Анализ структуры волновых уравнений для неоднородных сред с потерями Текст научной статьи по специальности «Физика»

днего, зависящая от tgd образца и подтверждаемая отдельными точками экспериментальных исследований.

Рассмотренный алгоритм может оказаться достаточно универсальным для резонаторных датчиков с емкостным характером измерительной апертуры. Численный алгоритм хорошо сходится при значительно меньшем порядке СЛАУ, чем в алгоритме по методу Галеркина. Однако трудности вычисления элементов определителей сопоставимы для обоих методов. Сам подход к полуобращению интегрального оператора, по-видимому, будет справедлив и при других характерах апертур.

Литература: 1. Anlage S.M., Steinhauer D.E., Vlahacos C.P. et al. Superconducting Material Diagnostics using a Scanning Near-Field Microwave Microscope // IEEE Trans. on Applied Superconductivity. 1999. Vol. 9, N 2. P. 4127-4132. 2. Неразрушающие бесконтактные СВЧ -резонаторные методы локального контроля полупроводниковых материалов: Обзор / Ахманаев В.Б., Детинко В.М., МедведевН.В. и др. // Дефектоскопия. 1986. № 1. С.23-35. 3. Гордиенко Ю.Е. Резонансные измерительные преобразователи в диагностике микрослоистых структур // Радиотехника. 1996. Вып. 100. С. 253-266. 4. Данилов Г.Н., Детинко М.В., Медведев Ю.В. и др. СВЧ резонаторный метод измерения удельного сопротив-

ления и толщины эпитаксиальных пленок // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ, Вып. 6(342),

1982. С. 16-19. 5. ВерланъА.Ф., СизиковВ.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук. думка, 1986. 543 с. 6. Панченко Б.А. Тензорные функции Грина уравнений Максвелла для цилиндрических областей // Радиотехника. 1970. Вып. 15. С. 8291. 7. Chen-To Tai. Dyadic Green’s functions for a coaxial line // IEEE Transactions on antennas and propagation.

1983. Vol. AP-31, N2. P. 355-358. 8. Kisliuk M. The dyadic Green’s functions for cylindrical waveguides and cavities // IEEE Transactions on microwave theory and techniques. 1980. Vol. MTT-28, N8. P. 894-898.

Поступила в редколлегию 06.04.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Айзацкий Н.И.

Гордиенко Юрий Емельянович, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой микроэлектроники, электронных приборов и устройств ХТУРЭ. Научные интересы: микроэлектроника, неразрушающий контроль материалов и изделий. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (0572) 40-93-62.

Рябухин Алексей Александрович, аспирант кафедры микроэлектроники, электронных приборов и устройств ХТУРЭ. Научные интересы: неразрушающий контроль материалов и изделий. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (0572) 40-93-62.

УДК 621.317.799

АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД С ПОТЕРЯМИ

rot rotH = grad divH - V2H . (1)

Величину divH получим из четвертого уравнения:

divH=-^ H

(2)

ПАЛЧЕНКО А.Ю.

Проводится обобщение волновых уравнений в неоднородной среде с потерями. Подробно рассматривается случай малых возмущений среды и малых потерь. Учитываются прямые и релаксационные потери. Представляется сравнительный анализ всех составляющих волновых уравнений для электромагнитных и акустических волн.

Постоянное совершенствование технических средств заставляет все более углубленно подходить к анализу известных физических явлений. В частности, развитие средств неразрушающего контроля вызвало практическую потребность более тщательного анализа волновых процессов в неоднородных средах с потерями.

Можно сразу отметить, что за исключением ряда задач, например распространения электромагнитных волн в плазме, скорость изменения параметров среды существенно меньше периода электромагнитных колебаний. Поэтому для тока смещения можно записать:

rot

ГдО А

v5t J

grade:

cE

at

+ erot

oE

V5t У

(3)

Слагаемые, описывающие омические потери, в этом случае принимают вид:

rot j = [grada х б] + a rotE .

