CC BY
15
УДК 532.51
A. В. Чупаев, Р. Р. Галямов, А. А. Гайнуллина,
B. В. Кузьмин
АНАЛИЗ ТУРБУЛЕНТНОГО ЗАКРУЧЕННОГО ПОТОКА НА НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО КАНАЛА
Ключевые слова: закрученный поток, цилиндрический канал, пограничный слой.
Проведен анализ турбулентного течения несжимаемой жидкости в длинной цилиндрической трубе за местным закручивающим устройством с позиции представлении теории пограничного слоя и гипотезы Л.Прандтля о длине пути перемешивания.
Keywords: swirling flow, cylindrical channel, the boundary layer.
The analysis of the turbulent flow of an incompressible fluid in a long cylindrical tube for local swirling device with position representation of boundary layer theory and hypotheses about L.Prandtlya mixing length.
Исходя из теоретических предпосылок, подтвержденных результатами ряда исследователей [1-6] для расчета принята схема течения, представленная на рис. 1.
dR*
dx
Cx R" f ■ w^xyRxl - ~JL~ (1 + H ) X 2 wo_
1 + ^(1 + H )RH
w0 Rx1
(1)
Рис. 1 - Расчетная схема течения, принятая для аналитического исследования
4R* dH
X—x--+-
1
d
Rx1 dx w0wxoV0 dxi0
PWy
rdr
dR*
dx
= -(in wyo )- d (CH)-
d
y dx'
S„
wx Sy (1--^)
-hr:"4 (n w„)+ +
dx
dx
v
S,,
w S (1--^)
wxoSy(1 Уг0) d /. \ C
dx
(ln w,0 )h
fy
Rx
(y)
За пределами пограничного слоя поток делится на две зоны с индивидуальными законами распределения тангенциальной компоненты вектора скорости: в области поперечного сечения от оси до некоторого радиуса г5 , соответствующего координате максимума профиля скоростей, вращательное движение принято происходящим по закону:
wY
■■ const,
а в области,
заключенной между rS и внешней границей пограничного слоя wY ■ r = const, При этом допускалось, что перераспределение окружных скоростей от одной закономерности к другой осуществляется в тонком слое, толщиной которого можно пренебречь.
Для рассматриваемой разновидности течения уравнения движения имеет вид:
w0
dw0
dx R* (1 + H)
C
fx
.-L- d f
wx0 4r0 dx J0
d er01 p>Vy
У
Rx1 —
rdr
dR**
dx
(3)
1 — 4HtR*
R
x1
=f
4pwx rdr R' x0 - 4H
0 Mgr0Rx1
R
(4)
x1
Следуя гипотезе Л.Прандтля, выражение для касательного напряжения в рассматриваемом случае можно представить выражением:
Tj = ply
fa. V
5ws
Учитывая,
что
KQy)
wv = л lwy + wy
T =л\г2у +Ty .
С учетом
из (4) получаем:
г
У
v
+
У
r
r
и
Т
w
y
Tx wx
тх = р \1 +
йУ
Ту = „11+
( \ w 2 ' 1 dwyrУ
wy V у > г dr
(5)
(6)
Коэффициенты трения в осевом и закрученном потоках связаны со своими значениями касательных напряжений и скоростей в потенциальной части течения зависимостями:
С
2
тх
С
Рм
2
тУ
(7)
Р^хО^уО
В работе [7] на базе прямых измерений профилей скорости показано, что отношение величин осевой и тангенциальной составляющих скоростей остаются постоянными по сечению пограничного слоя и равными своему значению на внешней границе пограничного слоя, т.е.:
= (8)
™х Wx0
Принимая двухслойную модель пограничного слоя из (5), (6) с учетом (7) и (8) получаем:
С
2
С
ж 2
Следовательно:
(9)
С х С
ж 2
жхо
1 +
w
V
У О
С
2
СЖУ0 Ъо 2 wx
1+
wx
V wyо)
(10)
Замечая, что коэффициенты трения в стандартных условиях обратно пропорциональны корню четвертой степени из числа Рейнольдса, приближенно можно допустить, что:
Г \°-25
С
ЖУ о
С
Жхо
w
х о
V ^ о )
Интегрируя (9) в пределах от о до 5, получаем выражения, определяющие распределение осевой составляющей скорости по сечению турбулентного ядра пограничного слоя, а также циркуляции в его тангенциальном аналоге:
w = 1 + -
1С
Ж
Жхо
1п#х
г = 1+Ж СТ^у
(11)
Справедливость, которых в
рассматриваемом случае подтверждается сравнением с экспериментальными результатами [8], [9] и авторов на рис. 2 и 3.
0,8
0.6
[ 1 Линия-расчет по[11] Точки-эксперимент ?
