Анализ различных социально-экономических амбивалентных систем на основе теории цепей Маркова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК С550.42в641.0 В.Г. КИРИЙ

кандидат технических наук, доцент, профессор Иркутского государственного технического университета

e-mail: kiriy@cyber.istu.irk.ru

АНАЛИЗ РАЗЛИЧНЫХ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ АМБИВАЛЕНТНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ МАРКОВА

Предлагается математическая модель в виде цепи Маркова для анализа различных социально-экономических систем, в которых действуют законы единства и борьбы противоположностей, отрицания отрицания. Приводятся результаты сравнения соотношения между различными слоями населения в разных социально-экономических структурах: российской, английской и китайской.

Ключевые слова: математическая модель, анализ социально-экономических амбивалентных систем, теория цепей Маркова.

V.G. KIRIY

PhD in Technical Sciences, associate professor, professor of Irkutsk State Technical University e-mail: kiriy@cyber.istu.irk.ru

ANALYSIS OF DIFFERENT SOCIAL AND ECONOMIC AMBIVALENT SYSTEMS ON THE BASIS OF THE THEORY OF MARKOV CHAINS

In this article is proposed the mathematical model in the form of Markov chain for the analysis of the behavior of different social and economic systems, in which the law of the unity and struggle of opposites and the law of the negation of negation act. The results of the comparison of the correlation of different layers of society in different social and economic structures (Russian, English and Chinese) are given.

Keywords: mathematical model, analysis of social and economic ambivalent systems, theory of Markov chains.

Под амбивалентными системами понимаются системы, в которых действуют законы единства и борьбы противоположностей, отрицания отрицания, в результате которого происходит процесс перехода одной противоположности в другую.

Структура российского общества, как и любого другого, представляет собой амбивалентную систему, в которой одновременно существуют противоположные классы, например бедные и богатые, а также промежуточный между ними — средний класс. Очевидно, что в структуре общества происходят изменения за счет перехода людей из одного класса в другой.

Для анализа такого общества предлагается использовать математический аппарат из теории цепей Маркова [2], а именно один из ее разделов — теорию регулярных цепей, обладающих свойством эргодичности.

Покажем применение этой теории на примере социальной структуры английского общества 1949 г. В указанный период соотношение различных слоев в этом обществе было следующим: 7,6% составляли богатые, 63,4% — средний класс и 29% — бедные. Естественно, что происходили переходы населения из одного класса в другой, которые в то время характеризовались следующей матрицей (данные взяты из исследований, проведенных Глассом и Холлом по Англии и Уэльсу в 1949 г.) [2]:

богатые средний бедные класс

богатые (0,448 0,484 0,068л

P = средний класс 0,054 0,699 0,247 .

бедные 0,011 0,503 0,486

V /

Согласно матрице, 44,8% богатых остаются богатыми, 48,4% переходят в средний

© В.Г. Кирий, 2010

класс и лишь 6,8% разоряются и становятся бедными. Из среднего класса богатыми становятся только 5,4%, 24,7% разоряются и становятся бедными, остальные 69,9% остаются в среднем классе. Лишь 1,1% из бедных становятся богатыми, 50,3% переходят в средний класс и 48,6% остаются бедными.

Умножив вектор начального распределения английского общества по классам п (0,076; 0,63; 0,29) на матрицу переходов Р, найдем, как изменится его структура через определенный интервал времени, называемый в теории цепей Маркова шагом цепи:

(0,448 0,484 0,068 ^

(0,076 0,63 0,29)

0,247 0,486

0,054 0,699 0,011 0,503

V

= (0,071 0,626 0,301).

Результат умножения показывает, что до 7,1% снизится число богатых, до 62,6% — представителей среднего класса и до 30,1% вырастет количество бедных, т.е. произойдет незначительное изменение структуры общества. Так как процесс эргодический, то для системы существует установившийся режим распределения вероятностей, финальный вектор которого не зависит от начального распределения. Этот вектор является решением следующей системы алгебраических уравнений:

а1 = а1 р11 + а2 р21 + а3 р31,

а 2 — а1 Р12 + а 2 Р22 + 00*3 Р 32, а3 — а1р13 + а 2 р23 + а3 р33,

1 = р11 + р12 + Р13, (1)

1 = Р21 + Р22 + Р23,

1 = Р31 + Р32 + Р33, 1 — а1 + а 2 + а3, где а,- — финальный вектор распределения вероятностей; р/у- — элементы матрицы переходов Р.

Решение данной системы уравнений показывает, что для социально-экономической системы Англии 1949 г. финальный вектор распределения вероятностей равен а(0,067; 0,624; 0,309), т.е. преобладает средний класс.

