CC BY
63
УДК 53.088.2
В. Я. Горячев, О. В. Гаврина, Ю. К. Чапчиков, Ю. А. Шатова
АНАЛИЗ СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ ДАТЧИКА БИЕНИЙ ВАЛА С БЕГУЩИМ МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ
Аннотация. Рассмотрены причины возникновения систематических погрешностей информационно-измерительной системы измерений биений вала на базе датчика с бегущим магнитным полем. Для анализа причин возникновения погрешностей использована компьютерная модель, разработанная авторами с использованием среды MatLAB. Приведены результаты исследований погрешности реальной информационно-измерительной системы.
Ключевые слова: датчик, бегущее магнитное поле, биения вала, программное обеспечение MatLAB.
V. Y. Goryachev, O. V. Gavrina, Y. K. Chapchikov, Y. A. Shatova
ANALYSIS OF A SYSTEMATIC ERROR OF AN INFORMATION-MEASURING SYSTEM ON THE BASIS OF A SHAFT BEAT DETECTOR WITH TRAVELING MAGNETIC FIELD
Abstract. The article considers the cause of systematic errors of the shaft beating information-measuring system on the basis of the detector with traveling magnetic field. In order to analyze the error origins the authors have developed a computer model on the basis of MatLab software. The article adduces the research results of a real information-measuring system error.
Key words: detector, traveling magnetic field, shaft beating, MatLab software.
Введение
Анализ погрешностей любого средства измерения представляет собой достаточно сложную задачу. При большом числе источников погрешностей сложность анализа усугубляется большим объемом выполняемой работы.
По характеру своего проявления в конечном результате измерения (преобразования) погрешности делят на систематические, прогрессирующие и случайные, в зависимости от вида зоны распределения полосы погрешностей средства измерения (преобразования) - на аддитивные и мультипликативные.
Настоящая работа посвящена анализу систематических погрешностей датчика биений, реализованного на базе электромагнитной системы (ЭМС) с бегущим магнитным полем. Поэтому термин «систематические» будем в дальнейшем опускать, оставляя в случае действительной его необходимости по контексту.
Природа систематических погрешностей известна либо может быть предсказана, и, следовательно, они могут быть почти полностью устранены введением соответствующих поправок. Обнаружение систематической погрешности средства измерения и ее коррекция возможны по результатам поверки этого средства измерения.
Наиболее значимые факторы, оказывающие влияние на погрешность средства измерения, перечислены в работе [1]. Их можно разделить на две группы - не зависящие и зависящие от конструктивных параметров исследуемого средства измерения.
1. Электромагнитная система с бегущим магнитным полем датчика биений вала
Непосредственно датчик биений вала представляет собой статор, во внутренние пазы которого уложены синусная, косинусная и так называемая равномерная обмотки [2]. Во внутреннее пространство статора вводится вал, на биения которого и должен реагировать датчик. Таким образом, при выводе функции преобразования датчика биений вала и анализе его погрешностей необходимо рассматривать совокупность «датчик (статор) - вал».
Между внутренней поверхностью статора и внешней поверхностью вала имеется воздушный зазор. Поперечное сечение магнитной системы датчика совместно с контролируемым валом представлено на рис. 1.
Рис. 1
При установке датчика статор надевают на вал и фиксируют таким образом, чтобы его магнитная ось совпадала с геометрической осью вала. При идеальном изготовлении статора датчика и вала и выполнении условия фиксации статора ширина воздушного зазора 5 по всей его длине остается неизменной (рис. 1,а).
Сущность биения вала заключается в том, что его геометрическая ось Oв (см. рис. 1,б) смещается от своего исходного положения, совпадающего с магнитной осью O статора. При этом между осями O и Oв появляется смещение Д5. Воздушный зазор 5 = 5(ф) по его длине оказывается при этом величиной переменой, зависящей как от самого смещения Д5, так и от пространственного угла ф. Минимальное и максимальное значения воздушного
зазора 5 располагаются на прямой, соединяющей оси O и Oв. Контролируемый вал можно рассматривать как ротор датчика. При этом он выполняет функцию магнитного шунта, аналогичную магнитному шунту линейного датчика перемещения с бегущим магнитным полем [2].
