CC BY
65
ЭЛЕКТРОНИКА
УДК 621.315.592
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ВЫРАЩИВАНИИ СЛИТКОВ КРЕМНИЯ С УЧЕТОМ ТЕПЛОВЫХ И КОНСТРУКЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ РОСТОВЫХ УСТАНОВОК
ОКСАНИЧ А.П., ПРИТЧИН С.Э., ВАШЕРУКА.В.
Анализируется процесс тепломассопереноса при выращивании слитков кремния в ростовых установках с учетом реальной геометрии и теплофизических параметров теплового узла. Проводятся исследования и устанавливаются закономерности влияния тепловых экранов и свойств используемых материалов на распределение температуры, термоупругих напряжений примесей кислорода в слитках кремния.
1. Введение
Полупроводниковый материал, а именно кремний, является основой для получения новых электронных приборов, которые используются во всех областях народного хозяйства и технических приложениях: транспорт, солнечная энергетика, обработка и передача информации, научные исследования. Быстрые темпы развития микроэлектроники связаны с успехами в области полупроводниковой технологии, к которой предъявляются все более жесткие требования, связанные с выращиванием совершенных монокристаллов кремния с определенной кристаллографической ориентацией и с минимальным или определенным распределением по объему наиболее распространенных дефектов, а также с равномерным распределением примесей.
2. Постановка задачи
Сегодня большая часть монокристаллов кремния для интегральных схем производится методом Чохральского. Экономические причины обусловили постоянный рост диаметра и длины выращиваемого монокристалла, а это накладывает дополнительные требования к сохранению их качества. Выращивание бездислокационных монокристаллов кремния с заданным осевым и радиальным распределением примеси, с определенным типом собственных точечных дефектов и их распределением в слитке диаметром 200 мм является непростой задачей. Следует отметить, что изменение градиентов температур в кристалле и расплаве в процессе роста приводит к неоднородностям структуры растущего кристалла [ 1, 2]. Для решения этой
проблемы требуется поддержание не изменяющегося в ходе процесса градиента температуры в расплаве и кристалле.
Целью работы является анализ применения тепловых моделей путем сравнения с данными измерений тепловых полей при выращивании монокристаллов кремния диаметром 200 мм методом Чохральского, определение факторов и параметров ростовой установки, оказывающих влияние на формирование теплового поля в тепловом узле и выращиваемом слитке диаметром 200 мм, определение закономерностей влияния конструкционных материалов теплового узла и их свойств на распре -деление термоупругих напряжений и точечных дефектов в растущем слитке.
3. Особенности процесса выращивания слитков кремния методом Чохральского
Особенность процесса выращивания слитков кремния в промышленных ростовых установках по методу Чохральского состоит в том, что монокристалл медленно наращивается на затравку со свободной поверхности расплава и одновременно вращается вокруг своей вертикальной оси.
Нами был исследован технологический процесс выращивания слитков кремния диаметром 150 мм в ростовых установках типа « Редмет-3 0 М» при массе загрузки шихты 32 кг и получена временная зависимость изменения мощности нагревателя для выполнения каждого цикла операций. Длительность каждого цикла операций представлена на рис. 1.
Рис. 1. Длительность операций технологического процесса
В промежутке времени t0 — t6 выполняются следующие операции: чистка печи — 1 час; приготовление печи — 1 час; загрузка шихты — 0,84 часа. Следующим этапом технологического процесса является вакуумирование установки, которая занимает 1,5 часа, что соответствует временному интервалу 11 -12. Достигнув остаточного давления в каме -ре установки 10-6 мм рт. ст., производят прогрев системы в течение 1,5 часа при мощности 50 кВт, затем в течение времени t3-t4, что соответствует 4 часам, происходит плавление загруженной шихты. Потребляемая мощность установки при этом должна соответствовать 70 кВт. Основные операции,
40
РИ, 2005, № 1
связанные с получением монокристаллического кремния заданного диаметра, соответствуют временному интервалу t4-t5. Данный временной интервал разбивается на следующие фазы: выдержка расплава в течение 1 часа при мощности установки 50 кВт; затравление — 0,67 часа; выращивание верхнего конуса — 1,5 часа; выращивание цилиндра — 14,3 часа; выращивание оконечного конуса — 1,5 часа; извлечение слитка — 1 час. Окончательная операция технологического процесса получения монокристаллов кремния методом Чохральского занимает 28,4 часа. Данная операция соответствует временному промежутку t5-t6 и состоит из охлаждения и разгрузки установки.
