Анализ статического нагружения амортизатора специального назначения из полиуретана Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

А. Е. Белкин, И. З. Даштиев, Д. С. Хоминич

АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ АМОРТИЗАТОРА СПЕЦИАЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ ИЗ ПОЛИУРЕТАНА

Представлены теория и результаты расчета больших деформаций полиуретанового амортизатора сжатия новой конструкции. Расчеты выполнены методом конечных элементов в смешанной форме с независимо варьируемыми перемещениями и гидростатическим давлением. Приведена система линеаризованных уравнений метода последовательных нагружений, использованного для решения нелинейной задачи. Выбор упругого потенциала для полиуретана СКУ-ПФЛ-100 осуществлен на основе результатов испытаний образцов на растяжение и сжатие. В качестве результатов расчета приведены нагрузочные характеристики и характеристики энергоемкости амортизаторов с различными значениями геометрических параметров; исследовано напряженное состояние амортизаторов.

E-mail: a_belkin@newmail.ru

Ключевые слова: полиуретановый амортизатор, расчет, большие деформации, слабосжимаемый материал, упругий потенциал, смешанная формулировка, инкрементальный метод, нагрузочные характеристики.

Амортизаторы из литьевого полиуретана, характеризуемого высокими показателями эластичности и прочности, находят применение в специальном машиностроении. Данные амортизаторы обладают значительно большей жесткостью в сопоставлении с резиновыми амортизаторами, они предназначены для изоляции крупных объектов, испытывающих большие нагрузки. Ввиду сравнительно короткого опыта проектирования и эксплуатации полиуретановых амортизаторов их рабочие характеристики изучены недостаточно.

В данной статье приведены результаты расчетного исследования напряженно-деформированного состояния, нагрузочных характеристик и энергоемкости полиуретанового амортизатора сжатия, проектируемого под нагрузку порядка 300 кН при ходе 80...100 мм. Амортизатор представляет собой толстую разрезную оболочку вращения цилиндрической и конической формы, разделенную в окружном направлении на три сектора (рис. 1).

Формулировка задачи расчета больших упругих деформаций эластомерной конструкции с учетом объемной сжимаемости материала. Для описания деформированного состояния использованы градиент вектора места (F) с компонентами

F.. =S +

IJ IJ д x..

тензор меры деформации Коши — Грина

(С) = (Г)т • (Ж), тензор деформации

(£) = 1 [ (Ж)т • (Ж) - (I) ],

мера объемной деформации J = ёе^Г),

где 3,. — компоненты единичного

и

тензора (I); х^ — декартовы координаты материальной точки в неде-формированном состоянии; ы1 —

компоненты вектора перемещения точки.

Так же как в линейной теории упругости, удельная потенциальная энергия деформации материала представлена в виде суммы энергии изменения объема и1 и энергии «формоизменения» и2. Для реализации

такого разделения введены меры изохорической деформации [1]

(Г) = J"1/3(Г), ((С) = J -2/3 (С),

т. е. деформации, происходящей без изменения объема при ёе! (Г) = 1. Первая часть удельной энергии зависит только от меры объемной деформации

u = ui( j ),

(1)

Рис. 1. Общий вид (а) и пара- вторая часть — от первого и второго метрический чертеж (б) амор- инвариантов тензора изохорической тизатора деформации

U2 = U2(Ilc,I2c),

(2)

где Лc = J 2/3 I1c > Ac = C11 + C22 + C33;

'2 c

J "4/31 I = J *2с *2c ~ Сц С12 С22 С23 С33 С13

+ +

С21 С22 С32 С33 С31 С11

Исходя из функции удельной энергии и = и. + и2, определяем тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа:

(S) = 2= 2 V 7 д(C)

Э J + Э Ii c д I2 c

p--+ a1--+ а2-

9(C) 1 9(C) 2 Э(C)

Л

(3)

лп ди1 р р ди2

где р (У) = ^-7- — гидростатическое давление; а1( 11с, 12с) = ■

д J

гТ Т ч dU2

а2(Ilc , I2c ) =-~

d Ii t

д I

2c

Входящие в соотношения упругости (3) производные инвариантов тензора деформации вычисляем по следующим формулам [1]:

ЭУ 1..__. (4)

d(C) 2

J (C)-1;

