CC BY
82
УДК 519.87:004
АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ АГРЕГАТОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Анатолий Геннадьевич Неволин
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры инженерной геодезии и маркшейдерского дела, тел. (383)343-29-55, e-mail: agentagn@mail.ru
Татьяна Михайловна Медведская
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, старший преподаватель кафедры инженерной геодезии и маркшейдерского дела, тел. (383)343-29-55, e-mail: mtm2112@yandex.ru
Геодезический контроль параметров обжиговых печей и сушильных агрегатов осуществляется различными методами с применением электронных тахеометров и лазерных сканеров, позволяющих ускорить контроль геометрических параметров и повысить точность геодезических измерений. Определить геометрические параметры таких агрегатов, их форму и положение осей вращения возможно с помощью математического анализа пространственных данных и 3D-моделирования. Особое значение при этом имеет оценка точности параметров, получаемых из математической обработки результатов геодезических измерений. В статье рассматривается методика определения геометрических параметров сушильных агрегатов и обжиговых печей, их формы и положения осей вращения по результатам геодезических измерений, выполняемых в статическом режиме. Решение этой задачи предлагается выполнить с помощью математического анализа пространственных данных и моделирования объектов цилиндрической формы.
Ключевые слова: крупногабаритные агрегаты, барабанные сушилки, обжиговые печи, геометрические параметры, оценка точности, математический анализ, модель поверхности, аппроксимация результатов измерений.
ANALYSIS OF GEOMETRIC PARAMETER ACCURACY OF CYLINDER FORM AGGREGATES ACCORDING TO GEODETIC MEASUREMENT RESULTS
Anatoly G. Nevolin
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Associate Professor of Department Engineering and Mining Geodesy, tel. (383)343-29-55, e-mail: agentagn@mail.ru
Tat'jana M. Medvedskaja
Siberian State University of Geosy stems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Senior Lecturer of Department Engineering and Mining Geodesy, tel. (383)343-29-55, e-mail: mtm2112@yandex.ru
Geodetic control of roaster furnace and drying machines parameters is performed by various methods with the use of total stations and laser scanners, allowing to accelerate geometric parameters control and improve accuracy of geodetic measurements. It is possible to determine the geometric parameters of such machines, their form and rotation axes positions with the help of mathemati-
cal analysis of spatial data and 3D modeling. In this case the particular significance belongs to accuracy estimation parameters, obtained from mathematical processing of geodetic measurement results. The article considers the determination methods of geometric parameters of drying machines and roaster furnaces, their forms and rotation axes position according to the geodetic measurement results, performed in static mode. The solution of this task is proposed to be performed with the help of spatial data mathematical analysis and modeling cylinder objects.
Key words: large-sized machines, drum drying machines, roaster furnaces, geometric parameters, accuracy estimation, mathematical analysis, surface model, measurement result approximation.
Для обжига, сушки и других видов обработки материалов в металлургии и горнодобывающей промышленности применяются вращающиеся крупногабаритные агрегаты (барабанные сушилки, обжиговые печи цилиндрической формы и др.). Отклонения геометрических параметров такого оборудования за пределы допуска могут привести к серьезным авариям. Как известно, для обеспечения его нормального функционирования осуществляется геодезический контроль, позволяющий оценивать фактическое положение оси агрегата, овальность обечайки и состояние других элементов.
Данной теме посвящен целый ряд публикаций д. т. н., профессора А. А. Шо-ломицкого, д. т. н., профессора С. Г. Могильного, д. т. н., профессора Г. Г. Ас-ташенкова, к. т. н., доцента А. А. Лунева, к. т. н., доцента А. Л. Сотникова, к. т. н. В. В. Петрова, С. В. Тюрина и др., где подробно рассмотрены методы выполнения геодезических измерений при наблюдениях за деформациями обжиговых печей и сушильных агрегатов [1-6]. В то же время имеется необходимость уточнения методики оценки точности геометрических параметров исследуемых объектов.
В настоящее время геодезический контроль параметров печей и сушильных агрегатов осуществляется различными методами с применением электронных тахеометров и лазерных сканеров. Это позволяет ускорить контроль геометрических параметров и повысить точность геодезических измерений [7-17].
Определить геометрические параметры таких агрегатов, их форму и положение осей вращения возможно с помощью математического анализа пространственных данных и 3D-моделирования. Важное значение при этом имеет оценка точности параметров, получаемых из математической обработки результатов геодезических измерений.
