АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ БАЛКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Информатика. Механика

Вып. 3(26)

УДК 539.5:519.21:004.94

Анализ случайных линейных продольных колебаний вязкоупругой балки

И. Е. Полосков, И. И. Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, Пермь, ул.Букирева, 15 [email protected]; тел. (342) 239-65-60

В данной работе представлены методика, алгоритм и результаты расчетов при решении задачи оценки поведения частной модели стохастических линейных продольных колебаний вязкоупругой балки для случая разностного ядра, форма которого при использовании разложения решения по синусам пространственной координаты позволяет свести задачу анализа системы стохастических интегро-дифференциальных уравнений к исследованию стохастических дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения, зависящих от времени. Для оценки первых моментных функций последних применяется метод статистического моделирования.

Ключевые слова: вязкоупругость; балка; стохастическая система; вектор состояния; стохастическое интегро-дифференциальное уравнение; стохастическое дифференциальное уравнение; численно-аналитический алгоритм; статистическое моделирование.

Введение

В обычных условиях считается, что при неизменных во времени воздействиях напряженно-деформированное состояние рассматриваемого тела остается неизменным [1]. Однако многие материалы, например полимеры, бетоны, композиты и т.д., даже при комнатных температурах обладают способностью медленно деформироваться во времени при постоянных напряжениях. Это свойство материалов называют ползучестью. В свою очередь явление уменьшения напряжения в твердом теле при постоянной деформации называется релаксацией.

©Полосков И. Е., Полосков И. П., 2014

Работа выполнена в рамках проекта № 2014/ 153 базовой части государственного задания Мино-брнауки России.

Необходимость учета ползучести в расчетных моделях возникла в середине XX в. благодаря запросам инженерной практики, прежде всего турбостроения. Впоследствии эти модели нашли свое применение в атомной энергетике, химическом машиностроении, авиастроении, реактивной технике, строительстве. Запросы машиностроения привели к резкому увеличению экспериментальных и теоретических исследований в области ползучести.

В реальных элементах конструкций ползучесть и релаксация как реономные свойства материала проявляются одновременно, взаимосвязанно. Их можно отразить аналитически, вводя время Ь в связь напряжений и деформаций твердого тела. Предложенный Л.Больцманом способ описания этой взаимосвязи основан на предположении о влиянии всего предшествующего времени действия напряжений на деформацию в дан-

ный момент. Подобные среды, имеющими как упругие, так и вязкие свойства, называются линейными вязкоупругими наследственного типа.

Развитие теории вязкоупругости связано с широким использованием полимерных материалов. Вязкоупругие свойства проявляются, например, в том, что внезапно приложенное и поддерживаемое неизменным напряженное состояние вызывает мгновенную деформацию, сопряженную с упругим откликом, вслед за чем следует процесс вязкого течения, который может быть ограниченным и неограниченным во времени. При этом поведение вещества определяется не только текущим напряженным состоянием, но и всеми прошлыми состояниями, т.е. вещество обладает свойством, которое называют эффектом памяти, динамической памятью или наследственностью. При этом превалирование упругих или вязких свойств определяется продолжительностью внешнего воздействия.

Создание основ теории вязкоупругости связано с именами В.Э.Вебера, Р. и Ф.В.Ко-льраушей, Л.Больцмана,О.Мейера,Д.К.Максвелла, В.Томсона (лорда Кельвина), В.Фой-хта,П.Дюгема,Л.Натансона,С.Зарембы, работавших в основном во второй половине XIX в. Многие достижения современной вязкоупругости определяются работами отечественных ученых - А.А.Ильюшина, А.Ю.Иш-линского, М.А.Колтунова, В.В.Москвитина, Ю.Н.Работнова, Б.Б.Победри, А.Р.Ржани-цына и многих других.

Большой вклад в теорию моделей вязко-упругой механики в первой половине XX в. внес Вито Вольтерра [2]. Уже в ранних работах В.Вольтерра было отмечено, что при анализе проблем наследственной теории упругости операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, которые подобны обычным уравнениям теории упругости, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Вольтерра, могут выполняться в произвольном порядке. Отсюда вытекает следующее правило, которое называется принципом Вольтерра: для решения задачи наследственной теории упругости нужно построить решение задачи обычной теории упругости и в окон-

чательном результате заменить упругие постоянные операторами, расшифровав полученные комбинации операторов по известным правилам.

