CC BY
43
УДК 639.2.081
Р. А. Юсупов, В. Н. Мельников Астраханский государственный технический университет
РАСЧЕТ ЗАПАСА ПРОЧНОСТИ ГИБКИХ ЭЛЕМЕНТОВ МЕХАНИЗМОВ ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ
Гибкие элементы механизмов и машин, такие как ременные приводы, стальные канаты и тросы, рессоры и пружины амортизаторов и пр., в процессе эксплуатации испытывают как статические, так и динамические нагрузки. Требования, предъявляемые к эксплуатационной надежности этих элементов, должны учитывать процессы старения и износа материалов, из которых они изготовлены. Существует множество работ, посвященных обеспечению надежности гибких элементов машин, в частности стальных канатов, на стадии их проектирования и в процессе эксплуатации, изучены характеристики эксплуатационных нагрузок и т. д.
Очевидным фактом становится необходимость исследования взаимосвязи между прочностными характеристиками гибких элементов механических систем и параметрами их эксплуатационной надежности. Особый интерес представляют стальные канаты, выполняющие роль тяговых элементов систем. Эту задачу целесообразно решать вероятностными методами, поскольку реальные нагрузки на них приходится рассматривать как случайные функции времени. Примером могут служить динамические нагрузки на ваерных канатах траловых механизмов, тросах подъемных кранов, работающих в морских условиях на регулярном волнении.
Рассмотрим работу ваерного каната в течение одного цикла траления в период, когда нагрузки на канате максимальны, т. е. в процессе выборки трала. Эксплуатационная нагрузка Яэ ^) в этом случае может быть
представлена как сумма статической и динамической составляющих:
Яэ (Г) = Яст (Г) + Дд (Г). (1)
При этом без особых допущений статическую составляющую можно считать математическим ожиданием (средним значением) эксплуатационной нагрузки:
Дст (0 = м [Яэ (0] = Я(0.
Иными словами, в каждом тралении статическая составляющая является неслучайной функцией времени, в то время как динамическая составляющая представляет собой случайный квазигармонический процесс со случайной амплитудой ) и фазой ф(^):
Яд (0 = Л(Осо8[ю0* + Ф(0] , (2)
где Ю0 - нулевая (основная) частота колебаний нагрузки.
Анализ реальных нагрузок на ваерах показал [1], что в установившемся режиме динамическая составляющая является стационарным процессом и обладает узкополосным спектром частот. В этом случае амплитуда A(t) является случайной функцией с гораздо меньшей по сравнению
с wo частотой и совпадает с огибающей нагрузки Яд (t).
Укажем на некоторые свойства огибающей узкополосного процесса. Известно, что для случайного процесса (2) корреляционная функция имеет вид
к (t) = a2e_a|t(cos bt + b sin b 111), (3)
где параметры a, a и b определяются внешними условиями, например интенсивностью и периодом волнения, собственным периодом качки судна и т. д. [2].
Для узкополосного спектра a2 << b2 и b » wo [3], поэтому из (3) получаем
к(t) = a2е_a|t| cos ю01.
Плотность распределения огибающей подчинена закону Рэлея [3]:
fi(a) =a2exp(- 21).
где параметр a связан с математическим ожиданием и дисперсией случайной функции A(t) следующими соотношениями:
M (a) = a Л »1,25a; D(a) = (2 - p )a2 » 0,429a2.
Скорость огибающей A(t) подчинена нормальному закону с параметрами a и aDf,
сА/л/2л ^ 2а2А/'
где А/ - «энергетическая» ширина спектра; А/ = —1— [ 5(ю) —; 5 (ю) -
^ (ю0) 0 2л
спектральная плотность стационарного процесса.
Для процесса с узкой полосой частот А/ =—а2 +р2 - (31.
а
Рассмотрим теперь условие разрыва каната в некоторый момент времени ?. В терминах теории случайных процессов - это так называемый «выброс» случайной функции Яэ (?) за уровень разрывной прочности каната Яр,
которую в течение одного цикла можно считать величинои постоянной. Пусть до некоторого момента ? огибающая Яэ (?) меньше уровня Яр, а в момент ? становится и в течение времени & остается больше этого уровня:
{*э (') < Я • (4)
[Яэ (< + Л) > «р.
С учетом (1) систему (7) можно переписать:
Г«ст (?)+Яд (?) < Яр, Г Яд (?) < Яр - яст (?),
< или <
[Яст (? + &) + Яд (? + &) > Яр > [Яд (? + &0 > Яр - Яст (? + &0.
