CC BY
29
ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ.
МЕХАНИКА ГРУНТОВ
УДК 624.94+624.15
Г.Н. Дмитриев, С.А. Шатовкин
ФГБОУВПО «ЧГУ им. И.Н. Ульянова»
АНАЛИЗ СВОЙСТВ РАМНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА УПРУГО-ПОДАТЛИВОМ ОСНОВАНИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФУНКЦИЙ
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Получена методика анализа функций чувствительности внутренних силовых факторов и перемещений сечений каркасных зданий на винклеровом основании по всей совокупности параметров. На примере одноэтажной трехпролет-ной плоской рамы проанализированы функции чувствительности относительной разности осадок фундаментов и максимального изгибающего момента по конструктивным параметрам каркаса.
Ключевые слова: каркас, винклерово основание, внутренние силовые факторы, осадка фундамента, функции чувствительности.
Расчет строительных конструкций без учета податливости опор соответствует модели абсолютно жесткого основания. Практически такие основания встречаются довольно редко. Податливые основания приводят к перемещениям фундаментов, которые в свою очередь вызывают изменения напряженно-деформируемого состояния строительных конструкций [1, 2].
Вычисление осадок фундаментов как отдельно стоящих несвязан-
G.N. Dmitriev, S.A. Shatovkin
ANALYSIS OF THE PROPERTIES OF FRAME STRUCTURES ON ELASTIC PLIABLE FOUNDATION WITH SENSITIVITY FUNCTIONS
The authors modified classical dummy-unit load method by adding elastic pliable foundation in the computation scheme. System attributes (internal force and foundation settlements) were obtained in symbolic form. Sensitivity functions were computed as direct system attributes differential with respect to a specific parameter. The developed method analyzes the structures' properties with pliable foundation with sensitivity functions on the entire set of parameters. Using the above method, we observed the properties of the three-bay single-storey flat frame, computed sensitivity coefficients of a relative difference foundation settlements and the maximum bending moment of design frame parameters.
Structural analysis without considering pliable base corresponds to a model with incompressible foundation. Practically such grounds are rare. Pliable base leads to displacement of the foundations, which in turn changes the stress-strain state of structures. Calculation of foundation settlements as freestanding unrelated elements also leads to errors. In general, settlement of any foundation leads to additional forces in the elements of the entire system, and hence to additional settlement of the remaining foundations. This issue is especially important for frame structures with freestanding foundations, such as joint foundation settlements caused by the stiffness of the structural elements of the frame.
Thus, the analysis of foundation and frame elements collaboration based on sensitivity functions helps to assess the impact of system parameters on its properties. Purposeful reduction of the design parameters of the frame elements reduced the rela-
© Дмитриев Г.Н., Шатовкин С.А., 2014
75
ных друг с другом элементов также приводит к погрешностям [3, 4]. В общем случае, осадка любого фундамента приводит к дополнительным усилиям в элементах всей системы и, следовательно, к дополнительным осадкам остальных фундаментов.
Особенно важным данный вопрос является для каркасных зданий с отдельно стоящими фундаментами, так как совместные перемещения фундаментов обусловлены только жесткостью над-фундаментных конструкций.
Множество а1...ат характеризует параметры системы и включает параметры самого каркаса, основания и внешних воздействий. При этом свойства системы Л, ..А яв-
1 п
ляются однозначными функциями параметров а1...ат. Пусть свойство Л. находится в прямой зависимости от совокупности параметров ау..а . и в обратной от а....ат. Тогда возможна минимизация свойства Л или уменьшение параметров ау..а., или увеличение а....ат. Для оценки изменения свойств системы при изменении ее параметров удобным инструментом является анализ функций чувствительности [5, 6].
Несмотря на хорошо разработанный аппарат анализа чувствительности [7—11], анализ строительных конструкций на податливом основании не осуществлялся.
Свойства системы: внутренние силовые факторы (ВСФ) и перемещения Лд, рассчитываются методом сил в векторно-матричной форме. Для плоских рам ВСФ являются изгибающие моменты Лм поперечные Л и продольные Лы силы, которые определяются выражениями:
tive differential foundation settlements from 0.00213 to 0.00197 and the maximum bending moment from 781.2 kNm to 738.6 kNm.
Key words: frame, Winkler foundation, internal force factors, foundation settlement, sensitivity function.
Structural analysis without considering pliable base corresponds to a model with incompressible foundation. Practically such grounds are rare. Pliable bases lead to displacements of the foundations, which in turn change the stress-strain state of structures.
Calculation of foundation settlement of single separate elements also leads to errors [3, 4]. Generally, any foundation settlement leads to additional efforts in all system elements and, as a result, to an after settlements of other foundations.
The matter is especially important for frame buildings with separate foundations, as cooperative displacement of foundations are caused only by stiffness of above-foundation structures.
The set ar..am characterizes system parameters and includes parameters of the frame, the base and external impacts. Thus, system properties Ay.An are unambiguous functions of parameters ar..am. Suppose the property A. is in direct dependence on the set of parameters ar..a. and is in the inverse dependence on a ...a . Then minimization of
m
the property A or reduction of the parameters a ...a, or increase a ...a is possible. For
1 v i m r
an assessment of change in system properties, it is convenient to apply the analysis of sensitivity functions [5, 6].
Despite well developed sensitivity analysis [7—11], structures on pliable foundation haven't been analyzed.
System properties: the internal power factors (IPF) and displacements are Aa calculated by an area-moment method in a vector-matrix form. Inner power characteristics of flat frames are bending moments AM, cross Aq and longitudinal AN forces, which are defined by formulas:
-Ам — Амр + АМХ, Ag — Agp + AgX, AN — ANP + ANX,
(1)
где AMP, AQP, ANP
MP' AQP, ANP — inner P0wer
— матрицы ВСФ от дей- where A
ствий внешней заданной нагрузки в сече- characteristic m^rixes from extemal
ниях основной системы; A0, AQ, A°n — actions in sections of the main system;
матрицы ВСФ от действий единичных AM, Ag, AN — inner power character-
сил в сечениях основной системы; X — istic matrixes from single forces in sec-
вектор неизвестных систем. tions of the main system; X — vector
По гипотезе линейных деформаций of unknown systems.
основания, в двухсторонних связях меж- According to base linear deforma-
ду фундаментом и основанием и отсут- tions hypothesis, bilateral communica-
ствием трения при изгибе на поверхно- tions between foundation and basis
сти контакта фундамент — основание, and frictionlessness under bending
возможно использование винклеровой on the surface (foundation — base)
модели грунта для моделирования пере- it is possible to use Winckler model
мещений i-й опоры (рис. 1, в) каркасно- for movement modeling of /-support
го здания [12, 13]: (fig. 1, в) of a frame building [12, 13]:
Д.,- =-
N,
К A,
Qi
К A
Mi
-, Д . =-—
ф Kjt
(2)
где А А — перемещения по осям г и х соответственно; А — угол поворота; Ж, Qi, М. — усилия на обрезе фундамента;
Кл=(ОЕ„)/(( (1-ц2)); кФ =(( )/(( (-и2));
f <pi fi
where A , A — axes z and x move-
zi xi
ments respectively; A^. — angle of rotation; N,, Q,, M. — efforts at the edge of a foundation;
K, =
(Xdf)ESi )/(( (i+n г )(1-» ))
коэффициенты жесткости основания при равномерном сжатии, неравномерном сжатии и сдвиге соответственно; ю
ш
Л fi.
ш
Aft)'
base stiffness coefficients at uniform compression, non-uniform compression and displacement respectively;
n fi.
— безразмерные коэффици- ш.
ш
ш
n fi.
