CC BY
13
Анализ СР-нарушения и дополнительность смешивания кварков и нейтрино в экспоненциальной и кобимаксимальной матрицах смешивания
К. В. Жуковский," А. А. Давыдова
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
Поступила в редакцию 08.12.2018, после доработки 10.01.2019, принята к публикации 11.01.2019.
С учетом последних экспериментальных данных анализируется смешивание нейтрино в стандартной, кобимаксимальной и экспоненциальной параметризациях матрицы смешивания. Находится логарифм матрицы смешивания и точные значения каждого элемента экспоненциальной и кобимаксимальной параметризации для нейтрино; последняя позволяет факторизовать вращение в действительном пространстве и вклад СР-нарушения в виде вращения в чисто мнимом пространстве. В экспоненциальной форме кобимаксимальной матрицы смешивания исследуется угол между осями вращения кварков и нейтрино и проверяется дополнительность их смешивания. С помощью инварианта Ярлског исследуется зависимость степени СР-нарушения для нейтрино от параметров матрицы смешивания в различных параметризациях. С использованием экспоненциальной параметризации матрицы смешивания исследуется представление последней в качестве элемента группы БЩЗ) с параметрами р и в, и их зависимости от степени СР-нарушения.
Ключевые слова: нейтрино, смешивание, РМЫБ-матрица, СР-нарушение, экспоненциальная параметризация, группа.
УДК: 539. РЛСБ: 14.60.Pq, 12.15.Ff, 20.20.-a.
ВВЕДЕНИЕ
В рамках Стандартной модели [1-3] изначально предполагалось, что нейтрино является безмассовой частицей с левой киральностью. После предсказания нейтринных осцилляций [4, 5], и их открытия (например, [6, 7] и др.) стало ясно, что нейтрино обладает массой, которая на много порядков меньше масс других элементарных частиц. Для описания нейтрино с малой массой можно добавить в лагранжиан Стандартной модели правые нейтрино, которые являются скалярами относительно группы Яи(3) х х Би(2) х и(1) и имеют массу порядка 1016 ГэВ, что не позволяет их наблюдать в современных экспериментах. Такой механизм генерации малой массы наблюдаемых нейтрино называется качельным механизмом [8]. Получающееся массовое слагаемое для нейтрино обусловливает нарушение СР-инвариант-ности действия в Стандартной модели и нарушение закона сохранения лептонных чисел для каждого поколения. Недиагональность массовой матрицы
_I
приводит к смешиванию неитрино, т.е. существует такое унитарное преобразование нейтринных полей, после которого массовая матрица становится диагональной. Вклад тяжелых нейтрино в смешивание несуществен т. к. соответствующие матричные элементы крайне малы. Преобразованные поля будут собственными массовыми состояниями нейтрино с определенной массой ^2, ^з. Пренебрегая малым вкладом тяжелых нейтрино, получаем наблюдаемые флейворные состояния легких нейтрино ve, и^, иТ в виде линейной комбинации массовых состояний VI, переход от ^дз к ^е>м>Т описывается
унитарной матрицей смешивания и Понтекорво-Маки-Накагавы-Саката (РМЫБ) [9]:
К) = ua |v¿), Uai = (va|v),
i= 1,2,3
a = e, T, i = 1,2,3.
