1Ш как в большую, так и в

меньшую сторону. В связи с этим были предприняты попытки корректировки решения НИИ только для условий плоской деформации, состоящие во введении корректирующего или поправочного множителя П, зависящего от условий нагружения, описываемых величиной несингулярного члена Т [8]. В литературе такой подход известен как / - П правило, согласно которому параметр П определяется как разность между численным значением компоненты напряжений а00 , найденной по МКЭ, и ее значением, найденным по НИИ-модели. Значение П определяется формулой

п а а SSR,T=0 (7)

п = а00-а00 (7) при фиксированном значении радиальной координаты г = га о / 3 = 2.

В настоящей работе поставлена задача исследования упруго-пластического

состояния для двух положений плоской трещины (а = 900 и а = 0о ) при симметричном деформировании и поиска зависимости между несингулярным членом Т и параметром П.

Задача решалась численно на основе метода конечных элементов (МКЭ) в варианте метода перемещений для плоского напряженного состояния. Использован плоский восьмиузловой изопараметрический элемент, который предназначен для моделирования двухмерных задач в физически нелинейной постановке. В нашем случае материал обладает следующими свойствами: нелинейный, изотропный, независящий от температуры. Упруго-пластические свойства материала заданы по модели Рамберга-Осгуда через табличные значения диаграммы деформирования и соответствуют показателю деформационного упрочнения и = 5, пределу текучести а0 = 380 МПа, модулю Юнга Е = 200000 МПа и коэффициенту Пуассона V = 0.3 .

Форма рассматриваемой области представляет собой окружность радиуса Я = 1 м, разрезанную вдоль оси Ох до центра. Начало декартовой системы координат и центр внешнего радиуса Я окружности совпадают. Ширина разреза - расстояние между поверхностями трещины - составляет 2р =0,002 м, причем

центральная линия разреза совпадает с осью ОХ. Конец разреза или вершина трещины смоделирована как полуокружность радиуса р =0,001 м, центр которой

совмещен с центром основной внешней окружности. Вся расчетная схема состоит из 3698 элементов и включает в себя 3809 узлов и 7618 степеней свободы.

Для обработки результатов использовались значения нормальных агг, а00, касательных аг0 и главных а1, а2 напряжений, а также эквивалентные напряжения по Мизесу а е. Для сравнения численных результатов полученных МКЭ с имеющимися аналитическими решениями необходимо представление данных компонент напряжений в безразмерном виде. Аналитические НИИ-решения для симметричного деформирования широко представлены в литературе. В данной работе использовалось аналитическое НИИ-решение, полученное Шлянниковым В.Н. [9].

Полученные численные и аналитические результаты представлялись в виде радиальных (рис.3,4,6) и полярных (рис.5,7,8) распределений компонент безразмерных напряжений. Радиальные распределения строились для

фиксированного значения полярного угла 0 = 00, т.е. эпюры напряжений относятся к сечению, расположенному на продолжении плоской трещины. Полярные распределения компонент напряжений строились для фиксированного значения радиуса г = 0,0187 м, расположенного полностью внутри зоны

пластичности, с шагом по углу Л0 = 4.50. Сплошной линией на всех графиках представлено НИИ-решение.

В работе подтвержден факт, доказанный экспериментально, о влиянии несингулярного члена Т на распределение напряжений. Из графиков на рисунках 3,4,6 явно виден асимптотический характер упруго-пластических полей напряжений для радиального распределения. Именно из этих графиков находится параметр Q, который является разностью между нормированными значениями

для ст00, найденными соответственно по МКЭ и НИИ - решению при

_ Е

г = га о / J = (г / а)—-— = 2. Выбор г = 2 обусловлен тем, что при превышении а 2 п

этого значения все графики, полученные МКЭ, можно смещать как жесткое целое на величину параметра Q до совмещения их с аналитическим решением НИИ. Следует отметить, что одни и те же значения несингулярного члена Т могут быть получены за счет различных комбинаций параметров внешнего нагружения а и П и ориентации трещины а .