— dimension-
енты; dfi — отношение сторон подошвы фундамента; Afi — площадь подошвы фундамента; I — момент инерции по- Ifi — inertia moment of base founda-
less coefficients; d — ratio of base
' fi
sides; Afi— foundation base area;
дошвы фундамента относительно оси у; Е — модуль деформаций грунта; ц. — коэффициент Пуассона грунта.
В качестве независимых переменных приняты Afi и dfi, характеризующие геометрию подошвы фундамента. Момент инерции подошвы фундамента в
fi
tion about y axis; E .— soil deformation module; — Poisson's coefficient.
As the independent variables, characterizing foundation base geometry Afi and dfi are accepted. The inertia moment of founda-
ВЕСТНИК Т/ОП4 Л
7/2014
этом случае вычисляется по формуле tion base here is calculated by formula
Ifi = Afidpj 12. Ifi = A2fldfl! 12.
Рис. 1. Фундамент: а — вид сбоку; б — вид сверху; в — перемещения фундамента
Fig. 1. Foundation: a — side view; б — top view; в — foundation displacements
Выражения (2) в векторно-матрич- Formulas (2) in a vector-matrix ной форме характеризуют вектор переме- form characterize movement vector of щений /-го фундамента Д. = [Дя, Д, Дф.]т: "i" base displacement Д. = [Дя, Axi, Дф.]т:
А, = вдА, (3)
где В. = diag[l/(K. fi 1/(К fi where ^ = diag[l/(KZI Afi), ^Afi),
1 (K^lfi)] — диагональная матрица жест- l/ft^lfij] — a diagonal matrix of base
костей основания; ARi = [N, Q,, M]T — stiffness; ARi = [N, Q,, M]T — frame
матрица опорных реакций каркаса. support reaction matrix.
Вектор неизвестныхXопределяется Vector of unknowns X is defined
решением уравнения совместности де- by the equation of deformation com-
формаций: patibility:
X = - A- A.P, (4)
где A = AmBm^M + Ao Ba Aro — where As = A°MTBMA°M + AR0 Ba Aro -
перемещения по направлению неиз- movements in the direction of
вестных от действия единичных сил; unknowns from single forces;
a& = AmBmAmp + 4o B&Arp — пере- A&P = A0BmAmp + AT0 BhARP
мещения по направлению неизвестных movements in the direction of un-
от действия внешней нагрузки; BM — knowns from external load; BM —
матрица изгибных деформаций; AR0 — bending deformation matrix; AR0 —
матрица опорных реакций от действия support reaction matrix from single
единичных сил; ARP — матрица опорных forces; ARP — support reaction matrix
реакций от действия внешней нагрузки. from external load.
Следует отметить, что в (4), в отличие от классического метода сил, учитывают также деформации основания. В выражениях Л8 и Л первая составляющая характеризует деформации каркаса, вторая — деформации основания.
Вектор перемещений Лд определяется по формуле
It should be noted that formula (4), unlike a classical area-moment method, also considers base deformations. In formulas Ag and AAp the first component characterizes frame deformations, the second — base deformations.
Movement vector Aa is defined by formula
Aa - DM0BMAM + DR0BAAR ,
(5)
где DM0 — матрица изгибающих моментов от действия единичных сил в сечениях основной системы в направлении искомых перемещений; DR0 — матрица опорных реакций от действия единичных усилий в сечениях основной системы в направлении искомых перемещений; AR — матрица опорных реакций расчетной схемы от действия внешней нагрузки.
Функции чувствительности изменения матриц AM, Aq, An, AД по параметру а. определяются частными производными, например dAM/да. [14, 15]. Значения функций чувствительности при номинальных значениях параметров (dAM/da.)0 являются коэффициентами чувствительности. Анализ функций чувствительности выполнялся по выражению at (dAM /дщ )0, где af —конечное малое приращение параметра а .
Ниже приведен пример использования функций чувствительности для анализа свойств одноэтажной трехпролет-ной плоской рамы (рис. 2, а) с использованием СКМ Maple.
