Анализ оптимальных решений экономических задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

числа мест в очереди т > 10 оценки вероятности отказа сходятся, что дает полную уверенность в их достоверности.

Применяя предложенный в настоящей статье подход и доказанные расчетные соотношения, возможно получение адекватных оценок параметров СМО. Эти оценки по сравнению с классической теорией диктуют более жесткие требования к разрабатываемой системе, что весьма актуально с точки зрения минимизации потерь, сопряженных с отказом в обслуживании заявки. Кроме того, модели с незамкнутыми входами и выходами позволяют легко наращивать анализируемую структуру Отдельными элементами этой структуры могут являться накопители в виде очередей, параметры которых легко оцениваются исключительно на основе интенсивностей входящих и исходящих из накопителя потоков, без привязки к виду и архитектуре конкретного потребителя. На этой основе могут быть построены модели многофазных СМО и даже сетей массового обслуживания с множеством подсетей, организованных самым различным образом.

Список литературы:

1. Абрамов П.Б., Чурсин М.А. Анализ существования и устойчивости решения для марковских моделей разомкнутых систем массового обслуживания // Вестник ВГУ Серия: Системный анализ и информационные технологии. - 2012. - № 1. - С. 56-61.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. - М.: Высшая школа, 2000. - 383 с.

АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

© Бунтова Е.В.*, Низовцев А.В.*

Самарский государственный экономический университет, г. Самара

Современная экономика использует специальные методы оптимизации. Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. Целью работы было выявление экономических свойств оценок оптимального плана при решении двойственной задачи линейного программирования. Рассмотрены экономические свойства оценок оптимального плана при решении производственной задачи.

Современная экономика использует специальные методы оптимизации. Линейное программирование применимо для построения математических мо-

* Доцент кафедры «Высшая математика и МММ».

* Студент факультета ИТЭ и МЭО.

делей процессов, в основу которых положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и так далее. Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования относят [1, с. 69]:

- рациональное использование сырья и материалов;

- оптимизация производственной программы предприятий;

- оптимального размещения и концентрации производства;

- составление оптимального плана перевозок и работы транспорта;

- управления производственными запасами;

- другие задачи сферы оптимального планирования.

В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решения.

Таким образом, актуальность темы исследования очевидна.

Целью работы было выявление экономических свойств оценок оптимального плана при решении двойственной задачи линейного программирования.

В соответствии с целью работы были поставлены задачи:

- выявить особенности решения двойственных задач линейного программирования;

- выделить сущность экономического содержания первой и второй теоремы двойственности;

- рассмотреть экономические свойства оценок оптимального плана на конкретном примере.

Теория двойственности является специальным разделом линейного программирования. Линейное программирование - это раздел математики о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на переменные которой наложены линейные ограничения. Любую задачу линейного программирования можно записать следующим образом:

__п

/(Х)=Е сл ^ тах

м

п _

Еа ,х, < Ь,.; I = 1, т

3=1

х, > 0; )= 1~П

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая линейная задача, которую называют двойственной, первоначальную задачу называют исходной или прямой [2, с. 380]. Связь исходной и двойственной задач в том, что решение одной из них может быть получено из решения другой.

Математический аппарат линейного программирования позволяет получать с помощью вычислительных процедур оптимальный план и делать экономические по содержанию выводы, основанные на свойствах задачи, двойственной к исходной задачи линейного программирования.

Модель двойственной задачи имеет вид [4, с. 67]:

_ m

g(Y)=Z Ь'У' ^ min

i=i

m _

Z аиУ< ^ cj; j=1 n

i=i

У, ^ 0; i = 1, m

Переменные двойственной задачи yt являются объективно обусловленными оценками.

Каждая задача двойственной пары является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо одна от другой. Следует отметить, что при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач находится решение другой задачи.

Основной смысл первой теоремы двойственности заключается в том, что для взаимно двойственных задач линейного программирования имеет место один из взаимоисключающих факторов.

Взаимоисключающие случаи следующие:

- в прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, и значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают:

max f (X) = min g(Y)

- в прямой задаче допустимое множество не пусто, целевая функция на этом множестве не ограничена сверху; у двойственной задачи будет пустое допустимое множество;

- в двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу; у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым;

- обе из рассматриваемых задач имеют пустые допустимые множества.

Теорему о дополняющей нежесткости или вторую теорему двойственности формулируют следующим образом:

Пусть X = (хь x2, ..., xn) - допустимое решение прямой задачи, а Y = (уь y2, ..., ym) - допустимое решение двойственной задачи, для того, чтобы они были оптимальными решениями соответствующих взаимодвойственных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения [4, c.70]:

( п А _

У! Е аихз -Ьi = !=1,т

\3=1

X ЛУ! - сз 1 = °; з=1п

Данные условия позволяют, зная оптимальное решение одной из взаимно двойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи.

Теорема об оценках [4, с. 70]: Значения переменных у, в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов Ь, системы ограничений - неравенств прямой задачи на величину:

Рассмотрим экономический смысл теорем двойственности при решении задачи на оптимальное использование ресурсов.

Ответим на вопрос: «В чем заключается экономический смысл первой теоремы двойственности?»

План производства X и набор оценок ресурсов У оказываются оптимальными тогда и только тогда, когда прибыль от реализации продукции, определенная при известных заранее ценах продукции сь с2, ..., сп, равна затратам на ресурсы по определяемым только из решения задачи ценам ресурсов уь у2, ..., ут. Для всех других планов X и У обеих задач прибыль от продукции

всегда меньше или равна стоимости затраченных ресурсов: X) < g( У), т.е. ценность всей выпущенной продукции не превосходит суммарной оценки

имеющихся ресурсов. