CC BY
24
Оригинальная статья / Original article УДК 658.135.073
DOI: 10.21285/1814-3520-2017-1-63-71
АНАЛИЗ ПЛОСКИХ КОНТУРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ, ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ ОБЪЕКТЫ С НАЛОЖЕНИЯМИ
1 9
© В.И. Мартьянов1, М.Д. Каташевцев2
Иркутский национальный исследовательский технический университет, Российская Федерация, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Развить идеи представления контурных изображений, разделяя объекты на изображении на так называемые объекты первого плана (то есть те, которые видны целиком) и второго плана (те объекты, которые перекрываются объектами первого плана). Разработать алгоритмы интерпретации изображений. Построить новые оценки. МЕТОДЫ. Для достижения поставленных целей используются методы, ранее эффективно применявшиеся для решения задач проектирования расписания и анализа генома, основная идея которых состоит в построении так называемого «дерева решения» с последующим «спуском» по нему, в поисках наложений. РЕЗУЛЬТАТЫ. В работе удалось показать, что сложность поиска образцов первого плана имеет верхнюю границу сложности, не превышающую 0((w + t) * w + m ), где w - количество дуг; t - количество связей дуг изображения; m - количество образцов. Удалось получить близкую оценку сложности поиска образцов второго плана. А также показать отсутствие усложнения поиска образцов дальнейших i-х планов после второго плана, что, вообще говоря, естественно, так как принципиальным является переход к рассмотрению частичных вложений образцов, которые все генерируются после построения изоморфных вложений образцов первого плана. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Результаты данной работы существенно развивают и уточняют подход, описанный в предыдущих работах, предлагают методы способные решать задачи анализа изображений в реальных условиях, когда изображение может иметь какие-то искажения. В частности, могут иметь большое практическое значение для автоматизации обработки видеорядов диагностических дорожных лабораторий, поскольку объекты дорожной инфраструктуры (разметка, дорожные знаки и др.) на видеорядах часто бывают (частично) закрыты другими объектами (проходящими автомобилями и т.д.).
Ключевые слова: контурное изображение, масштабные ряды, генерализация, дуга графа, связи дуг, алгоритмическая сложность, алгебраические системы, изоморфное вложение.
Формат цитирования: Мартьянов В.И., Каташевцев М.Д. Анализ плоских контурных изображений, представляющих объекты с наложениями // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 1. С. 63-71. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-1-63-71
ANALYSIS OF FLAT SKETCHES REPRESENTED BY OVERLAPPED OBJECTS V.I. Martianov, M.D. Katashevtsev
Irkutsk National Research Technical University,
83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation.
ABSTRACT. The PURPOSE of the article is to develop the ideas of sketch image presentation through the classification of the objects on the image into foreground objects (which are fully seen on the image) and background objects (which are overlapped by the foreground objects), to develop new algorithms of image interpretation and build new mathematical evaluations. METHODS. The methods previously successfully used for solving the problems of genome schedule and analysis design are applied to achieve the set purposes. The main id ea is to construct a so called "decision tree" then go down it searching for overlaps. RESULTS. We succeeded to show that the complexity of searching for foreground objects has the upper boundary of complexity that does not exceed 0((w +1) * w + m), where w - number of arcs, t - number of image arcs relations, m - number of objects. We also have derived a similar evaluation of the complexity of background object search and showed that there is no increase in the complexity of searching for i-grounds of the objects after the 2-nd ground of objects that is natural since the transition to the consideration of partial embedding of objects, all of which are generated after the construction of isomorphic embedding of foreground objects, is principal.
1Мартьянов Владимир Иванович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры автомобильных дорог, e-mail: ad@istu.edu
Vladimir I. Martianov, Doctor of Physical and Mathematical sciences, Professor of the Department of Automobile Roads, e-mail: ad@istu.edu
2Каташевцев Михаил Дмитриевич, программист 1-й категории, e-mail: mmailm@mail.ru Mikhail D. Katashevtsev, I category programmer, e-mail: mmailm@mail.ru
CONCLUSION. The results of this work significantly develop and specify the approach described in our previous works as well as propose the methods able to solve the analysis problems of an image with some distorted objects in real conditions. The results can be particularly useful for the automation of the digitizing process of road video data taken by mobile laboratories since the objects of road infrastructure (road marking, road signs, etc.) in the video are often (partially) covered by other objects (passing vehicles, etc.).