В промежутке времени длительности dt статическая составляющая остается величиной постоянной, Яст (t) = Яст (t + dt) = Яст = const, разность Яр - Яст тоже постоянна. Обозначим Яр - Яст = r, а динамическую составляющую заменим на огибающую A(t). Тогда условие разрыва каната перепишется так:
ГA(t) < r, ГA(t) < r,
\ или \ откуда
[A(t + dt) > r, [A(t) + A(t)dt > r,
r - A(t)dt < A(t) < r. (5)
Вероятность этого события равна
P(r - A&t)dt < A(t) < r) = I I f (a, a
0 r-A&t)dt
Для стационарного процесса ее огибающая А(?) и скорость А(?) независимы, совместная плотность /(а, ¿1 / ?) = / (а) • /2 (а), поэтому
Р(г - А(?^? < А(?) < г) = | | / (а)/2 (¿1 )dada =
0 г-А&?)d?
Разделим обе части равенства на dt. Отношение
"exP(-^S2) (6)
P(r - A&t)dt < A(t) < r) = rDf (____ri_)
v i.sil
является временной плотностью вероятности пересечения огибающей заданного уровня г и по физическому смыслу представляет собой среднее число обрывов каната в единицу времени. В терминах теории надежности -это интенсивность потока отказов каната 1(?).
Опыт эксплуатации тяговых канатов свидетельствует о том, что вследствие их старения и износа интенсивность потока отказов непостоянна и возрастает к концу срока службы [4]. Вследствие этого время безотказной работы может иметь или гамма-распределение, или распределение Вейбулла. Рассмотрим простейший из этих законов — распределение Вейбулла, для которого интенсивность отказов равна
1(?) = 10к?к—', (7)
где параметр к определяется условиями эксплуатации каната, а 1 о найдем из сравнения равенств (6) и (7):
10к?к—1 яр(- 2^) • откуда 10 = к^дтзр ехр(— 25?)
Тогда вероятность безотказной работы каната в течение одного цикла длительностью Т , согласно закону Вейбулла, равна
ро =ехр(—■1Т1 )=ехр[—ехр(— 2?)
(8)
Отсюда можно найти тот уровень г, невозможность пересечения которого для огибающей А(?) гарантируется вероятностью Ро. Однако уравнение (8) относительно г аналитически не решается.
Логарифмируя обе его части, получаем
, „ ГА/Т ( Г2 ) Г ( г2 ) 1П Ро
1п ро=—¡жехр(— 2?), откуда 5ехр(— гЫ=—-т^т■ •
Обозначив М0 = — кЛ^2рв/1р0 и логарифмируя последнее равенство, получим трасцендентное уравнение относительно г:
1пг — ^ = 1п М о. (9)
а 2а2
Уравнение (9) решается приближенно в операционной системе МаШСАБ, причем единственность его решения легко проверить, построив
г г2
графики функций и(г) = 1п — и у(г) = —- + 1пМ .
а 2а2
Пусть г0 — решение уравнения (9). Так как Яр — Яст = го, то
Яр —1 = _г^
Яст Яст
____ R
Поскольку RCT = R3 (t) и ■=£■ = n — запас прочности на динамику на-
э
грузки, то из последнего равенства получаем
г
Пд = 1 + .= . (10)
Яэ
Таким образом, для получения запаса прочности канатного элемента механизма, испытывающего динамические нагрузки, необходимо получить экспериментальные данные о параметрах этой нагрузки и эксплуатационной надежности каната, решить уравнение (9) относительно г и вычислить пд по формуле (10).
Следует иметь в виду, что обобщенный запас прочности любого изделия должен представлять собой композицию запасов прочности на износ и динамику испытываемых нагрузок.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Лебедев Е. А. Динамика некоторых параметров ваеров в процессе эксплуатации // Тр. ПИНРО. - Мурманск, 1966. - Вып. XVIII.
2. Луговский В. В. Динамика моря. — Л.: Судостроение, 1976. - 200 с.
3. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — Л.: Судпромиздат, 1961. - 464 с.
4. Юсупов Р. А. Некоторые особенности расчета надежности рыболовных канатов // Рыбное хозяйство. - 1978. - № 5. - С. 57-58.
Получено 29.12.05
ANALYSIS OF STRENGTH MARGIN FOR FLEXIBLE PARTS OF MECHANISMS UNDER STATIONARY QUASI-HARMONIC LOADING
R. A. Yusupov, V. N. Melnikhov
Envelope of stationary quasi-harmonic process is a random function distributed according to Rayleigh law. The work of running lines used by trawling ships in the North basin are taken as an example; operation factors of this distribution are determined and probability of nofailure of the running line is obtained during the cycle of its operation. The relation between the probability obtained and the intensity of wire’s failure is found. There has been obtained an expression for safety margin of the running line according to the dynamics of the loading.