> |=з, * $-15 • -х=9 Й=2-)й! иере Я <1 <*Г
( ( №1,5*1$ К/пд М.К. РоМГи$ ИЛ. Кегтое о*
у< э 1
Л 0
0.2
0,4
0.6
Рис. 2 - Профиль осевой составляющей скорости в пограничном слое
0.6
0.1I
0.2
1 \ Линия-расчет по[Ю] Точки-экспер и мент «! а
1 ) %=14 > £=15 - иере Р - Автор 1
1
/
у 0®
0.2
0.4
0,6
0.8
Рис. 3 - Профиль циркуляции в пограничном слое
Закон трения для пограничного слоя представим в виде:
С
Ж 2
С
Ж о
2
2
^ у =
С
Ж о 2
УхуУу (12)
С
где
жо_ 2
V--1п#1
. Ж
локальный коэффициент
трения на участке гидродинамической стабилизации невозмущенного турбулентного потока в осесимметричном канале, а функции:
С,
^ у =
"12 .
С
Ж о
2
2
w
w V х )
2
2
V ^о )
2
2
1
2
т =
ХУ г
С/х0
= , 1 +
ур Ч Ых0 )
т„ =
с
/уУ
^ 1 +
-у/ьр
\2
Ур
(13)
учитывают индивидуальный и совокупный вклад осевой и окружной составляющих движения на величину локального коэффициента трения С/^ в
закрученном потоке.
Зависимость значений у/хг , ту и от
степени закрученности потока иллюстрируется графиками на рис. 4. для решения системы (1) - (9) необходимо знать характеристики пограничного слоя.
Ухф
\ ><
О 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 \д ф
Рис. 4 - Результаты расчета знаменателя в выражении (20) по опытным данным [8], [9] и автора
Представив толщину потери импульса в закрученном потоке соотношением:
1 -
У
8 У
и интегрируя его с учетом (11) получаем:
= Г ^ (13 Ых0
етом (1
= гу ( - гх)-гугх +
(14)
8
Ч У
8У 8У + -—*
8ь
(15)
í(1 - 2Х)+ 4 -
гу , 8у У 2х 1п ^
8х
где г
1 С
у
I
/У р
2 ' "у I 2
Выражение (14) позволяет найти связь между толщиной тангенциального пограничного слоя и числами Рейнольдса, определяющими гидрогазомеханическую картину течения в целом. Если ввести обозначения:
1 С
/хР
А = г (1 — г )— г г + г г 1п
уV х/ у х 1 у х
у
8х
В = ^(1 - гх)+ ^ 1п 8 4 х х' 4 х 8х
то из (15) следует:
8у
А 1 - - Г 4В1 О
А 2 ЧА у
2В Ч г0
8у
А 1 - 1 - Г 8В1 Яу
2В Ч А2) Я Ч)
(16)
(17)
где Яу =
о**
Ыу08у
• Я =
V V
Особенностью развитого в настоящей работе метода является то, что он позволяет производить расчет локальных гидродинамических характеристик турбулентного потока во всей области существования закрутки: от выхода из направляющего аппарата до сечения, в котором вращательное движение полностью вырождается.
Максимальное значение тангенциальной составляющей скорости изменяется по длине трубопровода благодаря действию диссипативных сил. Это изменение может быть найдено из уравнения:
И,
г Р х
- J 2лгрР wxwyгdг = J
тмх 2щйх (18)
р
Полученного исходя из теоремы об
изменении количества движения. Здесь I р -
значение моменты количества движения на входе в канал:
И0 = |2яг 2Рр ™х™уМх=Р
(19)
Вводя в (14) и (15) величину максимальной тангенциальной скорости и замечая, что:
а
йх ■
гр
| 2ЛГ 2РР М>}
йг = 0
(20)
■ух
Выражение (16) позволяет оценить затухание закрутки по мере продвижения потока по каналу.
На рис.5 показаны результаты расчета знаменателя в выражении (20), проведенного с использованием собственных экспериментальных данных, а также данных из работ [8], [9].
Рис. 5 - Результаты расчета знаменателя в выражении (20) по опытным данным [8], [9] и автора
Как видно из графика, относительное изменение функции £
Ч Ых0 У
г
0
г
0
0
r 2p(Wx
dr
X=0
r 2PoWx
dr
по длине канала невелико и их можно пренебречь.
Тогда, представляя знаменатель выражения (2о) в форме:
r 0
w
r
1 w 2л
0 ys
dG = C
(21)
Находим, что изменение максимальной скорости по длине канала прямо пропорционально тангенциальной составляющей касательного напряжения, т.е.:
dwys
dx
. —
Cr 2т
Lwy
(22)
Зависимость (22) непосредственно определяет путь нахождения тангенциальной составляющей касательного напряжения. Измеряя в процессе опыта [11] градиент максимальной окружной скорости [12], а также постоянную, определяемую зависимостью (21), находим величину тш в функции продольной координаты и параметров, характеризующих процесс. Из (22) также следует, что с удалением от входа закрутка потока затухает тем быстрее, чем больше величина касательного напряжения. А последнее в сильной степени зависит от состояния поверхности от закрутки, что непосредственно следует из (21).
