Анализ поведения автоматических радиодальномеров при случайных возмущениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Афлятунов Р. М., Фокин А. Л., Харазов В. Г. Робастная стабилизация теплового режима работы трубчатых нагревательных печей нефтеперерабатывающей промышленности // Автоматизация в промышленности. 2004. № 7. С. 25—28.

10. Методы робастного, нейронечеткого и адаптивного управления / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.

11. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.

Антон Павлович Климов

Ольга Александровна Ремизова

Ирина Викторовна Рудакова

Александр Леонидович Фокин

Сведения об авторах аспирант; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности

канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: remizova-oa@yandex.ru

канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: rudakowa@ws01.sapr.pu.ru

д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный технологический институт (Технический университет), кафедра автоматизации процессов химической промышленности; E-mail: fokin_sa@mail.ru

Рекомендована кафедрой автоматизации процессов химической промышленности

Поступила в редакцию 10.03.10 г.

УДК 681.5:681.3

В. В. Григорьев, Д. В. Козис, А. Н. Коровьяков, Ю. В. Литвинов

АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ РАДИОДАЛЬНОМЕРОВ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

Предлагается численная характеристика эффективности функционирования систем радиоавтоматики в условиях влияния случайных возмущений. Практическое использование теоретических результатов иллюстрируется применительно к типовой функциональной конфигурации автоматического радиодальномера.

Ключевые слова: радиодальномер, системы радиоавтоматики, случайные возмущения, следящий измеритель дальности.

Введение. Системы радиоавтоматики (РА) очень разнообразны по функциональному построению и схемотехническим решениям. Однако в представлении систем радиоавтоматики структурными схемами обнаруживается схожесть схем широкого класса систем РА различного назначения, разных физических принципов реализации и схемных решений [1]. Это позволяет использовать единые подходы к анализу динамики и синтезу устройств управления систем РА.

Следящие измерители дальности (СИД) представляют важный тип систем РА. На рис. 1 приведена обобщенная функциональная схема СИД — радиодальномера [1], состоящего из временного дискриминатора (датчика рассогласования), усилительно-преобразовательного

устройства и генератора временной задержки (исполнительного устройства). Входными сигналами СИД являются отраженные от выбранной цели видеоимпульсы, поступающие с выхода приемника. „Истинная" дальность Б до цели определяется интервалом времени ^ (при постоянном значении скорости распространения электромагнитной энергии). Время задержки ¿2 выходных следящих импульсов относительно прямых импульсов СИД соответствует измеряемому радиодальномером значению дальности до цели Бизм. Во временном дискриминаторе время задержки ¿2 следящих импульсов сравнивается с временем ^ запаздывания отраженных от цели импульсов. В режиме слежения сигнал управления генератором временной задержки пропорционален временной ошибке сопровождения I = ^ - ¿2 .

Рис. 1

Оценка влияния возмущений. Для описания динамики работы радиодальномера в режиме слежения используем модель, представленную уравнениями ее состояния [2, 3]:

х ( т +1) = Гх ( т ) + Он ( т ); у (т) = Сх (т),

(1)

где х — вектор состояния модели СИД; у — вектор выходных переменных; Г= А - Вк — матрица замкнутого СИД; С — матрица связи векторов у и х; н(т) — случайное возмущение, действующее на СИД; матрица О определяет входы СИД, по которым действует возмущение.

Рассмотрим влияние на СИД случайного возмущения при условии движения цели с малой скоростью, т.е. приближенно будем рассматривать задачу стабилизации системы относительно нулевого значения вектора состояния, для чего положим

М[х(0)] = х (0) = 0,

где М[ • ] — операция вычисления математического ожидания (МО) вектора х(0). Пусть матрица ковариаций вектора начальных отклонений равна

М[х(0) хТ (0)] =Х0 .

Возмущение будем считать скалярным случайным процессом н(т) с дискретным временем и следующими статистическими характеристиками:

— математическим ожиданием М[н(т)] = н (т);

— 2 2

— дисперсией возмущения М[(н(т) - н (т)) ] = <т , которую будем считать стационар-

2 2

ной величиной <т =<0, т = 0, 1, 2, ...

Считаем также, что состояния СИД не коррелированы с возмущением

М[х(к)н(т)] = 0, к=0, 1, 2,., т=0, 1, 2,.,

и, кроме того, возмущение имеет нормальное распределение.

В соответствии с перечисленными упрощающими условиями проанализируем поведение во времени первых двух моментов от вектора состояния СИД, в случае нормального распределения возмущения полностью характеризующих вероятностные свойства процессов в радиодальномере.

Вычислив математическое ожидание от выражений (1), получим

х ( т +1) = Ех ( т ) + Ом (т ), | у (т) = Сх (т). [

Если х (0) = 0 и ^(т) = 0, т = 1, 2, ..., то МО вектора состояния СИД х (т) равно нулю для любого момента времени.