Основная система метода сил (рис. 2, б) построена известным способом.
Параметрами системы являются: 1) геометрические параметры: длины элементов L= 1...10), высоты сечений h = 1...10) и ширины сечений элементов b(j = 1...10); площади подошв AJj = 1...4), высоты подошв hjj = 1...4) и отношение сторон подошв фундаментов dj(j = 1...4); 2) физические параметры:
where DM0 — a bending moment matrix from single forces in the main system sections in the direction of target movements; DR0 — basic reaction matrix from single efforts in the main system sections in the direction of target movements; AR — basic reaction matrix of the settlement scheme from the action of external loading.
Sensitivity functions of matrix change AM, AQ, AN, Aa by parameter a. are defined as private derivatives, for example 5AM/da. [14, 15]. Sensitivity functions values at face values (ôAM/da.)0 are sensitivity coefficients. The analysis of sensitivity functions was made by the formula ai (dAM /dai )0, where a{ — a final increment of the parameter a .
Below is the example of the use of sensitivity functions for the analysis of the properties of one-storied three-bay flat frame (fig. 2, a) with SKIM Maple.
The main system of area-moment method (fig. 2, b) is made in the well-known way.
System parameters are: 1) geometrical parameters: lengths of the elements L(i = 1...10), heights of cross sections h.(i = 1...10) and width of cross-section elements b(i = 1...10); areas of bases Aj(j = 1...4), heights of bases hj(j = 1.4) and ratio of base sides dj(j = 1...4); 2) physi-
модули упругости элементов E(i = 1...10); модули деформаций грунта Ej(i = 1...4) и коэффициенты Пуассона = 1...4) грунта основания; 3) внешние нагрузки: сосредоточенная сила Р, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью д, объемный вес элементов у.
cal parameters: elasticity modules E(i = 1...10); soil deformation modules E (i = 1...4) and Poisson's coefficients of soil j = 1...4); 3) external loadings: concentrated force P, uniform intensity load q, unit weight y.
Рис. 2. Заданная система (а), основная система (б) Fig. 2. The set system (a), the main system (б)
Грунты пылевато-глинистые с Eg = 10 МПа, ц = 0,3, размеры крайних фундаментов — 1,2 х 0,9 м, средних — 1,5 х 1,5 м. Элементы каркаса железобетонные с Е = 30000 МПа. Сечения колонн 40 х 40 см, ригелей — 40 х 60 (И) см. Длины колонн — 6 м, пролеты ригелей — 10 м, д = 60 кН/м, Р = 250 кН расположена на расстоянии 7 м от крайней колонны.
ВСФ определены по (1), максимальное значение изгибающего момента на правой опоре левого ригеля Мтах = 781,2 кНм (рис. 3, а). Осадки фундаментов определены как вертикальные перемещения опор по (5), мм, Аа = [31,6 52,9 41,5 26,1]г. Относительная разность осадок 2-й (А2) и 1-й опор:
Floury clay soil with Eg = 10 Mna, ^ = 0,3, the sizes of boundary foundations — 1,2 x 0,9 m, middle — 1,5 x1,5 m. Reinforced concrete framework elements with Е = 30000 Mna. Column cross-section 40 x 40 cm, crossbars — 40 x 60 (h) cm. Column length — 6 m, Crossbar span — 10 m, q = 60 kH/m, Р = 250 kH located 7 m far from the boundary column.
Inner power characteristics are defined by (1), maximum bending moment on the right support of the left crossbar M = 781.2 kHm (fig. 3, a). Founda-
max \ o ? /
tion settlements are defined as displacements of supports by (5), mm, АA = [31.6 52.9 41.5 26.1f. Relative difference of settlements of the 2nd (A2) and 1st support (Aj):
A
L
A2 -A,
L2 + L4
0,0529 - 0,0316 10
= 0,00213 м
(6)
превышает предельно допустимую вели- exceeds limited value of 0.002 m1. чину 0,002 м1.