Широкое применение этого метода для выращивания монокристаллов кремния высокой степени чистоты обусловлено тем, что неоднородности распределения температуры сведены к минимуму за счет вращения тигля в направлении, противоположном вращению монокристалла. Расплав, находящийся в цилиндрическом тигле, подогревается обычным резистивным нагревателем, причем температура расплава поддерживается несколько выше точки плавления кремния T=1415°C. Монокристаллическая затравка определенной ориентации крепится к вытягивающему механизму (кристаллодержателю) и опускается в расплав сверху для затравливания, а затем, после некоторого промежутка времени, начинает медленно извлекаться при вращении вокруг своей оси. Перед погружением затравки в расплав ее прогревают до более высоких температур, что уменьшает тепловой удар, возникающий в момент контакта холодной затравки с расплавом. Тепловой удар способствует размножению в затравке дислокаций, переходящих впоследствии в выращенный на ней монокристалл. Скорость извлечения затравки из расплава равна скорости роста кристалла, которая в значительной степени зависит от отвода тепла через затравку [3].
Как следует из рассмотренного технологического режима, для сохранения монокристалличности слитка при вытягивании необходимо поддерживать плавный режим выращивания без резких колебаний температуры расплава, скорости вытягивания и скорости вращения кристалла. Для совершенства структуры растущего слитка необходимо поддерживать симметричное тепловое поле в зоне роста. Последнее, как показывают исследования, существенно зависит от конструкционных особенностей теплового узла.
4. Анализ конструкции теплового узла ростовой установки
Рассмотрим конструкцию ростовой установки по выращиванию слитков кремния диаметром 200 мм.
В камере печного блока установки для выращивания монокристаллов полупроводников методом Чохральского размещен тепловой узел (рис. 2). Его конструкция непосредственно определяет тепловые условия, в которых находятся расплав и монокристалл в ходе процесса его выращивания. Тепловой узел состоит из тигля, подставки тигля, нагре-
вателя, источника питания, изоляции и системы экранов. Подставку и нагреватель изготовляют из графита плотных марок (МПГ-6, МПГ-8 и пр.). Выбор материала экранов зависит от характера атмосферы, в которой работает тепловой узел. В вакууме, где теплопередача происходит в основном излучением, экраны изготовляют из полированных листов жаропрочного металла, например молибдена. При работе в газовой среде, особенно находящейся под высоким давлением, применяют экраны из графита или непрозрачного (спеченного) кварца.
Все эти требования реализуются путем подбора соответствующих конструкций подставки, нагревателя и экранировки, совокупность которых и создает данный тепловой узел. Такой узел предназначен для выращивания монокристалла определенного полупроводника, с определенной структурой, в определенных условиях (диаметр монокристалла и тигля, масса расплава в тигле, атмосфера в камере, конструкция камеры и пр.). Воздействие отдельных элементов теплового узла на градиенты температуры в расплаве и монокристалле носит комплексный характер.
Рис. 2. Структурная схема теплового узла ростовой установки: 1— кристалл при температуре Ts; 2 — тепловые экраны; 3 — расплав при температуре TL; 4 — тигель, 5 — нагреватель; Rs — радиус растущего кристалла; RL — внутренний радиус тигля с расплавом; Vs — скорость вытягивания
Изменение условий процесса выращивания монокристалла (скорости подъема затравки, числа оборотов ее и тигля) оказывает влияние не только на градиенты температуры в расплаве, но и на форму фронта кристаллизации. Последняя отражает величину радиальных градиентов температуры в кристалле вблизи фронта кристаллизации, определяющих его структурное совершенство.