(1)
Наиболее распространенной является стандартная форма матрицы для трехфлейворного смешивания:
U
1 0 0 l c13 0 S13e—iScp\ / C12 S12
0 C23 S23 1 ( 0 1 0 ) -S12 C12
0 -S23 С23/ \-S13eiScp 0 c13 J 0 0
С12С13 -S12C23 - C12S23«13e S12S23
■iäcp
S12C13 C12C23 - S12S23«13e
iScp
C12C23«13eiácP -C12S23
«12C23«13e
iScp
—iácpN
S13e S23C13 C23C13
Ust, (2)
где cj = cos 6ij, sij = sin 6ij, i = 1,2,3, 0j¿ — углы смешивания, ¿cp — СР-нарушающая фаза. На основе экспериментальных данных с учетом СР-нарушения [10] получаем для элементов матрицы смешивания следующие численные значения:
I-
Ubest fit =
0.821 0.551 -0.123 + 0.086i>
= 1-0.283 + 0.054i 0.590 + 0.036i 0.753 0.491 + 0.046i -0.588 + 0.031i 0.641
E-mail: zhukovsk@physics.msu.ru
a
Абсолютные значения ее элементов находятся в следующих пределах:
|и|э, =
^0.796 о 0.843 0.518 о 0.586 0.143 о 0.1564 0.214 о 0.533 0.425 о 0.703 0.639 о 0.784 . ^0.246 о 0.505 0.451 о 0.721 0.603 о 0.755/
(4)
Кроме матрицы (2), можно построить еще 11 аналогичных матриц смешивания, которые различаются между собой только положением комплексной фазы и порядком сомножителей (см. [11]). Были предложены также симметричные формы матрицы смешивания с заданными численными значениями ее элементов, например бимаксимальная (ВМ) матрица и трибимаксимальная (ТВМ) матрица [12]; они не описывают СР-нарушение в лептонном секторе. В настоящее время считается, что #13 = 0 и ¿ср = 0; в этой связи интерес вызывает кобимаксимальная (СВМ) форма матрицы смешивания [13-16], которая получается подстановкой #23 = п/4 и ¿ср = ±п/2 в стандартной параметризации (2) и имеет следующий вид:
Ucbm
С12С13
-f (s 12 ± ¿S13C12) V f (s 12 T ¿S13C12)
S12C13 ■f (ci2 T isi3S12) -f(C12 ± ÍS13S12)
Tisi3
# ci3
# С13У
(5)
Смешивание для кварков описывается аналогично смешиванию в лептонном секторе с помощью матрицы V Кабиббо-Кобаяши-Маскавы (ККМ). Смешивание для кварков выражено существенно слабее, чем для нейтрино, и матрица V близка к единичной; малые параметры отклонения от единичной матрицы, Л, А, р, п, были введены Л. Вольфенштей-ном [17]. В работе [18] обсуждаются аналогичные поправки для нейтрино, выраженные через параметры Вольфенштейна с использованием эмпирических соотношений, и формулируется гипотеза кварк-лептонной дополнительности (РЬС) и лептонной дополнительности (БС) — которые связывают углы смешивания для кварков и нейтрино. Кроме того, была предложена экспоненциальная параметризация матрицы смешивания [19, 20]. Ниже мы исследуем дополнительность смешивания нейтрино и кварков и СР-нарушение нейтрино в различных параметризациях.
1. ИНВАРИАНТ ЯРЛСКОГ
Унитарность матрицы смешивания может быть выражена в виде следующих соотношений для ее матричных элементов:
Е Ui«Uja = ¿ij,
Е Ui.
íU¿e = ¿«в >
(6)
и*
. л; ^
¿=1,2,3 г=в,^,г
где И а = а = е, т, г = 1,2,3. Геомет-
рически это представимо в виде треугольников на комплексной плоскости в трехмерном пространстве (см. рис. 1), площадь которых равна половине модуля векторного произведения векторов {Ие а, 1т а,0} и {Ие Ъ, 1т 6,0}:
У
Im(a)
Im(b) *
Рис. 1. Геометрическое представление треугольника Ярлског на комплексной плоскости
S = 2 |(Re a) (Im b) - (Re b) (Im a)| =
= 2 |Im(ab*)| = 1 |Im (a*b)|. (7)
Для a = Ue 1U*3
и b = —Um1U*3 имеем S
MU^U^U^)
. В силу унитарности мат-
рицы U получаем U*3UM3 = —U*1 UM1 — U*2UM2
= 2J, где J — ин-
и S = 2
Im(Ue1UM2U*2U* 1) вариант Ярлског [21]. Используя вид (2) матрицы U, получаем в явном виде выражение для инварианта Ярлског через углы стандартной параметризации
J = Im(Ue1UM2U*2U* 1) =
= cos #12 sin #12 cos2 #13 sin #13 COS $23 sin $23 sin ¿CP. (8)
Инвариант Ярлског J не равен нулю, только если присутствует CP-нарушение, в частности J = 0, если sin¿cp = 0 в (8). Величина инварианта Ярлског J не зависит от конкретного вида параметризации матрицы смешивания; J определяет степень CP-нарушения. Пример зависимости абсолютной величины инварианта Ярлског |J| (#12, #13) от углов в стандартной параметризации с учетом данных [10] приведен на рис. 2.
в13, град 8.6
0.020 |J| 0.019 0.018
35
в12, град 36 "
Рис. 2. Зависимость абсолютной величины инварианта Ярлског 3 для нейтрино от вц и вц. Значения остальных параметров фиксированы по экспериментальным данным [10]
Диапазон значений углов 013 и 012 на рис. 2 соответствует экспериментально установленному на 2018 г. разбросу значений элементов матрицы смешивания с точностью 3а (см. [10] и (4)). С учетом этого величина инварианта Ярлског такова: Jv = —0.019—0. 01б. В кварковом секторе масштаб CP-нарушения примерно на 3 порядка меньше, чем в нейтринном, и с учетом данных PDG на 2018 г. значение инварианта Ярлског для кварков составляет Jq = (3.18 ± 0.15) х 10-5 [28].