Непосредственно из рис. 1,б видно, что положение точки Ов можно задать координатами х и у в прямоугольной системе координат, нуль которой совмещен с точкой О магнитной оси статора. Именно поэтому, как правило, измерения биений валов осуществляют путем использования двух датчиков, измеряющих перемещения вала в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Эта же задача достаточно просто решается путем использования рассматриваемого здесь датчика биений вала с бегущим магнитным полем. В нем используется полярная система координат. Полярная ось (см. рис. 1,б) проходит через точку О магнитной оси статора и направлена по вертикали. Радиус-вектор направлен по прямой, соединяющей магнитную ось О статора с осью вала Ов. Таким образом, координата точки Ов определяется смещением оси вала Д5 и направлением смещения Р.
2. Особенности расчета погрешностей двухкоординатного датчика перемещений
При вычислении погрешности средства измерения по результатам испытаний обычно используется методика, основанная на линеаризации его характеристики. По ряду значений выходной величины у, соответствующих значениям входной величины х, согласно методу наименьших квадратов находят уравнение прямой у = а^ + аіх , представляющей зависимость выходной величины средства измерения от его входной величины (характеристика средства измерения). Значения коэффициентов а0 и аі определяются по формулам:
п п п п п п п
2 уі 2 х2 _ 2 хі 2 хіУі п2 хіУі ~ 2 х 2 у-
а = іі іі . а = і іі
■. аі =
Ґ\2 /Л2
n n \ n n \
nZ x2 - Z x nZx2 - Z x
1
v 1 /
1
v 1 /
где у - значение выходной величины; х - значение входной величины; п -количество наблюдений; од, - коэффициенты уравнения прямой линии;
уг- - значения выходной величины, соответствующие значениям входной ве-
Дисперсия выходной величины:
\2
n i=1
Уі - Уі
где Уу - расчетные значения выходной величины согласно найденной характеристике у = ад + а^х средства измерения, соответствующие значениям входной величины Ху, т.е. уу = ад + а^ху.
личины Хі .
Такая методика нахождения погрешности средства измерения неприемлема по отношению к двухкоординатному датчику перемещений, так как он характеризуется двумя входными и выходными величинами. Каждая из двух выходных величин является функцией двух независимых входных величин. Следовательно, совокупность независимых входных величин представляет собой бесчисленное число точек некоторой плоскости. Каждая точка этой плоскости в силу реально существующей нелинейности характеристики средства измерения будет отражать соответствующую точку на некоторой поверхности, определяющую две выходные величины. Для упрощения последующих действий более целесообразно рассматривать соответствие входных и каждой из выходных величин датчика порознь. При этом в силу той же нелинейности функции преобразования датчика мы будем иметь дело с более простыми поверхностями, отображающими соответствие совокупности независимых входных величин совокупностям точек для каждой из выходных величин датчика перемещений. Таким образом, функция преобразования по каждой из выходных величин будет представлена своей поверхностью [3]. Коэффициенты, определяющие эти поверхности, находятся по данным эксперимента в соответствии с соотношениями согласно методу наименьших квадратов для рассматриваемого случая.
Уравнения плоскостей значений выходных напряжений и^ и их
начальных фаз представим следующим образом:
где и^ - идеальное значение выходного напряжения для заданного перемещения (смещения) оси вала и его направления; а^ - идеальное значение начальной фазы выходного напряжения для заданного смещения оси вала и его направления; Д8 - значение смещения оси вала; Р - значение направления смещения оси вала; оу, о^, 03 - постоянные коэффициенты уравнения поверхности выходных напряжений; Ьу,¿2,Ьз - постоянные коэффициенты уравнения поверхности начальных фаз выходных напряжений.
Искомые коэффициенты уравнения поверхности напряжений вычисляются решением систем уравнений:
Uid = alß + a2AS + a3 ; aid = blß + b2AS + b3 ,
kllal + kl2 a2 + kl3a3 = llb
k2lal + k22a2 + k23a3 = l2l, k3lal + k32a2 + k33a3 = ^,
где
m n m n
m n
kll = ZZßpr , kl2 = k2l = ZZßprASpr
p=1 r=1
p =1 r=1
m n m n
m n
kl3 = k3l = ZZß pr , k22 = Z ZASpr
p=l r=1
p=l r=1
т п т п
к23 = к32 = ЕЕД8 Рг , к33 = ЕЕ1 = т ‘п ,
р=1 Г =1 Р=1 г =1
т п т п т п
1и = ЕЕр ргирг, 121 = ЕЕ'Д8 ргирг, 131 = Е Еирг,
р=1 г=1 р=1 г=1 р=1 г=1
т - количество точек характеристики по смещению; п - количество точек характеристики по направлению смещения.