Изменение скорости выращивания также оказывает влияние на структурное совершенство монокристалла. Вначале, с повышением скорости роста,
РИ, 2005, № 1
41
осевые градиенты температуры в кристалле, вследствие увеличения выделения на фронте кристаллизации скрытой теплоты плавления, уменьшаются. Одновременно изменяется и форма фронта кристаллизации от выпуклого. В общем случае он становится сначала плоским, а затем вогнутым в кристалл. Соответственно и количество микродефектов сначала падает, достигая минимального для данных условий выращивания кристалла значения, а затем снова возрастает. Изменение скоростей вращения затравки и тигля влияет на форму фронта кристаллизации, изменяющуюся под действием потоков расплава в тигле. Это влияние может носить сложный характер. Тем не менее, в общем случае, повышение скорости вращения затравки будет способствовать поступлению горячих потоков расплава от дна тигля к центру выпуклого в расплав фронта кристаллизации. В результате он будет спрямляться. Аналогичный эффект [5] может быть достигнут при вогнутом в кристалл фронте кристаллизации путем увеличения оборотов тигля, приводящего к поступлению горячих потоков расплава от стенок тигля к периферии фронта кристаллизации.
Авторами [5, 7] отмечено, что на распределение температурных полей в зоне кристаллизации оказывает влияние конструкция экранировки выращиваемого слитка. При уменьшении объема расплава до известного предела форма мениска, примыкающего к стенке тигля, меняет свой знак. Все это не позволяет поддерживать осевые градиенты температуры по расплаву линейными.
расплава к слитку за счет конвекции в зоне кристаллизации определяется по формуле:
а
к
1,3N(
TL - TS
2tcRs
),
(3)
1 44
где N = ooorn ; t=0,5(Tb+Ts); Ts ,Tl - температура
e ’
твердой и жидкой фазы.
На рис. 3 представлена структурная схема системы процесса теплообмена лучеиспусканием в зоне роста слитка кремния при установившемся режиме. Тепловые потоки, обусловленные конвекцией, в рассматриваемой системе не учитываем.
Рис. 3. Структурная схема системы нагреватель -кристалл: Ті, Т2 — температура нагретых поверхностей. Для данного процесса учитываем условие, что Ti>T2
5. Тепловые условия выращивания монокристаллов кремния
Процесс теплообмена в зоне роста кристалла осуществляется механизмом теплопроводности, конвекцией и теплового излучения. Тепловой баланс на границе раздела расплав—кристалл может быть представлен уравнением:
QL + Qq + Qmд = QS + Qp , (1)
где Ql — тепловой поток через фронт кристаллизации; Qq — тепловой поток скрытой теплоты плавления; Q пад — тепловой поток от нагревателя и расплава; Qs — тепловой поток от фронта в кристалле; Q p — тепловой поток от фронта за счет излучения с поверхности кристалла;
Для анализа тепловых условий на границе раздела двух фаз используем равенство, вытекающее из уравнения (1):
QZ = Qp _ ^ад . (2)
Равенство (2) определяет величину и направление результирующего теплового потока, оказывающего влияние на форму фронта кристаллизации.
Между боковой поверхностью, свободной поверхностью расплава и окружающими поверхностями происходит конвективный теплообмен и теплообмен излучением. Коэффициент теплопередачи от
Тогда, как следует из равенства (2), тепловой поток qP1->2 можно определить следующим образом:
qP1->2 qn^4 - Еэф2 Еэф1 - Eэф2, (4)
где qP1->2 — результирующий тепловой поток от нагревателя к растущему кристаллу.
Тепловой поток от нагревателя к растущему слитку может быть определен из выражения:
qp1->2
Ei(1 - (1 - A2)) - E2(1 - (1 - A!)) 1 - (1 - A1)(1 - A2)
A2E1 - A1E2 A1 + A2 _ A1A2
C((T1/100)4 - (T2/100)4)
1
1
—+--1
A1 A
2
где А1, А2 — коэффициенты поглощения.
Для определения теплового потока излучением при наличии тепловых экранов в зоне роста используем выражение:
qp1->2
C (T1/100)4 - (T2/100)4
C0 ----------------------
0 R1 + [R'э +R"3 ] + R2
(5)
Выражение (5) отражает способность экранов уменьшать лучистую теплопередачу при их наличии.
42
РИ, 2005, № 1
Величина суммарной теплопроводности от поверхности Ті к поверхности T2:
dEэф1-2 - Eэф1 • dE1^dFj-dF2) , (9)
qp + qk = Cпр[(Ті /100)4 -(T2/100)4] + x,
О r
(6)
где qp — тепловой поток излучением; qK — тепловой поток теплопроводностью и конвекцией; X r — коэффициент теплопроводности газовой прослойки; 5 r — толщина газовой прослойки; Спр — приведенный коэффициент излучения.