В данной статье рассматривается определение геометрических параметров сушильных агрегатов и обжиговых печей, их формы и положения осей вращения по результатам геодезических измерений, выполняемых в статическом режиме. Решение этой задачи предлагается выполнить с помощью математического анализа пространственных данных и моделирования объектов цилиндрической формы.
С этой целью воспользуемся критерием метода наименьших квадратов, в соответствии с которым требуется минимизировать следующую функцию:
£ [Я, - (/ъ/ъ/3.....1к)}2 = шт, (1)
,=1
где Я, - результат измерения;/, (/1, /2, /3,..., /к) - функция, определяющая истинное значение результата измерения; п - количество измерений.
Такую задачу можно рассматривать как задачу оптимизации с определением необходимых параметров /1, /2, /3,..., /к, отвечающих условию (1).
Поскольку объект исследования имеет цилиндрическую форму с определенными точками на его поверхности (рис. 1), то данная задача сводится к аппроксимации фактической кривой, полученной в заданном сечении объекта, с помощью сглаживающей окружности (рис. 2).
Рис. 1. Элементы обжиговой машины
дг
ду
Рис. 2. Сглаживание фактической кривой с помощью окружности
Для определения радиуса (г) аппроксимирующей окружности рассмотрим следующую функцию:
Р = Е (Я - г)2, (2)
г=1
где Я - радиус-вектор текущей точки г на поверхности объекта, представляющего цилиндрическую форму. В результате исследования функции (2) на экстремум, с учетом критерия (1), имеем:
1 п
г = - Е Я (3)
п1=1
или
1 ЕТ^МуЧ^2, (4)
п1=1
где Ъхг, Ъуг, Ъ2г - центральные координаты текущей точки г на поверхности агрегата в заданном сечении (см. рис. 2)
Ьх, = х, Xo = Уг - Уо = 2г - 2о
(5)
Здесь х, у, - координаты точки г, определяемые с помощью безотражательного электронного тахеометра или трехмерного лазерного сканера.
Координаты хо, уо, 20 центра тяжести (точки О) фактической кривой являются центром симметрии сглаживающей окружности на заданном сечении объекта (см. рис. 2)
п
Е х Е уг Е 2
хо=—; уо =—; 2о = . (6)
п п п
Вопрос о том, насколько точно полученная окружность аппроксимирует фактическую поверхность объекта, можно решить на основе следующей формулы:
М = М, (7)
V п
где М - среднее квадратическое отклонение сглаживающей окружности от точек фактической кривой. Данная ошибка определяет точность аппроксимации корпуса печи или сушильного агрегата с помощью цилиндра в определенном его сечении.
п
Для оценки точности радиуса (г) аппроксимирующей окружности составим выражение:
г2 = -1 {(X - Хо)2 + (у1 - Уо)2 + (^ - ^)2}, п1=1
(8)
представляющее уравнение окружности (функцию) в пространственной системе координат.
Вместе с тем, при равноточных измерениях имеем:
(9)
тХ1 = тх2 = ... = тх = т
т У1 = тУ2 = ... = ту = т
т2, = ^ = ... = т7 п = т,
где тХ,,ту,,т2, - ошибки определения координат точек на поверхности агрегата в заданном сечении.
Вообще говоря, такие ошибки можно определить по следующим формулам:
т2х = т2В ооб2 р + ^гВ2 бш2 р Р2
т
ту = тВ р + -Р- В2 ооб2 р
2 2-2 , ти тл2 2
т2 = тВ Б1П и + —г-В ооб и
(10)
где В - наклонная дальность; тВ - погрешность измерения наклонного расстояния; в - горизонтальный угол между исходным направлением и точкой на поверхности объекта; тр - погрешность измерения угла в; и - угол наклона на точку объекта; ти - погрешность измерения угла наклона.
Тогда ошибки положения центра симметрии О в данном сечении будут выражаться следующими формулами:
тХ
тХ0 =Л
ту
туо =
т7
где п - количество измеряемых точек.
После дифференцирования (8) и перехода к средним квадратическим ошибкам, с учетом (9) и (10), получим упрощенную формулу для оценки точности радиуса сглаживающей окружности
2 п +1 " 2 2 , 2 2 2 , 2 2 2\ т =^-тЕ (§хг тх + §у т + тX
2 3
г2п3 г+1
(12)
где тг - средняя квадратическая ошибка определения радиуса аппроксимирующей окружности, зависящая от самого радиуса.
