CC BY
37
Зная параметры элементов эквивалентной схемы, можно по выражения (5) и экспериментальной АЧХ получить частотную зависимость чувствительности микрофона, а интегрируя ее в полосе частот, получить оценку чувствительности для шумового сигнала, действующего в выбранной полосе частот.
В.В. Владимиров, Н.С. Звягинцев, Д.Г. Граждан
АНАЛИЗ СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМА ДИСКРЕТНОГО КВАТЕРНИОННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Алгоритм дискретного кватернионного преобразования (ДКП) [1] является итерационным и реализует вращение вектора К в декартовой системе координат с заданными начальными координатами (хд.уд^д ) вокруг произвольно за-
данной оси вращения ю на угол в методам численного интегрирования по Стил-тьесу [2]. Алгоритм ДКП имеет вид
X+1 = X ~Дг(у,а2 (+1) + Лг(2,ау (+1);
Уi+1 =Лг(х,аг (+1) + Уi-Лг(2,ах^+1) ; (1)
%+1 = -Лг(хау (+1) + Лт(у,ах(+1) + ^ , где Лг(к,аI )^+1), к, Iе {х,у,г\, кф1 в зависимости от порядка разложения имеет вид
Лг(к,а1 (+1) = к,Ааи{+1) (2)
- по формуле прямоугольников,
Аг(к, а1 (+1) = 2(Щ - к-1 )Ла1 ^+1)
- по формуле трапеций,
Лг(к,а1 (+1) = —[(2Щ - 1Щ-1 + 6к-2 )Лal(i+1)- (2^ - 3к-1 + ^-2 )Лац ] - по формуле квадратичных парабол. Величины Ла1 ^+1) является приращениями углов вращения а1 вокруг каждой из оси координат на (+1)-й итерации и в общем случае имеет временную зависимость, определяемую конкретной задачей [3].
Необходимым условием использования алгоритма (1) является его сходимость. Следует отметить, что классические методы оценки сходимости итерационных алгоритмов [4] оказались неприемлемыми для алгоритма ДКП. Для доказательства сходимости вращения (1) воспользуемся следующей логикой.
Наименьшему порядку разложения соответствует алгоритм (1) - (2) (формула прямоугольников) и именно от этого алгоритма можно ожидать худших результатов в смысле точности отработки кватернионного преобразования. Следовательно, решив вопрос сходимости алгоритма (1) - (2) можно утверждать о сходимости алгоритмов с более высоким порядком разложения и экстраполяции. Докажем, что алгоритм ДКП (1) - (2) отрабатывает с некоторой точностью на каждой итерации именно кватернионное преобразование.
Кватернионное преобразование описывает вращение вектора
Кд = (Хд,Уд,1д ) вокруг произвольно направленной оси вращения Ю (юх, Юу, юг ) на угол в [5]
Известия ТРТУ
Т ематический выпуск
x = x0 cosO + a(1 - cos в )(ax0 + by0 + yz0 )+ (p¡z0 -yy0 )sinO ,
y = y0 cosO + b(1 -cosO)(ax0 + by0 + yz0 )+ (yx0-az0 )sinO , (3)
z = z0 cosO + y(1 - cosO )(ax0 + by0 + yz0 )+ (ay0 -Px0 )sinO , где x ,y ,z - координаты преобразованного вектора, a,b,y - направляющие косинусы оси вращения.
Представим выражения (3) в виде
x = (cosO + a2 - a2 cos O )x0 + (ab -ab cos O - y sin O )y0 + (ay- ay cos O + b sin O )z0,
y = (aft-aft cosO + y sinO )xq + (cosO + fi2 - fi2 cosO )y0 + (by- by cosO -asinO )z0, (4)
z = (ay -ay cosO - b sinO )xg + (by- by cosO + a sinO )y0 + (cosO + y2 -y2 cosO )z0 . Учитывая, что
a2 + b2 +y2 = 1 (5)
разложим в на частные углы вращения (вокруг каждой оси координат)
O2 = ax2 +ay2 +az2 = (Oa) + (Ob) + (Oy). (6)
Далее, представим (4) в виде
x = axx + bxy + cxz ,
y' = ayx+byy + cyZ , (7)
z = azx + bzy + czz .