Тепловой поток излучением определяется по формуле:
qp =а л(Т1 - Т2), (7)
здесь а л = Спр [(Т1/10°Т4 - ТТ2./100)4] - коэф-
Ul “ Т2.)
фициент теплоотдачи излучением. Тогда суммарный тепловой поток
qcyM
= а„ (Т - ТЦ + ATlL^2k)
r
(8)
На рис. 4 изображена схема лучистого теплообмена между поверхностью расплава и боковыми экранами.
Рис. 4. Лучистый теплообмен между поверхностью расплава и боковыми экранами
На схеме d®1 — телесный угол, под которым поверхность экрана dF2 видна с поверхности расплава dF1; d®2 — телесный угол, под которым поверхность расплава dF1 видна с поверхности экрана dF2:
d^1 =
dF2 cos(a 2)
2
da>2 =
dF1 • cos(a,1)
2
Поток эффективного излучения элементарной поверхности dF1 в направлении поверхности dF2 в пределах элементарного пространственного угла dw1:
где ^dF1 dF2) — коэффициент, отображающий
часть эффективного излучения поверхности dF1, которая попадает на поверхность dF2;
1 dra1 . .
^dF1dF2) = _^c0s(a1). (10)
Влияние положения тепловых экранов в ростовой установке Редмет-30М на распределение температуры вдоль оси Z растущего слитка представлено на рис. 5. Как показывают исследования, изменение положения тепловых экранов в зоне теплового узла приводит к изменению градиента температур вблизи фронта кристаллизации. Были предложены тепловые экраны, которые способствуют существенному снижению осевого градиента, а также отношению градиента на поверхности кристалла к осевому градиенту.
Рис. 5. Осевое распределение температур
6. Механизм распределения примеси кислорода в слитках кремния в процессе роста
Кислород в кремнии является основной примесью [8], определяющей поведение термодоноров, термостабильность времени жизни носителей заряда, образование микродефектов. При увеличении диаметра и длины выращиваемых слитков кремния существенно возрастает влияние примеси кислорода на их электрофизические свойства [9].
Как известно, большая часть кислорода поступает в расплав кремния в результате растворения кварцевого тигля. Для определения распределения примеси кислорода по слитку используем выражение:
Cs
[[A
nR2Vpk0 vs(k0 -1)
2Vpvpk Rvs(k0 - 2)
](1 - g)
ka -1
РИ, 2005, № 1
43
2Vov„k0
+----0 P 0 (1 - g)
Rvs(ko - 2)V 57
2
nR Vpko vs(k0 -1)
](^Rs2L)
где ko — равновесный коэффициент распределения; R— радиус тигля; vp — скорость перехода кислорода в расплав с 1 см2 поверхности контакта тигля с расплавом; Vp — объем расплава; V0 — начальный объем расплава; vs — скорость выращивания; g - доля закристаллизовавшегося расплава,
g = W/Wo,
появлению некоторого класса дефектов. Присутствие кислорода в узлах кремниевой кристаллической решетки приводит к появлению донорных центров, а межузельный кислород увеличивает предел текучести кремния. Кроме того, наличие кислорода вызывает образование дефектов за счет преципитации (появляется фаза SiO2). Наличие этой фазы вызывает появление сжимающихся напряжений в кристалле и дислокационных петель. Кислород попадает в кремний при частичном растворении тигля (см. рис. 6).
здесь W — масса вытянутого слитка; W0 — общая масса расплава и слитка.
Проведенные исследования кварцевых тиглей показали, что растворение тигля происходит неравномерно. Установлено несколько зон контакта тигель — расплав: зона, определяющая верхнюю часть тигля, которая не контактирует с расплавом; зона контакта поверхности расплава с тиглем; боковые стенки тигля; дно тигля.
На основании экспериментальных исследований нами было принято значение начальной концентрации кислорода в расплаве, равное 11,4 х 1017см-1.
Учитывая параметры технологического процесса, была построена математическая модель распределения концентрации примеси кислорода в слитке.
