CC BY
1PHYSICS AND MATHEMATICS
АНАЛИЗ ПОЛНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ИНТЕРВАЛЬНОГО ВАРИАНТА ПЯТИТОЧЕЧНОЙ
ПРОГОНКИ
Ибрагимов А.А.
Кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Методика преподавания информатики» Навоийский государственный педагогический институт, Узбекистан
Ходжабаев Ф.Д.
Ассистент кафедры «Методика преподавания информатики» Навоийский государственный педагогический институт, Узбекистан
ANALYSIS OF TOTAL ERROR OF INTERVAL OPTION OF PENTA-POINT RUN
Ibragimov A.A.
Candidate of physical and mathematical Sciences, associate Professor, Department "Methods of teaching Informatics" Navoi state pedagogical institute, Uzbekistan Khodzhabaev F.D.
Assistant to department "Methods of teaching Informatics" Navoi state pedagogical institute, Uzbekistan
Аннотация
В работе даётся анализ полной погрешности интервального варианта пятиточечной прогонки. При этом предполагается, что не только решение, но и прогоночные коэффициенты вычислены неточно, величины ошибок зависят от параметров конкретного вычислительного устройства, а сам анализ осуществляется в предположении нерасширяемости интервального решения, при отсутствии ошибок вычислений.
Abstract
This work presents the analysis total error of interval variant of penta-point run. At that it is assumed that not only solution, but also running coefficient are calculated inaccurately, the values of errors depend on parameters of specific computing device, but analysis itself is implemented on assumption of non-expansibility of interval solution in absence of computation errors.
Ключевые слова: интервальный анализ, пятиточечная прогонка, ошибки вычислений, прогоночные коэффициенты, интервальная арифметика, устойчивость.
Keywords: interval analysis, penta-point run, errors of computations, running coefficients, machine interval arithmetics, stability.
В последнее время, в связи с возрастающей ролью приближенных методов для решения различных задач естествознания вопрос о величине погрешности приобретает определяющее значение. Ошибки того или иного рода можно оценить различными способами: сравнением численных результатов с экспериментов, расчетами простых тестовых примеров с известным точным решением, путем статистического подхода проведением повторных вычислений с различными значениями параметров задачи, таких как величина шага, число итераций, длина машинного слова и т.п. Тем не менее, математической строгости во всей её полноте при этом нет.
В отличие от традиционных, интервальные методы позволяют получать на ЭВМ решения задач вместе с полным и строгим анализом ошибок вычислений.
Интервальный анализ [1, 3, 4, 5] - теория, предназначенная для учета ошибок округлений при проведении расчетов. Так как точное представление чисел невозможно в машине с конечной разрядной сеткой, то результат каждого достаточно сложного
расчета содержит некоторую ошибку, обусловленную погрешностями округлений, входных данных и промежуточных результатов. Для учета этих ошибок можно каждую величину представить парой чисел, которые ограничивают ее снизу и сверху. Интервальные методы дают возможность учитывать, как погрешности в данных, так и погрешности метода. Тем самым, интервальные методы определяют в процессе вычислений, гарантированные двухсторонние приближения к искомым точным решениям.
Непосредственное применение интервальных методов в вычислительных процессах позволяет заключить в интервалы решения задач, о входных данных которых известно лишь то, что они лежат в определенных интервалах.
При этом решения, а также ошибки округлений, встречающихся в процессе вычислений, включаются в полученные интервалы. Следовательно, при точно определенных начальных данных, полученные интервалы содержат точное решение исходной задачи, а интервальный метод служит для учета ошибок округлений.
Одно из особенностей интервальных методов заключается в том, что при численной реализации, в отличие от некоторых двухсторонних методов, они не требуют дополнительных исследований источников вычислительной погрешности.
Методы интервального анализа могут служить не только для учета ошибок округлений при счете на ЭВМ, но и являются новыми аналитическими методами для учета неопределенности и/или неоднозначности данных в теоретическом исследовании.
Коротко остановимся на основных понятиях интервального анализа.