Очевидно, точность определения радиуса значительно возрастает при увеличении количества измерений.
Одним из важных геометрических параметров обжиговой печи является пространственное положение оси вращения такого объекта. Для оценки точности пространственного положения данной оси целесообразно применить элементы ковариационной матрицы К6х6 координат двух центров вращения, расположенных в точках О и Q
К6х6 =
т
хо
т
уо
т
2о
т
т
т
2
(13)
Определим погрешности взаимного положения двух центров симметрии, расположенных в пределах секции печи или сушильного агрегата длиной Б, на основе ковариационной матрицы К6х6 (13)
К3х3 = и3х6 К6хбибх3,
(14)
где К3х3 - ковариационная матрица взаимного положения точек О и Q; и^-оператор преобразования.
В данном случае оператор примет вид:
ИА =
и 3х6 -
д (Ах) д (Ах) д ( Ах) д (Ах) д (Ах) д ( Ах)
дхо дуо д2о дxQ дУQ д2з
а (Ау) д (Ау) д (Ау) д (Ау) д( Ау) д (Ау)
дхо дуо д2о дxQ дУQ д2Q
а (А2) д (А2) д (А2) д (А2) д (А2) д (А2)
дхо дуо д2о дxQ дУQ д2Q
Здесь
Ах — х о Хо АУ = Уо - Уо А: = - :о
После дифференцирования в (15) с учетом (16) получим:
(16)
ИА =
и 3x6 _
-1 0 0 +1 0 0' 0 -10 0 +10 0 0 -1 0 0 +1
(17)
В результате перемножения матриц в правой части формулы (15) получим искомые оценки для оси вращения агрегата в заданной секции.
Ограничиваясь главной диагональю ковариационной матрицы К3Х3, напишем:
К3Хз =
т
Ах
т
Ду
т
Д2
(18)
где
9 9
тДХ — (тх„ + т
т
Ах = (т ДУ = (т А: = (т
хо 2
Хо 2
Уо + тУо )
т2: — (т]о + т:
)
(19)
Выражения в (19) определяют ошибки приращений координат между точками О и 0.
Таким образом, погрешность взаимного положения Мвз конечных точек О и о на оси агрегата можно вычислить по формуле:
Мвз — VЗрК3X3 ,
(20)
где 5рК3Х3 - след ковариационной матрицы К3Ах3 (17).
Полагая, что погрешности определения центров симметрии определены с одинаковой точностью и равны 5 мм, то Мвз —12,2 мм.
-А
Формула (20) позволяет вычислить ошибку Мвз пространственного положения оси вращения агрегата в пределах секции длиной &
Выразим ошибку определения этой длины (Б) оси вращения агрегата на основе ковариационной матрицы К6х6. В общем виде:
тБ = ^1х6кбхби6X1,
(21)
где
и
Б
6x1
дБ дБ дБ дБ дБ дБ
дх0 ду0 д20 дxQ дyQ
(22)
где
Б = (Ах2 +Ду2 + Аг2)1/2. Определим элементы матрицы (22) с учетом (23):
Б 1
и6х1 = Б [-Ах Ах -Ау Ау -Аг Аг].
Б
(23)
(24)
В результате перемножения матриц в (21), с учетом (23) и (24), получим следующее выражение:
т = + т2хд )Ах2 + (т2у0 + ш2уд )Ау2 + (т\0 + т2^ )Аг2}. (25)
Б
Если считать, что точность определения центров симметрии одинакова на каждом сечении, то можно написать:
тХЦ ii хХ и
туЦ и уу ii
тЦ = тю = .
(26)
Тогда погрешность длины Б оси данной секции будет выражаться более простой формулой, вытекающей из (21) с учетом (26):
2
т2*2 = — {т2 Ах2 + т2 Ау2 + т2 Аг2}.
Б Б 2 хЦ уц гЦ
При условии, что тц = т^ = т2ц^ = 5 мм, получим тБ ~ 7,1 мм. Тогда относительная ошибка при длине секции в 20 м составит 1 : 2 800.
В статье [18] утверждается, что имеются значительные отклонения формы элементов и самих агрегатов от окружности и их радиусы на отдельных участках могут отличаться на 20 мм.