Keywords: sketch image; scaling series; generalization; graph arc; arc relations; algorithmic complexity; algebraic systems; isometric embedding
For citation: Martianov V.I., Katashevtsev M.D. Analysis of flat sketches represented by overlapped objects // Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 1, pp. 63-71. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-1-63-71
Введение
В статье [1] рассмотрены вопросы анализа плоских связных контурных изображений (т.е. даны оценки сложности поиска образцов), представленных дугами и связями дуг с градусной мерой. В работе [2] даны оценки сложности поиска образцов для расширенной концепции представления плоских связных контурных изображений, где к градусной мере дуг добавлены также их относительные размеры (и более того, можно добавлять и другие количественные характеристики). Ввод относительных размеров дуг ставит вопрос о масштабных рядах представления образцов и изображений (для использования результатов анализа сжатых изображений с целью повышения эффективности анализа исходных изображений), что и раскрыто в [3].
В настоящей статье рассмотрены вопросы анализа плоских контурных изображений, представляющих объекты с наложениями. Иными словами, предполагается наличие объектов первого плана, представленных на изображении без каких-либо искажений, а также объектов второго и других планов, которые в той или иной степени закрыты более близкостоящими к точке съемки объектами.
Более точно будут даны оценки сложности поиска изоморфного вложения в анализируемое изображение объектов (образцов) первого плана, далее - второго, третьего и т.д. Отметим, что оценки сложности вложения для объектов (образцов) первого плана получены в статье [2], но в данной работе вложения будут строиться по более сложной технической схеме, что дает соответственно большую алгоритмическую сложность.
Схема поиска образцов второго плана состоит в проверке того факта, что частично отображенные фрагменты каких-то образцов могут быть дополнены до всего образца дугами «дерева решений» (универсума), лежащими внутри совокупности (объединения) образцов первого плана. Конечно, образцы третьего плана уже используют такое понятие, как «лежать внутри совокупности» образцов первого и второго плана, и т.д.
Вопрос о сложности проверки «лежит ли изображение внутри объединения образцов» может быть решен на основе геометрического представления универсума, на декартовой плоскости в полярной системе координат, где сложность проверки «лежать внутри области» будет иметь точное математическое решение.
Геометрическое представление универсума на декартовой плоскости в полярной системе координат в данной работе не будет доведено до строгих математических формализа-ций, так как это приведет к значительному увеличению статьи, а громоздкие формулы затруднят понимание основных идей и результатов. Поэтому геометрическая интерпретация дуг, связей дуг и универсума на декартовой плоскости в полярной системе координат будет дана ниже только в замечаниях.
Результаты получены в предположении, что все объекты на изображении и образцы представлены в одинаковом масштабе. Кроме того, точка съемки объектов не дает искажений, связанных с объемом объектов (3d) и углом съемки, что, по-нашему мнению, не уменьшает значения результатов на данном этапе исследований.
Методы, результаты и их обсуждение
Формализация. Математические модели образцов ,...,^ и анализируемого
изображения P будут представлены четырехосновными алгебраическими системами (а.с.) [4, 5] вида
Р =< А, К,У, М; 8е, Ме,Яе >, (1)
где основное множество A - совокупность дуг; основное множество R - совокупность связей дуг; основное множество V - совокупность допустимых углов или секторов окружности (например, от 0 до 360 градусов или долей градусов, представленная начальным отрезком натуральных чисел от 0 до D); M - множество относительных мер длины дуг, представленное начальным отрезком натуральных чисел от 1 до ^ одноместная функция Бе: А ^ V, которая определяет количество градусов (или долей градуса) дуги как сектора окружности; одноместная функция Ag: А ^М, которая определяет количество градусов (или долей градуса в соответствии с заданием множества V) угла пересечения дуг; одноместная функция Ме: А ^М, сопоставляющая каждой дуге ее относительную величину; трехместное отношение Re соединяет связь дуг с соответствующими дугами, т.е. Re - подмножество декартова произведения Я х Ах А, причем, если Re(rel, a, Ь) и Re(rel, a1, Ь1), то a = a1 и Ь = Ь1.
Замечание 1. Дуги на декартовой плоскости будут представляться секторами окружностей заданных радиусов, которые здесь не будут явно определены, причем связи дуг соответствуют наличию двух дуг, имеющих общую точку для своих концов. Пусть образцы представлены совокупностью а.с.:
=< А, Я, V, м; 8е, Лg, Ме, Яе >,
Б2 =< А,, Л,, Яе, Яе >,
Я =< А ЯУ > ■
т т т> > ' эо' ?