Результаты проведенных исследований представлены на рис. 6. Предложенная модель позволяет приближенно описать характер изменения концентрации кислорода в расплаве, что подтверждается полученными нами экспериментальными данными.
Углерод является примесью замещения. Он не выделяется в преципитаты и не становится электрически активным. Примесь углерода в кремнии влияет на процессы преципитации кислорода и дефектообразования. Углерод в расплав кремния попадает из графитовых узлов установки. Его концентрация в кремнии составляет 1016 см-3. Классификация дефектов монокристаллического кремния, выращенного методом Чохральского, представлена на рис. 7.
Рис. 6. Скорости растворения кварцевого тигля
7. Структурные дефекты и термоупругие напряжения при выращивании монокристаллического кремния методом Чохральского
Изучение ростовых микродефектов дает очень ценную информацию о природе и поведении собственных точечных дефектов в кремнии при высоких температурах [ 1 ]. Единая общепринятая классификация ростовых микродефектов в кремнии до сих пор не создана главным образом из-за отсутствия исчерпывающих данных об их природе. Наличие примеси в расплаве кремния приводит к
Рис. 7. Классификация дефектов монокристаллов кремния
Одним из проявлений трехмерных нарушений в кристаллической решетке являются микродефекты и преципитаты. Микродефекты возникают в процессе роста в монокристаллах кремния с очень низкой плотностью дислокаций. Микродефекты в бестигельных кристаллах кремния образуются за счет конденсации неравновесных собственных точечных дефектов, причем преобладание вакансий или собственных межузельных атомов Si в растущем кристалле определяется скоростью роста кристалла и градиентом температуры вблизи границы раздела фаз.
В кристаллах, выращиваемых по методу Чохральского, кислород и углерод присутствуют в высокой концентрации, поэтому при охлаждении растущего кристалла в нем идет скорее распад многокомпонентного пересыщенного твердого раствора примесей и собственных точечных дефектов, а не конденсация последних. В кристаллах кремния, выращенных по методу Чохральского, обнаружены микродефекты, напоминающие А- и В-дефекты бестигельных кристаллов, причем А-дефекты представляли собой дислокационные петли внедрения.
44
РИ, 2005, № 1
В работе [11] утверждается, что при выращивании кристалла кремния по методу Чохральского в зависимости от условий роста в нем формируются зародыши окислительных дефектов упаковки (ОДУ) и центры аномальной преципитации кислорода. Первый вид микродефектов связывают с избытком в растущем кристалле собственных межузельных атомов кремния, а последний - с избыточными вакансиями.
При изучении преципитации кислорода установле -но, что в кремнии, выращенном по методу Чохральского, присутствуют врожденные ненаблюдаемые микродефекты, концентрация и размер которых зависят, в частности, от термической предыстории кристалла (таблица). Эти микродефекты служат центрами преципитации кислорода при термообработке кремния, а некоторые из них — центрами образования ОДУ.
Условия роста кристалла характеризуются с помощью параметра <^ = v / G (v — скорость роста, G -осевая составляющая градиента температуры в кристалле у фронта кристаллизации), который, как показано Воронковым [13], определяет, какой вид собственных точечных дефектов преобладает в растущем кристалле (при 3,3 х 10 “5 см2/(К с)
преобладают межузельные атомы, при S>St -вакансии).
При выращивании кристалла в “вакансионном” режиме (со скоростью вытягивания v выше пороговой vt = £,tGo , где G0 — осевой градиент температур вблизи фронта кристаллизации, ^ = 3,3 х10_5 см2/(с К)) в нем образуются А’-дефекты, представляющие собой микропреципитаты кислорода, возникшие по механизму кислород-но-вакансионной агломерации. При росте в “межузельном” режиме образуются А- и В-дефекты (дислокационные петли внедренного типа и клас-
теры межузельных атомов кремния). А’-дефекты отделены от В-дефектов бездефектной зоной.
Форма и ширина бездефектной зоны зависят от ряда факторов: распределения температуры вблизи фронта кристаллизации, величины ступеньки скорости вытягивания при переходе через пороговое значение Vt, темпа охлаждения кристалла. При G0, мало изменяющемся вдоль радиуса кристалла, образуются “плоские” бездефектные зоны, почти перпендикулярные к оси выращивания. При большой разнице G0 в центре и на периферии кристалла наблюдаются бездефектные зоны, вытянутые в осевом направлении. Возможны условия выращивания, когда образуется ядро А’-дефектов, а бездефектная зона простирается до боковой поверхности кристалла.