Пусть я - множество всех вещественных чисел. Под интервалом [а, Ь], а < Ь, понимается замкнутое подмножество Я вида
[а, 6] = {х| хе□ ла<х<Ь^.
Множество всех интервалов обозначим через
. Элементы I будем записывать выделенным
«жирным» шрифтам, а неинтервальные (точечные) величины в тексте не выделяется, т.е. записывается обычным шрифтом [2]. Если а е II , то его левый и правый конец будем обозначать соответственно, как а, а и а = [а, а].
Два интервала а и Ь равны тогда и только тогда, когда а = Ь, а = Ь . Отношение порядка на множестве и определяется следующим образом: а < Ь тогда и только тогда, когда а < Ь-Арифметические операции над интервальными числами определяются следующим образом. Пусть * е * е {+,-■, /}, а ,Ь е Ш тогда
а * Ь = \а * Ь | а е а, Ь е Ь| причем в случае деления 0 £ Ь.
Легко проверит, что это определение эквивалентно соотношениям:
a + b = [a, a] + [b,b] = a +b, a + b ],
a-b = [a,a]-[b,b] = [a -b, a - b],
a • b = ^ min [ab, ab, ab , ab j,max [ab, ab, ab , ab j
a/b = [ a, a ] /[ ь, b ] = [ a, a ] • [1/ b, 1/ b ].
Из этого следует, что
• вычитание не обратно сложению;
• деление не обратно к умножению;
• интервальное сложение и интервальное умножение ассоциативны и коммутативны;
• закон дистрибутивности, вообще говоря не выполняется, а выполняется включение
а (Ь + с) ^ аЬ + ас, называемое свойством субдистрибутивности;
• а — а Ф 0, а а Ф 1, когда тй а >0 (где wid а = а — а - ширина интервала а ), но всегда имеет место 0еа — а, 1 еа/а.
Кроме того мы будем использовать следующие понятия интервального анализа.
Пересечение интервалов X = [X, X ] и У = ^ У, У J определяется следующим образом:
x П y
0, если х > у, или у > x max [х, У j , min [x, у j] если х < У или у < X.
Абсолютная величина (магнитуда) | a \ интервала определяется как
|a| = max[ |a|, |a| j
Середина mid a , есть полусумма концов интервала a •
mid a = (a + a)/2.
Мигнитуда интервала определяется функцией: (a) = min [Ia\, \äI j. Нетрудно
заметить, что
| a | <| b |, wid a < wid b, когда a с b, причем wid a < widb, если a с b, и a * b.
Расстояние a, b ) между элементами
а, b €E ID вводится равенством
p( a,b ) =max
p(a,b) = max||a — b |, a — b
Вырожденный интервал, т.е. интервал с совпадающими концами a = a = a, отождествим с
вещественным числом
□ cE .
а. Таким образом,
В [1] описаны и обоснованы некоторые интервальные варианты метода прогонки. При этом расчетные формулы берутся в форме естественных интервальных расширений, а обоснование предполагает получение достаточных условий реализуемости и устойчивости метода.
с0й0 + а{)щ + в0й2 = /{) Ь}й() + с]й] + йхй2 + ехщ =
«Д 2 + Ь" , + с А + л + е/1 : = /
я„_Д_з + Ь ,Г/ ; + с^и^ + (I ,Г/, =
Под реализуемостью в интервальной арифметике понимается отсутствие деления на интервал содержащий нуль, а под устойчивостью - ограниченное влияние ошибки допущенной при вычислении решения на некотором этапе на конечный результат.
Предположим, что для интервальной системы линейных алгебраических уравнений с пятидиаго-нальной матрицей [6]
i = 2, И - 2
(1)
предлагается определять интервалы и такие, что й. с: М. Сй;, / = 0,1,..и.
Здесь И некоторое множество, И интервалы
полученные переходом в соответствующих вещественных расчетных формулах к естественным интервальным расширениям.
Й„ = ^
Ниже мы будем опираться на следующую теорему [3]:
Теорема 1.
/V
Если интервалы И. вычислены по следующим формулам
U„-J =(Хи-Ди + Z„_! ) V„-!