Матрица переходов для системы с установившимся режимом распределения вероятностей, называемая в теории цепей Маркова финальной матрицей А, состоит из одинаковых

строк, каждая из которых является финальным вектором распределения а. Данная матрица может быть получена путем умножения матрицы переходов Р на саму себя в течение нескольких шагов, и таким образом может быть решена задача определения времени перехода системы в установившийся режим, например для английской матрицы переходов Р количество шагов равно трем.

Если сравнить структуру социально-экономической системы России в настоящее время с английской структурой того времени, можно увидеть, что имеет место существенная разница между этими двумя обществами. Согласно неофициальным данным (из газетных публикаций), 5% населения России принадлежат к богатым, 75% считаются бедными и остальные 20% относятся к среднему классу.

Теория цепей Маркова позволяет найти ряд других интересных характеристик, например среднее время перехода из одного класса в другой.

Матрица среднего времени первого достижения М определяется по следующей формуле [2]:

м = (I - г + Ег^,

где I — единичная матрица; 2 — фундаментальная матрица; Е — матрица, все элементы которой равны единице; 2Ьд — матрица, полученная из 2 путем замены всех элементов, не лежащих на главной диагонали, нулями; D — диагональная матрица с диагональными элементами = 1 / а,-,-.

Для приводимого примера с Англией 1949 г. матрица М равна:

богатые средний бедные класс

богатые ' 14,9 2,1 5,6

М = средний класс 25,1 1,6 4,3

бедные 26,5 1,9 3,2

Из матрицы среднего времени первого достижения М видно, что время перехода из класса бедных в класс богатых почти в 5 раз больше, чем время разорения богатых.

Согласно теории социальной мобильности, характеризующей процесс перемещения людей и социальных групп в рамках социальной структуры, представляет интерес матрица обмена D"1P, которая для системы, находящейся в установившемся режиме (пример Англии 1949 г.), равна:

богатые средний бедные класс

D

богатые Р = средний класс бедные

0,03 0,032 0,0047 0,031 0,43 0,156 0,003 0,155, 0,152

Матрица обмена показывает, что если амбивалентная система находится в стационарном режиме, то за определенный интервал времени (шаг цепи) частота обмена людьми между классами примерно одинаковая. Между богатыми и средним классом обмен равен 3,2% и, наоборот, между средним классом и богатыми — 3,1%; между богатыми и бедными обмен равен 0,47% и, наоборот, между бедными и богатыми — 0,3%; между средним классом и бедными обмен равен 15,6% и, наоборот, между бедными и средним классом — 15,5%.

Подобный анализ структуры современной социально-экономической системы российского общества сделать затруднительно, так как неизвестна реальная динамика переходов людей из одного класса в другой, т.е. неизвестна матрица переходов P. Однако можно предложить для решения этой проблемы метод обратной задачи, сущность которого заключается в том, что для известного начального распределения численности населения по классам л(ач, а2, ..., ап) рассчитываются вероятности переходов матрицы P при условии, что в дальнейшем она приведет к финальной матрице A с финальным вектором а.

Покажем применение этого метода на примере российского общества с двумя классами с начальным распределением л(ач; а2), где а, — богатые, а2 — бедные.

Применяя уравнения Маркова для установившегося режима

а, = а,1 р11 + а 2 р21,

а 2 — а, р, 2 + а 2 Р22, находим связь между вероятностями переходов:

аа

Pli = 1--2 + — Р22.

а1 а1

Используя это уравнение для анализа современной структуры российского общества, где а, = 0,05, а2 = 0,95, получаем, что

р22 — 0,947 + 0,053р11. (2)

Таким образом, вероятность остаться в классе бедных близка к единице и мало зависит от вероятности перехода в класс богатых.

Как видим, задача имеет множество решений, в связи с чем одной из переменных необходимо придать конкретное значение.

В работе «Социальная политика» говорится, что «стагнация характерна лишь для 11% лиц с высокими доходами и для 19% лиц с низкими доходами, тогда как остальные 70% граждан России по различным причинам могут за небольшой промежуток времени переходить из одной группы в другую» [3, с. 62], т.е. в течение некоторого интервала времени (шага цепи Маркова) 11% богатых оставались таковыми, а остальные 89% перемещались в другие группы, аналогично 19% бедных оставались бедными, а остальные 81% переходили в другие классы.

Согласно этим данным, рп = 0,11, а Р22 = 0,19, что противоречит соотношению (2) и вызывает сомнение в истинности приведенных в работе [3] данных о значении вероятности оставаться в классе бедных.