Вязкоупругое поведение и свойства присущи многим материалам [3-6], которые весьма важны для приложений: зольной пыли, биоматериалам (биополимеры, целлюлоза, соединительная ткань, лигнин), коллоидным растворам, композитам, природным и синтетическим жидкостям, продуктам питания, стеклу, строительным и дорожным материалам (асфальт, битум, цемент, бетон), смарт-материалам, металлам и сплавам при повышенных температурах, бумаге, пластмассам (оргстекло, полистирол, нейлон, поливинилхлорид), натуральным и искусственным полимерам (хлопок, кожа, резина, шелк, дерево, шерсть), полимерным нанокомпозитам, полиэфирам, смолам, почвам, в т.ч. мерзлым грунтам (вечной мерзлоте) и скальным породам, суспензиям и т.д. Заметим, что в реологии металлов термин вязкоупругость часто заменяется словом квазиупругость (или неупругость).

В случае линейной вязкоупругости определяющие соотношения напряжение а^ - деформация е^ для линейных вязкоупругих сред с бесконечно малыми напряжениями на основе теории суперпозиции Больцмана в соответствии с теоремой о представлении Рисса [7] может быть выражены интегралом Стилтьеса в форме

з *

= ^ / Е^СМ - т) йеи(т,т),

к,1=1 0 3 *

ец(г, г) = ^ Оуке(г,г - т) (1аи{г,т),

к,г=\ 0

а^(т,го) = 0, е^(т,го) = 0, г,] = 1, 2, 3,

где г - текущее время, 0 ^ г ^ Т < Е = {Е^кг} """"" тензор функций ползучести, Э = {В^кг} — тензор функций релаксации.

Необходимость в современных технологиях привела новые конструкции в область, где случайные входы, стохастические возмущения и среды вместе со случайно изменяющимися элементами системы постоянно присутствуют. Признано, что детерминированное моделирование систем не может быть

адекватным для некоторых типов задач, а следовательно, необходимо вероятностно-статистическое. Поэтому многие публикации объединяет наличие в моделях различных неопределенностей, т.е. случайных параметров, случайных процессов и полей [8,9], введенных для моделирования самых разнообразных физических, механических и химических явлений. К сожалению, наиболее распространенной является ситуация, что стохастическая модель не может быть точно решена. Тогда, как правило, обращаются к приближенным решениям, аналоговым или цифровым имитациям исследуемых систем.

Важная часть исследований вязкоупру-гости состоит из качественных исследований, включающих анализ стохастической устойчивости стохастических вязкоупругих систем, проблемы надежности изделий из вязкоупругих материалов и др.

В данной работе представлены методика, алгоритм и результаты расчетов при решении задачи оценки поведения частной модели стохастических линейных продольных колебаний вязкоупругой балки для случая разностного ядра, позволяющего при использовании разложения решения по синусам пространственной координаты свести задачу анализа системы стохастических интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ, СИ-ДУ) к иследованию стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) для коэффициентов разложения. Для оценки первых моментных функций последних применяется метод статистического моделирования (Монте-Карло, МСМ) [11].

1. Постановка задачи

При анализе свободных продольных колебаний призматической балки с прямолинейной осью исходят из схемы, показанной на рис.1. Обозначив через и = и(х,Ь) перемещение вдоль оси ОХ произвольного поперечного сечения, получим следующее выражение для относительного удлинения [10]:

e(t) =

du dx'

(1.1)

В соответствии с законом Фойхта

de(t)

a(t) = Ee(t) + k0

dt

(Е - модуль Юнга) напряжение выразится так:

^ ди ^ ^ д2и ^\

дх дх сМ При этом продольная сила в поперечном сечении примет форму:

ди д2и

М = аЗ = ЕЗ^ + коЗ-^-, (1.3) дх дх дЬ

где - площадь поперечного сечения стержня. Тогда уравнение движения элемента балки будет иметь вид

dN _ рд2и дх dt2 '

(1.4)

где р - плотность материала стержня. Подставляя сюда соотношение для N (1.3) и полагая S = const, получим основное дифференциальное уравнение модели

д2и _

дх2

dt2

2 д2u l2 д3u 2 +Ъ2

д2х dt'

(1.5)

где

b =

(1.6)

— а = —

р' V р

- скорость распространения звука в материале.