Коэффициенты a¡,b¡,c¡ в выражении (7) с учетом (5) и (6) равны
п/о2 2 2 i J - cosO . sinO
ax = cosO(b +y )+a , bx = aay(---------2—)-az
O2 O
7 - cosO . sinO
cx = axaz(---)+ay~^~
OO
.1 - cosO . sinO . Л/ 2 2 . o2
av = axay(------------ —)+az----, by = cosO(a +y )+b , (8)
O2 O
1 - cosO sinO
cy = ayaz( O )~ax O 5
1 - cosO . sinO , J - cosO . sinO
az = axaz ( 2 )-ay ~Z , bz = ayaz ( 2 )+ ax
O2 o O2
cz = cosв(a2 + р2 )+у2 .
Оценим значение коэффициентов (8) при малых значениях в, что соответствует условиям реализации ДКП. При этом
Пт ах = Пт Ьу = Пт cz = 1 ,
в®д в®д в®д
а значения аналогичных пределов остальных коэффициентов равны нулю.
Из анализа пределов Пт ау , Пт az , Пт Ьх, Пт bz , Пт сх, Пт су видно, что
в®д в®д в®д в®д в®д в®д
первое их слагаемое представляет собой бесконечно малую величину второго порядка, в то время как второе слагаемое есть бесконечно малая первого порядка. Это означает, что второе слагаемое коэффициентов
а у ,а z>bx>bz>c х,С у (9)
определяет их значения при малых углах. Таким образом, при малых в имеем
ах 1 , Ьх az , с х ау , а у az, Ьу 1 , с у ах, az ау, bz ах, с z 1 ,
с точностью до первого слагаемого коэффициентов (9). Учитывая изложенное, запись (7) преобразования (4) сводится к виду
х » х - у а+ гау,
у'» xaz + у1 - гах, (10)
I » - хау + уах + zi.
Таким образом, выражение (10) выполняет кватернионное преобразование (3) с точностью до первых слагаемых коэффициентов (9), что соответствует каждой итерации алгоритма (1) - (2), следовательно, сходимость ДКП для одной итерации определена. Вопрос об интервале сходимости решается выбором порядка формулы и шага интегрирования, а конкретнее, учетом методической и трансформируемой погрешности.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Владимиров В.В. Звягинцев Н.С. Анализ и синтез алгоритмов дискретного вращения век-
тора для решения задач навигации. /Проблемы водного транспорта./ Известия вузов, Северо-Кавказский регион, 2004.
2. Каляев А. В. Теория цифровых интегрирующих машин и структур. - М.: «Советское радио», 1970.
3. Владимиров В. В. Звягинцев Н. С. Граждан Д. В. Применение кватернионных преобразо-
ваний для описания траектории судна./Проблемы водного транспорта./ Известия вузов, Северо-Кавказский регион, 2004.
4. Г.Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -СПб.: Издат. «Лань», 2003.
5. Казанова Г. Векторная алгебра. - М.: Мир, 1979.
О.Н.Пьявченко, А.М.Педошенко, М.М.Пцарева СЕТЕВОЙ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СТЕНД
Усложнение вновь создаваемых технических объектов, повышение требований к качеству, экономичности и безопасности их функционирования, необходимость решения проблем предотвращения техногенных аварий и катастроф, устранение негативного влияния человеческого фактора делают актуальным создание нового поколения интеллектуальных систем мониторинга, диагностики и управления.
Мониторинг динамического объекта (процесса) - это целенаправленное определение его состояния на основе информации о параметрах, значениях входных, выходных и других переменных и оценки соответствия этого состояния требованиям (ограничениям), имеющим место в контрольное время. Исходя из этого, можно предположить, что будут строиться системы мониторинга не только автономные, но и встроенные в системы диагностики и управления.
Среди различных систем мониторинга достойное место займут распределенные интеллектуальные системы [1], которые будут иметь следующие преимущества и особенности:
- являться высокореактивными и высокочувствительными к изменениям состояния объекта мониторинга (ОМ);