U = (Xi Ui+i _ «i Ui+2 + Z ) Vi , i = П _ 2, П _ 3,
0.
где
X0 = d0 ' V0 = V C0 ' Vi = V (Ci + bi X0 ), Xi = bl^dlC0 _ d1, X i = «i-i («xi_2 + Ьг )_ di , z0 = fo/C0' Z 1 = fi -biZ0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
Zi = fi - ai Zi-2 - Zi-1 {ai xi-2 +bt), i = 2,3,..n, (10)
V = V(C - ai et-2 + xi-i (aiXi-2 + bi))' (11)
тогда йг С Ц С Ц , / = 0, 1, ..П.
Доказательство очевидным образом вытекает из свойства субдистрибутивности интервальной арифметики, т.е из свойства
а (Ь + с) с аЬ + ас .
Для реализуемости и устойчивости предлагаемого варианта метода пятиточечной прогонки достаточными являются условия теоремы 9 [3, с.46], Тогда на следующем шаге мы получим
Xi = «i-i
a
которые всюду ниже предполагаются выполненными. Однако важно установить как на практике, погрешности влияют на реализуемость метода.
Пусть в процессе вычислений по формулам (2)
- (11), вместо X ¡_2 (У ^ 2) было получено
X
i-2
X i-2
8 x,.
i-2
d = «i-i («iXi-2 + bi ) - di + [Ii' I ]
*
где
и.
+
I — I, I / I - операции машинной интервальной арифметики [1], [f, f ] - интервал, возникающий за счет ошибок округлений и корректировок к внешним интервалам. При этом, очевидно,
0 £ SX._2 и 0 е f, f ] .
В IR, наряду с обычной операций вычитания интервалов, введем нестандартное вычитание по Маркову [1]:
a! b = [a, a] ! [b, b] = [min{a — b, a — b}, max{a — b, a — b }].
Тогда будем иметь
p(a, b) =|a ! b |.
В полученном пространстве можно поставить вопрос об оценивании
|SX{ |=p(x*, Xi) =|x; ! X{ |,
поскольку теперь в нем из | S X- | = 0 следует р(X* , Xt) = 0, что и должно иметь место в случае
точного выполнения операций.
Используя свойство монотонности по включению, в пространстве интервальных чисел IR проведем анализ роста погрешностей, допущенных при вычислении прогоночных коэффициентов и самого решения.
|SXi| = |X* ! Xi| = |[f V ~\ + (ei—1 (ai X*—2 + bi ) — di ) ! (ei—1 (ai Xi—2 + bi ) — di )<
< |[f ,fi \| + |( ei—1 (ai2 + b ) — di ) ! (ei—1 (ai Xi—2 + bi ) — di )| < <f + |ei—1^1 \Sxt_2\<f + Aif1 = £f\
4 = lei—Л +К11 k 11 ei—3 k—21+...+К11 k I... hi k I
¿* = 1 + max {A}, f = max f }
Пусть допущенные погрешности при определении Zq и Zj ограничены соответственно ¿V, ¿V. Тогда
\SZi\ = |z* ! z\ = |fV ] + (fi — ai Z*—2 — Z*_1 (ai <2 + bi)) ! ! (fi — aiZi—2 — Zi_1 (aXi—2 + bi))| < | [f V ]| + |( fi — aiZ*—2 — Zj_1 (ai<2 + bi )) !
! (fi — ai Zi—2 — Zi—1 (ai Xi-2 + bi ))|<f + Iai| |SZi_3 + \ai\ | Xi-2 | |SZi_J + +Iai|| Zf—J |Sxf—3 + Ibi| |SZf—J.
Предполагаем, что max{Щ |,\bt |,\ct |, |d |, |f } = m\, тогда
|SzJ<f + m \SZi—2\ + 2m*|SZi—11 + ¿1*r*m*\Zi—1\.
Аналогично
По индукции
Теперь определим погрешность
|£z21 < r* + m* |£z01 + 2m* 1^1 + £*r*m <
<т* + m*£*r* + 2m*^*r* + ¿;*r*m* | < £*, = 1 + m*^2* + 2 m*^3* + ^*m*m*.