Уравнение, характеризующее изменение во времени матрицы дисперсий СИД, получим [2] следующим образом. Вычтем уравнения (2) из системы уравнений (1) и умножим полученное выражение на результат его транспонирования; вычислив МО от обеих сторон равенства, найдем

Хт+1 = Р Хт Е + О а2тОТ , X) = Х(0), (3)

__Т

где Хт = М[(х(т) - х (т))(х(т)-х(т)) ] — матрица ковариаций (дисперсий) вектора состояния СИД; Р — вероятность нахождения вектора состояния системы в замкнутой области.

Дисперсия выходной переменной (изменения дальности) СИД определяется выражением

М

у (т )-у (т )2

= СХтСТ. (4)

Если дисперсия возмущения является стационарной величиной (о^„ = о0 ) и замкнутый

СИД асимптотически устойчив (т.е. все собственные числа матрицы Е лежат в единичном круге), то решение Хт разностного матричного уравнения (3) сходится к стационарному значению, являющемуся решением алгебраического матричного уравнения

Х = ¥Х¥Т + Оо2 ОТ , (5)

которое определяет матрицу дисперсий в установившемся режиме, т.е. значения этой матрицы после окончания переходных процессов.

Уравнение вычисления МО от вектора состояния СИД (2) и уравнение вычисления матрицы дисперсий (3) не связаны друг с другом, поэтому последовательности х (т) и Хт можно вычислять раздельно.

Рассмотрим поведение СИД при возмущениях с нулевым МО ^ (т ) = 0, т=0, 1, 2., и

х (0) = 0 . В этом случае МО от вектора состояния СИД равно нулю для любого момента времени и статистические свойства процессов в СИД полностью и наиболее наглядно характеризуются динамикой изменения матрицы дисперсий Хт. Анализ поведения этой матрицы

представляет удобный практически, с вычислительной и иллюстративной точек зрения, способ оценки влияния на динамику СИД случайных возмущений.

Вероятность нахождения вектора состояния х внутри эллипсоида

(х-х) Х~т (х-х) = х2 (6)

подчиняется %2 -распределению с п степенями свободы, где п — размерность вектора состояния СИД. Поверхность, описываемая уравнением (6), называется эллипсоидом правдоподобия. Значение вероятности нахождения вектора состояния СИД внутри эллипсоида правдоподобия целесообразно вычислять как значение функции %2 -распределения

Р

(х-х) Х~т1 (х-х)<х2

= Р

X

= ^

X2, п

приведенной в таблице.

т п

1 2 3 4 5

1 0,683 0,333 0,199 0,030 0,037

4 0,994 0,265 0,739 0,534 0,451

9 0,997 0,989 0,971 0,939 0,891

Если в результате решения разностного матричного уравнения (3) вычислены матрицы дисперсий Хт с начальной матрицей Х0, то для любого момента времени т можно построить эллипсоид правдоподобия с заданным значением х2, соответствующим некоторому зна-

чению вероятности Р

X

нахождения траектории СИД в данный момент времени в этом

эллипсоиде. Совокупность таких эллипсоидов правдоподобия образует „трубку" равноверо-

2

ятностного уровня Р

X

характеризующую поведение СИД при случайных воздействиях

описанного выше типа. В каждый из моментов времени т вероятность нахождения траекто-

. При стационарности дисперсии возмуще-

рии движения СИД внутри „трубки" равна Р X2

ния ат = &0 эллипсоиды правдоподобия с течением времени стремятся к постоянному эллип соиду

Т

(х-х) Х-1 (х-х^2 ,

(7)

где X_1 — матрица, обратная по отношению к матрице X, определяемой из решения матричного уравнения (5).

Стационарная „трубка" равновероятностного уровня, построенная на основе соотношения (7), характеризует установившийся режим работы СИД.

„Трубки" равновероятностного уровня содержат информацию о статических и динамических свойствах СИД в наглядной графической форме. Однако для многомерных процессов наглядность геометрических образов теряется, и трудоемкость построения эллипсоидов правдоподобия растет с увеличением размерности вектора состояния СИД х. Поэтому введем скалярную характеристику, связанную с эллипсоидом правдоподобия и отражающую его свойства. Вычислим объем Ут эллипсоида правдоподобия (6):

-1/2

V =

т

ёй X,

-1

V0 = [ Хт ]1/2 V0,

где V — объем сферы (х-х)Т (х-x) = х2 радиусом X .

Значение Vm в момент времени т характеризует тот объем в пространстве состояний, в

котором с вероятностью Р

X

может находиться траектория СИД. Характер изменения во

времени объема Vm связан с динамическими свойствами СИД, а именно со сходимостью

процессов. Значение объема эллипсоида правдоподобия в установившемся режиме (см. формулу (7)) характеризует точностные показатели СИД.