Рассмотрим СВМ-параметризацию матрицы смешивания с нижними знаками в (5); это соответствует более вероятному CP-нарушению с ¿ср = —п/2. Тогда для заданного значения инварианта Ярлског Jfix получим в СВМ-параметризации (5) аналитическое соотношение между углами 013 и 012 в следующем виде:
012 = 1 arcsin
—4J
fix
cos2 013 sin 013
(9)
Тогда в СВМ-параметризации можно выбрать значения #12 = 33.51°, #13 = 8.695°, 7Нх = -0.034, удовлетворяющие (9). При этом абсолютные величины элементов матрицы смешивания находятся в пределах допустимых значений 3а (см. (4)) и, как мы покажем в разделе 4, точно выполняется дополнительность смешивания нейтрино и кварков. В итоге получаем соответствующую найденным углам СВМ-матрицу смешивания в явном виде:
U3ff
CBM -
0.824 0.546 0.15HN
—0.390 + 0.089« 0.590 + 0.059« 0.699 0.390 + 0.089« —0.590 + 0.059« 0.699,
(10)
2. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ МАТРИЦЫ СМЕШИВАНИЯ
Матрицу смешивания как для кварков, так и для нейтрино можно записать в виде матричной экспоненты (см, например, [19, 20, 22-25]):
U
exp
exp A.
(11)
Преимущество экспоненциальной параметризации (11) заключается в том, что в ней можно факторизовать вклады вращения и СР-нарушения в виде новой унитарной параметризации:
U = PRotP
RotPCP,
P
Rot
„Ar,
P
CP
„Ас
(12)
Ar
где за вращение отвечает PR0t = е Rot и за СР-нарушение отвечает Pcp = еАср; ее показатель Acp — соответственно СР-нарушающие компоненты матрицы A. На основании экспериментальных данных показано [10], что углы смешивания для нейтрино на ноябрь 2018 г. таковы:
0
12
33.82
о+0.78° -0.76°
0,3 = 8.61о+п 13
-0.13°
023 ¿CP
49.6°Îjf°,
215
>+40° -29°
(13)
Элементы матрицы А в показателе экспоненты (11) можно получить, вычислив логарифм матрицы смешивания. Вместо ранее использовавшихся
аналитических методов вычисления матричных логарифмов (см., например, [26, 27]) мы применили для простоты программу МаШвшаИоа. Исходя из значений (13), получаем следующий численный вид экспоненты матрицы смешивания (11):
A
-0.0147« 1-0.4982 + 0.0323«
0.4982 + 0.0323« -0.3661 + 0.0787« >
0.0292«
0.8018 + 0.0184«
0.3661 + 0.0787« -0.8018 + 0.0184«
-0.0144«
(14)
Таким образом, на основе значений (13) получаем экспоненциальную параметризацию матрицы смешивания (1) в виде (11), где А имеет вид (14).
