CC BY
87Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter.ru/~eeaa/ejta/
2005, 2
Н. Ф. Ивина1, А. А. Тагильцев2
1 Тихоокеанский военно-морской институт им. С. О. Макарова,
690062, Владивосток, Камская, 6
2Тихоокеанский океанологический институт им. В. И. Ильичева ДВО РАН, 690041, Владивосток, Балтийская, 43, e-mail: atagiltsev@poi.dvo.ru
Анализ собственных колебаний дисковых изгибных пьезопреобразователей с произвольным соотношением размеров
Получена 06.02.2004, опубликована 28.01.2005
Методом конечных элементов решены задачи о собственных колебаниях дисковых изгибных пьезопреобразователей (состоящих из металлической подложки и наклеенных на нее с двух сторон пьезопластин) с произвольным соотношением размеров для двух вариантов закрепления подложки (свободно опертой и жестко закрепленной). Проанализированы спектры собственных частот в режимах резонанса и антирезонанса, распределения смещений на поверхности подложки и зависимости динамического коэффициента электромеханической связи от геометрических размеров пьезопреобразователя, материала подложки и типа пьезокерамики. Определены оптимальные геометрические размеры преобразователя, при которых достигается максимальный динамический коэффициент электромеханической связи, и оценена его величина.
Во многих акустических устройствах широко применяются изгибные пьезопреобразователи биморфного типа. Эти преобразователи имеют различную конструкцию: обычно это две одинаковые жестко соединенные пьезопластины, поляризованные по толщине; контур преобразователя либо свободно оперт, либо жестко закреплен. Расчет таких пьезопреобразователей можно выполнять по приближенным одномерным формулам [1-4] или более точно с помощью метода конечных элементов [5, 6].
Для увеличения механической прочности изгибных преобразователей используется металлическая подложка. Наиболее часто встречается конструкция, состоящая из круглого металлического диска и наклеенных на него с двух сторон пьезопластин [7, 8].
Расчет характеристик подобного преобразователя (с одной пьезопластиной) выполнен в статье [7] на основе приближенной одномерной модели. Как отмечено в этой статье, при расчете приняты обычные в подобных задачах допущения: о малости прогиба по сравнению с толщиной, о применимости гипотезы Кирхгофа, о малости толщины преобразователя по сравнению с радиусами пьезодиска и подложки и т. п. Краткие результаты, полученные для преобразователя с двумя пьезопластинами на
основе одномерной модели, приведены в докладе [8]. В точной постановке подобные пьезопреобразователи не анализировались ввиду невозможности решения возникающих при этом задач существующими аналитическими методами. Решение этих задач в точной постановке возможно с помощью метода конечных элементов на персональном компьютере [5, 6, 9]. С использованием метода конечных элементов анализируется двумерная модель с учетом двух компонент смещения (осевой и радиальной) и двух компонент электрического поля. Это позволило, с одной стороны оценить пределы применимости приближенных одномерных моделей, а с другой стороны, определить оптимальные геометрические размеры изгибного пьезопреобразователя, обеспечивающие максимальный динамический коэффициент электромеханической связи (ДКС), а, следовательно, максимальную эффективность преобразования энергии и максимальную широкополосность преобразователя.
Рассмотрим круглый изгибный пьезопреобразователь, состоящий из двух одинаковых соосных пьезодисков, включенных параллельно, и металлической подложки между ними (рис. 1). Радиус пьезодисков — a, толщина — l /2 (l — общая толщина двух пьезодисков), радиус подложки — Ь , толщина — h; в дальнейшем все геометрические размеры нормируются на радиус подложки. Введем также относительные геометрические размеры: 8 = а / Ь и у = к/I.
