CC BY
39
196
Общетехнические задачи и пути их решения
УДК 519.816
С. В. Микони
АНАЛИЗ ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА ВКЛАДОВ В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЙТИНГА ОБЪЕКТОВ*
Анализируются свойства метода вкладов, применяемого на практике для определения рейтинга подразделений по результатам их деятельности. Приводятся условия правильного применения метода. Указываются ограничения метода, обусловленные несоответствием требованиям, предъявляемым к методам выбора.
метод вкладов, рейтинг объекта, шкала, функция полезности, обобщающая функция.
Введение
Научно обоснованный подход к решению задач многокритериального выбора даёт многокритериальная теория полезности [1]. В её основу положен принцип полезности показателей, характеризующих сопоставляемые объекты. Функция полезности (ФП) создаётся экспертным путём на шкале каждого показателя, отражая ценность её делений. В общем случае функция полезности имеет нелинейную форму, как правило, выпуклую или вогнутую. При большом числе критериев на практике часто применяют линейную форму ФП. Она строится по умолчанию при выполнении операции нормирования значений каждого показателя диапазоном его шкалы. Приведение показателей к единой шкале [0, 1] является необходимым условием их агрегирования в обобщённые показатели. Для агрегирования показателей применяются различные обобщающие (синтезирующие) функции.
Помимо решения задач альтернативного выбора, многокритериальная теория полезности (МТП) применяется для решения рейтинговых задач, поскольку ранжирование объектов можно рассматривать как итеративную задачу выбора: из множества X выбирается наилучший в смысле заданных требований объект X1, из оставшихся объектов выбирается наилучший объект X2^X\xi и т. д. Одним из условий устойчивости выбора является неизменность предпочтений при расширении множества X. Иными словами, включение объекта x^+1 в множество X не должно изменить предпочтений между элементами этого множества.
На практике для определения рейтинга объектов наряду с методами выбора используются методы, не имеющие отношения к многокритери-
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), проект № 10-01-00439.
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
197
альной теории полезности. К ним, в частности, относится метод вкладов. Выявление границ его применимости для решения рейтинговых задач является целью данной работы.
1 Постановка задачи
Обобщающие (синтезирующие) функции, используемые в задачах многокритериальной оптимизации, не зависят от способа формирования агрегируемых показателей. Их свойства подробно рассматривались в работах [2], [3]. В этих же работах предлагаются методы задания весовых коэффициентов для обобщающих функций. Исходя из этого, задачей работы является выявление особенностей модели, используемой методом вкладов для решения рейтинговых задач. Особенности этой модели будем выявлять, взяв за базу сравнения модель многокритериального выбора, используемую в МТП. Она строится с применением принципов системного анализа и включает следующие необходимые операции [3]:
1) построение дерева целей;
2) подбор первичных показателей, отражающих цели нижнего уровня;
3) анализ перечня показателей на полноту и неизбыточность;
4) формирование множества сопоставляемых объектов;
5) анализ объектов на сопоставимость по каждому из показателей;
6) формирование удельных показателей, обеспечивающих сопоставимость объектов;
7) кодирование качественных значений показателей;
8) задание шкал показателей;
9) создание функций полезности на шкалах показателей;
10) анализ функций полезности на независимость;
11) определение важности показателей;
12) приведение показателей к единой шкале для вычисления обобщающей функции.
Проанализируем метод вкладов на предмет соответствия перечисленным операциям.