Система уравнений для вычисления коэффициентов уравнения поверхности начальных фаз выходных напряжений выглядит следующим образом:
к11Ь1 + к12Ь2 + к13Ь3 = ^1;
к21Ь1 + к22Ь2 + к23Ь3 = ^21;
к31Ь1 + к32Ь2 + к33Ь3 = ^31,
где Ь1, Ь2, Ьз - коэффициенты уравнения плоскости начальных фаз идеальной
характеристики,
т п т п т п
^11 = Е ЕРргарг , ^21 = Е ЕД8ргарг , ^31 = Е Еарг,
р=1 г=1 р=1 г=1 р=1 г=1
арг - значения реальной фазы выходного напряжения датчика биений вала,
соответствующие определенным значениям смещения оси вала и их направлениям.
3. Информационно-измерительная система для измерения биений вала на базе ЭМС с бегущим магнитным полем и ее имитационная модель
При отсутствии в статоре датчика контролируемого вала либо отсутствия биения вала (рис. 1,а) магнитное поле в зазоре является однородным, и выходное напряжение датчика равно нулю. При смещении оси Ов вала относительно оси О датчика (статора) на значение Д8 в направлении Р по отношению к полярной оси магнитное поле в зазоре становится неоднородным. Это в соответствии с принципом действия датчиков с бегущим магнитным полем [2] приводит к появлению ненулевого выходного напряжения датчика, несущего в себе информацию о Д8 и Р.
При малых смещениях Д8 вала выходное напряжение ивых датчика пропорционально смещению Д8, а начальная фаза его а относительно опорного напряжения равна направлению смещения вала Р. С изменением Р начальная фаза выходного напряжения датчика может принимать значения от 0 до 2л радиан. Максимальное значение Д8тах смещения вала, при котором сохраняется пропорциональная зависимость между Д8 и амплитудой выходного напряжения датчика, зависит от значения зазора 8 = 8о при отсутствии биений вала (рис. 1,а). Очевидно, что с увеличением 8о увеличивается и Д8тах .
В общем случае эти пропорциональности не соблюдаются и для получения выходных величин, порознь пропорциональных Д8 и Р, необходима обработка выходного сигнала датчика. Этой цели и служит информационноизмерительная система (ИИС).
ИИС может работать в двух режимах - двухфазном и однофазном. Функциональная схема ИИС для случая однофазного режима работы ЭМС представлена на рис. 2. В ее состав входят все блоки двухфазного режима, а также дополнительный фазовращатель синусоидального напряжения и сумматор. Для питания ЭМС датчика в этом случае используется источник однофазного напряжения. Его напряжение ип подается на равномерную обмотку ЭМС, создающую пульсирующее магнитное поле. При наличии биения вала (Д8 Ф 0) в синусной и косинусной обмотках ЭМС наводятся синфазные ЭДС. Амплитудные значения их пропорциональны значениям sin Р и cos Р соответственно. Выходные напряжения Us и Uc электромагнитной системы пропорциональны токам соответствующих обмоток при равенстве сопротивлений их нагрузок. Выходное напряжение ИИС получают путем суммирования этих напряжений с помощью сумматора. Однако для получения начальной фазы выходного напряжения U сумматора, равного направлению смещения Р, одно из этих напряжений (Us) необходимо сместить по фазе на + п /2. Это и осуществляется с помощью фазовращателя синусоидального напряжения. Амплитуда выходного напряжения ИИС при этом пропорциональна смещению Д5, а а = Р.
Рис. 2
Передаточная функция реальных ИИС биений вала на базе ЭМС с продольным магнитным полем представляет собой довольно сложную зависимость, в которую входит большое количество различных конструктивных параметров. Это создает значительные трудности получения аналитического выражения погрешности ИИС в зависимости от точности изготовления отдельных элементов ЭМС и параметров устройств, входящих в состав ИИС. Вместе с тем при проектировании ИИС важно иметь обоснованные требования к точности изготовления его функциональных элементов (в особенности элементов с магнитными цепями) из условия получения заданной погрешности ИИС. В связи с этим была разработана имитационная (математическая)
модель рассмотренной ИИС, реализующая процессы в структурных элементах ИИС согласно ее функции преобразования и математическую обработку экспериментальных данных для получения метрологических характеристик ИИС. При разработке имитационной модели ИИС преследовались следующие цели:
- достоверное математическое отражение физических процессов, происходящих в ЭМС и других компонентах ИИС;
- получение выходных величин ИИС;
- получение зависимости погрешности ИИС от конструктивных параметров ЭМС и других компонентов ИИС.
