CC BY
29
_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 153, кн. 2 Физико-математические пауки
2011
УДК 524.31
АНАЛИЗ ТЕМПЕРАТУРНОЙ СТРУКТУРЫ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗАПЯТНЕННЫХ ЗВЕЗД
А.И. Колбип, Н.А. Сахибуллип,
Аннотация
Работа посвящена применению метода MLI (Matrix Liglit-curve Inversion), предназначенного для картирования поверхностей запятпеппых звезд. В отличие от традиционного метода моделирования кривой блеска, данный метод не нуждается в предположениях
о форме и количестве пятеп звездной поверхности. Для реализации и тестирования метода MLI была создана компьютерная программа, которая позволяет создавать модели запятпеппых звездпых поверхностей, строить па их основе зашумленные синтетические кривые блеска в различных фотометрических системах, проводить MLI-восстаповлепие поверхностей па основе построенных синтетических или наблюдаемых кривых блеска. Метод был протестирован па различных вариантах модели звездной поверхности и применен к исследованию вторичной компоненты системы DE CVn. Фотометрический материал, представленный B-, V-, R-изображениями окрестностей DE CVn, был получен на телескопе РТТ-150 (обсерватория TUBITAC) в 2009 г. Выли построены карты распределения интенсивности и температуры па поверхности вторичной компоненты. Выло выявлено наличие двух крупных зон запятпеппостп па поверхности вторичной компоненты системы DE CVn."
Ключевые слова: запятпеппые звезды, метод MLI, система DE CVn.
Введение
Работа посвящена восстановлению поверхностей запятпеппых звезд методом MLI (Matrix Light-curve Inversion). Метод был разработан Вилдом и впервые описан в работах [1, 2]. Суть данного метода состоит в разбиении модели звездной поверхности на площадки и таком подборе их нормальных удельных интенсивностей. чтобы описать наблюдаемую кривую блеска звезды. Задача поиска такого распределения интенсивности относится к классу некорректно поставленных и требует специальных методов решения [3]. В работе [4] предложена модификация данной техники картирования, которая предполагает выделение однородного фона нормальной фотосферы звезды и использование данных нескольких кривых блеска, полученных в разных фильтрах. Однако предложенная методика предполагает использование априори известного значения температуры пятен. В той же работе было показано, что MLI является хорошей альтернативой традиционному методу моделирования кривой блеска, в отличие от которого не нуждается в предположениях о форме и количестве пятен звездной поверхности.
В настоящей работе представлены некоторые результаты применения методики MLI. В разд. 1 описаны математические детали алгоритма MLI. который был использован в работе. В разд. 2 даны результаты тестирования метода на моделях звездной поверхности. Разд. 3 5 посвящены исследованию реального объекта вторичной компоненты затменно-переменной системы DE CVn. Некоторая информация об этой звезде дана в разд. 3. В разд. 4 дано краткое описание проведенных фотометрических наблюдений и их обработки. Результаты и методы исследования структуры поверхности звезды представлены в разд. 5.
Рис. 1. Пример разбиения модели звездной поверхности
1. Техника картирования поверхности звезды
Мы использовали вариант разбиения сферической поверхности, предложенный в статье [4]. Этот вариант разбиения характеризуется двумя параметрами: количеством широтных поясов разбиения и количеством разбиений поясов, прилегающих к экваториальной линии. Остальные пояса делятся так. что площади их элементов разбиения примерно равны площадям приэкваториальных элементов. На рис. 1 представлен пример такого разбиения.
Значение потока излучения от поверхности на р-й момент времени можно получить. просуммировав вклады в пего от всех видимых элементов разбиения, то есть
N
1р ^ ' ^рг^рг (1)
г=1
где ,/г - значение удельной интенсивности г-го элемента разбиения в направлении его нормали; N - количество доступных наблюдению элементов разбиения (полярный угол их центра подчиняется условию 0 < 90° + г, оде г - угол наклона оси вращения звезды к лучу зрения); Ьрг и Прг - значения функции потемнения и телесного угла г-го элемента разбиения на р-й момент времени. Если же г-й элемент не виден на момент времени р, то следует положить Прг = 0.
Для вычисления коэффициентов потемнения Ьрг мы использовали интерполяцию таблиц |5]. в которых протабулироваиы значения параметров линейной |6]. логарифмической [7] и квадратпо-корсииой [8] моделей потемнения звездного диска к краю.