Типичная ширина бездефектной зоны в верхней части кристалла диаметром 200 мм составляет 3-5 мм.
В обычных промышленно выпускаемых слитках кремния бездефектные зоны, как правило, не наблюдаются, так как выращивание идет в условиях, соответствующих “вакансионному” режиму (V>Vt,). Однако они могут формироваться в верхней части кристалла при разращивании (при переходе от конуса к цилиндрической части).
Для получения очень широких бездефектных зон (в идеальном случае — полностью бездефектных кристаллов) необходимо вести вытягивание со скоростью, соответствующей vt для данной части кристалла. Поскольку G0 меняется по радиусу кристалла (для диаметра 80 мм - от 25 К/см в центре кристалла до « 75 К/см на периферии) и при этом сильно зависит от скорости вытягивания, это очень трудно осуществить.
Известно [11, 12], что длина диффузии собственных точечных дефектов при росте кристаллов кремния из расплава может достигать нескольких
Микродефекты в кристаллах кремния, выращенных по методу Чохральского
Типы микродефектов А В А' а НЦ
Размеры фигур травления на плоскости (111), мкм 30-100 2-10* 5-20 3-15 -
Плотность фигур травления, см-2 Концентрация микродефектов (см-3), выявляемых при: (0,5-3)х 103 105-106* (0,1-3)х105 (0,5-2)х105
декодировании Cu 'Г, О 1 ■'Г О 106-108 106-108 106 <106- 1010
диффузии Au 104-105 104-105 0 -U 1 О -о 106 -
Характер объемного распределения Слои (отсутствуют в области 3 -4 мм от поверхности кристалла) Слои (отсутствуют в области =2 мм от поверхности кристалла) Резкие слои (отсутствуют в области =5 мм от поверхности кристалла) Однородное Резкие слои
Условия роста кристалла, при которых возникает данный тип микродефектов Kt Kt
РИ, 2005, № 1
45
сантиметров, а их аннигиляция происходит не только у фронта кристаллизации, но и вдали от него. При соответствующих условиях выращивания можно создать в кристалле чередование слоев с преобладанием вакансий или межузельных атомов кремния.
Для получения структурно-совершенных монокристаллов важно знать зависимость дислокаций от основных физических факторов, в том числе от характера температуры поля Т(г) в растущем слитке. Поскольку источником кривизны решетки и термоупругих напряжений являются некомпенсированные дислокации, представляется возможным развитие модели распределения термоупругих напряжений в слитке. Поскольку рост кристаллов из расплава происходит очень медленно и при предплавильных температурах, тензор плотности решетчатых дислокаций может быть определен по
формуле: аk,l = Zrkbnfn , где rn — единичный
вектор касательной к линии дислокации, b — вектор Бюргерса дислокаций. Рассмотрим одномерную задачу, когда температура T(z) зависит от осевой координаты z в области zj < z < Z2 и удовлетворяет граничным условиям
T(zi)=T и T(Z2)=T2.
Тогда распределение температуры вдоль оси слитка можно выразить уравнением:
T(2) = kz + c,
где k,c — произвольные коэффициенты. Затем, заменяя T на T(1), получаем для отличных от нуля компонент тензора плотности реальных дислокаций a :
а12 = а21 =X(ST/5z - k).
Тензор плотности дислокаций допускает представление квадратной сеткой краевых дислокаций в плоскости xy, нормальной оси z. Используя такое представление, получаем выражение для скалярной плотности дислокаций pj: pj = 2/b% | 5T/ 5z - k |, где b — величина вектора Бюргерса краевых дислокаций. Осуществив некоторые преобразования, получим выражение для функционалаR интегральной скалярной плотности дислокаций:
z2 , ,
R= (2/bxS) |Tz(z) - k|dz, (ii)
z1
где S — площадь поперечного сечения кристалла. При заданном температурном поле T(z) функционал R зависит от неизвестной константы k, которая входит в общее выражение для T(2) (z). С учетом этого условия минимума получаем уравнение относительно k:
z2
d/dk{
|Tz(z ) - k|dz } = 0 .
z1
46
Рассмотрим линейное температурное поле T(z) = T(z) = T1 + k0(z- z1), k0 = (T2 _ T1)/(z2 _ z1) ,
удовлетворяющее граничным условиям: T(z1) = T1, T(z2) = T2 . В этом случае, как нетрудно видеть, минимуму R отвечает k = k0.