В настоящей работе исследовалась ситуация нормального отрыва,

реализованная при двух положениях плоскости трещины: а = 0о и а = 90о. Диапазон изменения значений несингулярного члена Т в зависимости от коэффициента двухосности п для данных случаев представлен в таблице 1.

Таблица 1

Диапазон изменения значений несингулярного члена Т в зависимости от коэффициента двухосности п для углов ориентации трещины а=0° и а=90°

а=0° а=90°

Т п Т п

0,87 -1 0,71 2,6

0,71 -0,5 0,52 2,2

0,65 -0,5 0,44 2,0

0,53 -0,5 0,26 2,0

0,26 0,5 0,0 1,0

0,00 1,0 -0,26 0,5

-0,26 2,0 -0,53 0,0

-0,34 2,0 -0,65 -0,5

-0,79 -0,5

-0,79 -2,0

-0,87 -1,0

Выше отмечено, что упруго-пластическая постановка расчетов необходима, прежде всего, из-за невозможности учета в упругом решении влияния двухосности напряжений при симметричном нормальном отрыве. Проведенные вычисления показали, что это влияние, безусловно, имеет место (рис. 3). Из представленных на этом рисунке графиков радиальных распределений окружных напряжений, соответствующих изменению коэффициента двухосности в диапазоне п е [—2;2], видно, что полученные напряжения отличаются от аналитических как в большую, так и в меньшую сторону для обоих случаев ориентации трещины:

а = 0о и а = 90о. Классическое НИИ-решение является частным случаем исследованных условий нагружения, характеризуемых значением несингулярного члена Т = 0, и соответствует нормальному отрыву при равнодвухосном растяжении. Этот факт подтверждается данными для п = 1, когда численное и аналитическое решения почти совпали (рис. 3).

В выбранном диапазоне изменения параметра Т е (—0.87;+0.87) его влияние на распределения напряжений имеет место для всех вариантов нагружения пластины с трещиной (рис.3-8). Следует отметить, что одно и тоже значение Т как положительное, так и отрицательное, полученное при разных сочетаниях входящих в него параметров, дает отличающиеся между собой результаты. Данное утверждение справедливо как для радиального (рис.4), так и для полярного распределений компонент напряжений (рис.5). Из этого следует, что упругий параметр Т не является однозначной характеристикой условий нагружения, как это предполагалась в ранних работах этого направления [5-8]. Более корректным будет непосредственная интерпретация результатов по отношению к величинам номинального напряжения а, коэффициента двухосности п и угла ориентации трещины а .

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0 О.о 1.5 3.0 4.5 6.0

Г<ЗоМ ГСЗ^/и

Если рассмотреть радиальное распределение нормальных напряжений а@0,апри а = 900 (рис.6), можно заметить монотонный характер изменения взаимного расположения графиков. Как видно из рис.6, все графики, соответствующие результатам МКЭ, лежат ниже НЯЙ-решения. Заметим, что меньшим значениям п и Т соответствуют кривые для меньших значений

напряжений. Для расположения трещины под углом а = 900 (рис.6) монотонность изменения распределений сохраняется, однако теперь меньшим значениям п и Т соответствуют более высокие напряжения. Для Т < 0 численные результаты МКЭ располагаются выше НЯЙ-решения. Монотонный характер распределения сохраняется и для полярных распределений компонент напряжений при изменении значений несингулярного члена от -0.87 до +0.87 и коэффициента

двухосности п от +2.6 до -2.0 при а = 90° (рис.7,8).