4. Погрешность нелинейности магнитной системы
Анализ функции преобразования датчика биений и характеристик, полученных с помощью математической модели, указывает на то, что сама конструкция датчика даже при идеальном изготовлении элементов датчика не может обеспечить линейную функцию преобразования. Поэтому на первом этапе проектирования датчика необходимо определить соотношения между допустимыми величинами перемещений вала и необходимой погрешностью измерений.
На рис. 3 и 4 представлены поверхности, отражающие зависимость амплитуды выходного напряжения (рис. 3) и начальной фазы выходного напряжения (рис. 4) от значения смещения оси вала и направления смещения. При этом максимальное смещение вала принималось равным зазору 8 = 80 для случая отсутствия биения вала (см. рис. 1,а). Очевидным является тот факт, что эти зависимости представлены криволинейными поверхностями.
Смещение вала, х10 2, мм Направление смещения вала, х10, град
Рис. 3
Непосредственно из рис. 3, 4 видно, что при малых смещениях Д8 вала кривизна поверхностей мала и поверхности близки к плоскости. При этом амплитуда выходного напряжения датчика пропорциональна смещению Д8,
а начальная фаза его относительно опорного напряжения равна направлению смещения оси вала (3. Максимальное значение Д8тах смещения вала, при котором сохраняется пропорциональная зависимость между Д8 и амплитудой выходного напряжения датчика, зависит от значения зазора 6 = 80 при отсутствии биений вала (рис. 1,а). Как отмечалось ранее, с увеличением 80 увеличивается и Д8max.
Рис. 4
Очевидно, целесообразно провести анализ погрешности датчика с идеально изготовленными элементами с целью определения предельного Д8тах смещения вала, для которого погрешность ИИС не превышает установленного значения. Результаты такого анализа представлены на рис. 5 и 6. На рис. 5 представлен график погрешности измерения смещения, а на рис. 6 -график погрешности направления смещения в зависимости от значения смещения Д8 . Графики соответствуют случаю 80 = 1 мм.
Непосредственно из графика на рис. 5 видно, что погрешность измерения смещения вала с увеличением Д8 возрастает. При Д8 = 0,3 80 погрешность измерения смещения оси вала достигает 1 %.
Что касается погрешности измерения направления смещения вала (рис. 6), то она гораздо меньше погрешности смещения оси вала и при том же (0,3 80 )
смещении оси вала составляет примерно десятую долю процента.
Для аналитического определения значений рассмотренных погрешностей ИИС по заданному смещению Д8 графики (рис. 3, 4) были аппроксимированы полиномами четвертой степени непосредственно по экспериментальным данным.
Получены соотношения
рД8= (2,45(Д8)4 - 0,54(Д8)3 + 8,14(Д8)2 + 0,02(Д8)) х 10-2, рр = (13,8(Д8)4 - 20,3(Д8)3 + 9,84(Д8)2 - 1,41(Д8)) х 10-2
для вычисления погрешностей измерения смещения оси вала ( рд8 ) и направления смещения ( рр ) по заданному значению смещения оси вала Д8 .
Рис. 5
Рис. 6
Погрешность, обусловленная неточностью установки датчика
Принцип действия датчика биений вала основан на нарушении однородности магнитного поля совокупности «датчик (статор) - контролируемый вал», вызванном смещением оси вала и магнитной оси статора. Это приводит к нарушению однородности магнитного поля воздушного зазора, что, в свою очередь, приводит к появлению выходного напряжения датчика. В идеальном случае изначально магнитная ось статора должна совпадать с осью вала. Практически при установке датчика обеспечить это требование невозможно. В связи с этим погрешность установки ЭМС датчика относительно вала вносит свою долю погрешности в результирующую погрешность ИИС.
Аналитически погрешность измерения смещения вала р88 при известной погрешности р8 установки ЭМС датчика может быть вычислена по формуле
р^ = О,946р5 .
Своеобразной является зависимость погрешности определения направления смещения от ошибки установки соосности. Аналитическое выражение указанной погрешности (р^8) представлено соотношением
р* = 103(1,7465р3 - 0,1911 р2 + 0,0068р! ).
Погрешность дискретности числа витков обмоток ЭМС
Количество витков секций обмоток ЭМС является целым числом. Однако расчетное количество витков секций, как правило, получается дробным. Если равномерно распределенная обмотка может иметь произвольное количество витков, то соотношение числа витков синусной и косинусной обмоток на каждом участке статора должно зависеть от пространственного угла.
Погрешность неточности изготовления пазов магнитопровода
Оценка влияния точности изготовления магнитопровода ЭМС на погрешность измерения биений вала позволяет найти оптимальный вариант точности изготовления зубчатых поверхностей статора при заданной погрешности ИИС. С помощью имитационной модели была получена зависимость погрешности измерения смещения оси вала и направления смещения от погрешности изготовления магнитопровода ЭМС.