Если в качестве исходных данных принять одно из значений за реальное значение, то вторая неизвестная переменная вычисляется из уравнения (1) для финального вектора а. Так, при рп = 0,11 получаем, что р22 = 0,953, и тогда матрица переходов для современной двухклассовой социально-экономической системы России будет равна:

богатые бедные

Р =

богатые бедные

0,11 0,047

0,89 0,953

Как указывалось выше, финальная матрица А для такой матрицы переходов будет равна:

богатые бедные

А =

богатые бедные

0,05 0,05

0,95 0,95

Заметим, что финальная матрица А получается через три шага цепи Маркова.

Найдем матрицу среднего времени первого достижения М:

богатые бедные

M =

богатые бедные

20,0 21,26

1,063 1,0

Как видим, время обогащения бедных почти в 20 раз больше, чем время разорения богатых.

Матрица обмена D-1P для современных условий России равна:

D"1P -

богатые бедные

богатые

î

0,055 0,04

бедные 0,044л 0,953

Таким образом, частота обмена между богатыми и бедными так же мала, как мала частота обмена между бедными и богатыми.

Решение задачи определения элементов матрицы переходов для трехклассового общества значительно усложняется, так как система уравнений (1), где неизвестными являются вероятности переходов, является совместной и имеет бесконечное множество решений, из которых необходимо выбрать одно.

В работе [2] предлагаются методы решения обратной задачи для нахождения матрицы переходов P при условии, что финальная матрица A будет иметь строки, совпадающие с начальным вектором состояния л^; а2; а3), и выбранное решение должно удовлетворять некоторому критерию, например критерию обратимости, при котором матрица обратимости D-1P была бы симметрична, т.е. ар = ауру/.

После некоторых преобразований системы уравнений (1) получаем следующие соотношения:

Р13 = — Р21 + — P31 - Pi2,

а,

а,

(3)

а1 а3

Р23 = — Pl2 + — Рз2 - P2U а2 а2

Рзз = 1- Рз1 - Рз2, Pii = 1-Р12 - Р1 з,

Р22 = 1- Р21 - Р2з.

Используя условие симметричности, из девяти неизвестных необходимо заранее задать значения трех переменных р11, р12, р23, остальные неизвестные рассчитываются по формулам (3).

Для иллюстрации предложенного подхода воспользуемся данными, взятыми из работы [3]. В соответствии с этими данными известным параметром является вероятность перехода р11 = 0,11, зафиксируем также значения вероятностей р12 = 0,65 и р23 = 0,5. Для финального вектора а(0,05; 0,20; 0,75) получаем следующую матрицу переходов P:

богатые P = средний класс бедные

богатые средний бедные класс

f О Л Л О /С О \

0,11 0,16 0,016

0,65 0,34 0,17

0,24 0,5 0,814

детерминант которой detP = -0,005. И для этой системы матрица переходов через пять шагов практически равна финальной матрице Л:

богатые средний бедные класс 0,05 0,20 0,75

0,05 0,199 0,75

0,048 0,195 0,75

богатые А = средний класс бедные

Для нахождения основных характеристик такой системы требуется определить фундаментальную матрицу:

7 = (I - (Р - Л))-1.

Для найденных выше матриц Р и Л фундаментальная матрица равна:

богатые средний бедные класс

богатые ( 1,17 0,67 -0,85Л

1 = среднийкласс 0,16 1,28 -0,45

бедные -0,05 -0,117 1,18

V )

Зная фундаментальную матрицу, находим матрицу среднего времени первого достижения М:

богатые средний бедные класс

богатые ( 20,0

М = средний класс 20,2

бедные 25,4

3,075 3,43

5.0 0,585

7.01 2,09

Так же как и в предыдущих примерах видим, что время обогащения бедных почти в 8 раз больше, чем время разорения богатых.

Для принятых параметров динамического процесса перехода людей из одного класса в другой получаем следующую матрицу обмена 0-,Р:

богатые средний бедные класс

богатые

4005 0,032 5 0,012Л

D-1P

среднии класс бедные

0,032 0,012

0,068 0,1

0,1 0,657

Полученные результаты показывают, что для системы, находящейся в установившемся режиме, частота обмена людьми между

классами симметрична. Интересно то, что обмен между богатыми и средним классом почти в 3 раза больше, чем между бедными и богатыми.

При решении обратной задачи преследуется цель, чтобы за минимальное количество шагов система приходила к финальной вероятности. Для этого используем зависимость между детерминантом матрицы Р и точностью финальной матрицы от количества шагов [2]:

|ПЕ

det Р = I,

где е — точность получения финальной матрицы; I — основание натуральных логарифмов; п — количество шагов.