Таким образом, обобщая результаты сравнений графиков (рис.3-8) для полярного и радиального распределений компонент напряжений, можно сделать вывод о том, что двухосность нагружения оказывает влияние на поведение материала в пластической области вершины трещины при симметричном нагружении, которое отличается от классического НЯЙ-решения. Степень этого отличия зависит от величин номинальных напряжений, коэффициента двухосности и угла ориентации трещины. В частных случаях постоянных значений приложенных номинальных напряжений и угла ориентации трещины подобные различия между численными и аналитическими результатами, описываемые величиной корректирующего параметра Q, непосредственно коррелируют с варьируемыми значениями несингулярного члена Т . Вид такой корреляции между параметрами Q и Т представлен на рисунке 9 для а = 0° и

а = 90°.

Рис. 9. Зависимость между несингулярным членом Т и корректирующим параметром Q © Проблемы энергетики, 2003, № 11-12

При T = 0 графики пересекаются, т.е. формулы для упругих и упругопластических напряжений становятся одночленными. Очевидно, что наибольшая

корректировка решения необходима в случае а = 0о. При данном угле ориентации трещины установленная зависимость между T и Q носит

асимптотический характер. С ростом T параметр Q уменьшается. В случае

а = 90о при увеличении T параметр Q монотонно возрастает. Зависимости между рассматриваемыми параметрами в явном виде можно задать с помощью следующих функций аппроксимации:

Q = 0.04 ln(T +1) для а=90°, (8)

Q = exp[-2.9(T + 0.4)] - 0.3 для а=0°. (9)

В результате проведенного исследования упруго-пластического состояния вершины трещины при симметричном деформировании установлено существование четких зависимостей между несингулярным членом T ,

отражающим условия нагружения, и корректирующим параметром разности упруго-пластических решений для напряжений Q , если результаты разнесены по отношению к значению угла ориентации трещины. Данное обстоятельство предопределяет необходимость дальнейших исследований в полном диапазоне смешанных форм деформирования от условий нормального отрыва,

рассмотренных в настоящей работе, до ситуации чистого сдвига.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03-01-96233) и Академии наук и Фонда НИОКР Республики Татарстан (код проекта 05-5.3-218/2003 (Ф)).

Summary

Stress-strain state of plate with straightline through thickness crack under biaxial loading is investigated. Our attension is paid on the assessment of both biaxial loading conditions and crack angle with take into account of non-singular term. Elastic-plastic crack tip fields are found as difference of the second order term fields and Hutchinson-Rice-Rosengren solutions. It is found that the near-tip second stress fields are dependent on the magnitude and sign of non-singular term. The relation between a dimensionless amplitude factor and biaxial loading conditions is determined.

Литература

1. Eftis J, Subramonian N (1978) The inclined crack under biaxial load.Engng Fract Mech 10: 43-67.

2. WilliamsML (1957) On the stress distribution at the base of a stationary crack. J Appl Mech 24: 109-114.

3. Hutchinson JW (1968) Singular behaviour at the end of a tensile crack in a hardening material. J Mech Phys Solids 16: 13-31.

4. Rice JR, Rosengren GF (1968) Plane strain deformation near a crack tip in power law herdening material. J Mech Phys Solids 16: 1-12.

5. Andrews RM, Garwood SJ (2001) An analysis of fracture under biaxial loading using the non-singular T-stress. Fatugue Fract Engng Mater Struct 23: 53-62.

6. Larsson SG, Carlsson AJ (1973) Influence of non-singular stress terms and specimen geometry on small-scale yielding at crack tips in elastic-plastic materials. J Mech Phys Solids 21: 263-272.

7. Shih CF, Xia L (1995) Modeling crack growth resistance using computational cells with microstructurally-based length scales. In: Kirk M, Bakker A (eds.) Constraint Effects in Fracture: Theory and Applications. ASTM STP 1244, .ASTM, Philadelphia, PA, pp.163-190.

8. O’Dowd NP, Shih CF (1991) Family of crack-tip fields characterized by a triaxiality parameter- I. Structure of fields. J Mech Phys Solids 39: 989-1015.

9. Shlyannikov VN (2003) Elastic-Plastic Mixed-Mode Fracture Criteria and Parameters. Springer, 250 p.

Поступила 14.07.2003