Если учесть наличие линейных внешнего (пропорционального скорости смещения) и внутреннего трения, вязкоупругость материала балки и внешние силы, то ИДУ в частных производных (ИДУвЧП) колебаний изотропной однородной балки будет иметь следующий вид:

2/ сх

дt2

дЬ

d2u{x,t)_ R {t_T)cPv^rldT

дх2

дх2

+

+ b

д 3 u

д2х дt 0 < х < L

+ я(х,ь),

0 <t ^ T, (1.7)

где и(х, Ь) - смещение из положения равновесия, Ь - длина балки (0 < Ь < я(х,Ь) - внешняя сила, рассчитанная на единицу объема и действующая вдоль оси балки, а,

2

a

*- x --

X -u(x)

Рис.1

а, Ь положительные постоянные. В качестве начальных и граничных будем использовать условия:

и(х, 0) = й\{х), ^О^О) =и2(х), ж € (0,Ь),

1 (1-8) и(о,ь) = п(ь,г) = о, (1.9)

где и\(х), у,2(х) - известные функции х.

Отметим [12], что если вязкость значительна, то колебания невозможны, а возмущение затухает. Если вязкость не столь велика, то продольные колебания складываются из конечного числа затухающих гармонических колебаний и "хвоста" апериодических затухающих движений. Затухание отдельных гармоник неравномерное: чем выше гармоника, тем быстрее она затухает. По истечении некоторого времени стержень будет колебаться на основном тоне.

Считая, что функцию ц(х, Ь) можно представить в виде

+ qk (t), k = 1, 2,..., t> 0, начальными условиями для которой будут

соотношения

L

2

■Ufc(o) = — / U\(x) sin LükXdx = Üik, 0

L

2

Üfc(0) = — / U2(x) sin LükXdx = Ü2 fc.

Если начальные поля и\(х,Ь) и Ц(х,Ь), а также внешняя нагрузка д(х,Ь) будут случайными (обозначим их как Н\(х,Ь), Нк(х,Ь) и Q(x, Ь) соответственно) и представляют собой сумму синусоид с частотами ши со случайными амплитудами, то и колебания, описываемые уравнением (1.7), будут случайными, а уравнения (1.12) образуют систему СИДУ вида:

Ни(Ь) + 2 а Ник(Ь) = -а2 шк ¡Ни®-

k f i q(x,t) = Y,Qk(t)smujkx, ик = ^,(1.10) - J R(t - т) Uk(r) dr\-b2 uj¡Ük(t)+

k=l 0

решение задачи (1.7)-(1.9) можно искать в виде ряда

u(x,t) = ^2 uk (t) sin uk x. (1.11)

k=l

Подставляя ряды (1.10), (1.11) в уравнение (1.7) и приравнивая коэффициенты при синусах с одинаковыми аргументами, для определения функций Uk (t) получим следующую счетную систему уравнений:

Uk(t)+2 aUk(t) = -a2 uk(t)-

- j R(t - r) uk(r) dr -b2 uk Uk(t)+ (1.12)

+ Qk (t), k = 1,2,..., t> 0, (1.13)

Uk(0) = — / Ui(x,t) sinujkxdx = Uik,

um = -j- u2(x,t) sinüükxdx = U2k,

где Üik, Ukk """"" случайные величины. При этом математическое ожидание и ковариационная функция случайного поля U(x,t) могут быть записаны так:

mu(x, t) = E[U(x, t)] =

У] muk(t) sin Uk x, (1.14) k=l

t

L

L

t

Cuu(х,Ь; y,t') = E U(х, t) U(y,t')

У^ Cki(t,t') sin wk х sin wi y, (1.15)

k,i=i

где

вке(Ь,Ь')= Е [йк(Ь) й£(Ь')

и(х, Ь) = и(х, Ь) — ти(х, Ь), йк (Ь) = ик (Ь) — тии(Ь),

Е[...] - оператор математического ожидания. Дисперсия поля и(х,Ь) в этом случае будет выглядеть так:

Ъии(х, t) = Сии(х, t; х,Ь) = E и2(х, t)

Е

k,i=i

Dki(t) sin wk х sin wi х. (1.16)

Итак, для того чтобы найти характеристики (1.14)—(1.16) стохастических линейных продольных колебаний вязкоупругой балки необходимо получить статистические оценки решения системы стохастических интегро-дифференциальных уравнений (1.13).

2. Методика решения

Рассмотрим следующую часто используемую форму ядра К, но со случайной компонентой:

Е(9; Г2) = R(6; R2)\

R.2=T2 J

Erij *, j=i

(2.1)

где Т\з - положительное действительное число, г2з — возможное значение положительной случайной величины К2з, з € ■ € N причем Т1з, Т2] таковы, что верно неравенство

0 ^ j R(t; Г2) dt < I.