Задача восстановления распределения интенсивности на поверхности звезды по ее кривой блеска относится к классу некорректно поставленных, что объясняется плохой обусловленностью системы (1). Эту задачу можно решить путем минимизации регуляризирующей функции Тихонова [3]
М (Т,Х) = 0(3) + ХБ (.7). (2)
Здесь ,/ - вектор нормальных удельных интенсивностей элементов разбиения поверхности, 0(/) - функция точности описания наблюдательных данных, определяемая выражением
1 р л
ал = р £(/* - щ2, (з)
к=1
где 3 — значение потока излучения модельной поверхности на к-й момент времени, определяемое выражением (1); /^ - наблюдаемое значение потока излучения на к-й момент времени; Р - количество точек на кривой блеска.
В состав регуляризирующей функции (2) также входит сглаживающая функция S(J), которая определяется выражением
1 м л
ад = ^Х)с4(7<-(7))2, (4)
г=1
где (,7) = 7г среднее значение нормальной интенсивности модельной
поверхности. Коэффициенты сг, входящие в состав выражения (4), определяются по следующей формуле:
{1 при З'г < ( 3),
(5)
В щи 3 > ( 3).
Здесь В - так называемый байесовский параметр. В случае, если В > 1, решение задачи минимизации функции (2) соответствует выделению темных пятен на однородном фоне, если 0 < В < 1, то выделяются светлые пятна па однородном фоне. Если же В = 1, то искусственного выделения однородного фона не производится.
Оптимальный выбор параметра регуляризации А определяется выполнением равенства
С( 7) = а2, (6)
где а - средняя оценка точности измерения потока излучения /^, к = 0, ..., Р. В=1
В
согласно [4], свидетельствует выполнение равенства
шт{ Зг(А,В)\
-к-----^=г, (7)
3г(А,В)
где правая часть представлена отношением минимальной удельной интенсивности к средней удельной интенсивности восстановленной поверхности, г - оценка реального отношения нормальных удельных интенсивностей пятна и нормальной фотосферы г = 7Нр/
2. Реализация метода
Метод был реализован в виде компьютерной программы, написанной на языке Visual С // 3.0. Программа позволяет строить зашумленные синтетические кривые блеска, соответствующие различным вариантам модели звездной поверхности, в полосах систем Джонсона и Стремгрена.
На рис. 2 4 приведены некоторые примеры восстановления модельных поверхностей. На всех рисунках слева представлены модельные поверхности, используемые для генерации кривых блеска. В центре показаны поверхности, восстановленные без склонения решения в сторону выделения темных нлн светлых пятен на однородном фоне. Справа даны поверхности, восстановленные со склонением решения в сторону выделения темных пятен па однородном фоне. Температура нормальной фотосферы модельной поверхности была принята равной Tphot = = 4000 К, а температура пятен Tsp = 3500 К. Ускорение силы тяжести log g = 4.5.
Рис. 2. Восстановление распределения интенсивности модельной поверхности (#8р = 45° йзр = 20 ; */тах = 1.00; 7тіп = 0.32; 7тах = 1.0^ 7тіп = 0.81; 7тах = 1.0° 7тіп = 0.32)
• *
Рис. 3. Восстановление распределения интенсивности модельной поверхности (#8р = 45° Я8р = 20° ; 70аХ = 1.00; 70іп = 0.32; ^ = 1.07 ^іп = 0.82 Дах = 1.00; ^ = 0.32)
Рис. 4. Восстановление распределения интенсивности модельной поверхности (#8р = 45°
: 0.32; 7^ах = 1.08; ^іп = 0.41 Дах = 1.00 Діп = 0.32)
о
о
Наклон оси вращения модели г = 45° . Моделирование кривых блеска проводилось для полосы V. Полученные кривые блеска были затем зашумлены по нормальному закону со среднеквадратичным отклонением а = 0.005т. В комментариях к рисункам были приняты следующие обозначения: взр и Днр - широта и радиус пятна па модельной поверхности; ^пах и ^пт _ максимальное и минимальное значения нормальной удельной интенсивности на модельной поверхности; ^1ах и ^1;п — максимальное и минимальное значения удельной интенсивности поверхности, соответствующие среднему рисунку; ^ах и ^2;п — максимальное и минимальное значения удельной интенсивности, соответствующие рисунку справа.
Видно, что несклоненное решение является пересглаженным. то есть 71;п/71ах > 70;п/70ах. Согласие с кривой блеска обеспечивается при этом за счет увеличения площади пятиа. Очевидно, что данная проблема отсутствует у склоненного решения. Заметим также, что оба решения демонстрируют чувствительность к широте пятен, хотя и имеет место занижение широты высокоширотных пятен.
3. Звезда ВЕ СУп
БЕ СУп - яркая (V = 12.8т) затменно-переменная система с относительно коротким (~ 8.7Ь) орбитальным периодом. Согласно [9] система состоит из белого карлика с температурой поверхности ~ 8000 К и красного карлика спектрального класса МЗУ.