д lx c д (J "2/311 c) 2/3 f 1 ,

—^ = —-— = J"2/3 f (I) -- I c (C)-1

d(C) д(C) l 3 1 cV 7

1

d I2 c д (J -4/312 c) 4/3 f 2 ,

=————=j"4/31 i1c (I) - (C) -2i2c (C)-1 d(C) d(C) l 1c 3 2c

(5)

(6)

При написании формул (4)—(6) учтена симметрия тензора (О . В результате подстановки выражений для производных (4)—(6) в соотношения упругости (3) последние получают вид

(8) = (8 р) + (8,); (8 р) = рУ (С)-1;

(7)

(S,)=2а j -2/3 |(i) - 311 c (Cr1!+

+ 2«2 J "4/3|l1 c (I) - (C) - 212 c (C)"1!,

(8)

где (8р) , (8,) — части тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа, связанные с энергией изменения объема и энергией изохорических деформаций соответственно.

Дальнейшая конкретизация закона упругости связана с выбором потенциалов (1), (2). Для материалов с малой объемной деформацией (значение J очень близко к единице) весьма часто применяют простейший квадратичный закон сжимаемости:

и1( J) = 1 к (J -1)2,

где к — модуль объемного сжатия материала.

В этом случае

Р = к ^ -1). (9)

Как известно из [2], в задачах со слабосжимаемым материалом применение метода конечных элементов (МКЭ) в формулировке метода перемещений сопровождается так называемым эффектом объемного заклинивания решения. Для того чтобы преодолеть этот эффект, переходят к смешанной формулировке задачи с независимо варьируемыми перемещениями и гидростатическим давлением. Энергию изменения объема записывают в виде

Р 2

и1( J, р) = р (J -1).

2к

Для обоснованного выбора функции энергии изохорических деформаций (2) проведены установочные эксперименты на образцах полиуретана СКУ-ПФЛ-100. Не останавливаясь на результатах испытаний, которые будут описаны далее, предположим, что выбор функции и2 сделан. Выразим вариацию удельной энергии деформации материала

2

SU = s

p ( j -1) - 2-+и2( ilc, i2c ) 2 k

= [ pJ (C)-1 + (S, ) ] :1S (C) + (j -1 - k—) S p.

2

Из уравнения виртуальных работ

J SU d V = SWe

ext

V

при независимых вариациях перемещении и давления следуют вариационные уравнения смешанного метода

J [ pJ (C)-1 + (Sd ) ] : 2S(C) d°V = SWext; (10)

\ ^ -1 - к"1 р) 5 рй V = 0, (11)

V

где °¥ — объем тела в недеформированном состоянии; ЗЖех1 — виртуальная работа внешних сил.

Для решения системы уравнений (10) и (11) применяем метод последовательных нагружений. После определения напряжений Пиолы — Кирхгофа (8) осуществляем переход к истинным напряжениям Коши (о) по формуле

(о) = J-1 (?) • (8) • (Ют.

Уравнения инкрементального метода расчета больших деформаций. Процесс деформирования конструкции рассматриваем как последовательность равновесных состояний, отвечающих возрастающим уровням нагрузки. Определим изменения характеристик напряженно-деформированного состояния, возникающие на малом шаге приращения нагрузки.

Тензор приращений деформации состоит из двух частей: линейной

2

и квадратичной

(А e) =1 [ (А F)T • (F) + (F)T • (А F) ]

1

(Ап) = ^(АЕ)т • (АЕ)

относительно приращений перемещений Ли1, т. е.

(А е) = (А е) + (А п). Приращения напряжений (А 8 р ), (А 8^ ) вычисляем путем линеаризации законов упругости (7)—(9) в окрестности достигнутого деформированного состояния. Учитывая, что в линейном приближении (А С) = 2 (А е), получаем

(А 8р) = J (С)-1 А р + (Ер): (А е), А р = kJ (С)-1: (А е),

(А 8 й) = (Ей): (А е),

д( J (С)-1) д (8й)

где (Ер) = 2р д (С)— , (Ей) = 2"д(С) — четырехвалентные тензоры модулей упругости для шаровой и девиаторной составляющих тензора напряжений.