(2.2)

Зависимость и(Ь, х) от случайного вектора Я2 далее отмечается как и(х,Ь; Л2), а случайных функций ик(Ь) как ик(Ь; Я2) (считаем, что случайное начальное состояние, белые шумы У^(Ь) в любой момент времени и вектор И.2 - независимые векторы).

Поэтому в данном случае имеется возможность перехода от случайной системы С ИДУ к случайной системе СДУ с помощью замен переменных

t

Zkj(t; R2) = j er2T Uk(r; R2) dr. (2.3) 0

Кроме того, будем считать, что случайные возмущения Qk (t) формируются из независимых белых шумов следующим образом:

K

Qk(t) = Е Qki Vi(t), Qki = const, K e N.

1=1

Отсюда расширенная система СДУ и начальные условия будут иметь вид:

Uk(t; R2) + (2 а + b2 и2к) Uk(t; R2) =

22 = —a Ш2

Uk(t; R2) —

(2.4)

J K

E rije-R23tZkj(t; R2)} k Vi(t),

j=i

i=i

(2.6)

¿к3 (Ь; В2) = еК2>' ик(Ь; В2), (2.5) к = 1, 2,..., 3 = 1, Ь > 0,

ик(0; Я2) = и1к, (7к(0; Я2) = Щк, (0; Я2) = 0.

Для практических расчетов в уравнениях (2.4), (2.5) ограничимся конечным числом уравнений М (и соответственно случайных функций и к (Ь)) и определим распределения компонент вектора Л2 = (К21 ,К22,...,К^и), считая их независимыми, так:

К2з = т2з (1 + ^2з Ь2з),

где т2з, 52з - постоянные {т2з > 0 0 ^ й2з < 1)) 22з — случайная величина, равно-

(—1, 1)

причем истинность неравенства Тз 1 < Т ¿213 при г з2 = т2з (1—^2] ) будет достаточной для удовлетворения неравенства (2.2). Кроме того, предположим, что случайные величины и1к, и2к (1 ^ к ^ М) имеют совместное нормальное распределение.

М

л а уравнений, требуемых для адекватного представления случайного поля и(х,Ь),

нелинейного вхождения случайных параметров и др., для исследования системы выбран метод Монте-Карло, сочетающий псевдослучайное разыгрывание случайных величин и начальных условий, численное интегрирование системы СДУ с целью получения реализаций случайных функций на заданной временной сетке и статистическую обработку полученных реализаций для получения их оценок. После этого эти оценки используются для построения представлений функций шц(х,Ь) и Сии(х,Ь;у,Ь').

Для реализации этой схемы введем временную сетку

Ьо =0 <Ь1 < ... < Ьр-1 <

<Ьр < ... <Ьр = Т, (2.7)

Нр — Ьр tp—l, р — 1, 2,..., p, тах Нр = Н* ^ 1

и обозначения

(2.8)

хк\ь) = НкЬ Як = гМ), хк\ь) = НкЬ Як = г^]),

X [М = X [к8](Ь )

Х2р = Х2 (ЬР),

^[кз8](Ь) = Zkj(Ь; Як = г18]), г1к*8] = ^[к1з](Ьр),

где г2 ^ з-е моделирование вектора Я2. Кроме того, дискретизацию дифференциала винеровского процесса ёШе(Ь) = Уе(Ь) М в точке Ьр для з-го моделирования определим так [13]:

(2.9)

где Цр8 - (р,£, в)-е моделирование случайной величины Т, имеющей стандартное нормальное распределение.

Тогда можно построить полунеявную модификацию схемы Эйлера-Маруямы численного решения СДУ для рассматриваемых уравнений следующего вида:

х

Лу \ /"О 1ГЛ

1,р+1 — Х1р + \Х2р ' Х2,р-\-1) '

[к8]

х[км] _ х[км] /х[к8] . х[км] \ .

х2,р+1 = х2р — акр \х2р + х2,р+1) +

+ вкр Ызр 4к38]+ Ък3р 4+?) +

3 = 1

- вкр (х[к;]+х^+о+£ к(2.П)

К

хк38] = Ф38] + *р+1 = *р +

Н

+ '^(х1^ЪкзР + хТР1+1/ъкзР), (2.12)

1=1

[к8]

2

где

акр = ^(2а + Ь2ш2к), Ркр = ^а2 ш2, Икр = е-Г2> ^, 1ккзр = е-Г21 ьг+1, р = 0,1, 2,..., Р - 1, в = 1,2,..., Б » 1, к = 1,2,..., М.