Рис. 3. Эпюры изгибающих моментов, кН-м: а — 1-й вариант; б — 2-й вариант Fig. 3. Bending moment diagrams, kN-m: а — 1st variant; б — 2nd variant
По (6) функция чувствительности относительной разности осадок фундаментов по параметру ai при L2 + L4 = const определена:
да.
AS2 L
1
According to (6) sensitivity function of relative differences of foundation settlement with a. parameter at L2 + L4 = const is defined by:
5A2 5Aj
L2 +
L
v да j
Анализ функций чувствительности относительной разности осадок фундаментов и максимального изгибающего момента (табл. 1 и 2 соответственно) при изменениях геометрических (кроме длин элементов) и физических параметров каркаса проводился в предположении постоянства характеристик ригеля в одном пролете.
По результатам анализа чувствительности было принято решение уменьшить высоту сечения среднего ригеля И И7 до 0,4 м и уменьшить значения модулей упругости E2, E4 до 27500 МПа.
1 Табл. Е. 1. СП 50-101—2004. Проектирование и устройство оснований и фундаментов зданий и сооружений.
Analysis of sensitivity functions of relative difference of foundation settlements and maximum bending moments (tab. 1 and 2 respectively) in geometrical variations (except for lengths) and frame parameters supposed constant characteristics of crossbar in a span.
Judging by sensitivity analysis results we decided to reduce the depth of middle crossbar cross-section h5, h7 to 0.4 mm and reduce elasticity modules E E to 27500 MPa.
1 Tab. E. 1. Design and Construction Specifications 50-101—2004 «Foundation Engineering».
Табл. 1. Tab. 1.
Табл. 2. Tab. 2.
Параметр Parameter f d ю-6
Af i 1,41
h5, h7 0,49
b5, b7 0,30
h8, h10 0,16
bi -0,45
h2 , h4 -0,50
hi -0,97
Af 2 -2,11
Параметр Parameter ^ (Mmax )) Ю"* \8ai J 0
h2, h4 492,54
E2 , E4 177,20
Ь2, Ь4 138,14
Af 3 63,76
Ь5 , Ь7 -65,38
h3 -70,52
h5, h7 -160,32
Af 2 -185,13
Измененная эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 3, б. Максимальное значение изгибающего момента на правой опоре левого ригеля уменьшилось M = 738,6 кНм. Из-
J max
менился и вектор осадок фундаментов Ад = [32,1 51,8 40,9 26,4]г, уменьшилась относительная разность осадок
Fig. 3, 6. shows variation of bending moments diagram. Maximum value of bending moment of left crossbar right support reduced M = 738.6 kHm.
max
Foundation settlement vector also varied Aa = [32.1 51.8 40.9 26.4]r, relative difference of settlements reduced
Л^21 /L = (0,0518м -0,0321м)/10м = 0,00197.
Вывод. Анализ совместной работы основания и надфундаментных конструкций с использованием функций чувствительности позволил качественно и количественно оценить степень влияния параметров системы на ее свойства. Целенаправленное уменьшение конструктивных параметров каркаса позволило уменьшить неравномерность относительной осадки фундаментов с 0,00213 до 0,00197 и максимальный изгибающий момент — с 781,2 до 738,6 кН-м.
Conclusion. The analysis of collaboration of ground and aboveg-round constructions with sensitivity functions helped to assess the influence of systems parameters on its properties. Purposeful reduction of frame parameters reduced irregularity of relative foundation settlement from 0.00213 to 0.00197 and maximum bending moment — from 781.2 to 738.6 kH /m.
Библиографический список
1. Андреев В.И., Барменкова Е.В., Матвеева А.В. О нелинейном эффекте при расчете конструкции и фундамента с учетом их совместной работы // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2010. № 9. С. 95—99.