Для СВМ-матрицы ИВМ (10) (или (2) с #23 = = п/4, ¿ср = —п/2, #12 = 33.51°, #13 = 8.695°) получаем показатель экспоненты в (11) в следующем виде:
АСВМ =
- 0 . 0235 « 1-0.5523 + 0.0524«
0.5523 + 0.0524« -0.2303 + 0.1413«>
0.0467«
0.7604 + 0.0347«
0.2303 + 0.1413« -0.7604 + 0.0347«
-0.0232«
(15)
След матрицы А (как и АСВМ и др.) в экспоненциальной форме (11) точно равен нулю: Тг А = 0, а диагональные элементы А малы. Представим А в виде следующей суммы матриц:
А = Аш + Аср + А^1ш, (16)
где матрица
ARot = Re [A]
0 0.4982 —0.366Р —0.4982 0 0.8018 0.3661 —0.8018 0
(17)
описывает действительное вращение, а матрица
A
CP
« Im [A — Adiag Im]
diag ImJ —
0 0.0323« 0.0787«
0.0323« 0 0.0184« <0.0787« 0.0184« 0
(18)
описывает СР-нарушение. Для матриц PRot = eARot, PCP = еАср щие выражения:
соответствующих получаем следую-
0.825 0.552 —0.1234 PRot = —0.283 0.592 0.755 0.490 —0.588 0.644
(19)
P
CP
0.996 — 0.014г —0.001 + 0.032г 0.001 + 0.079г
—0.001 + 0.032г 1 + 0.028г —0.001 + 0.018г
0.001 + 0.079г —0.001 + 0.018г 0.997 — 0.014г
(20)
Выделяя вращение и СР-нарушение (16)-(18), получаем для ИС"Вм (10) в экспоненциальном представлении следующие компоненты:
ACBM ARot
0 0.5523 —0.2303^ —0.5523 0 0.7604 0.2303 —0.7604 0
A
CBM CP
0 0.0524« 0.14Ш 0.0524« 0 0.0347« 1.0.1413« 0.0347« 0
Матрицы PRot = eARot и PCP СВМ-параметризации равны:
.Ac
(22)
в случае =
0.834 0.551 -0.002^ PRot = | -0.389 0.592 0.706 ], (23) . 0.390 -0.588 0.708
PCP =
0.989 -0.002 + 0.052« -0.001 + 0.14HN -0.002 + 0.052« 0.998 -0.004 + 0.035« ,-0.001 + 0.141« -0.004 + 0.035« 0.989
(24)
Мнимая диагональ матрицы A в (16) представлена матрицей
Adiag Im
« diag {«1, «2, аэ} ,
(25)
в которой элементы Лц и А33 почти точно равны друг другу и составляют половину величины матричного элемента Л22 с обратным знаком:
«1 = «э = -«2/2.
(26)
Отметим, что соотношение (26) для матричных элементов мнимой диагонали Л выполняется точнее с экспериментальными данными 2018 г. [10], чем с результатами 2016 г.; отклонение от идеального равенства « = аз = —«2/2 составляет <1%. Для экспоненциальной формы СВМ-матрицы аналогично имеем:
ACBM Adiag
-0.023532« 0 0
0
0.046737« 0
0 0
-0.023205«
(27)
Матрица А[ = Ако + АСР (см. (16)) представляет собой сумму члена А^ (17), отвечающего за смешивание без СР-нарушения, и соответствующее ему вращение вокруг действительной оси и члена Аср (18), отвечающего за СР-нарушение, и соответствующее ему вращение вокруг мнимой оси. Для ¿ср = 215° имеем:
A1 = ARot + Acp =
0 0.499ei<52
0.374e®'
¿1 = 168°
= | -0.499e-®52 0 0.802ei<53 v-0.374e-i<5> -0.802e-i^ 0
¿2 = 4°,
¿3 = 1°. (28)
В CBM-матрице ¿CP = 270°, и для нее получаем соответственно
CBM CBM ARot + ACP
ACBM
/ 0 0.5548e®5° 0.2702ei148°
= -0.5548e-®5° 0 0.7612ei3 °
V-0.2702e-®148 ° -0.7612e-®3 ° 0
Абсолютные значения элементов матрицы А1 (28) с учетом экспериментального разброса За (см. (4)) могут меняться в следующих пределах:
АПз. =
0 0.439 о 0.660 0.047 о 0.428^
0.439 о 0.660 0 0.628 о 0.929
0.047 о 0.428 0.628 о 0.929 0
(30)
Экспоненциальная матрица смешивания является антиэрмитовой, что обеспечивает унитарность матрицы смешивания: И—Р • И = И+ • ИеХр = I.
3. ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТЬ СМЕШИВАНИЯ НЕЙТРИНО И КВАРКОВ
Рассмотрим действительную матрицу вращения Рш = еАко1 (см. (12)) вокруг выделенной оси в трехмерном пространстве. Ее можно представить в следующем виде:
P
Rot
„Ar
0 А -А 0 -Uz ny
-А 0 V ) = Ф U 0 -n.
M -V 0 \-Пу Ux 0
ARo
(31)
Можно получить координаты вектора поворота
V м а\ ж
— Ф, — Ф, — Ф / И угол поворота Ф =
= ±\/А2 + м2 + V2. Используя данные на ноябрь 2018 г. [10], получаем
п™8 = (—0.7919, —0.3616, —0.492),
Ф
Nov 2018
=58.01 °+8.33 °.
Для СВМ-матрицы смешивания получаем
псвм = (-0.7858, -0.2380, -0.5708), Фсвм = 55.4°.
