Научная статья на тему 'Анализ сходимости алгоритма дискретного кватернионного преобразования'

Анализ сходимости алгоритма дискретного кватернионного преобразования Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
118
41
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Анализ сходимости алгоритма дискретного кватернионного преобразования»

Зная параметры элементов эквивалентной схемы, можно по выражения (5) и экспериментальной АЧХ получить частотную зависимость чувствительности микрофона, а интегрируя ее в полосе частот, получить оценку чувствительности для шумового сигнала, действующего в выбранной полосе частот.

В.В. Владимиров, Н.С. Звягинцев, Д.Г. Граждан

АНАЛИЗ СХОДИМОСТИ АЛГОРИТМА ДИСКРЕТНОГО КВАТЕРНИОННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Алгоритм дискретного кватернионного преобразования (ДКП) [1] является итерационным и реализует вращение вектора К в декартовой системе координат с заданными начальными координатами (хд.уд^д ) вокруг произвольно за-

данной оси вращения ю на угол в методам численного интегрирования по Стил-тьесу [2]. Алгоритм ДКП имеет вид

X+1 = X ~Дг(у,а2 (+1) + Лг(2,ау (+1);

Уi+1 =Лг(х,аг (+1) + Уi-Лг(2,ах^+1) ; (1)

%+1 = -Лг(хау (+1) + Лт(у,ах(+1) + ^ , где Лг(к,аI )^+1), к, Iе {х,у,г\, кф1 в зависимости от порядка разложения имеет вид

Лг(к,а1 (+1) = к,Ааи{+1) (2)

- по формуле прямоугольников,

Аг(к, а1 (+1) = 2(Щ - к-1 )Ла1 ^+1)

- по формуле трапеций,

Лг(к,а1 (+1) = —[(2Щ - 1Щ-1 + 6к-2 )Лal(i+1)- (2^ - 3к-1 + ^-2 )Лац ] - по формуле квадратичных парабол. Величины Ла1 ^+1) является приращениями углов вращения а1 вокруг каждой из оси координат на (+1)-й итерации и в общем случае имеет временную зависимость, определяемую конкретной задачей [3].

Необходимым условием использования алгоритма (1) является его сходимость. Следует отметить, что классические методы оценки сходимости итерационных алгоритмов [4] оказались неприемлемыми для алгоритма ДКП. Для доказательства сходимости вращения (1) воспользуемся следующей логикой.

Наименьшему порядку разложения соответствует алгоритм (1) - (2) (формула прямоугольников) и именно от этого алгоритма можно ожидать худших результатов в смысле точности отработки кватернионного преобразования. Следовательно, решив вопрос сходимости алгоритма (1) - (2) можно утверждать о сходимости алгоритмов с более высоким порядком разложения и экстраполяции. Докажем, что алгоритм ДКП (1) - (2) отрабатывает с некоторой точностью на каждой итерации именно кватернионное преобразование.

Кватернионное преобразование описывает вращение вектора

Кд = (Хд,Уд,1д ) вокруг произвольно направленной оси вращения Ю (юх, Юу, юг ) на угол в [5]

Известия ТРТУ

Т ематический выпуск

x = x0 cosO + a(1 - cos в )(ax0 + by0 + yz0 )+ (p¡z0 -yy0 )sinO ,

y = y0 cosO + b(1 -cosO)(ax0 + by0 + yz0 )+ (yx0-az0 )sinO , (3)

z = z0 cosO + y(1 - cosO )(ax0 + by0 + yz0 )+ (ay0 -Px0 )sinO , где x ,y ,z - координаты преобразованного вектора, a,b,y - направляющие косинусы оси вращения.

Представим выражения (3) в виде

x = (cosO + a2 - a2 cos O )x0 + (ab -ab cos O - y sin O )y0 + (ay- ay cos O + b sin O )z0,

y = (aft-aft cosO + y sinO )xq + (cosO + fi2 - fi2 cosO )y0 + (by- by cosO -asinO )z0, (4)

z = (ay -ay cosO - b sinO )xg + (by- by cosO + a sinO )y0 + (cosO + y2 -y2 cosO )z0 . Учитывая, что

a2 + b2 +y2 = 1 (5)

разложим в на частные углы вращения (вокруг каждой оси координат)

O2 = ax2 +ay2 +az2 = (Oa) + (Ob) + (Oy). (6)

Далее, представим (4) в виде

x = axx + bxy + cxz ,

y' = ayx+byy + cyZ , (7)

z = azx + bzy + czz .