Для моделирования поверхности, близкой к цилиндрической, следует определить ее образующую, также близкую к окружности. В качестве такой кривой может служить математическая кривая в виде эллипса, которая с максимальной точностью определяет реальную модель объекта.
Для определения параметров эллипса условимся, что ось х пространственной системы координат располагается вдоль оси вращения агрегата, чтобы рассматривать элементы данной кривой в плоскости у г. Это не повлияет на результаты оценки точности, поскольку ковариационная матрица инвариантна относительно осей координат.
Далее составим функцию:
Р' = Е(Р -1(аг,А,В,ф))2, (28)
г=1
где /(а,, А, В, ф) - функция, выражающая радиус-вектор кривой второго порядка;
А - большая полуось эллипса;
В - малая полуось;
ф - угол, ориентирующий большую полуось относительно оси г;
аг - направление радиуса вектора Рг для точки г на поверхности агрегата.
Для минимизации функции (28) и получения искомых параметров целесообразно использовать градиентные методы, например, метод наискорейшего спуска, обладающий устойчивым решением. Градиентный метод наискорейшего спуска основан на следующем алгоритме:
Ок+1 = Ок -XкУРк, (29)
где Ок+1 - решение на (к + 1) итерации;
Ок - решение на шаге к;
к
к - положительный параметр, определяющий длину шага движения к минимуму функции;
ЧРк - градиент функции Рк на шаге к, выражающий направление спуска для достижения цели:
Рк =Е(Р -1К,Ак,Вк,фк))2. (30)
г=1
Здесь Ак, Вк, фк - параметры эллипса, полученные во время поиска на шаге к.
Для ускорения процесса итераций начальные параметры эллипса рекомендуется вычислять по следующим формулам:
А
= | - ([ Я 2 соб2 а] + [ Я 2 бш2 а ]) + Ь
В° = ([ Я2 соб2 а ] + [ Я2 бш2 а]) - Ь 2[Я бш а соб а]
tg2ф° =■
[ Я 2 соб2 а] - [ Я 2бш2 а]
2 • 2
(31)
где
Ь = {([ Я 2 соб2 а ] - [ Я 2 бш2 а])2 + 4[ Я 2 бш а соб а]2
(32)
В формулах (31) и (32) квадратные скобки означают сумму всех элементов.
Выполним, например, сглаживание совокупности точек, расположенных на поверхности агрегата, с помощью математической кривой второго порядка, уравнение которой имеет вид:
р2 = А2 соБ2(аг- -ф) + В2 Бш2(аг- - ф),
(33)
где - радиус-вектор данной кривой.
Для определения направления наискорейшего спуска составим градиент функции ¥' (28):
У¥'
(34)
д¥' дА д¥' дВ д¥' дф
Данные компоненты, входящие в формулу (34) с учетом функции (33), примут вид:
дР' п
-— = 2 АЕ со82(аг- — Ф)£/-
дА г=1
дР' п
— = 2 В Е 81п2(аг. — ф)ег.
дВ г=1
дР' - - п дФ г=1
где
(А2 — В2) Е вт2(а; — ф)8,
(35)
1 + Р. (36)
р
Необходимо отметить, что направление спуска и длина шага движения должны уточняться при каждой итерации. Причем длина шага кк определяется путем минимизации функции Ок+1 в (29) вдоль направления
Для определения коэффициента кк воспользуемся упрощенным методом [19-21], основанным на квадратической интерполяции:
где
к ркжк
Хк , (37)
Жк = (урк)турк • Рк. (38)
На основе данных алгоритмов аппроксимации результатов измерений можно определить параметры эллипса и окружности, которые являются образующими для построения оптимальной поверхности объекта, например, методом «вытягивания». Полученные таким образом овальные модели поверхности агрегата могут служить основой для сравнительного анализа и определения отклонений его параметров от проектных данных.
Все это позволит получить модель поверхности, близкую к реальной форме сушильных агрегатов и обжиговых машин, а также оценить точность их геометрических параметров и отклонение от проектных данных для объективного принятия мер по устранению недостатков.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Могильный С. Г., Шоломицкий А. А., Фролов И. С. Геодезический мониторинг и выверка металлургического оборудования // Интерэкспо ГЕ0-Сибирь-2013. IX Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 15—26 апреля 2013 г.). — Новосибирск: СГГА, 2013. Т. 1. — С. 132-143.
2. Могильный С. Г., Шоломицкий А. А., Фролов И. С. Новая технология определения геометрических и кинематических параметров вращающихся печей в процессе их эксплуатации // Сучасш досягнення геодезично! науки i виробництва. Зб. наук. праць. - Львiв : Видавництво нацюнального ушверситету «Львiвська полггехшка». - 2011. - Вип. 1 (21). - С. 125-130.
3. Кинематические локационные измерения вращающихся агрегатов / С. Г. Могильный, А. А. Шоломицкий, А. А. Лунев, А. Л. Сотников, И. С. Фролов // Hy^Bi пращ донецького нащонального техшчного ушверситету, Серiя: «Прничо-геолопчна», випуск № 1 (18). - До-нецьк, 2013. - С. 3-14.
4. The Analysis of Methods for Determining the Geometric Parameters of Rotating Machines / S. G. Mogilny, A. A. Sholomytskiy, V. A. Seredovich, A. V. Seredovich, A. V. Ivanov // 2nd International Workshop «Integration of Point-and Area-wise Geodetic Monitoring for Structures and Natural Objects». Proceedings 23th-24th march 2015, Studgart, Germany. - P. 119-130.
5. Никонов А. В. Особенности применения современных геодезических приборов при наблюдении за осадками и деформациями зданий и сооружений объектов энергетики // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 4 (24). - С. 12-19.
6. Жуков Б. Н. Роль, теория и практика геодезического контроля технического состояния зданий и сооружений // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. - С. 11-117.
7. Никонов А. В. Исследование точности измерения расстояний электронными тахеометрами в безотражательном режиме // Вестник СГУГиТ. - 2015. - Вып. 1 (29). - С. 43-54.
8. Хасенов К. Б., Гольцев А. Г., Салпышев О.Д. Выверка строительных конструкций с использованием лазерных приборов // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 3 (19). - С. 14-18.
9. Фолькер Швигер, Ли Чжан, Йюрген Швейцер. Оценка качества инженерно-геодезических работ в строительстве // Вестник СГГА. - 2011. - Вып. 3 (16). - С. 25-45.
10. Хорошилов В. С. Оптимизация выбора методов и средств геодезического обеспечения монтажа технологического оборудования // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. - С. 117-125.
11. Учет корректного показателя преломления атмосферы в результатах измерений современными дальномерами и электронными тахеометрами / А. В. Кошелев, А. П. Карпик, С. С. Овчинников, A. А. Дубинина // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 67-71.
12. Середович А. В. Сравнительная характеристика и области применения современных наземных лазерных сканеров // Вестник СГГА. - 2005. - Вып. 10. - С. 107-109.
13. Ямбаев Х. К. Геодезическое инструментоведение. - М. : Гаудеамус, 2011. - 580 с.
14. Вовк И. Г. Моделирование формы и оценка размеров систем в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 2 (22). - С. 17-26.
15. Никонов А. В. Исследование точности тригонометрического нивелирования способом из середины с применением электронных тахеометров // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 2 (22). -С.26-35.
16. Никонов А. В., Рахымбердина М. Е. Исследование точности измерения превышений электронным тахеометром высокой точности в полевых условиях // Вестник СГГА. -2013. - Вып. 1 (21). - С. 16-27.
17. Овчинников С. С. Влияние электромагнитных полей на точность показаний электронных геодезических приборов // Вестник СГГА. - 2010. - Вып. 2. - С. 18-23.
18. Точность определения геометрических параметров вращающихся агрегатов при «холодной» выверке / С. Г. Могильный, А. А. Шоломицкий, А. В. Середович, А. А. Лунев // Материалы международной научной конференции «Современные технологии и развитие политехнического образования», г. Владивосток, 14-18 сентября 2015 г., Научное электронное издание ФГАОУ ВПО «ДВФУ», 2015, ISBN 978-5-7444-3608-7. - С. 245-249.
19. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М. : Наука, 1974. - 832 с.
20. Большаков В. Д., Гайдаев П. А. Теория математической обработки геодезических измерений. - М. : Недра, 1965. - 274 с.
21. Уставич Г. А. Геодезия. В 2-х кн. Кн. 1 : учебник для вузов. - Новосибирск : СГГА, 2012. - 352 с.
Получено 11.11.2015
© А. Г. Неволин, Т. М. Медведская, 2015