При этом интегральная скалярная плотность дислокаций R = 0 . Таким образом, линейное температурное поле является идеальным с точки зрения выращивания бездислокационных кристаллов.
Когда T(z) отличается от T(z) на малую величину 5T , и T(z) = T(z) + 5T(z), как следует из рассмотренного выше случая, значение k будет мало отличаться от k0 , так что k « k0, тогда
Р1 * (2/bx)|ST/5z - k0 .
Предложенная модель может быть использована для оценки снизу скалярной плотности дислокаций, возникающих при росте монокристаллов из расплава.
8. Заключение
На основе проведенных исследований и полученных результатов установлены закономерности вли -яния тепловых экранов и свойств материалов теплового узла на теплообмен в промышленной установке, на распределение температуры в зоне роста кристалла и термоупругих напряжений в кристалле.
Установлено, что поддержание градиентов температур неизменными в зоне нагрева установки обеспечивается ее геометрией и температурой.
Определена зависимость между тепловым потоком, обусловленным лучеиспусканием, и параметрами системы теплового узла, а также ее экранами.
Установлено, что коэффициент диффузионного излучения элементарной поверхности между боковым экраном и расплавом является геометрическим параметром.
Исследованы влияния тепловых экранов на формирование термоупругих напряжений и предложены пути их снижения.
Проведены параметрические исследования теплового узла с применением тепловых моделей промышленных установок Редмет-30М. Получены результаты, включающие закономерности влияния тепловых экранов и свойств конструкционных материалов на распределение температурных полей в расплаве и слитке.
Определено и систематизировано влияние тепловых экранов и свойств изоляционных материалов теплового узла на радиационно -кондуктивный теп -лообмен для слитков кремния диаметром 200 мм.
Литература: 1. Оксанин А.П. Промышленные методы и устройства исследования напряжённо-деформированного состояния полупроводниковых материалов.
РИ, 2005, № 1
Харьков: Институт монокристаллов, 2001. С.137-145. 2. Бурачас С.Ф., Тилман Б.Л., Бондарь В.Г., Дубовик М.Ф. Изучение условий выращивания кристаллов методом Чохральского // Получение и исследование монокристаллов. 1978. С. 1-6. 3. Михальчук В.И., Ваше-рук А.В. Определение оптимальных тепловых условий и температурных градиентов монокристаллов кремния большого диаметра // Нові технології. 2003. №2(3). С. 30-34. 4. Эйденсон А.М., Пузанов Н.И. Выращивание совершенных монокристаллов кремния методом Чохральского // Неорган. материалы. 1997. Т.33 С. 272-279. 5. Тилман Б. .Л., Бурачас С. Ф. Анализ условий выращивания монокристаллов методом Чохральского // Физика и химия кристаллов. 1977. С. 01-04. 6. Вашерук А.В., Кротюк И.Г. Температурные поля на границе раздела двух фаз в процессе выращивания монокристаллов кремния методом Чохральского // Вісник Технологічного університету Поділля. 2003. Т. 2, №3. С. 146-148. 7. Багдасаров Х.С., Горяйнов Л.А. Состояние и задачи исследования процессов тепло- и массопереноса при выращивании монокристаллов из расплава // Инж.-физ. журн. 1983. Т. 44, № 2. С. 329-340. 8. Рейви К. Дефекты и примеси в полупроводниковом кремнии. М.: Мир, 1984. 176 с. 9. Туровский Б.М., Шендерович ИЛ, Попов А.И, Гришин В.П Особенности распространения кислорода в монокристаллах кремния, выращиваемых методом Чохральского с автоматическим регулированием диаметра // Научные труды Гиредмета. 1980. Т.102. С. 33-35. 10. Татарченко В.А. Устойчивый рост кристаллов. М.: Наука, 1988. 310с. 11. Пузанов Н.И., Эйденсон А.М. Опасные микродефекты в верхней части слитков кремния большого диаметра // Неорга-
нические материалы. 1997. Т.33, №8. С. 912 — 917. 12. Эйденсон А.М., Пузанов Н.И. Классификация ростовых микродефектов в кристаллах кремния, выращенных по методу Чохральского //Неорган.материалы. 1995. Т. 31, №4. С. 435-443. 13. Voronkov V.V. The Mechanism of Swirl Defect Formation in Silicon Crystals // J. Cryst. Growth. 1982. Vol.59, №3. P. 625-643. 14. Пузанов Н.И, Эйдензон А.М. Классификация микродефектов в без-дислокационном кремнии, выращенном по методу Чохральского // Цв. металлы. 1988. №4. С. 69-72.