References
1. Andreev V.I., Barmenkova E.V., Matveeva A.V. O nelineynom effekte pri ra-schete konstruktsii i fundamenta s uchetom ikh sovmestnoy raboty [On Nonlinear Effects in Calculating Structures and Foundations with Consideration of their Collaboration]. Izvestiya
2. Моргун А.С., Меть И.Н. Учет перераспределения усилий при исследовании напряженно-деформированного состояния совместной работы системы «основание — фундамент — сооружение» // Научные труды Винницкого национального технического университета. 2009. № 2. Режим доступа: http://praci. vntu.edu.ua/article/view/1091. Дата обращения: 2.05.2014.
3. Иванов М.Л. Разработка и численная реализация математической модели пространственной системы «здание — фундамент — основание» // Интеллектуальные системы в производстве. 2011. № 1. С. 24—35.
4. Городецкий А.С., Батрак Л.Г., Городецкий ДА., Лазнюк М.В., Юсипенко С.В. Расчет и проектирование высотных зданий из монолитного железобетона. Киев : Факт, 2004. 106 с.
5. ПерельмутерА.В., СливкерВ.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. Киев : Сталь, 2002. 600 с.
6. Городецкий А.С., Евзеров И.Д. Компьютерные модели конструкций. 2-е изд. Киев : Факт, 2007. 394 с.
7. Haug E.J., Arora J.S. Applied Optimal Design: Mechanical and Structural Systems. New York : John Wiley & Sons Inc., 1979. 506 p.
8. Haug E.J., Choi K.K., Komkov V Design Sensitivity Analysis of Structural Systems. Orlando : Academic Press, 1986. 381 p.
9. Atrek E., Gallagher R.H., Ragsdell K.M., Zienkiewicz O.C. New Directions in Optimum Structural Design. Chichester : John Wiley & Sons Ltd, 1984. 750 p.
10. Борисевич А.А. Общие уравнения строительной механики и оптимальное проектирование конструкций. Минск : Дизайн ПРО, 1998. 144 с.
vysshikh uchebnykh zavedeniy. Stroitel'stvo [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 2010, no. 9, pp. 95—99.
2. Morgun A.S., Met' I.N. Uchet pereraspre-deleniya usiliy pri issledovanii napryazhenno-de-formirovannogo sostoyaniya sovmestnoy raboty sistemy "osnovanie — fundament — sooruzhe-nie" [Accounting for Efforts' Redistribution in the Study of Stress-Strain State of Collaboration System "Ground — Foundation — Structure"]. Nauchnye trudy Vinnitskogo natsional'nogo tekhnicheskogo universiteta [ScientificWorks of Vinnytsia National Technical University]. 2009, no. 2. Available at: http://praci.vntu.edu.ua/ar-ticle/view/1091. Date of access: 2.05.2014.
3. Ivanov M.L. Razrabotka i chislennaya re-alizatsiya matematicheskoy modeli prostranstven-noy sistemy «zdanie — fundament — osnovanie» [Development and Numerical Implementation of Mathematical Model of "Building — Foundation — Ground" Spatial System]. Intellektual'nye sistemy v proizvodstve [Intelligent Systems in Manufacturing]. 2011, no. 1, pp. 24—35.
4. Gorodetskiy A.S., Batrak L.G., Gorodetskiy D.A., Laznyuk M.V., Yusipenko S.V. Raschet i proektirovanie vysotnykh zdaniy iz monolitnogo zhelezobetona [Calculation and Design of Reinforced Concrete High-Rise Buildings]. Kiev, Fakt Publ., 2004, 106 p.
5. Perel'muter A.V, Slivker V.I. Raschetnye modeli sooruzheniy i vozmozhnost' ikh analiza [Design Structural Models and the Possibility of Their Analysis]. Kiev, Stal' Publ., 2002, 600 p.
6. Gorodetskiy A.S., Evzerov I.D. Komp'yuternye modeli konstruktsiy [Computer Structural Models]. 2nd edition. Kiev, Fakt Publ., 2007, 394 p.