Коэффициенты a¡,b¡,c¡ в выражении (7) с учетом (5) и (6) равны

п/о2 2 2 i J - cosO . sinO

ax = cosO(b +y )+a , bx = aay(---------2—)-az

O2 O

7 - cosO . sinO

cx = axaz(---)+ay~^~

OO

.1 - cosO . sinO . Л/ 2 2 . o2

av = axay(------------ —)+az----, by = cosO(a +y )+b , (8)

O2 O

1 - cosO sinO

cy = ayaz( O )~ax O 5

1 - cosO . sinO , J - cosO . sinO

az = axaz ( 2 )-ay ~Z , bz = ayaz ( 2 )+ ax

O2 o O2

cz = cosв(a2 + р2 )+у2 .

Оценим значение коэффициентов (8) при малых значениях в, что соответствует условиям реализации ДКП. При этом

Пт ах = Пт Ьу = Пт cz = 1 ,

в®д в®д в®д

а значения аналогичных пределов остальных коэффициентов равны нулю.

Из анализа пределов Пт ау , Пт az , Пт Ьх, Пт bz , Пт сх, Пт су видно, что

в®д в®д в®д в®д в®д в®д

первое их слагаемое представляет собой бесконечно малую величину второго порядка, в то время как второе слагаемое есть бесконечно малая первого порядка. Это означает, что второе слагаемое коэффициентов

а у ,а z>bx>bz>c х,С у (9)

определяет их значения при малых углах. Таким образом, при малых в имеем

ах 1 , Ьх az , с х ау , а у az, Ьу 1 , с у ах, az ау, bz ах, с z 1 ,

с точностью до первого слагаемого коэффициентов (9). Учитывая изложенное, запись (7) преобразования (4) сводится к виду

х » х - у а+ гау,

у'» xaz + у1 - гах, (10)

I » - хау + уах + zi.

Таким образом, выражение (10) выполняет кватернионное преобразование (3) с точностью до первых слагаемых коэффициентов (9), что соответствует каждой итерации алгоритма (1) - (2), следовательно, сходимость ДКП для одной итерации определена. Вопрос об интервале сходимости решается выбором порядка формулы и шага интегрирования, а конкретнее, учетом методической и трансформируемой погрешности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Владимиров В.В. Звягинцев Н.С. Анализ и синтез алгоритмов дискретного вращения век-

тора для решения задач навигации. /Проблемы водного транспорта./ Известия вузов, Северо-Кавказский регион, 2004.

2. Каляев А. В. Теория цифровых интегрирующих машин и структур. - М.: «Советское радио», 1970.

3. Владимиров В. В. Звягинцев Н. С. Граждан Д. В. Применение кватернионных преобразо-

ваний для описания траектории судна./Проблемы водного транспорта./ Известия вузов, Северо-Кавказский регион, 2004.

4. Г.Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -СПб.: Издат. «Лань», 2003.

5. Казанова Г. Векторная алгебра. - М.: Мир, 1979.

О.Н.Пьявченко, А.М.Педошенко, М.М.Пцарева СЕТЕВОЙ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СТЕНД

Усложнение вновь создаваемых технических объектов, повышение требований к качеству, экономичности и безопасности их функционирования, необходимость решения проблем предотвращения техногенных аварий и катастроф, устранение негативного влияния человеческого фактора делают актуальным создание нового поколения интеллектуальных систем мониторинга, диагностики и управления.

Мониторинг динамического объекта (процесса) - это целенаправленное определение его состояния на основе информации о параметрах, значениях входных, выходных и других переменных и оценки соответствия этого состояния требованиям (ограничениям), имеющим место в контрольное время. Исходя из этого, можно предположить, что будут строиться системы мониторинга не только автономные, но и встроенные в системы диагностики и управления.

Среди различных систем мониторинга достойное место займут распределенные интеллектуальные системы [1], которые будут иметь следующие преимущества и особенности:

- являться высокореактивными и высокочувствительными к изменениям состояния объекта мониторинга (ОМ);

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.