Рис. 1. Дисковый изгибный пьезопреобразователь: а — свободно опертая по контуру подложка, б - жестко закрепленная по контуру подложка; 2а — диаметр пьезодисков, 2Ь — диаметр подложки, I /2 — толщина пьезодиска, к — толщина подложки, и — компоненты смещения узлов контура подложки при заданных граничных условиях
При анализе собственных колебаний дискового изгибного преобразователя предполагается выполнение следующих электрических и механических граничных условий. Плоские поверхности пьезопластин покрыты тонкими электродами, представляющими собой эквипотенциальные поверхности. На цилиндрических поверхностях пьезопластин отсутствует нормальная компонента электрической индукции. Вся внешняя поверхность пьезопреобразователя свободна от механических напряжений. Известно, что собственные колебания изгибных пьезопреобразователей зависят от условий их закрепления. В случае свободно опертого преобразователя
осевая компонента смещения одного опертого узла обращается в нуль. В случае жестко закрепленного (защемленного) преобразователя осевые и радиальные компоненты смещения всех узлов, находящихся на цилиндрической поверхности подложки, равны нулю. В работах [9, 10] показано, что в методе конечных элементов при указанных граничных условиях для анализа режима резонанса (короткого замыкания) и антирезонанса (холостого хода) необходимо решить матричные задачи на собственные значения большой размерности:
где [М] — глобальная безразмерная матрица массы; [Нии ], [Ииу}, Ит — глобальные
безразмерные матрицы жесткости, пьезоэлектрической «жесткости» и диэлектрической жесткости с учетом граничных условий на электродах и исключения электрических потенциалов узлов, находящихся в объеме пьезодисков; с44 — элемент безразмерной матрицы упругих постоянных пьезокерамики; к — волновое число поперечной волны в пьезокерамике; (иг.} — вектор безразмерных, нормированных на радиус подложки Ь , узловых смещений; к(Ь — безразмерный частотный параметр, в дальнейшем для
краткости — безразмерная частота. Глобальные матрицы в задачах (1) и (2) формируются из соответствующих элементных матриц, которые определяются интегралами по объему конечного элемента.
Из решения матричных задач (1) и (2) находятся собственные значения (безразмерные резонансные и антирезонансные частоты) и собственные векторы — безразмерные узловые смещения (иг.}, позволяющие судить о форме колебаний
дискового пьезопреобразователя на конкретной моде. Зная собственные значения и собственные векторы задачи (1), можно вычислить ДКС (к) для любой моды колебаний как отношение взаимной энергии к среднему геометрическому значению упругой и электрической энергий [9, 10]:
При расчетах половина осевого сечения пьезопреобразователя, расположенная в правой полуплоскости, разбивается на кольцевые прямоугольные пьезоактивные и пассивные конечные элементы с квадратичной аппроксимацией (второго порядка) с восемью узлами. С каждым узлом связано две компоненты смещения: осевая и радиальная, а для пьезодисков — и электрический потенциал. Максимальное число упругих конечных элементов, набираемых по радиусу подложки, равно 15. Максимальное число пьезоэлектрических конечных элементов, набираемых по радиусу пьезодиска, меньше либо равно 15 и зависит от отношения радиусов а / Ь .
(1)
([И..]-{(} {(}т/н„-(кЬ) СЛМ])} = 0,
(2)
к = *,Д/Т+к2; к,2 = ({Н„ }т {. })2 Н-:/((к,Ь )2 с44{»,}г [М ]{.})
Проанализируем спектры собственных частот, формы колебаний и зависимости ДКС первой изгибной моды дискового преобразователя для двух случаев закрепления подложки: свободно опертой и жестко закрепленной. В качестве материала подложки используется либо сталь, либо бронза; пьезодиски выполнены из керамики ЦТС-19, параметры которой соответствуют справочным данным [11].
На рис. 2 приведены зависимости безразмерных резонансных и антирезонансных частот первой моды от отношения толщин у при трех значениях параметра I / Ь для случая стальной подложки. Из рис. 2 следует, что для тонких пьезопластин (I/Ь < 0,1) зависимость резонансной частоты от геометрического размера у является практически линейной и только для толстых пьезопластин (I/ Ь = 0,2) при у> 1,5 наблюдается небольшая нелинейность (понижение резонансной частоты от линейного приближения). При одинаковых размерах изгибного пьезопреобразователя его резонансная частота при жестко закрепленной подложке примерно в 1,5 раза выше, чем при свободно опертой подложке. Для случая подложки из бронзы ход зависимостей резонансной частоты от толщины аналогичен кривым, представленным на рис. 2.
Рис. 2. Зависимости безразмерных резонансных (кривые 1, 3, 5) и антирезонансных (кривые 2, 4, 6) частот первой моды дискового пьезопреобразователя со стальной подложкой от отношения толщин у ; 8 = 0,9 : а — свободно опертая подложка; б — жестко закрепленная подложка;
1, 2 — I/Ь = 0,05 ; 3, 4 — I/Ь = 0,1; 5, 6 — I/Ь = 0,2
На рис. 3 приведены распределения компонент смещения на поверхности стальной подложки для двух способов ее закрепления при трех толщинах пьезопластин. Компоненты смещения нормированы на величину осевой компоненты смещения в центре подложки. По оси абсцисс на рис. 3 отложены номера равноотстоящих узловых точек на поверхности подложки (точке 1 соответствует значение радиуса г = 0, для точки 31 — г = Ь). При увеличении толщины пьезопластин (и, соответственно, толщины всего преобразователя) распределение осевой компоненты смещения
изменяется незначительно, но при этом увеличивается радиальная компонента смещения, которая не учитывается в приближенных одномерных моделях.
Рис. 3. Распределения компонент смещения на поверхности дискового изгибного пьезопреобразователя со стальной подложкой, 5 = 0,9 : а — свободно опертая подложка, у = 0,45 ; б — жестко закрепленная подложка; у = 0,2 ; 1, 3, 5 — осевая компонента; 2, 4, 6 — радиальная компонента;
1, 2 — I/Ь = 0,05 ; 3, 4 — I/Ь = 0,1; 5, 6 — I/Ь = 0,2
По разности частот антирезонанса и резонанса на рис. 2 можно приближенно качественно судить об эффективности преобразования энергии дисковым изгибным преобразователем. Пьезоактивным участкам (то есть участкам, эффективно возбуждаемым приложенным электрическим полем) соответствует большая разность частот антирезонанса и резонанса. Более точную количественную характеристику преобразования энергии дает ДКС. Рассмотрим зависимости ДКС первой моды дискового изгибного пьезопреобразователя от его геометрических размеров, типа пьезокерамики и подложки и способа ее закрепления. На рис. 4 приведены зависимости ДКС от отношения геометрических размеров у для стальной подложки при двух толщинах пьезопластин; параметром кривых служит отношение радиусов 5. Зависимости к = к (у, 5,1 / Ь) позволяют определить оптимальные геометрические размеры дискового изгибного пьзопреобразователя, обеспечивающие максимальное значение ДКС. Для тонких пьезопластин максимальное значение ДКС достигается при оптимальных размерах уопт «0,45, 5опт «0,9, что соответствует результатам,
полученным в [8]. При этом к^ «0,96кр (кр — планарный коэффициент
электромеханической связи), что выше оценки, полученной в [8] (к^ «0,85кр).
С увеличением толщины пьезопластин (и всего пьезопреобразователя) максимально возможное значение ДКС уменьшается, при этом также изменяются оптимальные размеры, при которых достигается максимальный ДКС. Приведенные зависимости позволяют оценить эти изменения.
Рис. 4. Зависимости ДКС дискового изгибного пьезопреобразователя со свободно опертой стальной подложкой от отношения толщин у : а — I / Ь = 0,1; б — I / Ь = 0,2;
1 — 5 = 0,6; 2 — 5 = 0,7 ; 3 — 5 = 0,8; 4 — 5 = 0,9; 5 — 5 = 1,0
На рис. 5 приведены зависимости ДКС для дискового изгибного пьезопреобразователя с бронзовой подложкой. Из сравнения рис. 4 и 5 следует, что максимальное значение ДКС в случае бронзовой подложки примерно такое же, как и в случае стальной. Оптимальное отношение радиусов, при котором достигается максимальный ДКС, примерно сохраняется, но оптимальное отношение толщин у значительно повышается. Таким образом, при проектировании дисковых изгибных пьезопреобразователей необходимо учитывать, что оптимальная толщина металлической подложки значительно зависит от материала, из которого она изготовлена.
Рис. 5. Зависимости ДКС дискового изгибного пьезопреобразователя со свободно опертой бронзовой подложкой от отношения толщин у : а — I / Ь = 0,1; б — I / Ь = 0,2;
1 — 5 = 0,6; 2 — 5 = 0,7 ; 3 — 5 = 0,8; 4 — 5 = 0,9; 5 — 5 = 1,0
По предложенной в статье [10] классификации пьезокерамики на два типа (по особенностям толщинных колебаний пьезопластин) пьезокерамика ЦТС-19 относится к пьезокерамике первого типа. Рассматривались также зависимости ДКС дискового изгибного пьезопреобразователя при изготовлении пьезопластин из керамики второго типа на примере пьезокерамики НБС-1. Ход зависимостей к = к(у, 5,1 / Ь) приближенно аналогичен соответствующим кривым, приведенным на рис. 4, 5.