(2.13)

[к8]

После получения реализаций х\р случайных функций Нк(Ь; Я2) можно оценить и

и(х, Ь)

выбранной временной сетке:

м

ши (х, Ьр) = 52 ш 1р йШ Шкх, к=1

где

Сцц(х,Ьр; у, Ьр') = м

= 52 СЫрр' йш Шкх 8ш шеу, (2.14)

к,1=1

Тхии(х,Ьр) = м

= 52 х)к£р йш Шкх йт ш£х,

к,е=1

я

_ _

ГГ. --/ ^

р ~ Б р 8=1

Я ^ _ [к] [£}

<^ырр' — с 2_^х1р х\р' т1рт1р' Б 8=1

х

к£р

Б

Е

8=1

^[к8М&] ^ [к] ~ [I]

ГУ» 1 J /у> 1 J _ <УУ) I J <УУ) I J

х1р х1р 1111р 1111р.

1

t

Рис.2

3. Применение схемы

Рассмотренный алгоритм был реализован на языке Intel Fortran [14] в среде Microsoft Visual Studio. Результаты расчетов - таблицы значений mk и 'Dkip {Cktpp' не вычислялись) выводились во внешний текстовый файл, данные из которого использовались для построения графиков средствами пакета Mathematica [15,16].

Хорошо известно, что реализации метода Монте-Карло требуют огромного количества случайных или псевдослучайных чисел (ПСЧ) с различными распределениями. Наш процесс получения выборок для случайного вектора R2 был основан на встроенном системном датчике Random_Number(. . .) для генерирования ПСЧ, равномерно распределенных на (0,1), и функции, которая была реализована для получения нормальных гауссовых ПСЧ по методу Марсальи-Брея [11]. При этом реализации нормально распределенного начального случайного вектора с заданными вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей формировались на основе аффинного преобразования стандартного нормально распределенного случайного вектора с независимыми компонентами и LU-разложения ука-

занной ковариационной матрицы.

Данные для расчетов носили модельный характер, как это нередко принято в работах, где развиваются новые методики соответствующих задач (см., например, [17], значения некоторых из использовавшихся в расчетах параметров задачи близки к тем, что приведены в [17]), а авторам которых по разным причинам недоступны реальные данные, или использование их нежелательно.

Расчетные параметры при решении рассматриваемой в данном подразделе задачи были следующими:

5 = 20000, Р = 100000, М = 6, К = 3, ■ = 3, а = 0.5, Ь = 0.1, Ь = 10.0,

hp = h = 0.001,

а = 0.1, T = 100,

{qtJ,i = l,M,j = 1,К} =

0.1000 0.0500 0.0500 0.0100 0.0100

0.0500 0.1000 0.0500 0.0500 0.0100

0.0500 0.0500 0.1000 0.0100 0.0100

mxi(0) = (0.100, 0.050, 0.025,

0.0125, 0.00625, 0.003125),

G.GlG

G.GG5

^ G.GGG

-G.GG5

-G.GlG

G 2G 4G 6G 8G 1GG

t

Рис.3

Рис.4

Dll(0) = 0.01000, D21 (0) = 0.00400, D77 (0) = = 0.00160, Ds7 (0) = = 0.00064,

D22 (0) = 0.01000, Dзl (0) = 0.00320, Dss (0) = = 0.00160, D97 (0) = = 0.00032,

Dзз(0) = 0.00640, D4з (0) = 0.00256, D99 (0) = = 0.00040, Dlo,9(0) = 0.00016,

D44 (0) = 0.00640, D5з (0) = 0.00192, Dlo,lo(0) = 0.00040, Dll,9(0) = 0.00016,

D55 (0) = 0.00360, De5 (0) = 0.00144, Dii,II(0) = 0.00020, Dl2,ll(0) = 0.00016,

Dee (0) = 0.00360, D75 (0) = 0.00096, Dl2,l2(0) = 0.00020,

Рис.5

mx2(0) = (0.000, 0.000,

0.000, 0.000, 0.000, 0.000),

{rij,m2j,52j,j = 1 ,J} =

~ 0.0010 0.0100 0.3000

0.0050 0.0500 0.3000

0.0100 0.1000 0.3000

причем (0) = Vji(0), (0) = 0.0 для остальных г и

На рис. 2, 3 представлены оценки математических ожиданий случайных функций

ик(*) и ик(г), к = 1(о), 2 (.), 3 (Л), 4 (■),

5 (Л), 6 (А), на рис. 4, 5 - их средних квад-ратических отклонений, а на рис. 6, 7 - профилей шц(х,г) в моменты времени от 0 до 50 и от 50 до 100 с шагом 5.