(4)

Для того чтобы выразить в (3) и (4) поле E через

Диагностика и неразрушающий контроль осуществляется с помощью электромагнитных и акустических волн. Целью данной работы является систематизация общих свойств и отличий между волновыми уравнениями для электромагнитных и акустических полей в материальных средах.

Для анализа электромагнитных процессов чаще используются уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Применяя к первому уравнению операцию rot, для левой части получаем:

РИ, 2001, № 2

H, необходимо сделать допустимые приближения, в противном случае конечное выражение будет чрезмерно громоздким. Структура волновых уравнений сохраняется при малых потерях. Поэтому, ограничиваясь этим случаем, учтем релаксационные составляющие для полей E и H, а также омические потери для электрического поля. Релаксационные составляющие можно представить так:

13 = ffE , (5)

at

7

B = p!H -p!

SH

St

В правой части (4) останется только последнее (6) слагаемое, причем для его преобразования также можно использовать второе уравнение Максвелла:

где е'" и р” — суммарные коэффициенты, включающие все релаксационные составляющие общих потерь.

При анализе неоднородных сред наиболее часто рассматривают случай слабых неоднородностей

(Де'«е' и Ар' << р'). Для сильных неоднородностей используют разбиение объема на ряд частичных областей, в которых параметры среды можно считать постоянными. Таким образом, общая задача сводится к решению ряда локальных задач для однородной среды и сшивке полей на границах. Чтобы сохранить структуру волновых уравнений, радиус корреляции неоднородностей должен быть не менее длины волны электромагнитных колебаний - |rd| >Ле.

С учетом сказанного выше в (2) можно оставить только действительную составляющую магнитной проницаемости. Используя известное векторное тождество, преобразуем левую часть (2):

gradf -8^. E1 = f • vIe + (E • v)^ +

grad^' -——2-х rotE + - grad^' E x rot——2—

L м' J L m' J

(7)

Все величины в этом выражении являются малыми. Оценить порядок малости каждого из слагаемых в правой части можно следующим образом:

gradate ~AjU' E

М' ) ^'rd ле ’

(E e Mr

(8)

(9)

grad^' -

——— х rotE

М' .

Ар' E А Ле ■

(10)

При сделанных предположениях эти слагаемые имеют первый порядок малости. Четвертое слагаемое будет существенно меньше, так как его второй сомножитель в первом приближении является ротором от градиента.

В правой части (3) можно исключить слагаемое, содержащее grade'"/e'. Тогда с учетом первого и второго уравнений Максвелла, в которых также оставлены только слагаемые первого порядка малости, получим:

f

rot

V

SD

St

grade'

s'

x rotH

, , S2H , 53H

-e'ju'—Y- + s'y—3

St2 St3

. (11)

rotj = -vp' — . (12)

St

Собирая (1), (7), (11), (12) с учетом (8), (9), (10), окончательно получаем:

V 2H - є'р

,д 2H

St2

grad^'

м'

grade'

+ e'

: rotH

gr^.vjE - (E-v) g^+

,SH

+ 4“1T "

— V2H St

(13)

Аналогичные рассуждения для напряженности электрического поля при тех же предположениях приведут к следующему выражению:

v2E -е'Д

S 2Е

grade'

е'

+ grad^'

и'

rotE

-f - (H .v)E^+

+о;и'— _(£l+£:)lv 2E

St I e' p' Jst

(14)

Сравнивая (13) и (14), можно отметить, что потери, как омические, так и релаксационные в них входят симметрично. Это соответствует физическим пред -

ставлениям о взаимосвязи полей E и H . Слагаемые, которые определяют изменения полей на неоднородностях, будут отличаться даже для случая

Ле << rd , что является следствием асимметрии уравнений Максвелла для полей в неоднородных средах.