Анализируемое изображение P представлено а.с. (1). В дальнейшем будем считать, что а.с. Р,^,£2,...,представляют связные изображения.
Следуя [2], построим универсум Y для изображений, имеющих не более п дуг и не более k связей дуг. Без ограничения общности можно считать, что п равно k, а также, что максимальное количество дуг и связей дуг в а.с. (1), (2) не превосходят п. Определим универсум как а.с.
У =< АА, ЯЯ, V, М; Бе, Ag, Ме, Яе >, (3)
где совокупность дуг АА = {ааак\ индексы дуг а = целочисленный пара-
метр k принимает значения от 0 до п (причем, если аеи1, то / <к}; совокупность связей дуг ЯЯ = {ггаф \а,РеЩограничения на индексы дуг а, в будут даны ниже, определения функций
Se, Aд, Me и отношения Re будут также даны ниже. Основание индукции. Множество
и = т, г, d) \ V е V, т е М, г е V, d е В) ,
причем т = 1, множество направлений обхода дуги Б = {0,1}, где 0 соответствует обходу «по часовой стрелке», 1 соответствует обходу «против часовой стрелки».
Замечание 2. Дуги, имеющие индексы из множества и0, будем обозначать ЛА,0 = {ааа \а ^ио}.При геометрической интерпретации на декартовой плоскости дуг
ранга 0 все они связаны своим началом с центром полярной системы координат, причем параметр г для дуги ЭЭ(V, т п у определяет угол между осью абсцисс и касательной к рассматриваемой дуге.
Параметр б для дуги ээ^ т г, ь) определяет ее вогнутость (при б = 0) или выпуклость (при б = 1). В частности, если ось абсцисс является касательной к рассматриваемой дуге, (т.е. параметр г равен нулю) то при б = 0 эта дуга ээV тг, б) располагается ниже оси абсцисс, а при б = 1, соответственно, выше.
Индукционный шаг. Пусть / > 0.
Ui ={(л>0,т0,г0,с10)...(л\,т{,г{,с1{) \ т/ = 1, е М, г е {', е 1)\.
Тогда
им = (<Ч, r0,d0)...(v;+1,/«, ,,rM,dM) I т. = 1,v. e V,m. eM,r; e V,dj e l)\. (4)
Замечание 3. Дуги, имеющие индексы из множества и++1, будем обозначать АА/+1/+1. При геометрической интерпретации на декартовой плоскости дуги ээа ранга /+1, где а = т, г, б), она связана своим началом с концом некоторой дуги ээр из АА//, причем параметр г для дуги ээа определяет угол между касательными этих рассматриваемых здесь дуг.
Все определенные выше дуги из совокупности ВВ = АА00^АА11'и...^ААпп имеют
длину равную 1. Дуги произвольной длины представлены в множествах ААц где / < Ц и п > Ц , которое определяется следующим образом:
М, ] = {ааа,р \aeUt, а = ах (V, т, г, d),
р = ф^ т1, 11, dl)... (V,, т,, г,, ds), (5)
^ = ] - и
у1=... = у3,г1 = ... = г3 = о, dl = .. = ds = d }.
Отметим, что так определенные дуги ээа,в имеют длину Ц - / + 1, т.е. Ме(ээав) = Ц - / + 1, сектор окружности дуги ээа,в равен V * (Ц - / + 1), т.е. Эе(ээа,в) = V * (Ц - / + 1).
Совокупность дуг АА универсума У (3) в соответствии с (4) и (5) может быть определена следующей формулой АА = \]ААЧ, где /<у и п>у, одноместные функции ве, Ме опре-
из
делены выше.
Для определения совокупностей связей дуг ЯЯ упростим способ обозначения дуг из множеств ААц а именно, для дуги длины 1 (случай / = Ц) вместо ээа будем писать ээа>1 ; при к > 1 вместо ээав будем использовать обозначение ээа< к.
Для уменьшения громоздкости обозначений и решения некоторых других технических
задач введем совокупности дуг АА0, АА1,..., ААп, где ААг = {аа^к \ aeUt,к = 1,п).