(32)
(33)
Для кварков по данным PDG за 2017 г. [28] с параметрами Вольфенштейна А = 0.22465 ± 0.00039, A = 0.832±0.009, р = 0.139±0.016, п = 0.346±0.010
получаем
п
2017
= (-0.1828, -0.0157, -0.9830),
Ф
2017
13.20
°+0.02 ° -0.03 .
(34)
Сопоставление векторов и углов вращения нейтрино в (32) со значениями для кварков в (34) показывает, что оси вращения нейтрино и кварков составляют с точностью до нескольких градусов 45° (см. рис. 3), хотя сами значения n и Ф довольно сильно отличаются из года в год. Также в зависимости от данных фиттинга (best fit) экспериментов несколько меняются и углы между осями для кварков nq и нейтрино nv: например, по данным на май 2016 г. этот угол составлял 45.8°, по данным на январь 2018 г. он был « 48.4°, по данным на ноябрь 2018 г. - 50.7°.
Сопоставление значений в (34) для кварков с (33) для СВМ-матрицы U^Bm (10) дает точно угол 45°
и
x
V
У -0.2
-0.8
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-0.2
0
Рис. 3. Действительные оси вращения в пространстве для смешивания кварков — зеленая ось, для смешивания нейтрино по экспериментальным данным (best fit) на ноябрь 2018 г. — синяя ось, для СВМ-матрицы uCBm (10) — красная ось
между осями вращения кварков и нейтрино! Таким образом, в кобимаксимальной СВМ-матрице смешивания с #23 = 45°, ¿ер = -90° получаем значения углов #12 = 33.51°, #13 = 8.695° и соответствующую экспоненциальную форму матрицы такие, что все элементы матрицы смешивания находятся в пределах экспериментально измеренного допуска и точно выполняется дополнительность смешивания кварков и нейтрино (см. рис. 3).
4. СВМ-МАТРИЦА СМЕШИВАНИЯ КАК ЭЛЕМЕНТ ГРУППЫ SU(3)
Являясь элементом группы SU(3), матрица смешивания U может быть записана в следующей экспоненциальной форме:
U = exp («#Н),
(35)
Ф = 3 ^arccos ^|а/3det(H)^ - .
(36)
Сравним (35) с экспоненциальной параметризацией матрицы смешивания Иехр = exp А, где выделим множитель г#. Тогда с учетом нормировки ^[Н2] = 2 получаем для параметра # следующее выражение [29]:
# = (- tr [A2/2])
1/2
(37)
определяющее угол поворота в группе SU(3). Теперь применим формулы (35)-(37) к СВМ-матрице (10); с помощью программы Mathematica получаем для нее как элемента группы SU(3) следующий численный вид:
Невм =
-0.0240 0.053 - 0.563« 0.144 + 0.235^
0.053 + 0.563« 0.048 0.035 - 0.775«
<0.144 - 0.235« 0.035 + 0.775« -0.024
Отметим, что матрицу Невм можно разложить по генераторам группы SU(3) [32]:
Невм = 0.106T1 + 1.126T2 - 0.144Ts + 0.288T4-- 0.470T5 + 0.070Tb + 1.850T7 + 0.084Tb,
где Ta = 4f, a = 1,8, Aa — матрицы Гелл-Манна. Для СВМ-матрицы получаем det Невм — -0.136 и следующие углы в группе SU(3):
#евм = 56.19°, февм = 6.88°.
Для нейтрино по экспериментальным данным (best fit) на ноябрь 2018 г. с ¿ер = 215° имеем det Н =
= -0.076, #V018 = 58.24°-7.26° и Ф2.018 = 3.78°+5;469°0.
Для кварков получаем detН = 0.00529 и значительно меньшие углы:
где # — параметр вращения группы и Н — эрмитова матрица, принадлежащая соответствующей алгебре группы с нормировкой ^[Н2] = 2. Инвариант группы, det(H), может быть переопределен в терминах угла ф следующим образом [29]:
# = 13 20°+0 02°
#q = 13.20 -0.02° ,
фч = -0.26°-0. 01° .
Аналогичные вычисления можно проделать и для стандартной матрицы И8( (2). Это дает зависимость параметров матрицы смешивания И^ как элемента группы Би(3) от СР-нарушающей фазы ¿ср в стандартной параметризации (см. рис. 4).