В соответствии с принятым законом деформирования в форме (3) или, что то же самое, в форме (7), (8) можно получить следующие выражения для модулей упругости:

(Е р) = рУ Г(С)-1 ® (С)-1 + 2 ;

V Р) у ^ } V } Э(о |

д I1 c Л ЭI1L

(E,) = 4а i —— ®— dJ 11 9(C) 9(C)

+ 4 а

12

f ЭЛ c Э12 c д ¡2 c ЭI, ^ -®-+-®-

д (C) д (C) 9(C) д (C)

+

+ 4а

d 12 c^ d 12 c

22

+ 4 а

d 211 c

+ 4 а

d 2I

2 c

- ЧУ--Г "T L/Oi--Г "T L/0-) -,

d(C) Э(C) 1 d(C)d(C) 2 Э(C)d(C)

(12)

где а.

d 2U

2 .

d I1 c

аг

d 2U2

d 1Г1 c ЭI2 c

■ ; а22

d 2U

2

ЭI2 c2

® — знак тензорного

произведения.

Для краткости представления производных инвариантов (5), (6) введем тензоры

(А) = (I) -1 /1 с (С)-1, (В) = /1с (I) - (С) - 2 /2 с (С)-1,

тогда

d I1 c 2/3 d I —^ = J -2/3(A), -— d(C) d(C)

2c J _4/3 (B)

С учетом этих обозначений выражение для тензора модулей упругости (12) приводим к виду

(Е, ) = 4ап У_4/3 (А) ® (А) + 4 а У"2 [ (А) ® (В) + (В) ® (А) ] +

+ 4а22 J "8/3(B) ® (B) - ■4а1 J "2/3

(I) ® (C)-1 + (C)-1 ® (I) +

+I1c W - 3 I1c(C)-1 ® (C)-1

—а2 J

-4/3

(B) ® (C)-1 +

+ (C)-1 ® (B)+12 c^^+212 c (Cr1 ® (C)-1 o(C) 3

+

+ 4а2 J

-4/3

(I) ® (I )-

d (C)

Э(о.

(13)

В расчетах конструкций из эластомерных материалов весьма часто используют потенциал Трелоара

U2 = Dw(Ilc - 3) (14)

и потенциал Муни — Ривлина

U2 = Dw(Iic - 3) + D0i(/2c - 3). (15)

В этих случаях определение модулей упругости по формуле (13) заметно упрощается, так как коэффициенты а11, а12 , а22 обращаются в ноль, причем при потенциале Трелоара и коэффициент а2 = 0.

Рассматривая вариационные уравнения (10), (11) на шаге нагру-жения, сохраняем в них слагаемые не выше квадратичных относительно приращений искомых переменных:

J [ (E„) :(Д e) + (E,) :(А e) + J (C)-1Аp] : S(A e) d V +

°V

+ J [ (Sd) + pJ (C)-1) ] : S(A n) d V = SAWext -SR,

°V

J [ J(C)-1: (Д e) - кAp ] SAp d V =-SR2,

V

где SR1, SR2 — невязки уравнений (10), (11) в начале шага нагру-жения,

SR = J [ (Sd) + pJ (C)-1) ] : S(A e) d V-SWext,

°V

SR 2 = J (J -1 - k"1 p) SA p d V.

°V

Формально невязки SR1, SR 2 должны отсутствовать, поскольку

исходное состояние предполагается равновесным. Однако ввиду приближенного характера решения уравнений невязки отличны от нуля, поэтому целесообразно сохранять их в разрешающих уравнениях на шаге нагружения для повышения точности расчетов.

Результаты испытаний образцов полиуретана СКУ-ПФЛ-100 на сжатие и растяжение. Выбор упругого потенциала. В лаборатории кафедры «Прикладная механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана проведена серия испытаний коротких цилиндрических образцов на сжатие на машине Zwick и образцов в форме плоских «лопаток» на рас-

тяжение на машине 1ш1хоп ЕЬеНгоРике. В экспериментах соблюдены общие требования, предъявляемые к проведению физико-механических испытаний резины (ГОСТ 269-66, ГОСТ 265-77).

При испытаниях на сжатие применялась смазка ОКБ-122-7 для снижения трения между торцами образцов и плитами испытательной машины. Перед контрольным нагружением проведены тренировочные циклы, в которых образцы нагружали до степени сжатия 30 % со скоростью движения траверсы 20 мм/мин. Интервал отдыха между тренировочными циклами не превышал 10 с. При контрольном испытании условия нагружения были такие же. На рис. 2 показаны диаграммы сжатия полиуретана в координатах условное напряжение — относительное укорочение, полученные на нескольких образцах.

15

<L>

а

« 10

<D

Он

В

сЗ К

<D О

м

PQ О

Ч

£

/ У/ У/ /)г

-1 i-1 1-1 1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Относительное укорочение

0.3

0.35

Рис. 2. Диаграммы сжатия полиуретана СКУ-ПФЛ-100

При испытаниях на растяжение образцы также подвергали предварительным тренировкам с двукратным удлинением. После трех циклов нагружения и разгрузки упругая характеристика образцов стабилизировалась и далее осуществляли испытания с замерами растягивающей силы и удлинения. На рис. 3 приведены диаграммы растяжения образцов, доведенных до разрушения. Согласно данным этих диаграмм, испытуемый полиуретан может претерпевать более чем четырехкратное удлинение и выдерживать условные напряжения растяжения до 35 МПа и более.

На основе экспериментально полученных диаграмм сжатия и растяжения подбирали упругий потенциал для полиуретана. Как варианты рассматривали одноконстантный потенциал Трелоара (14), двухконстантный потенциал Муни — Ривлина (15) и четырехкон-стантный потенциал Бидермана

^2 = Ао (Ас - 3) + В20 (11с - 3)2 + В30 (11с - 3)3 + В01 (¡2с - 3). (16)

1 2 3 4 5 6

Кратность удлинения

Рис. 3. Диаграммы растяжения полиуретана СКУ-ПФЛ-100

Отметим, что перечисленные потенциалы содержатся в едином выражении

n m

U2 = ES Dj ( Ilc - 3)i ( /2 c - 3)j.

i=0 j=0

При одноосном напряженном состоянии малая объемная сжимаемость материала практически не влияет на податливость образца. Поэтому при описании экспериментальных диаграмм полиуретан рассматриваем как несжимаемый материал.

Обозначив главные кратности удлинений л^, Л2, Л3, выразим через них сначала инварианты тензора меры деформации

j = л^ л2 л3 = i, /1с = л^+Л22+Л32, I2 c = л^ л2 + Л22 лл+лл лл ,

а затем главные истинные напряжения в несжимаемом материале [3]: a1 = 2ai Л + 2а2 Л12 (Л22 +Л32) + p, сг2 = 2а1 Л22 + 2а2 Л22 (Л32 +Л12) + p, (17)

аъ = 2а1 Л32 + 2а2 Л32 (Л12 +Л22) + p.

Напомним, что коэффициенты а1 = 2 , а2 = ^Î2--функции

1 d А с 2 д h с

инвариантов I1c, I2 с или постоянные величины.

В случае одноосного растяжения или сжатия по направлению 1 кратности удлинений в поперечных направлениях составляют

Л2 = Л3 = Л1-1/2. Из формул (17) при условии а2 = ст3 = 0 устанавли-

ваем связь между истинным напряжением растяжения и кратностью удлинения

а1 = 2а1 (Л2-Я1-1) + 2а2 (Л -Л^1).

Условное напряжение, отнесенное к начальной площади поперечного сечения образца, составляет

а* = аЛЛ = аЯ1-1 = 2а (4 -Л-2) + 2а2 (1 -Л-3). (18)

Теоретическую зависимость (18) сопоставляли с экспериментальными диаграммами деформирования полиуретана и из условия наилучшего соответствия эксперименту определяли коэффициенты Dij в выражениях упругих потенциалов (14), (15), (16). В качестве

критерия соответствия приняли минимум квадрата отклонения от экспериментальной кривой:

N

min X [а*(Л1(Л)) эксперимент -а*(Л1(Л}, DtJ)теория]2, к=1

где ст*(Лцк)) эксперимент — условное напряжение, полученное в эксперименте при кратности удлинения Л1(к); о^Лцк), Dij)теория —

напряжение, рассчитанное по формуле (18); N — число точек сравнения.

Рассмотрен интервал изменения кратности удлинения от 0,7 до 2,1. В результате поиска получены следующие значения коэффициентов в выражениях потенциалов, МПа: Трелоара D10 = 2,76;

Муни — Ривлина D10 = 0,80, D01 = 3,03; Бидермана D10 =-1,22, D20 = 0,09, D30 = 0,10, D01 = 4,79. Для сравнения на рис. 4 показаны диаграммы растяжения-сжатия полиуретана, построенные на основе перечисленных потенциалов при указанных значениях коэффициентов. Как и следовало ожидать, наилучшее соответствие эксперименту получено при использовании потенциала Бидер-мана, имеющего большее число подбираемых коэффициентов. Однако отметим, что добавление дополнительных слагаемых в выражение упругого потенциала приводит к существенному пересмотру значений коэффициентов. Этот факт является очевидным недостатком процедуры. Поэтому требуется дальнейшая отработка реализации выбора упругого потенциала для полиуретана и процедуры определения входящих в него коэффициентов. В данной работе для расчета амортизаторов использован потенциал Бидер-мана (16).