Например, для заданной точности е = = 0,001 при количестве шагов, равном двум, получаем значение детерминанта равным 0,032, а при п = 1 значение детерминанта Р близко к нулю. Зная это значение и используя критерий симметричности ар = ар,-, можно свести количество задаваемых вероятностей перехода до двух, применяя следующее соотношение [там же]:

detР = (1-р12 - р,з)х

V

((

а,

\Л

а.

а,

а-,

Л

1--Ь Р12 - Р23 1--Ь Р13--2 Р23

а

а

а

л

а

2 Р223

Р12

+ Р13

а

(

а2 V 2

Р12

V а 2

а1

1--1 Р13 - Р23

а

Л

а

л

а

Р13 Р23

а1 а 2 а1 — Р12 — р23 - (1 - Р12 - Р13 ) ^ Р13

а

Задавая значение всего лишь двух вероятностей перехода р12 и р13, можно вычислить значение р23 и получить остальные элементы матрицы переходов.

В качестве примера применения данного подхода найдем матрицу перехода для начального вектора распределения населения социально-экономической системы Китая 2001 г. — п(0,20; 0,55; 0,25) [1].

Задавая значения вероятностей перехода р12 = 0,7 и р13 = 0,2, находим одну из возможных матриц перехода для Китая:

богатые средний бедные класс

богатые Р = среднийкласс бедные

'0,1 0,7 0,2 Л

0,25 0,16

0,47 0,61

0,28 0,23

детерминант которой равен 0,001. Через два шага цепи Маркова система приходит к матрице:

богатые средний бедные класс (0,217 0,52

0,187 0,20

богатые Р(2) = средний класс бедные

0,56 0,54

0,26 0,246 0,256

/

детерминант которой det(P)2 = 9 • 10-9, т.е. практически уже через два шага система приходит к финальному вектору.

Используя полученную матрицу переходов, найдем матрицу среднего времени первого достижения соответствующих состояний М для Китая 2001 г.:

богатые средний бедные класс

^5,08 1,47 4,1 Л

богатые М = средний класс бедные

4,38 4,7

1,87 1,6

3,4 4,02

Получены достаточно интересные результаты. Так, согласно матрице, в социально-экономической системе Китая 2001 г. время разорения и время обогащения практически одинаковы и также одинаково время перехода из класса богатых в средний класс и обратно, — может, в этом и заключается преимущества социализма перед капитализмом?

Приведем расчеты матрицы обмена:

богатые средний бедные класс 0,14

1-1

богатые Р = средний класс бедные

0,02 0,14 0,04

0,26 0,15

0,04 0,15 0,057

Частота обмена людьми между классами богатых и бедных также одинакова.

В заключение приведем сравнительные данные о распределении населения различных социально-экономических систем по классам (табл.).

Распределение населения различных социально-экономических систем по классам

Общество Вектор а

а1 а2 а3

Современная Россия 0,05 0,20 0,75

Китай 2001 г. 0,20 0,55 0,25

Европа 2004 г.* 0,07 0,62 0,31

* По данным: [3].

х

+

3

Как видим, для Китая и Европы характерным является достаточно высокий процент людей среднего класса. Поскольку для приведенных систем матрицы переходов не известны, нельзя сказать, что данные системы находятся в установившемся режиме,

и, следовательно, необходимо провести исследование по определению динамики переходов населения из одного класса в другой для указанных выше систем по аналогии с системой Англии и Уэльса периода 1949 г.

Список использованной литературы

1. Ангаева Ю.С. Социализм в КНР: проблемы модификации социальной структуры населения // Проблемы нового этапа культурного возрождения народов Бурятии: (по материалам социальных исследований). Улан-Удэ, 2001.

2. Кирий В.Г. Амбивалентные системы: философия, теория, практика. Иркутск, 2009.

3. Социальная политика / под общ. ред. Н.А. Волгина. М., 2004.

Bibliography (transliterated)

1. Angaeva Yu.S. Sotsializm v KNR: problemy modiphikatsii sotsial'noi struktury naseleniya // Problemy novogo etapa kul'turnogo vozrozhdeniya narodov Buryatii: (po materialam sotsial'nykh issledovanii). Ulan-Ude, 2001.

2. Kiriy V.G. Ambivalentnye sistemy: philosophiya, teoriya, praktika. Irkutsk, 2009.

3. Sotsial'naya politika / pod obshch. red. N.A. Volgina. M., 2004.