Дуги из совокупности АА/ будем называть дугами ранга /. Очевидно, что совокупности дуг попарно не пересекаются и АА = А\ ^АА ^...^АА. Основная проблема, из-за которой
необходим ввод совокупностей АА/, состоит в том, что иначе невозможно вложение дуг длины больше 1 в совокупность дуг 0-го ранга АА0 при формировании основания индукции. Отметим также, что иногда будем пользоваться и совокупностями дуг с обозначением АА,. Положим совокупность связей дуг:
ЯЯ = {ггаа \ а1 = ааа1^ а2 = ааа2,к2};
а1 = А^т^ДХ (6)
Тогда Re (гга1 а2, аь а2), Ад (гга1 а2) = п - Г2.
Таким образом, универсум Y (3) полностью определен.
Основные результаты
Теорема 1. Любая а.с. вида (1), имеющая не более п дуг и связей дуг, может быть изоморфно вложена в универсум Y (3).
Доказательство следует из построения универсума Y (3) по вышеопределенным формулам (4), (5) и (6).
Пусть отображения а.с.
51 ^У5*2 ^У,...,£„: Бт ^У
являются изоморфными вложениями, существование которых обеспечивает теорема 1 , причем образы каких-то дуг образцов S1, S2 , ..., Sm принадлежат совокупности дуг 0-го ранга АА0, т.е.
п АЛ * п АЛ * 0;
...,Ст (5т ) П АЛ * 0.
Положим, что совокупность дуг изображения Р (3) имеет вид А = {а,а2,...,а,) и Р : Р ^У,р: Р ^У,...,р : Р ^У это - изоморфные вложения, где дуги а1, а2, ..., аш отображаются в совокупность дуг 0-го ранга АА0, т.е.
М(а1)е ^ Р2(а2) е АА0,...,Р^ а) е АА0. (8)
Рассмотрим совокупность X частичных инъективных отображений:
2 = {С :^Р;
C : St ^ Y,(р, )"1: Y ^ P}.
(9)
Теорема 2. Пусть % изоморфное вложение образца S/ в изображение Р (1). Тогда в совокупности Е существует отображение такое, что для любой дуги а е 5) выполнено
£(а) = £(а). Таким образом, все изоморфные вложения образцов в/ в изображение Р (1)
представлены в совокупности £ .
Доказательство будем вести в предположении, что любая дуга может быть единственным образом изоморфно вложена в АА0. Пусть £ : $ ^У - изоморфное вложение, существование которого обеспечивает теорема 1, причем дуга а е $ такая, что £ (а) = Ь и Ь е АА. Пусть £(а) = с, где с е Р (1).
Положим (согласно формулам (7) и (8)), изоморфное вложение р : Р ^ У такое, что р1 (с) = Ь . Тогда композиция £ : 8) ^У, (р )-1: У ^Р будет совпадать с изоморфным вложением £ по правилам конструкции универсума У (формулировки (4), (5) и (6)). Теорема доказана, далее идет ее непосредственное следствие.
Теорема 3. Сложность поиска образцов первого плана имеет верхнюю границу сложности, не превышающую 0((м + § * w + т ), где w - количество дуг ^ - количество связей дуг) изображения Р (1); т - количество образцов.
Доказательство. Универсум (схема 2) статьи [2] ничем не отличается от универсума У, рассматриваемого здесь, который построен на гораздо более строгом математическом уровне. Поэтому данная теорема является полным аналогом теоремы 3 из статьи [2]. Теорема доказана.
Отметим, что по сформированным выше ограничениям параметры ^ и w меньше или равны п, поэтому ограничения на верхнюю границу сложности можно переформулировать как не превышающую
0((п + п) * п + т). (10)
Перейдем к вопросу оценки сложности поиска в изображении Р (1) образцов 2-го и дальнейших планов, что, конечно, увеличивает оценку сложности (10). Отметим, что при поиске изоморфных вложений совокупность £ частичных инъективных отображений оказывается построенной полностью.
Пусть £ = , где £= ,...,\} - состоит из всех изоморфных вложений, а
£2 = ДД ,...Д} - состоит из частичных инъективных вложений, совокупность £ определена формулой (9).
Без ограничения общности можно считать, что уже построено изоморфное вложение X : Р ^ У и образы композиций частичных инъективных вложений ДД,...Д} и изоморфного вложения х дополнены до полных копий множества дуг А1,А,...,Ат соответствующих образцов ,£2,...,Зт. Предположим, что частичное инъективное вложение Д : ^Р и множество дуг АЛ = Д, а2,.., ар} - образ композиции отображений Д их. Пусть далее А = Ал иА2, где Ак = Д,Ь2,...,Ье} дуги, не имеющие прообразов из-за частичности отображения Д .