в, град 62
61 59 58
200
250
300 350
S„ град
Ф, град 6
5
4
3
2
1
200
250
300 350
S„ град
Рис. 4. Зависимость групповых параметров БЩЭ) от СР-нарушающей фазы в стандартной параметризации:
в(£СР) на левом и ^(¿ср) на правом графиках
0
z
x
5. ИССЛЕДОВАНИЕ СВЯЗИ СР-НАРУШЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ МАТРИЦЫ СМЕШИВАНИЯ
Исследуем сначала связь групповых параметров SU(3) матрицы смешивания с углами в показателях экспонент элементов экспоненциальной параметризации (28). Формулы (35)-(37) позволяют соотнести матрицу смешивания как элемент SU(3) (35) и экспоненциальную параметризацию (11). Для матрицы Асвм (29) на основании данных Best Fit [10] получаем ¿1 « 148.5°, 62 « 5.4°, 63 « 2.6°. На рис. 5 показана зависимость параметра ^ (36) от угла ¿1 в элементах (1,3) и (3,1) матрицы ACBM (29), в основном определяющего CP-нарушение в экспоненциальной форме СВМ-параметризации.
Для матрицы A1 (28) на основании экспериментальных данных [10] получаем ¿1 « 168°, ¿2 ~ 4°, ¿3 « 1° и зависимость (¿1) получается похожей на показанную на рис. 5. Угол в (37) по построению не зависит от ¿1, ¿2, ¿3. Так как вероятные значения угла ¿1 с учетом разброса лежат в пределах [145.3° — 180°], то из зависимости ^(¿1) (рис. 5) следует, что ^ (36) не будет достигать своего максимального значения и будет почти равен 0 для ¿1 = 180°.
Поскольку в СВМ-параметризации зафиксирован угол ¿cp = 270°, то имеет смысл исследовать связь ¿1>2,з с CP-нарушающей фазой ¿CP в матрице A1 (28) стандартной параметризации (2) (см. рис. 6). Анализ зависимости ¿1 и ¿2,3 от ¿ показывает, что для ¿1 минимальным является значение 147°; при этом ¿cp = 302°, а измеренному на данный момент значению ¿cp = 215° соответствует величина ¿1 = 168° (см. рис. 6). Зависимости ¿2^ср) и ¿3^ср) похожи друг на друга и имеют максимумы около ¿ср = 270°, однако диапазон изменения угла ¿2 почти в 3 раз больше диапазона для ¿3 (см. рис. 6).
С учетом явного вида матрицы ARot (17) для действительного вращения в A1 = ARot + Acp (см. (16)) заключаем, что CP-нарушение описывается в основном ¿1 и в значительно меньшей степени ¿2,3 в показателях экспонент элементов матрицы (28). Полученная нами зависимость величины инварианта Ярлског от ¿1 и ¿2 представлена на рис. 7.
Ф,град
10 5
-5 -10
у
: / / л
у \
5 01 0 15 0 20 0 25 0 3( )0 35
81, град
Рис. 5. Зависимость параметра р группы SU(3) с фазой ¿1 в матрице ACBM (29)
150.
Sj, град 160 170
|J|
180 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00
Рис. 7. Зависимость абсолютной величины инварианта Ярлског 7(¿1,¿2) от значений ¿1 в диапазоне 145°-180°, и ¿2 в диапазоне 0°-6° при ¿3 = 1° в экспоненциальной параметризации матрицы смешивания нейтрино
График на рис. 7 показывает зависимость |31 (¿1, ¿2) и разброс значений величины инварианта Ярлског в интервале погрешности 3а. Зависимость показана в терминах параметров ¿1, ¿2 матрицы (28) экспоненциальной параметризации. Из рис. 7 также очевидно, что определяющей для инварианта Ярлског 3 является зависимость от ¿1; влияние ¿2 мало. Влияние ¿3 еще меньше и не рассматривается.
815 град 180
175
170
165
160
155 150
200
250 300 350
SCP, град
S23, град 6
5
у" .......N.
/ ч
♦ ♦ ♦ \ ♦
» » t ,lt И............. • *
♦ » » » .........
» V» •л X
*
'Л
200
250
300 350
SCP, град
6
4
3
2
1
Рис. 6. Левый график — зависимость ¿1 (¿ср); правый график — зависимости ¿2^ср) (штриховая) и ¿^¿ср) (пунктирная)
линии
6. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
С помощью экспоненциальной формы матрицы смешивания нейтрино проанализированы данные о смешивании [10] за ноябрь 2018 г. В экспоненте матрицы смешивания, т. е. в матрице A = AR0t + + ACp_1 + Adiagim, присутствуют вещественная матрица AR0t, мнимая матрица Acp и очень малая по величине мнимая диагональная матрица Adiagim, след которой точно равен нулю. Можно факторизо-вать в экспоненциальной форме Uexp = exp A вклад СР-нарушения и вращения вокруг действительной оси: U = PRotPcp, PRot = eARot, Pcp = eAcp.
Матрица смешивания нейтрино U рассмотрена как элемент группы SU(3). Получены значения матрицы H и определителя det H = -0.076 в показателе экспоненты U = exp[i#H] и соответствующего ей параметрического угла ф™8 = 3.78°+449о и угла вращения в группе SU(3), в;2018 = 58.24°-7.|0
с лучшим фиттингом к экспериментальным данным для нейтрино с разбросом 3а. Исследована связь SU(3) параметров в и у с углом СР-нарушения 5 стандартной параметризации, а также связь у с СР-нарушающей фазой в экспоненциальной параметризации (см. рис. 4, 5). Угол в по построению не зависит от значений 51,2,3 в экспоненциальной параметризации. Для кобимаксимальной СВМ-мат-рицы смешивания (т.е. в23 = 45°, 5cp = -90° в стандартной параметризации) как элемента группы SU(3) получены значения инварианта группы det HCBM = -0.136 и самой матрицы HCBM, параметрического угла, фсвм = 6.88°, и значение угла вращения в группе: всвм = 56.19°.
Установлено соответствие между СР-нарушающей фазой 5 в стандартной параметризации и СР-на-рушением в экспоненциальной параметризации; для последней получена иерархия значений комплексных элементов (1,3), (2,3), (3,2) матричной экспоненты с фазами 51 « 168°, 52 « 4°, 53 « 1°. Наиболее сильное СР-нарушение приходится на смешивание е- и т-нейтрино. Для более вероятного на настоящий момент значения 5cp « 215° величина фазы 51 « 168°, определяющая главный вклад СР-наруше-ния в экспоненциальной параметризации, находится чуть выше середины допустимого диапазона ее значений (см. рис. 6).
С помощью инварианта Ярлског J как меры нарушения СР-инвариантности проведено сравнение СР-нарушения в стандартной, кобимаксимальной и экспоненциальной параметризациях матрицы смешивания. Исследована зависимость J от соответствующих фаз в стандартной и экспоненциальной параметризациях матрицы смешивания (см. рис. 2, 7). Проанализирована определяющая инвариант Ярлског зависимость от 51 в экспоненциальной параметризации и от 5cp в стандартной параметризации. Угол 52 влияет мало по сравнению с 51 (рис. 7); влияние 5э на J похоже на влияние 52, а зависимость 53(5cp) похожа на 52(5cp), но она в три раза слабее (рис. 6).
Показано, что с учетом экспериментально определенного с разбросом 3а диапазона абсолютных значений элементов матрицы pMNS с кобимаксимальной матрицей смешивания точно выполняется
дополнительность смешивания кварков и нейтрино [30, 31]. При этом углы смешивания в СВМ матрице оказываются #12 = 33.51°, #13 = 8.695° и лежат в пределах разброса 3а. Соответствующее значение инварианта Ярлског J = -0.034 оказывается близко по абсолютной величине к максимальному значению |Jmax| = 0.035, соответствующему максимальному CP-нарушению. Все полученные величины лежат в диапазоне допустимых экспериментальных значений 3а.
Экспоненциальное представление матрицы смешивания и полученные на ее основе результаты и интерпретации могут быть полезны при анализе и обработке экспериментальных данных по осцил-ляциям нейтрино в экспериментах, проводимых как в настоящее время, так и планируемых в будущем. Кроме того, выявление новых свойств симметрии матрицы смешивания сможет в дальнейшем позволить теоретически объяснить феномен смешивания нейтрино.
Авторы благодарят профессора А. В. Борисова за ценные советы, полезные замечания и обсуждение полученных результатов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Weinberg S. // Phys. Rev. Lett. 1967. 19. Р. 1264.
2. Salam A. Elementary Particle Theory / Ed. by N.Svart-holm. Almquist Forlag Ав, 1968.
3. Glashow S.L. // Nucl. Phys. 1961. 22. P. 579.
4. Понтекорво Б. // ЖЭТФ. 1957. 33. е. 549.
5. Понтекорво Б. // УФН. 1968. 95, № 7. е. 517.