Поступила в редколлегию 25.09.2004
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Гордиенко Ю.Е.
Океании Анатолий Петрович, д-р техн. наук, профессор кафедры КСА ИЭНТ. Научные интересы: автоматизация процессов выращивания монокристаллов кремния. Увлечения и хобби: охота. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Пролетарская, 24/37, тел. (05366) 3-11-22.
Притчин Сергей Эмильевич, канд.техн.наук, доцент кафедры КСА ИЭНТ. Научные интересы: автоматизация процессов выращивания монокристаллов кремния. Увлечения и хобби: охота. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Пролетарская, 24/37, тел. (05366) 3-3038 (доп. 331).
Вашерук Алекеандр Ваеильевич, ст. преподаватель кафедры КСА ИЭНТ. Научные интересы: моделирование процессов выращивания монокристаллов кремния. Увлечения и хобби: литература. Адрес: Украина, 39600, Кременчуг, ул. Пролетарская, 24/37, тел. (05366) 3-30-38 (доп. 340).
UDC 517.958: 536.71
SIMULATION OF DIFFUSION-CONVECTION PROCESSES IN MICROFLUIDIC CHANNELS
KLYMENKO O.V, OLEINICKA.I.,
AMATORE C.A, SVIR I.B.______________________
An application of the conformal mapping approach is proposed for the treatment of double band assemblies operating in a microfluidic channel using a quasi-conformal map for the numerical simulation of diffusion-convection processes occurring when the channel is submitted to a microfluidic flow. The latter applies also when such assemblies perform within a thin film of electrolyte. The results are presented for a generator-collector operation of the assembly but the methods apply also to other situations (for example, generator-generator mode). An optimization procedure for simultaneous fitting of any number of pairs of theoretical and experimental current curves is described. The latter can be used for recovering the values of parameters of the studied system from experimentally measured current data.
1. Introduction
Quasi-conformal mappings include conformal maps obtained by the Schwartz-Christoffel transformation and by superposition of analytic functions of complex variables [1-4]. The application of such mappings represents the most efficient and easiest way of simulation of accurate numerical solutions of two-dimensional electrochemical problems when isoconcentration and
flux lines are extremely curved as it occurs at microelectrodes and microelectrode assemblies. It often leads to the straightforward derivation of analytical limiting laws, but also is extremely powerful for the corresponding finite difference simulations since the extremely curved flux lines in the real space become almost flat in the conformal space, a fact which ensures efficiency and accuracy as well as speed of the simulations without resorting to ad-hoc highly variable dense meshes [1]. This enhanced performance has been exemplified on several two-dimensional diffusion problems occurring at single microelectrodes and microelectrode assemblies [4-11]. Furthermore, the transforms used generally allow analytical formulations of the back transformations so that the real flux lines and concentration profiles may be readily obtained from the ones generated in the transformed space [4, 7-11].
Here, we wish to propose an application of the quasiconformal mapping approach [4] to the simulation of diffusion-convection processes occurring at double band microelectrode assemblies operating within a channel submitted or not to a microfluidic flow. This is exemplified numerically for the parabolic flow but can be adapted to any type of flow. In particular, the approach is valid when the double band assemblies perform within a thin film of electrolyte [5,6] owing to the identity of their 2D-cross sections. It is readily adaptable for the simulation of the behaviour of assemblies involving an arbitrary number of microband electrodes performing at different or identical potentials. This includes both their arrays and a single microband electrode in a channel flow system.
РИ, 2005, № 1
47