2 Сопоставление свойств функций полезности и вкладов
Первые три операции не специфичны относительно поставленной задачи и метода её решения. Что касается формирования множества сопоставляемых объектов, в рейтинговых задачах оно обычно фиксировано. Это множество может разделяться на подмножества по результатам пятой и шестой операций. Примером такого разбиения является разделение кафедр Университета на три группы сопоставимых кафедр [4]. При наличии в перечне качественных показателей осуществляется кодирование их значений.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
198
Общетехнические задачи и пути их решения
Существенное различие методов МТП и вкладов имеет место при задании шкал показателей. Методы МТП используют выборочные шкалы
показателей [y-,min, yj,max], j = 1,n, поскольку минимальная и максимальная границы шкалы определяются сопоставляемыми объектами из множества X. Достоинством выборочной шкалы является возможность изменения её границ. Потребность в этом возникает в первую очередь при упорядочении объектов от достигнутых всеми минимальных целей. В этом случае принимается выборочная шкала [yj,min, Tj,max] j -го показателя, j = 1, n. Если же необходим учёт минимальных достижений объектов, то нижняя граница должна совпадать с началом шкалы yj,min = 0 [5]. При использовании мультипликативной обобщающей функции возникает потребность в расширении обеих границ шкалы с тем, чтобы исключить нулевые сомножители [3]. Такую возможность допускает выборочная шкала [y-,min,
yj,max].
j = 1, n. Левая граница этой шкалы фиксирована нулём. Это означает, что методом вкладов не реализуемо упорядочение объектов от достигнутых всеми объектами минимальных целей при Jj,min > 0, j = 1, n. Правая граница этой шкалы также фиксирована. Она определяется суммой достижений объектов по j-му показателю и меняется при изменении состава объектов из множества X. Следовательно, при необходимости изменения состава объектов не выполняется условие устойчивости выбора, упомянутое во введении.
Существенным отличием метода вкладов от методов МТП является замена функции полезности показателя функцией вклада в общие достижения. Функция вклада bj(xi) i-го объекта в сумму вкладов всех объектов
по j-му показателю, j = 1, n, определяется по формуле:
Формула (1) отражает лишь линейный рост полезности показателя. Значение вклада bj(xi) меняется в пределах [0, 1]. В частном случае bj(xi) = 1, когда все объекты, кроме i-го, имеют нулевые значения. Общий объём вкладов по j-му показателю равен 1:
N
bj(Xi) =
yj (хг)
(1)
N
£ yj(Xi)
i=1 J
£ b,(Xi) = 1
i=1 J
(2)
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
199
Несмотря на одинаковую шкалу [0, 1] функций полезности и вклада средняя величина вклада убывает с ростом числа N сопоставляемых объектов. Известно, что работа с малыми дробями способствует увеличению погрешности вычислений. Ещё большим недостатком является то, что это свойство функции вкладов не позволяет использовать её дополнение в обобщающей функции по причине несоизмеримости дробей. А это означает, что метод вкладов не допускает применения смешанных критериев, подлежащих как максимизации, так и минимизации.
3 Условие применения обобщающей функции
Агрегирование вкладов i-го объекта в сумму вкладов всех объектов по n показателям выполняется с применением аддитивной свёртки:
b(xi) = I w, • b,(Xi),
j=i
(3)
где Wj - весовой коэффициент j-го показателя.
Условием правильного применения формулы (3) является измерение вкладов по всем показателям в общей шкале.
Очевидно, что хотя бы один из N сопоставляемых объектов вносит минимальный вклад bj m[n(Xj) в общую сумму по j-му показателю:
bj,min(Xi) = min(y,(xi)) ■ --. (4)
X IУ, (хг)
i=1 J
Аналогичным образом найдётся объект, вносящий максимальный вклад bjmax(Xj) в общую сумму по j-му показателю:
>j,max(xI) = max(y ,(Xi)) ■
X j
N
IУ, (Xi)
i=1
1
(5)
Значения bj, min(Xi) и bj, max(X/) из формул (4)-(5) образуют границы шкалы вкладов по j-му показателю: [bj, min(Xi), bj, max(X/)], bj, minCX/)— bj, max(Xi) < 1, причём:
bj, min(Xi)+bj, max(Xi) < 1. (6)
Согласно формуле (2), формула (6) обращается в тождество, когда по j-му показателю вносят вклад в общую сумму только два из N объектов.