На рис.6 показано изменение максимального значения тангенциальной
составляющей вектора скорости цилиндрического канала.
по длине
Рис. 6 - Изменение максимальной тангенциальной компоненты вектора скорости по длине цилиндрического канала
Линиями представлены результаты расчета по предлагаемой методике точками собственные экспериментальные данные. Наблюдается удовлетворительное согласование расчетных данных с экспериментальными. Расстояние, на котором запас кинетической энергии, имеющей место на входе в канал, полностью расходуется на преодоление диссипативных сил, может быть найдено из соотношения (18). Действительно, в искомом сечении второе слагаемое левой части обращается в нуль и из (18) следует:
M 0
==I
Twy 2m-i)dx
(23)
T
wy
Зная изменение касательного напряжения по длине трубопровода из (23) можно найти для
начального участка.
Распределение давления по сечению канала подчиняется уравнению:
dP wy
dГ = P
dr r
(24)
Интегрируя (24) по радиусу канала, получаем распределение статического давления по поперечному сечению потока.
Зона 1, где г меняется от го до г ¡у:
Р=Р
ст
Р ст - давление на стенку канала.
Давление по толщине пограничного слоя можно считать постоянным, так как в начале канала в области наиболее интенсивной закрутки, где толщина пограничного слоя мала, а там где эта толщина существенно возрастает, ослабевает закрутка. Зона 2, где г меняется от г. до г :
P = р., -
pwy
1 1
Г 2
Зона 3, где r меняется от rs до Г0
P = P -
pw
ys
( - r 2 )
Здесь P = Pc -
PWy. 2
1 1
ч 4
Зона 4, где r меняется от r 0 до D:
P = P -
0
Здесь P0
P3wys
2r2
(r/ - r 2 )
давление на границе вихревого
шнура, образующегося в потоке при его
интенсивной крутке; оно равно давлению
насыщенных паров жидкости.
Литература
1. Филиппов Г. В. и др. Турбулентный пограничный слой начальных участков осесимметричных каналов при наличии закрутки потока на входе / Г.В. Филиппов, В.Г. Шахов. ИФЖ - 1968. - Том XVII, №11.
2. Алимов Р.З. Турбулентные течения вязкого несжимаемого газа в осесимметричном канале в условиях предварительной закрутки на входе / Р.З. Алимов. «Авиационная техника» - 1971. - №4.
3. Мигай В.К. и др. Трение и теплообмен в турбулентном закрученном потоке с переменной круткой по длине / В.К. Мигай, Л.К. Голубев. «Энергетика и транспорт» -1969. - №6.
4. Волтанник В.В. и др. О движении закрученного потока жидкости в трубе / В.В. Волтанник, В.В. Казеннов. Труды МИСИ им. Куйбышева - 1968. - Вып. 2, №55.
5. Халатов А.А. и др. Некоторые особенности гидродинамики турбулентных воздушных потоков,
w
w
w
w
2
2
r
2
w
2
r
s
закрученных лопаточным завихрителем / А.А. Халатов, В.К. Щукин, В.Г. Летягин. ИФЖ - 1973. - Т. XXV, №5.
6. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. М: «Наука». - 1969.
7. Бекшель и др. Распределение жидкости в пограничном слое для турбулентного закрученного потока / Бекшель, Лендж // Труды Американского общества инженеров. -Серия Теоретические основы инженерных расчетов -1969. - №4.
8. King M.K., Rothfus R.R., Kermode R.G. "Static pressure and velocity profiles in swirling incompressible tube flow". AICHE journal, vol.15, №6, 1969.
9. Liepe F. "Untersuchungen uber das verhaltcn von drallstromungen in kedeldiffusoren". Mashinen - bautecknik. B12, №5, 1963.
10. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. Гостехиздат, 1950.
11. Кузьмин В.В. и др. Установка для метрологического обслуживания, динамических испытаний и газодинамических исследований преобразователей расхода / В.В. Кузьмин, А.А. Гайнуллина, А.Н. Ахмерова. Вестник КНИТУ. -2013. № 10. - с. 289-292.
12. Кузьмин В.В. и др. Бесконтактные методы диагностики кинематической структуры потоков жидкостных и газовых сред / В. В. Кузьмин, А. А. Гайнуллина, А.Н. Ахмерова. Вестник КНИТУ. -2013. № 11. - с. 75-79.
© А. В. Чупаев - канд. техн. наук, доц. каф. САУТП КНИТУ, [email protected]; Р. Р. Галямов - ст. препод. той же кафедры; А. А. Гайнуллина - асс. той же кафедры; В. В. Кузьмин - канд. техн. наук, доц. той же кафедры.
