CC BY
36
УДК 639.2.081
Р. А. Юсупов Астраханский государственный технический университет
АНАЛИЗ ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ГИБКИХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕХАНИЗМОВ МЕТОДОМ АБСОЛЮТНЫ1Х МАКСИМУМОВ
Гибкие элементы машин и механизмов, такие как ременные приводы, стальные канаты шахтных подъемных механизмов, тяговые рыболовные канаты, тросы подъемно-перегрузочных машин и др., испытывают в процессе эксплуатации самые разнообразные нагрузки. В каждом отдельном цикле работы нагрузки, как правило, непостоянны и представляют собой случайные функции времени. При этом характеристики случайных нагрузок в разных циклах реализации различны и тоже случайны.
Условно их можно разделить на два вида: 1) нагрузки стационарные ква-зигармонические с постоянными для каждого цикла математическим ожиданием и дисперсией; 2) нагрузки нестационарные с математическим ожиданием, представляющим собой вполне определенную неслучайную функцию.
К первому виду можно отнести нагрузки на ременных приводах машин и механизмов, натяжение ваерного каната в процессе траления на регулярном волнении и т. д. Ко второму виду относятся нагрузки, испытываемые тяговыми канатами шахтных комплексов, тросы подъемных кранов; в рыболовстве - это нагрузки на стяжном тросе кошелькового невода, на ваерном канате в процессе выборки трала, на бежном урезе речного закидного невода.
Нагрузки второго типа характеризуются тем, что в определенный момент каждого цикла они достигают максимального значения. Если такой максимум окажется выше разрывной прочности каната, произойдет его обрыв. В тех механических системах, где канат (или любой другой элемент механизма) является функционально основным элементом, происходит отказ всей системы.
Возникает проблема обеспечения надежной работы канатных элементов механических систем путем анализа статистических данных о реальных нагрузках и выбора соответствующих прочностных характеристик.
Рассмотрим второй случай, когда нагрузка на тяговом канате нестационарна и в некоторый момент достигает абсолютного максимума. В качестве примера рассмотрим нагрузки на бежном урезе, полученные по результатам измерений на тоне «Балчуг» Астраханской области.
Анализ указанных нагрузок показал [1], что распределение абсолютных максимумов «м подчинено двойному показательному закону с плотностью
А(к„)=^ехр
т>0, а>0. (1)
Параметры т и а связаны с математическим ожиданием и дисперсией случайной величины Км соотношениями
М (^) = т + 0,577а, ^) = 1,645а2.
к — т
Обозначив —м-----= гм, из (1) получим плотность распределения
а
«нормированной» случайной величины абсолютных максимумов:
/1 (гм) = а ехР[—гм — ехР(—гм)].
Функция распределения абсолютных максимумов табулирована [2] и имеет вид
^(гм) = exp(- ехр(-гм).
(2)
Рассмотрим вероятность того, что в каждом цикле работы каната абсолютный максимум нагрузки Км меньше разрывной прочности: Км < Яр.
Вероятность этого события равна значению функции распределения (2)
при гм =г = (К—т)/а:
Р(К <Кр) = ехр[— ехр(—гр)]. (3)
Разрывная прочность каната, как правило, убывает по экспоненте [2]
Кр (^) = Ко ехр(—а^р), (4)
где К0 — начальная прочность нового каната; а и Ь — параметры, определяемые путем испытания на остаточную прочность.
Для конкретных условий эксплуатации эти параметры постоянны, причем уравнение (3) должно выполняться в любой момент I, в частности и в конце срока службы при ^ = Тср. Вследствие этого из уравнений (3)
и (4) при заданной вероятности безотказной работы Р0 можно найти на-
чальную несущую способность каната К0:
ехр
ехр
( К-т
а
= Р0, где кр = Яр (Г) = Я0 ехр(-аГср ).
Решив эту систему относительно К0, получаем
Ко = [т-а 1п(- 1п Ро)]ехр(аТсрЬ).
ср
Расчет параметров нагрузок и прочности канатов типа «пенька-сталь», проработавших на тоне «Балчуг», дал следующие результаты: т = 73,8 кН, а = 11,0 кН, а = 8,4- 10—6 1/ч, р = 1,52, Тср = 256,2 ч. При этих условиях и при вероятности Р0 = 0,99 начальная прочность каната К0 составляет всего 129,0 кН.
При среднем значении абсолютных максимумов, равном 80,0 кН, такая начальная прочность явно занижена. Дело в том, что разрывная прочность в этих расчетах принималась как неслучайная функция, в то время как в действительности она представляет собой убывающую случайную функцию (4) со случайными параметрами а и р. Закон распределения этих параметров определить достаточно сложно. Если же учесть, что на изменение прочности каната влияет большое количество независимых друг от друга разрушающих факторов, можно предположить, что распределение этой случайной функции асимптотически нормально и что ее реализация при ^ = ТСр является нормальной случайной величиной
с параметрами Кр и ар.
В связи с этим для определения вероятности безотказной работы целесообразно ввести промежуточную постоянную величину нагрузки К * : Км < Я* < Кр. Так как события Ям < Я* и Я* < Кр независимы, то вероятность двойного неравенства равна
Р(Км < К* < Кр) = Р(Км < К*) - Р(К* < Кр) =
= Р(Км < К*) - [1 — Р(Кр < К*)] =
= ^(г* )[1 — *2( г * )],
* к — т 1 \ 2/2 * к — Кр
где г =-------^; К(г ) = ^= Г е_х йх; г =---------------^.