Рассмотрим изменение ДКС при изменении характера закрепления подложки, то есть при переходе к жестко закрепленной подложке. На рис. 6 приведены зависимости ДКС дискового изгибного пьезопреобразователя с жестко закрепленной стальной подложкой от отношения толщин у при двух толщинах пьезопластин; параметром кривых служит отношение радиусов 5. Из сравнения рис. 6 и 4, следует, что максимально возможное значение ДКС при изменении характера закрепления подложки немного уменьшается. Оптимальное отношение радиусов для тонких пьезопластин примерно сохраняется, но оптимальное отношение толщин значительно уменьшается. При увеличении толщины пьезодисков, а, следовательно, и толщины всего преобразователя, ДКС, как и в случае свободно опертой подложки, уменьшается.
Рис. 6. Зависимости ДКС дискового изгибного пьезопреобразователя с жестко закрепленной стальной подложкой от отношения толщин у : а — I / Ь = 0,1; б — I / Ь = 0,2;
1 — 5 = 0,6; 2 — 5 = 0,7 ; 3 — 5 = 0,8; 4 — 5 = 0,9; 5 — 5 = 1,0
Для бронзовой подложки сравнение двух типов ее закрепления (рис. 7 и 5) дает примерно такие же результаты, как и для стальной подложки: слабая зависимость максимального значения ДКС от характера закрепления подложки, уменьшение ДКС с увеличением толщины преобразователя, сохранение оптимального отношения радиусов 5опт «0,9, значительное уменьшение оптимального отношения толщин:
у «0,3.
опт
Рис. 7. Зависимости ДКС дискового изгибного пьезопреобразователя с жестко закрепленной бронзовой подложкой от отношения толщин у : а — I / Ь = 0,1; б — I/ Ь = 0,2;
1 — 5 = 0,6; 2 — 5 = 0,7 ; 3 — 5 = 0,8; 4 — 5 = 0,9; 5 — 5 = 1,0
При изменении типа пьезокерамики на НБС-1 у дискового изгибного пьезопреобразователя с жестко закрепленной подложкой основные закономерности зависимостей к = к(у, 5,1 / Ь) приближенно сохраняются (как и для свободно опертой подложки), оптимальные значения у и 5 практически не изменяются, максимальные относительные значения ДКС немного уменьшаются.
ЛИТЕРАТУРА
1. Свердлин Г. М. Прикладная гидроакустика. Л.: Судостроение. 1990. 320 с.
2. Скребнев Г. К. Комбинированные гидроакустические приемники. Санкт-Петербург: ЭЛМОР. 1997. 200 с.
3. Справочник по гидроакустике (А. П. Евтютов, А. Е. Колесников, Е. А. Корепин и др.). Л.: Судостроение. 1988. 552 с.
4. Ультразвук (Маленькая энциклопедия). Под ред. И. П. Голяминой. М.: Сов. Энциклопедия. 1979. 400 с.
5. Ивина Н. Ф., Балабаев С. М. Анализ собственных колебаний круглых биморфных пьезокерамических пластин произвольных размеров. I. Свободно опертая пьезопластина. Дефектоскопия, 2001, вып. 8, 37-44.
6. Ивина Н. Ф. Анализ собственных колебаний круглых биморфных
пьезокерамических пластин произвольных размеров. II. Жестко закрепленная пьезопластина. Дефектоскопия, 2001, вып. 8, 45-49.
7. Антоняк Ю. Т., Вассергисер М. Е. Расчет характеристик изгибного
пьезоэлектрического преобразователя мембранного типа. Акустический журнал, 1982, т. XXVIII, вып. 3, 294-302.
8. Вассергисер М. Е. Оценка предельных значений характеристик дисковых изгибных преобразователей. Доклады Х Всесоюз. акуст. конф. М.: Акуст. Инст, 1983, 46-49.
9. Балабаев С. М., Ивина Н. Ф. Компьютерное моделирование колебаний и излучения тел конечных размеров (методы конечных и граничных элементов). Владивосток: Дальнаука. 1996. 213 с.
10. Ивина Н. Ф. Численный анализ собственных колебаний круглых пьезокерамических пластин конечных размеров. Акустический журнал, 1989, т. XXXV, вып. 4, 667-673.
11. Пьезокерамические преобразователи. Под ред. С. И. Пугачева. Л.: Судостроение. 1984. 256 с.