Анализ акустических полей проведем для случая неподвижной среды и малых возмущений плотности, что соответствует сделанным выше предположениям для электромагнитных волн. Более того, для большинства задач акустики можно считать

А, << rd. Для составления волновых уравнений воспользуемся линеаризированной системой гидродинамики [1]:

РУ

—Е + pdivvs + (grad р-vs) = 0 , (15)

ot

+ gradPs = fn . (16)

St

Здесь индексом s обозначены переменные, относящиеся к акустическому возмущению, без индекса — относящиеся к основному потоку. При анализе

8

РИ, 2001, № 2

потерь будем учитывать вязкое трение, теплопередачу за счет теплопроводности и излучения, а также релаксационный процесс перераспределения энергии по степеням свободы молекул газа. Вязкое трение определяется поперечными производными

акустической скорости vs. При заданных граничных условиях и отсутствии бифуркаций суммарный эффект от сил вязкого трения пропорционален

vs. Тогда для fn в (16) можно записать:

fn = #vs , (17)

где £ — коэффициент, учитывающий вязкость и

распределение поля vs в пространстве.

С учетом релаксационных механизмов связь между сжатием и давлением можно выразить следующей пропорцией:

Ps + ^) . (18)

Тогда с учетом (18) уравнение состояния будет иметь вид [2]:

Цг + (grad Р-v s) + V^r ~

St dt

£_ Sps

TP L5t

(gradP • v s)

= 0

(19)

- -gr^divvs +—(gradp-v)^ . (23)

P P

В этих уравнениях, также как и в уравнениях для электромагнитных полей, потери входят симметрично. Влияние неоднородности плотности среды — асимметрично, что соответствует влияниям неоднородностей s' и ц' в уравнениях для электромагнитных волн. Можно отметить, что учет флуктуаций скорости основного потока приведет к еще большей асимметрии.

Потери представлены в конечных выражениях, как слагаемые, содержащие производные по времени, что является следствием исходных посылок, предполагающих уменьшение амплитуды свободных колебаний в поглощающей среде. Неоднородности включаются в слагаемые, содержащие производные по пространственным координатам. Неоднородности определяют изменение локального значения волнового числа и внутренние отражения от перепада скорости распространения волн, как для акустических, так и для электромагнитных полей. Поэтому уравнения Гельмгольца для неоднородных сред будут содержать следующие составляющие:

'v 2 + ^ _А + k2 '

V

Sxi Sxj

u = 0

/

где k — волновое число.

(24)

здесь 7 — коэффициент, учитывающий действие всех релаксационных механизмов.

С учетом (17) и (19) уравнения акустики принимают вид:

1 Sps ^ ^ S2ps

+ Mvvs =л- -J2.

c2 St

c2 St2

+ gradPs = #vs , ot

(20)

(21)

1 P

где -2 = — .

c2 TP

На основании системы (20), (21) получим волновые уравнения для ps и vs:

Для сред с потерями волновые уравнения будут содержать дополнительные слагаемые с производными по времени:

2 Su S3u

V u + ф—- + у—з + 2 2

st a3 c2 st2

1 S2u

= 0

(25)

здесь (p и w — коэффициенты, учитывающие все механизмы прямых и релаксационных потерь.

Для сред с малыми неоднородностями и малыми потерями анализ можно производить раздельно. Необходимость использования совместного анализа определяется величиной неоднородностей.

Литература: 1. Лойянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978. 736 с. 2. Панченко А.Ю. Уравнение состояния в системе уравнений акустики для неоднородной движущейся среды / / Радиотехника. 1997. Вып. 103. С. 169-174.

2P 1 S 2Ps S 3Ps SPs

Ps 2 cS St2 c2 St3 PC2 St

( gradp 1 P • gradPs )■ (22)

2V 1 S 2v s s 3v s Svs

c2 s St2 c2 St3 pc2 St

Поступила в редколлегию 28.03.2001

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Довбня А.Н.

Панченко Александр Юрьевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры микроэлектроники, электронных приборов и устройств ХТУРЭ. Научные интересы: радиофизика, микроэлектроника, неразрушающий контроль материалов и изделий. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (0572) 409-362.

РИ, 2001, № 2

9