Верхний и нижний пределы погрешности изготовления пазов определяют границы их размера, а не расположение его оси на линейке. В связи с этим будем полагать, что отклонение реального значения координаты оси паза от расчетного значения - величина случайная. Для учета этого предположения в разработанной модели ИИС используется генератор случайных чисел.
Результат моделирования погрешности измерения смещения ( psp ) оси
вала от погрешности изготовления пазов ЭМС ( Рр ) показал, что она определяется соотношением
Psp = 0,05Рр .
Зависимость погрешности направления смещения ( р^р ) от погрешности изготовления пазов определяется соотношением
pdp = 0,225рр .
На этапе проектирования ЭМС точность изготовления пазов следует задавать значением поля допуска середин пазов.
Выводы
1. Использование традиционного метода анализа передаточной функции ИИС на основе ЭМС с продольным магнитным полем для определения ее погрешности является затруднительным в связи со сложностью математической формы записи передаточной функции и не позволяет выразить в явной форме влияние отдельных факторов на погрешность ИИС.
2. Количество факторов, влияющих на систематическую погрешность ИИС, велико и разнообразно, получить уравнение зависимости погрешности ИИС от суммарного их действия не представляется возможным.
3. Имитационная (математическая) модель ИИС представляет собой удобное средство анализа свойств, в частном случае погрешностей, средств измерения (преобразования), обладающих сложной функцией преобразования. При этом оказывается достаточно просто учитывать различные факторы, оказывающие влияние на конечную погрешность средства измерения. Обнаружение фактора, вносящего большую погрешность в результат измерения,
является сигналом, указывающим на необходимость внесения коррекции в структуре средства измерения либо ужесточения требований к составной части средства измерения, вносящего большую погрешность измерения.
4. С помощью имитационной модели показано, что большая часть факторов, влияющих на систематическую погрешность датчика биений вала на основе ЭМС с продольным магнитным полем, выражается линейной зависимостью, т.е. носит мультипликативный характер. Это справедливо как для погрешности смешения оси вала, так и для погрешности направления смещения.
Список литературы
1. Осадчий, Е. П. Проектирование датчиков для измерения механических величин / Е. П. Осадчий. - М. : Машиностроение, 1979. - 480 с.
2. Горячев, В. Я. Фазовые датчики механических величин с бегущим магнитным полем : моногр. / В. Я. Горячев. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. -308 с.
3. Новицкий, П. В. Оценка погрешностей результатов измерений / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. - Л. : Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1985. - 248 с.
References
1. Osadchiy, Ye. P. Proyektirovaniye datchikov dlya izmereniya mekhanicheskikh veli-chin / Ye. P. Osadchiy. - M. : Mashinostroyeniye, 1979. - 480 s.
2. Goryachev, V. YA. Fazovyye datchiki mekhanicheskikh velichin s begushchim magnitnym polem : monogr. / V. YA. Goryachev. - Penza : Izd-vo Penz. gos. un-ta, 2005. - 308 s.
3. Novitskiy, P. V. Otsenka pogreshnostey rezul'tatov izmereniy / P. V. Novits-kiy, I. A. Zograf. - L. : Energoatomizdat. Leningr. otd-niye, 1985. - 248 s.
Горячев Владимир Яковлевич
доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой автоматизированных электроэнергетических систем, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: aees.psu@yandex.ru
Гаврина Олеся Владимировна аспирант, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: aees.psu@yandex.ru
Чапчиков Юрий Константинович
кандидат технических наук, доцент, кафедра автоматизированных электроэнергетических систем, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: aees.psu@yandex.ru
Goryachev Vladimir Yakovlevich Doctor of engineering sciences, associate professor, head of sub-department of automated electrical energy systems, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
Gavrina Olesya Vladimirovna
Postgraduate student, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
Chapchikov Yuri Konstantinovich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of automated electrical energy systems, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
Шатова Юлия Анатольевна
кандидат технических наук, доцент, кафедра автоматизированных электроэнергетических систем, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: aees.psu@yandex.ru
УДК 53.088.2 Горячев, В. Я.
Анализ систематической погрешности информационно-измерительной системы на основе датчика биений вала с бегущим магнитным полем / В. Я. Горячев, О. В. Гаврина, Ю. К. Чапчиков, Ю. А. Шатова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2013. - № 1 (25). - С. 46-57.
Shatova Yuliya Anatolyevna
Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of automated electrical energy systems, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