а 24 ' •’ ар
—¥ р
Так как Кр = Кр(Тср) = К0 ехр(—аТсрР), то вышеуказанная вероятность является функцией двух аргументов - К * и К0:
Ж(К*, К0) = Ег(г* )[1 — ^(г*)]. (5)
На рисунке показана зависимость вероятности (5) от промежуточного значения К* при различных значениях начальной прочности Кр (140,0,
200 и 260 кН). Как видно, максимум вероятности Ж (К *, К0) достигается при Кр > 200,0 кН. В этом случае для всех К* > 135,0 кН вероятность практически равна единице. Если же Кр = 140,0 кН, то вероятность безотказной работы не достигает даже 0,9. Очевидно, что минимальная прочность каната, при которой вероятность близка к 1, равна 200,0 кН, а начальная прочность при этом равна 265,0 кН.
>Ш*Д0)
Кривые вероятности безотказной работы Р = Ж (К , К0) при различных значениях разрывной прочности
Рассмотрим аналитическое решение задачи, которое должно уточнить полученную приближенную оценку начальной прочности каната.
Если по-прежнему вероятность безотказной работы каната в каждом цикле равна заданной величине Р0, то Ж (К *, К0) = ^(г * )[1 — Р2 (г *)] = Р0.
Каждый сомножитель в этом произведении не больше единицы, значит, при Р0 » 1 и соответствующем К* ^(г *) »[1 — Р2 (г *)] = д/Р^.
Получаем систему уравнений
(6)
[1 — ^2(г *) = Л/Р"
Из (4) и первого уравнения системы (6) найдем К * :
тл *
ехр[— ехр(—г *)] = Л/Р^, г * = —0“^ = — 1п(—!^л/Р0), откуда
К *=т — а 1п(—1^Л/Р0). (7)
Так как Р2 (г) = 0,5 + Ф(г), где Ф(г) — интеграл вероятностей (интегральная функция Лапласа), то из второго уравнения получаем Ф( г *) = 0,5 — у[т0. Отсюда г * =Ф _1 (0,5 — д/р"), где Ф 1(г) квантиль нормального распределения при заданной вероятности — 0,5.
(К * —Кр)/а р =Ф -1 (0,5 — ^).
В силу нечетности функции Ф(г)
(Яр - Я*)/а р =Ф~\4Р - 0,5)
(8)
Измерения величин остаточной прочности рассматриваемого каната показали, что среднее квадратичное отклонение Ср не превышает 15 % от
прочности Яр. Считая отклонение максимальным, при С р = 0,15Яр получаем
Подставляя сюда (4) и (7), при ( = Тср найдем начальную прочность каната Я0:
Разделив (9) на среднее значение абсолютных максимумов Ям, получим коэффициент запаса прочности каната.
Формулы (9) и (10) дают возможность вычислить начальную прочность и запас прочности каната, рассчитанные не только на износ каната, но и на случайный характер эксплуатационной нагрузки и разрывной прочности.
Таким образом, начальная прочность каната и его запас прочности определяются вероятностью безотказной работы Р0 в каждом цикле и назначенным средним сроком службы Тср. При этом запас прочности, как видно из (10), зависит и от средних абсолютных нагрузок на канат Ям.
Полученные результаты, проиллюстрированные на примере работы бежного уреза речного закидного невода, свидетельствуют о том, что в совокупности они дают возможность решать задачу управления надежностью гибких элементов машин и механизмов в процессе их эксплуатации.
При вышеуказанных значениях входящих в (9)-(10) параметров, характеризующих работу бежного уреза на тоне «Балчуг», и вероятности Р0 = 0,99 начальная прочность этого каната должна составлять Я0 = 228,0 кН, а запас прочности нового каната п = 2,85.
Я - Я *
откуда Яр =
Я *
Я0 =
(9)
В действительности на тоне «Балчуг» использовался канат «пенька-сталь» диаметром й = 17 мм с начальной прочностью 324,0 кН, к концу срока службы его остаточная прочность составляла 277,0 кН. Потеря прочности составила 15,4 %, в то время как максимальная нагрузка на тоне не превышала 110,0 кН, и запас прочности к моменту списания каната был равен п = 2,5. По прочностным характеристикам канат почти всегда бывает еще пригоден к эксплуатации. Причиной списания является, как правило, разрушение пеньковой обкатки каната, истирание и обрыв проволок в прядях.
Выводы
1. Методом абсолютных максимумов составлена стохастическая модель нестационарных нагрузок на тяговых элементах механических систем.
2. Получены расчетные формулы для начальной прочности и коэффициента запаса прочности тяговых элементов механических систем.
3. Показан пример расчета прочностных характеристик канатных элементов орудий лова, в частности бежного уреза речного закидного невода на тоне «Балчуг» Астраханской области.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Юсупов Р. А. Некоторые особенности расчета надежности рыболовных канатов // Рыбное хозяйство. - 1978. - № 5. - С. 57-58.
2. Ионас В. А. Теория износа рыболовных канатов // Тр. КТИРПХ. - 1963. -Вып. XVIII. - С. 40-42.
Получено 17.01.06
ANALYSIS OF STRENGTH CHARACTERISTICS OF FLEXIBLE PARTS OF MACHINES BY THE ABSOLUTE MAXIMUM METHOD
R. A. Yusupov
The nonstationary random process, i.e. the behavior of the flexible parts of machines under dynamic loads, has been considered. At any cycle of work such loads reach absolute maximum. The condition for reliable work of the machine part is inequality Rm < Rp. To estimate probability of the fact there is introduced independent random value of load R : Rm < R < Rp . Then probability can be expressed in terms of absolute maximums Rm functions (double exponential distribution) and breaking strength Rp functions (as a rule, normal distribution), and wear factors as well. On the example of pulling line “hemp-steel” type used on winches for haul seine there are obtained dependences of starting strength and strength margin of the line from values mentioned above.