7. Haug E.J., Arora J.S. Applied Optimal Design: Mechanical and Structural Systems. New York, John Wiley & Sons Inc., 1979, 506 p.
8. Haug E.J., Choi K.K., Komkov V Design Sensitivity Analysis of Structural Systems. Orlando, Academic Press, 1986, 381 p.
9. Atrek E., Gallagher R.H., Ragsdell K.M., Zienkiewicz O.C. New Directions in Optimum Structural Design. Chichester, John Wiley & Sons Ltd., 1984, 750 p.
10. Borisevich A.A. Obshchie uravneniya stroitel'noy mekhaniki i optimal'noe proektirovanie konstruktsiy [General Equations of Structural Mechanics and Optimum Structural
11. Gill P.E., Murray W, WrightM.H. Practical optimization. Stanford : Academic Press, 1981. 401 p.
12. Клепиков С.Н. Расчет конструкций на упругом основании. Киев : Будiвельник, 1967. 183 с.
13. Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании. М. : Высш. шк., 1973. 431 с.
14. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. М. : Наука, 1981. 464 с.
15. Sage A.P., White C.C. Optimum Systems Control. New Jersey : Prentice-Hall, 1968. 562 p.
Поступила в редакцию в мае 2014 г.
Об авторах: Дмитриев Геннадий Никифорович — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры строительных конструкций, Чувашский государственный университет (ФГБОУ ВПО «ЧГУ им. И.Н. Ульянова»), 428015, Чувашская республика, г. Чебоксары, Московский пр-т, д. 15, dmitriev21@mail. ru;
Шатовкин Семен Александрович — аспирант кафедры строительных конструкций, Чувашский государственный университет (ФГБОУ ВПО «ЧГУ им. И.Н. Ульянова»), 428015, Чувашская республика, г. Чебоксары, Московский пр-т, д. 15, sam_n @inbox.ru.
Для цитирования: ДмитриевГ.Н., Шатовкин С.А. Анализ свойств рамных конструкций на упруго-податливом основании с использованием функций чувствительности // Вестник МГСУ 2014. № 7. С. 75—84.
Design]. Minsk, Dizain PRO Publ., 1998, 144 p.
11. Gill P.E., Murray W., Wright M.H. Practical Optimization. Stanford, Academic Press, 1981, 401 p.
12. Klepikov S.N. Raschet konstruktsiy na uprugom osnovanii [Calculation of Structures on Elastic Ground]. Kiev, Budivel'nik Publ.,
1967, 183 p.
13. Simvulidi I.A. Raschet inzhen-ernykh konstruktsiy na uprugom osnovanii [Calculation of Engineering Structures on Elastic Ground]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1973, 431 p.
14. Rozenvasser E.N., Yusupov R.M. Chuvstvitel'nost' sistem upravleniya [Control Systems Sensitivity]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 464 p.
15. Sage A.P., White C.C. Optimum Systems Control. New Jersey, Prentice-Hall,
1968, 562 p.
About the authors: Dmitriev Gennadiy Nikiforovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Building Structures, Chuvash State University (CSU), 15 Moskovskiy pr., Cheboksary, 428015, Russian Federation; dmi-triev21@mail.ru;
Shatovkin Semen Aleksandrovich — Postgraduate Student, Department of Building Structures, Chuvash State University (CSU), 15 Moskovskiy pr., Cheboksary, 428015, Russian Federation; sam_n@inbox.ru.
For citation: Dmitriev G.N., Shatovkin S.A. Analiz svoystv ramnykh konstruktsiy na up-rugo-podatlivom osnovanii s ispol'zovaniem funktsiy chuvstvitel'nosti [Analysis of the Properties of Frame Structures on Elastic Pliable Foundation with Sensitivity Functions] Vestnik MGSU. [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 7, pp. 75—84.