N .
И
М=[Ii ,i ]
+
Ct - ««i-2 + xh (aiX-2 + bi )' C - ai «i-2 + xi-i (aiXi-2 + bi )
<
<I +
i
Ci - ai «i-2 + ( ai Xi-2 + bi ) xi-i + I «ill xi-i I |SXi-2 | + I «ill Xi-2 I + | bi I
i
Ci - ai«i-2 + xi-i (aiXi-2 + b )
<
<I +
+
(Ci - a«1-2)-((aiXi-2 + b )(l Xi I + lSX l)+ I ai II Xi-i ll^Xi-2 l)'
|Ci - ai«i-2 I + ((aiXi-2 + bi )(l Xi l +l SXi l)+ l ai ll Xi-i ll SXi-2 l)]
i
+
(Ci - ai «i-2) - |ai Xi-2 + bi I l Xi-i l' |Ci - ai «i-2\ + |ai Xi-2 + bi\ I Xi-i I
i
= I +
+
Ci - ai«i-2\ + |aiXi-2 + bi |(|Xi-i| + |SXi-i |) + |ai||Xi-i| |SX
-2 '
+
(Ci- ai «i-2}- lai Xi-2 + bi I (I xi-11+Hxi-i I)- к 11 Xi-J Hxi-i i
|Ci - ai «i-2 | Iai Xi-2 + b\ I xi-i I' iCi - ai «i-2) - Iai Xi-2 + Ьг\ I xi-i I
где T* = max{тг } и Ti = |[t, Ti ]|.
Так как, ширина вычитаемого интервала меньше, имеем что
где
Svl <I* + 1UI =& *' i lSx-J
7i =-|vi (aiXi-2 + ь)|' 1 = max{Ti} / =n.
Используя эти результаты оценим
rUA:
\süп\<|[t,I]| + |V„z„ ! Vz„\<TT + |v„||sz„| + |z„|\Svn\ + \Szn\\Svn\<
* I I * I I * ^ / * * * * / *
<I + Ivn |^5T + |z„ КбТ + <^б(Т ) =^7T + ££(Т ) '
1
здесь
£ = i + Vn| £ + |zn
I Sün_x | <
% %
% ||+ ( X-1 « n_1 + Z
i) v-i ! (
x n-1 « n + Z n
n* r, * * I I /V I * * I /V I I I / * * * * , * ч 2 \ I II I ^ * * I I
<% + #6% \x n-1 \Un I + #1% |Vn-^ + (#7% + #5#6(% ) + #5% K-l| +
\un\ +
n n-1 n
|X„-J\Vn-1\ +HZ„-1|
v„
1 ) Vn-1 l + ^Vn-1
Zn -1
<
+#% zn-1 <##*(%*)2+#%
где
Я»* 1 Я»* I I I л I Я»* I л I I I Я»* I II I * ( * ^
#8 =1+#6, \xn-1\\Un\+# kk-1 +#7 k-1 k-1 ^ % = max {% j.
I=1,n v '
<
Используя теорему 9 [3, с.46] оценим погрешность решения:
И/\ I / * /\ * /V* * \ * , / * /\ /V \ Г~ _
«i| = (X ui+x - «/«/+2 + Zi)v i ! (x i щ+1 - eiui+2 + Zi)к| + %
< MI x-|| "ml + M "Л К-I + x ^ КI + HX-I W + \öv\\Süt+1\\ x I +
+\Svt I 1 «i+J + \ei I |1 у/I + I 11 + |vf 1\S z\ + l^v^l z\ + | |¿z, | <
j>r ^ ^ | I I /v I j>» ^ -r* I /v II I I ^ /v II II I j>r ^ ^ I л /v II I j>r ^ ^ I л /v II I
<#6% |x 4 «ml + #1% K1I kl + №+111 X-|| K-I + #1% I^M kl + #6% k^ll x| +
u * w * / * \ 2 I ||Л I I I I О Л II I I |1оЛ I ^ * * f * * I I f * * I I f * и * Í * \ 2 +#1 #6 (% ) N| »M + Ы\0и+2\Ы + K|\Su+2 #6 % +#5 % Kl + #6 % Ы + #6 #5% ) <
< (#6*%* к I+и+#;#; % )2) uM\+(| xj +#;%* +#;%*|x\)\s ü+\ ■ к+
* I I I С Л I * f* * I Л I I I f* * I If»** f* f* Í .