Вычисление матрицы Х,-1 для построения эллипсоида правдоподобия (6) можно проводить как на основе решения матричного уравнения (3) с последующим обращением матрицы Хт , так и на основе рекуррентного соотношения

хт ^+(-1)Т хт1оо2тоТ) , хо1 = х_1(о),

которое следует из уравнения (3).

Пример. В дальномерных системах РЛС для обеспечения требуемых динамических свойств и точности измерителей дальности широко используются следующие типовые структуры СИД: дальномер с одним интегратором, дальномер с интегратором и фильтром, дальномер с двумя интеграторами. Рассмотрим влияние случайных возмущений на дальномер с двумя интеграторами, структурная схема непрерывной модели которого приведена на рис. 2.

о

кп

w

! Х2 !

Х1

к1

Рис. 2

Уравнения дискретизированной модели последовательного соединения экстраполятора (запоминающего элемента) и исполнительной части (ИЧ) дальномера (см. рис. 3) имеют вид:

Х1 (т + 1) "1 Т Х1 ( т) Т2/2

_Х2 (т + 1) 0 1 _Х2 (т) Т

и

(т ^

У (т ) = [1 0]

( т Т

,(т)_

где Т — интервал дискретности (интервал следования импульсов дальномера).

и(т)

ИЧ I

I

Экстраполятор

[ Х2 Г -

Х1

Рис. 3

Использование в дальномере закона управления

и(т) = -к{Х1 (т)-к2Х2 (т)-кпХ1 (т) = —к|Х1 (т)-к2Х2 (т),

где к/, кь к2 — коэффициенты (параметры) закона управления, кп — коэффициент передачи

линеаризованной модели пеленгационного устройства дальномера, приводит к следующим уравнениям замкнутого СИД:

Х (т + 1)

С2 (т + 1Т

1 -(к1Т2 ) / 2 Т-(к2Т2 )/2 - к1Т 1- к1Т

Х (т ) с2 (т )

У (т ) = [1 0]

( т) ,(т Т

w

Следовательно, динамическая матрица ¥ замкнутого СИД будет иметь вид

1 -(к{Г2 )/2 Т-(к2Т2 )/2

¥ =

-к1Т

1-к1Т

Матрица О, определяющая входы, по которым действует возмущение, равна

Го"

О =

1

что видно из анализа схемы СИД, приведенной на рис. 2.

Выберем следующие значения параметров: Т = 1/500 (500 импульсов за секунду), к1 = 400, к2 = 400, тогда матрица ¥ в модели замкнутого СИД и матрица О будут равны

г 1 0,002"

¥= , О=

-0,8 0,2 1

Корни характеристического уравнения матрицы ¥ замкнутого СИД по модулю меньше единицы ( ¿1 = 0,20, ¿2 = 0,99). Замкнутый СИД устойчив, и существует установившийся режим отслеживания измеряемой дальности.

Для оценки влияния шумов на работу дальномера в установившемся режиме измерения

фиксированной (не изменяющейся) дальности при дисперсии возмущения а =1 решаем уравнение (5) относительно матрицы ковариаций Х:

х11 х12

_ х21 х22 _

1 2-10

-0,8 0,2

-3

11

12

х21 х22

1

2-10

-3

-0,8 0,2

Г0"

+

1

1[0 1],

тогда

Х=

3-10-3 -10-3

-10_д 1

Отсюда следует, что матрица Х положительно определена (в соответствии с критерием Сильвестра положительной определенности матриц). Обратная к матрице Х матрица X-1 равна

г 333,44 0,33344" 0,33344 1

X "1 =

Дисперсия выходной координаты СИД (измеренной дальности) в установившемся режиме в соответствии с выражением (4) определяется как

->-3 1 л-3"

й = СХСТ = [1 0]-

3-10" -10"

-10" 1

=3-10-

Установившийся режим работы СИД, описываемый соотношением (7), в рассматриваемом конкретном примере оценивается соотношением

Т

(х - X )

333,44 0,33344 0,33344 1

- (х-х)Т =х2.

Стационарная „трубка" равновероятностного уровня, определяемая этим соотношением, оказывается очень „сплющенной".

Заключение. Время сходимости процессов в СИД к установившемуся режиму оценивается несколькими десятками интервалов дискретности Т, но в силу малого значения Т (Т=1/500=0,002 с) это время вполне приемлемо и оценивается величиной порядка 0,04 с.

список литературы

1. Дудник П. И., Чересов Ю. И. Авиационные радиолокационные устройства. М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1986.

2. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

3. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

Валерий Владимирович Григорьев

Дмитрий Владимирович Козис Анатолий Николаевич Коровьяков

Юрий Володарович Литвинов

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики СПбГУ ИТМО

Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: grigvv@yandex.ru канд. техн. наук, доцент; филиал РАА „Спецтехника", Санкт-Петербург; директор; E-mail: fcd.kdv@gmail.com

канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: 06kan@mail.ru канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: yurl13@yandex.ru

Поступила в редакцию 11.09.09 г.