Таким образом, сложность поиска образцов 2-го плана зависит от:
а) построения совокупности дуг Ау. = Д,Ь2,...,Ье};
б) проверки нахождения дуг из внутри образов отображений £ = ,...,\}.
Теорема 4. Сложность поиска образцов второго плана имеет верхнюю границу сложности, не превышающую 0(п + п• т), где - константа, соответствующая сложности проверки нахождения дуг из Ау. = Д,Ь2,...,Ье} внутри образов найденных образцов (построенных
изоморфными вложениями) Е = {Л,Л,...,Л), где п - верхняя граница на количество дуг и связей дуг у изображения и образцов; т - количество образцов 5,52,...,.
Доказательство. Сложность построения совокупности дуг А = {Ь,Ь,...,К) пункта а), очевидно, не превышает п.
Общее количество дуг из объединения совокупностей А = ,Ь2,...,Ь) пункта б), очевидно, не превышает п* т.
Если ¥ - константа, соответствующая сложности проверки нахождения дуг из А = {б!,Ь,. .,Ь) внутри образов найденных образцов, то O(n + ¥• п• т) - верхняя граница
сложности для пункта б), и теорема доказана.
Замечание 3. Оценки теоремы 4 принципиально хуже других оценок работ [1-3], так как здесь появляется мультипликативная зависимость от количества образцов т (в оценках работ [1-3] количество образцов т увеличивало оценку сложности только аддитивно). В качестве позитивного момента отметим, что количество образцов т увеличивает сложность только линейно, что позволяет надеяться на эффективную реализацию при решении практически значимых задач большой размерности.
Результаты теоремы 4 позволяют получить в целом оценку сложности поиска в анализируемом изображении образцов первого, второго и произвольного /-го планов, если учитывать, что при переходе к произвольному /+1-му плану объединение совокупностей А = {Ь , Ь ,.., Ь ) только уменьшается, то это дает возможность для доказательства следующей теоремы.
Теорема 5. Сложность поиска образцов первого, второго и любых других планов имеет верхнюю границу сложности не превышающую
0((п + п) • п + т + п + (¥• п • т) • п), (11)
где ¥ - константа, соответствующая сложности проверки нахождения дуг из внутри образов найденных образцов (построенных изоморфными вложениями Е = {Л,Л,...,Л), где п - верхняя граница на количество дуг и связей дуг у изображения и образцов; т - количество образцов 3,^).
Доказательство. Первая часть оценки O((n + п) • п + т) соответствует поиску образцов первого плана (теорема 1).
Вторая часть оценки О(п) соответствует оценке сложности построения совокупностей дуг А = {Ь,Ь,. .,К) (теорема 4), как отмечалось уже выше, этих совокупностей достаточно
для поиска объектов произвольного /+1-го плана.
Третья часть оценки 0((¥-п• т)• п) соответствует итерациям проверок нахождения
дуг из совокупностей Ак = {К1,К2,...,Ь) внутри образов отображений Е = ...
(теорема 4), где добавляются за счет найденных образцов дальнейших /-х планов.
Отметим, что итераций не может быть больше п. Теорема доказана.
Замечание 4. Оценки основной теоремы 5 не хуже оценок теоремы 4, что показывает отсутствие усложнения поиска образцов дальнейших /-х планов после второго плана, что, вообще говоря, естественно, так как принципиальным является переход к рассмотрению частичных вложений образцов, которые все генерируются после построения изоморфных вложений образцов первого плана.
Заключение
1. Результаты данной работы существенно развивают и уточняют подход, описанный в работах [1-3], предлагают методы, способные решать задачи анализа изображений в реальных условиях, когда изображение может иметь какие-то искажения. Причем, не надо думать, что эти искажения могут быть только от наложения искомых образцов друг на друга. Предложенные технические решения могут быть адаптированы для гораздо более сложных случаев, например, при аппаратных сбоях или искажениях при передаче видеорядов по линиям связи и пр.
2. Существенным пробелом в рассмотренных технических решениях является отсутствие разбора случая наложения на часть дуги, что будет предметом дальнейших исследований.
3. Геометрическая интерпретация универсума также должна получить необходимые технические решения.
4. В замечании 3 указывается, что в отличие от результатов работ [1-3] в теореме 4 (и в теореме 5, формула (11)) количество образцов m ухудшает оценку сложности мультипликативно относительно общего ограничения n на количество дуг и связей дуг. Кроме соображений, что это ухудшение только линейное, следует учитывать возможность применения методов оптимизаций переборов, предлагаемых в работах [6, 7], которые при специальной настройке на прикладные задачи способны эффективно решать и NP-трудные задачи [8, 9] (например, сетевого планирования).