Результаты первых фотометрических исследований звезды в фильтрах V и її представлены в работе [10]. Были обнаружены затмения в системе, имеющие
глубину 0.054 ± 0.01m в полосе R и 0.128 ± 0.029m в полосе V. Отмечено, что форма кривой блеска звезды свидетельствует о сильной запятненности ее красной компоненты.
Спектроскопические и фотометрические исследования системы DE CVri представлены в работе [9]. где дана уточненная формула для вычисления эфемерид затмения:
HJDmin = 2452784.5533(1) ± 0.3641394(2) • E. (8)
Показано, что компонентами системы являются красный карлик спектрального класса M3V и белый карлик с эффективной температурой поверхности около 8000 К. Были найдены также оценки массы и радиусов компонент: 0.41 ± 0.06 M© и 0.37-0 ; 007 R0 для красного карлика, 0.51-0 ; 0^ MQ и 0.0136-0 ; 0002 R© для белого карлика. Дана оценка наклона системы 86-2° и большой полуоси системы 2.07-00. 04 R©.
4. Наблюдательный материал и его обработка
Наблюдательный материал представлен изображениями окрестностей звезды DE CVri, полученными на 1.5-м телескопе РТТ-150 (Турецкая национальная обсерватория TUBITAC) в фильтрах В, V, R 15, 16, 17 и 19 марта 2009 г. Изображения получены при помощи ПЗС-матрицы ANDOR (2048 х 2048 пике.; размер пикселя 13.5 х 13.5 мкм). Матрица была размещена в кассегреновском фокусе телескопа и имела глубокое термоэлектронное охлаждение -60 °С. Все изображения были
2 х 2
и R соответственно.
Обработка данных проводилась с использованием стандартных процедур пакета Maxim DL. Была проведена дифференциальная фотометрия звезды DE CVri относительно звезды с координатами («2000 = 13h26m27.96s, £2000 = +45°33/13.44"). В качестве объектов сравнения были выбраны две звезды близкой яркости, попадающие в поле зрения ПЗС-матрицы. Было показано постоянство их блеска в пределах ошибок дифференциальной фотометрии ДБ = 0.008m, AV = 0.007m, ДД = 0.005m. На рис. 5 представлены полученные кривые блеска звезды DE CVn в фильтрах В, V н R. Из всех кривых блеска были вычтены точки, соответствующие затмению. Перевод кривой блеска из шкалы юлианских дат в шкалу фаз орбитального периода осуществлялся при помощи формулы (8).
Форма кривых блеска говорит о сложной структуре распределения интенсивности на поверхности красной компоненты DE CVn.
5. Карты распределения интенсивности и температуры на поверхности вторичной компоненты системы DE CVn
Из анализа затмения в системе и оценки температуры белого карлика ~ 8000 К получили оценку средней эффективной температуры красной компоненты (Teg} ^ ~ 3900 К. Для построения карт интенсивности была использована линейная модель потемнения диска к краю [6], соответствующая атмосфере с параметрами Teff = = 3900 К и log g = 4.9. Коэффициент потемнения для данной модели был найден путем интерполяции таблиц [5]. Поскольку мы не имеем никакой априорной информации о температуре пятеи, все карты были получены при постоянном значении
Б=1
темных или светлых пятен на однородном фоне нормальной фотосферы.
К сожалению, наклон оси вращения звезды довольно велик (~ 90°), что приводит к симметризации решения относительно экватора звезды, и следовательно,
phase phase phase
Рис. 5. Сравнение кривых блеска восстановленных поверхностей (сплошная линия) с наблюдаемыми кривыми блеска (точки) в полосах В, V и R
Рис. 6. Карты температурного распределения, полученные на основе карт распределения V- и К-интенсивности
к отсутствию какой-либо информации об истинном широтном распределении интенсивности на получаемых картах. Тем не менее полученные при помощи описанной в настоящей работе методики карты распределения интенсивности могут быть использованы для анализа распределения пятен но долготе.
На основе полученных кривых блеска в фильтрах В, V и II были получены карты распределения нормальных В-, V- и II-интенсивностей на поверхности вторичной компоненты системы БЕ СУп. Сравнение наблюдаемых кривых блеска с кривыми блеска восстановленных В-, V- и 11-новерхностей представлено на рис. о.
Мы применили следующую методику построения температурных карт. Найденному среднему значению эффективной температуры звезды (Те^) ставилось в соответствие среднее значение интенсивности восстановленной поверхности (7). Используя теоретические зависимости интенсивности излучения атмосферы от эффективной температуры в данном фильтре, каждым значениям интенсивности элементов разбиения сопоставлялись свои значения эффективной температуры. Для построения карт температурного распределения мы использовали модели Ку-руца [111-
Полу чеппые на основе карт распределения V- и 11-интенсивности карты температурного распределения представлены на рис. 6. Обе карты демонстрируют изменение эффективной температуры поверхности ~ 100 К.
Заключение
Была освоена методика однополосного МЫ. Метод был протестирован на различных вариантах модели звездной поверхности. В ходе тестирования данной методики было выявлено два ее недостатка. Это пересглаженность решения и занижение широты высокоширотных пятен. Можно устранить первый недостаток, однако, для этого мы должны иметь априорные оценки температуры пятен.
Особенность настоящей работы состоит в том. что мы применили метод MLI к картированию реального объекта красной компоненты системы DE CVri. Мы выявили наличие двух крупных зон запятиеииости на поверхности этой звезды. Найденное значение изменение эффективной температуры поверхности составило ~ 100 К. Вполне возможно, что это значение довольно сильно отличается от реального вследствие внесения ошибки, связанной с некорректностью поставленной задачи н большого значения угла наклона осп вращения звезды. Однако полученные температурные карты хорошо описывают наблюдаемые кривые блеска и являются некоторым приближением к реальности.
Наша следующая задача состоит в освоении методики многополосного MLI. в которой используются данные нескольких кривых блеска, полученных в разных фильтрах. Мы надеемся, что данная методика позволит нам получать надежные температурные карты, которые могли бы использоваться при моделировании спектров запятненных звезд.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-02-97013-р-Поволжье-а).
Авторы выражают благодарность А.И. Галееву за предоставление наблюдательного материала. Авторы также благодарны TUBITAC за частичную поддержку при использовании телескопа РТТ-150.
Summary
A.I. Kolbin, N.A. Sakhibullin. Analysis of Temperature Structure of Spotted Stars.
In this work, we consider applications of MLI (Matrix Liglit-Curve Inversion) technique for surface reconstruction of spotted stars. Unlike the traditional method of liglit-curve modeling, this method doesn’t need any assumptions about the number of spots and their shapes. For realization and testing of MLI technique, we have developed a computer program that makes it possible to create models of spotted stellar surfaces, to draw noisy synthetic light curves in different photometric systems, and to reconstruct surfaces based 011 the obtained and observed light curves. This technique has been tested for various models of spotted surfaces. We have been applied this method for surface reconstruction of the secondary component of DE CV11 system. Photometric data were obtained by RTT-150 telescope (TUBITAC observatory) in 2009. Intensity and temperature maps of the surface of the secondary component of DE CV11 system have been deduced. Two large regions of spottedness have been found.
Key words: spotted stars, MLI technique, DE CV11 system.
Литература
1. Wild W. Matrix formalism for inferring planetary surface albedo distribution from liglit-curve measurements // Publ. Ast.ron. Soc. Pacific. 1989. V. 101, P. 844 848.
2. Wild W. Liglit-curve inversion formalism // Astropliys. J. 1991. V. 368. P. 622 625.
3. Тихонов A.H., Арсении В.Я. Методы решения некорректных задач. М: Наука,
1979. 284 с.
4. Harmon R., Crews L. Imaging stellar surfaces via matrix liglit-curve inversion // Astropliys. J. 2000. V. 120, No 6. P. 3274 3294.
5. Van Hamme W. New limb-darkening coefficients for modeling binary star light curves // Astropliys. J. 1993. V. 106, No 5. P. 2096 2117.
6. Mihalas D. Stellar Atmospheres. San Francisco: Freeman, 1978. 352 p.
7. Klinglesmith D., Sobiesky S. Nonlinear limb darkening for early-type stars // Astropliys. J. 1970. V. 75, No 2. P. 175 181.
8. Diaz-С unloves J., Gimenez A, A new nonlinear approximation to the limb-darkening of hot stars // Ast.ron. Astropliys. 1992. V. 259, No 1 P. 227 331.
9. Van den Besselaari E., Greimel R., Murales-Rueda L., Nelemans G., Thorstensen J.R., Marsh T.R., Dhillon V.S., Robb R.M., Balam D.D., Guenther E.W., Kemp J., Augusteijn Т., Groot P.J. DE Canum Venaticorum: A bright, eclipsing red dwarf white dwarf biliary // Ast.ron. Astropliys. 2007. V. 466, No 3. P. 1031 1041.
10. Robb R., Greimel R. The eclipsing binary RX J1326.9^4532 // Inform. Bull. Variable Stars. 1997. No 4486. P. 1 4.
11. Kuruez R.L. ATLAS9 Stellar Atmospheres Programs and 2 kin/s Grid (CD-ROM). Cambridge: Smithsonian Astropliys. Observ., 1993.
Поступила в редакцию 24.01.11
Колбин Александр Иванович студент Института физики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Е-шаіІ: kolbinalexander0mail.ru
Сахибуллин Наиль Абдулович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой астрономии и космической геодезии Казанского (Приволжского) федерального университета.