+m |v/|\Sui+2\ + m #6* % \ui+2\ + |v,#5 % + |Zi#6 % +#6* #5 (% ) <
. / f^* *| И I f^* * \ И I f^* * I |\ I Л I I I ^ /V I I
<(#6% Ix-ll+ #1 % \ZAlvil + #6* % \xi\)\Sui+A •к + m lvilHUi+2\ + m #*% K+2|.
Здесь к>1.
На основании теоремы 9 и теоремы 10 [3, с.46] í f
\8щ1 < #%
1 -£
т
+
##6* %
«i++ +
f {
* *
m
II I Г» Л I * С,»* * I /V I
vi|\ÖU,+2\ + m#6*% K2I
#1% 1 -V т У
#9* = max{#6*, #1*}.
+ #6*r* |x,| \SЙ/+\ +
Теперь оценим
Un-2\ < *#*%*
V
1 -
V ю У
,1#6 (% ) IIUn-1\ + ^
* cjk *
f r s^ 1 -s
V m У
**
+ #6%m1 |H«„_1
#1%'
* * I с Л I * * I Л I
m mj |дии| + m #6 % |ии| <
„* * f л s ^ * i „* „* / * \2
#1% t1 + m 1 I#6#5% ) +
+#8% + m m1 (#7% +#5#6 (% ) ) + m #6% m 1 < O (n3)(% ) I 1 -—\,
+
Г с
f,* *
#6 %
1 -S
V m у
+ #1#6 (%
Im 1 +
m = max
"n-2
Kn-2 U «n-
{
*
По индукции получим
\Sün_\ <
/ V-
F
i-f
v m j
O (n3 )t
Итак мы доказали, что справедлива следующая теорема:
ТЕОРЕМА 2. Пусть коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям
0 £ а, У= 2,п; 0 £ ь , У= 1,п; 0 £ с, . = о,п;
0 £ ^, У = 0, п -1; 0 £ , У = 0, п - 2; (со) = К1 + + ^ (с1> = N + К1 + И| + ^
(СЛ = Ы + |Ьп| + ^п , (О = + \Ьп-1\ + + *п-1 , {с) = |аг| + |Ь,| +\й\ + \в\ + , У = 2, п - 2,
Тогда метод (2)-(11) может быть реализован в рамках машин-ной интервальной арифметики, а для соответствующих погрешностей имеет место оценки
I* х. | < ,
и«^! < а *)2* ,
|SUn
<
'i -^Г
V
m
o (n3 )t3.
где i константы не зависящиеся от i и T
Список литературы
1. Alefeld, G. and Herzberger, J. Introduction to interval computations. Academic Press, New York, 1983.
2. Kearfott R.B., Nakao M.T., Neumaier A., Rump S.M., Shary S.P., Hentenryck P. Standardized notation in interval analysis.// Вычислительные технологии. 2010. Т.15, №1. С. 7-13.
3. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. -Новосибирск: Наука, 1986. -224с.
4. Moore R.E. «Interval Analysis».-Englewood Cliffs. N.J.: Prentice-Hall, 1966.
5. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. ИВТ СО РАН -Новосибирск: Издательство «XYZ», 2010, http://www. nsc.ru/interval.
6. Юлдашев З.Х., Ибрагимов А.А., Ходжа-баев Ф.Д. Оценка модуля и ширины решения СЛАУ с комплексными интервальными коэффициентами методом пятиточечной прогонки. Сборник тезисов Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и информационных технологий - АЛЬ-ХОРЕЗМИ 2012», 19-22 декабря 2012г., Ташкент, НУУз им. М.Улугбека, стр. 99-100.