6. Cleveland B. T. et al. // Astrophys. J. 1988. 496. 505.
7. Fukuda Y. et al., (Kamiokande Collab.) // Phys. Rev. Lett. 77. 1996. P. 1683.
8. Minkowski P. // Phys. Lett. в. 1977.67. P. 421.
9. Maki Z., Nakagawa M., Sakata S. // Prog. Teor. Phys. 1962. 28. P. 870.
10. Esteban I., Gonzalez-Garcia M.C. et al. NuFIT 4.0 (2018).
11. Zhang Yijia et al. // Phys. Rev. D. 2012. 86. 032008.
12. King S.F. // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 2015. 42. 123001.
13. Ma E. // Phys. Rev. D. 2015. 92. 051301(R).
14. Ma E. // Phys.Lett в. 2016. 752. P. 198.
15. Ma E, Rajasekaran G. // EPL 2017. 119.3. P. 31001.
16. Ma E. // Phys. Lett. в. 2018. 777. P. 332.
17. Wolfenstein L. // Phys. Rev. Lett. 1983. 51, N 21. P. 1945.
18. Li N., Ma B.-Q. // Phys. Rev. D. 2005. 71. 097301.
19. Dattoli G., Zhukovsky K. V. // Eur. Phys. J. 2007. 50. P. 817.
20. Dattoli G., Zhukovsky K. V. // Eur. Phys. J. 2007. 52, N 3. P. 591.
21. Jarlskog C. // Phys. Rev. Lett. 1985. 55. P. 1039.
22. Zhukovsky K., Melazzini F. // Eur. Phys. J. е. 2016. 76. P. 462.
23. Zhukovsky K., Borisov A. // Eur. Phys. J. C. 2016. 76. P. 637.
24. Жуковский К. В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2017. №5. С. 3. (Zhukovsky K.V. // Moscow Univ. Phys. вЫ1. 2017. 72, N 5. Р. 433.)
25. Жуковский К. В. // ЯФ. 2017. 80, № 3. C. 1. (Zhukovsky K. V. // Phys. Atom. Nucl. 2017. 80, N 4. P. 690)
26. Wouk A. // J. Math. Anal. Appl. 1965. 11. P. 131.
27. Loring T.A. // Num. Lin. Alg. Appl. 21. 2014. P. 744.
28. Patrignani C. et al. // Chin. Phys. C. 2016. 40. 100001 and 2017 update.
29. Curtright T.L., Zachos C.K. // Rep. Math. Anal. Appl. 2015. 76, N 3. P. 401.
30. Minakata H, Smirnov A. Yu. // Phys. Rev. D. 2004. 70. 073009.
31. Raidal M. // Phys. Rev. Lett. 2004. 93. 161801.
32. Румер Ю.Б., Фет А. И. // Теория унитарной симметрии. М.: Наука, 1970. С. 82. (Rumer Yu., Fet A. // Theory of unitary symmetry, 1970.)
Analysis of the CP Violation and Complementarity of Mixing for Quarks and Neutrinos in the Exponential and Cobimaximal Parametrizations of the Mixing Matrix
K. Zhukovskya, A. Davydova
Department of Theoretical Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University.
Moscow 119991, Russia.
E-mail: azhukovsk@physics.msu.ru.
The latest (November 2018) experimental data on neutrino mixing is analyzed in the framework of standard, cobimaximal and exponential parametrizations. The logarithm of the mixing matrix is found and the matrix element values for the exponential and cobimaximal mixing matrix forms are determined. The exponential form allows factorization of the matrices that are responsible for the rotations in real space and the CP violation in the form of the rotation in imaginary space. The exponential form also allows easy verification of the complementarity of quark and neutrino mixing. In the exponential mixing parametrization the angle between the rotation axis for quarks neutrinos is studied and the complementarity of quark and neutrino mixing is investigated. Entries for the cobimaximal matrix are identified to comply with experimental data and provide exact quark-neutrino mixing complementarity. The Jarlskog invariant is employed to study the degree of CP violation for various parameters of mixing matrices in the standard, cobimaximal and exponential parametrizations. The mixing matrix is studied as the group SU(3) element with the exponential parametrization. SU(3) group parameters ^ and в are written for the mixing matrix; their dependence of the degree of the CP violation is explored.
Keywords: neutrino mixing, PMNS matrix, CP violation, exponential parametrization, SU(3) group. PACS: 14.60.Pq, 12.15.Ff, 02.20.-a.
Received 08 December 2018.
English version: Moscow University Physics Bulletin. 2019. 74, No. 3. Pp. 233-242.
Сведения об авторах
1. Жуковский Константин Владимирович — доктор. физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-31-77, e-mail: zhukovsk@physics.msu.ru.
2. Давыдова Алиса Александровна — студентка.