10

£

-5

-10

-15

1 3 £

- 2

/У* //У

у ..............................М f

/7 $ 1 1 1

1.2

1.4

1.6

Кратность удлинения

2.2

Рис. 4. Теоретические и экспериментальная диаграммы растяжения-сжатия полиуретана:

1 — потенциал Трелоара; 2 — потенциал Муни — Ривлина; 3 — потенциал Бидер-мана; точки — эксперимент

Результаты расчетов амортизаторов. Расчеты выполнены методом конечных элементов с использованием объемных 8-узловых элементов с трилинейной аппроксимацией перемещений и постоянным гидростатическим давлением. Конечными элементами смоделирован один из трех секторов амортизатора, при этом на границах сектора сформулированы условия циклической симметрии. На торцах амортизатора, скрепленных с жесткими пластинами, запрещены перемещения в плоскостях торцов. Сближение торцов рассматривали как параметр нагружения.

В расчетах изучали напряженно-деформированное состояние амортизаторов и влияние основных геометрических параметров амортизаторов на нагрузочные характеристики, жесткость и энергоемкость. В качестве базового проекта принят амортизатор, имеющий размеры (см. рис. 1, б):

Н = 300 мм, к\ = 140 мм, к2 = к3 = 20 мм, г = 150 мм, Ь = 70 мм, а = 75°, р = 110°.

Для данного амортизатора при нагрузке 300 кН расчетное условное напряжение сжатия в цилиндрической части составляет 5 МПа. На рис. 5 показаны распределения истинных нормальных осевых, радиальных и окружных напряжений в меридиональной плоскости симметрии сектора при нагрузке 300 кН. В областях крепления торцовых поверхностей, а также в зоне излома наблюдается концентра-

б

Рис. 5. Контуры истинных нормальных напряжений в плоскости симметрии сектора:

а — осевые напряжения а2\ б — радиальные напряжения аг; в — окружные напряжения а. Жирными линиями показаны контуры нулевых значений

ция напряжений. Однако напряжения остаются значительно ниже предела прочности.

Наличие излома между конической и цилиндрической частями амортизатора является его важной конструктивной особенностью. Этот излом предопределяет характер деформации амортизатора при достижении предельной нагрузки. Изменяя угол подъема конуса а,

но оставаясь при этом в рамках заданных габаритных размеров, можно существенно изменять жесткость и энергоемкость амортизатора. На рис. 6 показаны нагрузочные характеристики и графики накопления упругой энергии в зависимости от осадки для амортизаторов с различными углами подъема.

Осадка амортизатора, мм

Рис. 6. Нагрузочные характеристики амортизаторов с углом подъема конуса а= 70° (1); 75° (2); 80° (5) соответственно. Кривые 1' , 2', 3' — графики накопления энергии деформации

Протяженность сектора в окружном направлении также является параметром, с помощью которого можно заметно влиять на жесткость амортизатора без изменения его габаритов. С увеличением угла сектора р и, следовательно, площади поперечного сечения повышается жесткость амортизатора. Влияние угла сектора р можно установить из нагрузочных характеристик (рис. 7).

Рис. 7. Нагрузочные характеристики амортизаторов с углом сектора ф= 70° (1); 90° (2); 110° (3) соответственно. Кривые 1\ 2 \ 3 — графики накопления энергии деформации

Выполненные расчеты показывают широкие возможности целенаправленного изменения характеристик амортизаторов. Исследуемые амортизаторы имеют мягкую нагрузочную характеристику с переходом к падающему участку, благодаря чему применение амортизаторов в условиях интенсивных динамических нагрузок становится эффективным. Однако требуется отдельно изучить вопрос влияния скорости нагружения на характеристики амортизаторов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голованов А.И., Султанов Л.У. Математические модели вычислительной нелинейной механики деформируемых тел. - Казань: Казанский гос. ун-т, 2009. - 465 с.

2. Bathe K.J. Finite Element Procedures. - Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1996. - 1036 p.

3. Бидерман В.Л. Вопросы расчета резиновых деталей // Расчеты на прочность: сб. ст. - М.: МАШГИЗ. - 1958. - Вып. 3. - С. 40-87.

Статья поступила в редакцию 28.09.2012