Несмотря на то, что по любому показателю 0 < bj(Xi) < 1, j = 1, n, каждый из них имеет разные границы шкалы вкладов [bj, min(X/), bj, max(X/)]. Измеренные в этих шкалах вклады имеют разную цену.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
200
Общетехнические задачи и пути их решения
Для получения соизмеримых вкладов по разным показателям необходимо привести их величины к общей шкале. С этой целью шкалу одного из объединяемых показателей следует принять за базовую. В неё пересчитываются вклады по другим показателям, измеренные в своих шкалах. В качестве базовой целесообразно выбирать шкалу с наибольшим диапазоном, что способствует лучшей различимости оценок объектов. При использовании иерархической системы показателей это требование предъявляется к показателям, содержащимся во всех листовых таблицах иерархии.
4 Экспериментальная проверка условия применения обобщающей функции
Проанализируем свойства метода вкладов на примере оценивания 11 объектов, охарактеризованных равномерно (с разной ценой деления) возрастающим и убывающим показателями Пр. № 1 и Пр. №2 (табл. 1).
ТАБЛИЦА 1. Характеристика объектов
Номер объекта Пр. № 1 Пр. № 2 Ь1 (Xi) b2(Xi) Ьн 2 (Xi)
0 0 10,00 0,000 0,104 0,182
1 1 9,75 0,018 0,101 0,164
2 2 9,50 0,036 0,099 0,145
3 3 9,25 0,055 0,096 0,127
4 4 9,00 0,073 0,094 0,109
5 5 8,75 0,091 0,091 0,091
6 6 8,50 0,109 0,088 0,073
7 7 8,25 0,127 0,086 0,055
8 8 8,00 0,145 0,083 0,036
9 9 7,75 0,164 0,081 0,018
10 10 7,50 0,182 0,078 0,000
Признак №1 измерен в шкале [0, 10], а признак № 2 - в шкале [7,5; 10]. Шкалы вкладов bi(Xj) и Ь2(хг) по признакам № 1 и № 2 также имеют разные границы: [0, 182], [0,078; 0,104]. В последнем столбце табл. 1 приведены значения вкладов по признаку № 2, пересчитанные в шкалу признака № 1.
В табл. 2 приведены скалярные оценки объектов, синтезированные по двум критериям: Пр. № 1^-max и Пр. № 2^-max.
Столбец b*(Xi) содержит двухкритериальные оценки объектов, рассчитанные по формуле (6) на основе вкладов, измеренных в шкалах [0, 182] и [0,078; 0,104]. В столбце Ьн*(х) представлены оценки, рассчитанные в единой шкале вкладов [0, 182]. Оценки y*(Xt) и ум*(хО получены на основе функций полезности признаков с применением аддитивной и мультипликативной обобщающих функций.
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
201
ТАБЛИЦА 2. Оценки объектов
Номер объекта ь*(х) Ьн*(хг) Уа*(х) Ум*(х)
10 0,130 0,091 0,500 0,000
9 0,122 0,091 0,500 0,300
8 0,114 0,091 0,500 0,400
7 0,106 0,091 0,500 0,458
6 0,099 0,091 0,500 0,490
5 0,091 0,091 0,500 0,500
4 0,083 0,091 0,500 0,490
3 0,075 0,091 0,500 0,458
2 0,068 0,091 0,500 0,400
1 0,060 0,091 0,500 0,300
0 0,052 0,091 0,500 0,000
Наглядно соотношение оценок представлено на рисунке.
Г рафики оценок объектов по двум равноважным критериям
Оценки Ьн*(хг) и полученные на основе вкладов, расположены
в нижней части графика. Горизонтальная линия отражает несравнимость объектов не только при использовании векторных оценок в отношении Парето-доминирования, но и скалярных оценок Ьн*(хг), вычисленных в общей шкале при одинаковой важности критериев: wi = W2 = 0,5.
Наклонная линия в нижней части рисунка отражает оценки Ь*(хг) несравнимых объектов, полученные без приведения исходных вкладов bi(xi) и Ь2(хг) к общей шкале. По этой причине упорядочение объектов, полученное на основе оценок Ь*(хг), является ложным.
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
202
Общетехнические задачи и пути их решения
Верхнюю часть графика занимают оценки уа*(хг) и ум*(хг), представленные соответственно горизонтальной линией и параболой. Их величина не зависит от числа объектов. Идентичность оценок Ьн*(х/) и уа*(хг) отражает одинаковый способ обобщения однокритериальных оценок и правильный выбор шкал.
Аддитивная обобщающая функция даёт объёмную характеристику каждого объекта. Объекты, имеющие противоположные экстремальные значения показателей («всё» или «ничего»), получают такие же оценки, как объекты со средними значениями. Если лицо, принимающее решение, отдаёт предпочтение объектам с ровными значениями показателей, то в качестве обобщающей функции выбирается мультипликативная степенная функция вида:
Для рассматриваемого примера она имеет форму параболы, принимающей максимальное значение для объекта № 5 с ровными значениями показателей.
Заключение
Метод вкладов обладает большим количеством ограничений для упорядочения объектов по различным правилам. Он не позволяет:
• упорядочивать объекты от достигнутых ими минимальных целей;
• не допускает применения критериев с противоположной направленностью оптимизации;
• использовать нелинейные функции полезности;
• использовать для агрегирования показателей мультипликативную обобщающую функцию;
• изменять состав объектов без риска изменения предпочтений.
Перечисленные ограничения не позволяют отнести метод вкладов к
методам выбора. По этой причине он и отсутствует в теории принятия решений. Этот метод может применяться для решения частной задачи оптимизации при условии линейной полезности показателей, измеряемых только от нулевой отметки шкалы вкладов, одинаковой направленности предпочтений и применения только аддитивной обобщающей функции. Увеличение числа объектов влечёт увеличение погрешности метода, а изменение состава объектов может приводить к изменению предпочтений между объектами. Непременным условием применения аддитивной обобщающей функции является согласование шкал вкладов всех первичных показателей.
(7)
j = 1
2010/4
Proceedings of Petersburg Transport University
Общетехнические задачи и пути их решения
203
Библиографический список
1. Теория игр и экономическое поведение / Д. Нейман, О. Моргенштерн. - М. : Наука, 1970. - 540 с.
2. Анализ и синтез показателей при информационном дефиците / Н. В. Хованов. -СПб. : Изд-во СПбГУ, 1996. - 195 с. - ISBN 5-288-01533-3.
3. Многокритериальный выбор на конечном множестве альтернатив : учеб. пособие / С. В. Микони. - СПб. : Лань, 2009. - 272 с. - ISBN 978-5-8114-0984-6.
4. Система оценки деятельности кафедр университета / В. И. Ковалёв, А. П. Ледяев, С. В. Микони, П. П. Якубчик // Вестник высшей школы. - 2002. - № 1. -С. 17-22.
5. Теория и практика рационального выбора / С. В. Микони. - М. : Маршрут, 2004. - 462 с. - ISBN 5-89035-141-9.
Статья поступила в редакцию 11.05.2010;
представлена к публикации членом редколлегии В. А. Ходаковским.
УДК 691.32:666.972.16
Т. М. Петрова, О. М. Смирнова
СОВРЕМЕННЫЕ МОДИФИЦИРУЮЩИЕ ДОБАВКИ
ДЛЯ ПРОИЗВОДСТВА СБОРНОГО БЕТОНА И ЖЕЛЕЗОБЕТОНА
Использование пластифицирующих добавок позволяет снизить содержание воды в бетонной смеси и повысить как раннюю, так и марочную прочность бетона. Однако повышенные расходы пластифицирующих добавок замедляют гидратацию минералов портландцемента, что снижает скорость набора прочности цементного камня в раннем возрасте (12-18 часов). В ходе исследований показано, что эффективность действия пластифицирующих добавок может быть повышена за счет введения в портландцементные системы тонкодисперсных минеральных наполнителей в оптимальном количестве.
бетон, малопрогревная технология, гиперпластификатор, тонкодисперсные минеральные добавки.
Введение
За последние два десятка лет в результате быстро развивающихся научных достижений в области направленного формирования структуры и свойств бетонов происходят серьезные изменения в технологии производства сборных бетонных и железобетонных конструкций. Широкое применение находят комплексные добавки, пластифицирующие добавки нового поколения, которые вследствие сильного водоредуцирующего действия
ISSN 1815-588 Х. Известия ПГУПС
2010/4