Заключение

В работе для анализа стохастических линейных продольных колебаний вязкоупругой балки с разностным ядром применено сочетание приближенно-аналитического метода разложения смещения сечений балки из положения равновесия по синусам с

кратными аргументами продольной координаты и многократного прямого численного интегрирования (с помощью полунеявного метода Эйлера-Маруямы) построенных стохастических дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения. На основе результатов численного интегрирования по формулам дескриптивной статистики получены оценки первых моментов этих коэффициентов. Приведены графики указанных оценок и представлены профили математи-ческкого ожидания смещения сечений балки в выбранные моменты времени. Для этого результаты расчетов, которые проводились с помощью программы на языке Intel Fortran, были считаны программой на входном языке пакета Mathematica и использованы для формирования графического материала.

Список литературы

1. Арутюнян Н.Х., Манжиров A.B. Контактные задачи теории ползучести. Ереван: Институт механики HAH, 1999. 320 с.

2. ВолътерраВ. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

Рис.6

3. Кобелев A.B., Смолюк Л. Т., Кобелева коуиругие свойства биологических тка-

Р.М., Проценко Ю.Л. Нелинейные вяз- ней. Екатеринбург: УрО РАН, 2012.

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 ---- 4- --О- 8 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 2--- -4- -6- ---- 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 2 4 - № 8 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 ------ 4 — О 8 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 2 --- — 4_ -—О- 8 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 2 4 О 8 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 2 4 О 8 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 2 4 О 8 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 2 4 О 8 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 2 4 О 8 10

0.15 0.10 0.05

-0.05 -0.10 ■-2-- --4-- О 8 10

Phc.7

214 c. Diego: Academic Press, 1998. XII, 463 p.

4. Drozdov A.D. Viscoelastic structures. San 5. Ferry J.D. Viscoelastic properties of poly-

mers. Chichester: John Wiley, 1980. XXIV, 641 p.

6. Riande E., Diaz-Calleja R., Prolongo M. et al. Polymer viscoelasticity: Stress and strain in practice. New York: Marcel Dek-ker, 2000. XVI, 879 p.

7. Kpucmencen P. Введение в теорию вяз-коуиругости. M.: Мир, 1974. 339 с.

8. Рытое С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. 4.2. Случайные поля. М.: Наука, 1978. 463 с.

9. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных процессов. М.: Наука, 1968. 463 с.

10. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Наука, 1960. 193 с.

11. Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. Классика CS. 3-е изд. СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. 847 с.

12. Прочность, устойчивость, колебания / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. Справочник в 3 т. М.: Машиностроение, 1968. Т.1. 831 с.

13. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977. 488 с.

14. Бартеньев О.В. Современный Фортран. 3-е изд., доп. и перераб. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000. 448 с.

15. Wolfram S. The Mathematica book. 5th ed. Champaign, II: Wolfram Media, 2003. 1488 p.

16. Mangano S. Mathematica cookbook. Cambridge: O'Reilly Media, Inc., 2010. XXIV, 800 p.

17. Branco J.R., Ferreira J.A. A nonlinear viscoelasticity problem with memory in time 11 Proc. of the 6th WSEAS Intern. Conf. on Simulation, Modelling and Optimization. Stevens Point, Wisconsin: WTSEAS, 2006. I '. 123 131.

An analysis of random linear longitudinal vibrations of a viscoelastic beam

I. E. Poloskov, I. I. Poloskov

Perm State National Research University, Russia, 614990, Perm, Bukirev St.,15 [email protected], tel. (342) 239-65-60

In this paper, we present a scheme, an algorithm and results of calculations for solution of a problem about an estimation of behavior for a partial model of stochastic linear longitudinal vibrations of a viscoelastic beam for the case of difference kernel. If to use an expansion on sines of space coordinate, the form of this kernel allows to transfer the problem of analysis of stochastic integro-differential equation's system to study of stochastic differential equations for time-dependent coefficients of the expansion. The method of Monte Carlo is used to estimate the first moment functions of these coefficients.

Keywords: viscoelasticity; beam; stochastic system,; state vector, stochastic differential equation; stochastic integro-differential equation; symbolic and numeric algorithm; statistical modelling.