Библиографический список
1. Мартьянов В.И., Каташевцев М.Д. Комбинаторные задачи высокой сложности и анализ плоских контурных изображений // Известия Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2013. № 4. С. 31-47.
2. Каташевцев М.Д. Анализ плоских контурных изображений с метрикой // Известия Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2014. № 9. С. 39-48.
3. Мартьянов В.И., Каташевцев М.Д. Масштабные ряды плоских контурных изображений и их применение // Вестник ИрГТУ. 2016. № 5 (82). С. 73-80.
4. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.
5. Кокорин А.И., Пинус А.Г. Вопросы разрешимости расширенных теорий // Успехи математических наук. 1978. Т. 33. Вып. 2. С. 49-84.
6. Мартьянов В.И., Архипов В.В., Каташевцев М.Д., Пахомов Д.В. Обзор приложений логико-эвристических методов решения комбинаторных задач высокой сложности // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 4 (28). С. 61-67.
7. Hentenrick van P. Constraint Satisfaction in Logic Programming // The MIT Press. Cambrige, 1989. 365 p.
8. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта: пер. с фр. / под ред. Д.А. Поспелова. М.: Мир, 1991. 568 с.
9. Гери М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи / пер. с англ. А. Фридмана. М.: Мир, 1982. 419 с.
References
1. Mart'yanov V.I., Katashevtsev M.D. Kombinatomye zadachi vysokoi slozhnosti i analiz ploskikh konturnykh izobrazhe-nii [Combinatorial problems of high complexity and analysis of sketch images]. Izvestiya Irkut. gos. un-ta. Ser. Matemat-ika [Proceedings of Irkutsk state university. Mathematics Series]. 2013, no. 4, pp. 31-47. (In Russian)
2. Katashevtsev M.D. Analiz ploskikh konturnykh izobrazhenii s metrikoi [Analysis of 2D sketch images with metrics]. Izvestiya Irkut. gos. un-ta. Ser. Matematika [Proceedings of Irkutsk state university. Mathematics Series]. 2014, no. 9, pp. 39-48. (In Russian)
3. Mart'yanov V.I., Katashevtsev M.D. Masshtabnye ryady ploskikh konturnykh izobrazhenii i ikh primenenie [Scaling series of sketch images and their applications]. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, no. 5 (82), pp. 73-80. (In Russian)
4. Mal'tsev A.I. Algebraicheskie sistemy [Algebraic Systems]. Moscow, Nauka Publ., 1970, 392 p. (In Russian)
5. Kokorin A.I., Pinus A.G. Voprosy razreshimostirasshirennykh teorii [Problems of extended theory solvability]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Russian Mathematical Surveys]. 1978, vol. 33, no. 2, pp. 49-84. (In Russian)
6. Mart'yanov V.I., Arkhipov V.V., Katashevtsev M.D., Pakhomov D.V. Obzor prilozhenii logiko-evristicheskikh metodov resheniya kombinatornykh zadach vysokoi slozhnosti [Logic-heuristic methods for solving combinatorial problems of high complexity application preview]. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. Sys-
tem analysis. Modeling]. 2010, no. 4 (28), pp. 61-67. (In Russian)
7. Hentenrick van P. Constraint Satisfaction in Logic Programming .The MIT Press. Cambrige, 1989, 365 p.
8. Lor'er Zh.-L. Sistemy iskusstvennogo intellekta: per. s fr. [Artificial Intelligence Systems]. Moscow, Mir Publ., 1991, 568 p.
9. Garey M., Johnson D. Vychislitel'nye mashiny i trudnoreshaemye zadachi: per s angl. [Computers and intractability]. Moscow, Mir Publ., 1982, 419 p.
Критерии авторства
Мартьянов В.И., Каташевцев М.Д. рассмотрели вопросы анализа плоских контурных изображений, представляющих объекты с наложениями, провели обобщение и написали рукопись. Мартьянов В.И., Каташевцев М.Д. имеют равные авторские права и несут одинаковую ответственность за плагиат.
Authorship criteria
Martianov V.I., Katashevtsev M.D. have considered the analysis problems of flat sketch images representing overlay objects, summarized the material and wrote the manuscript. Martianov V.I., Katashevtsev M.D. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
Статья поступила 10.10.2016 г. The article was received 10 November 2016
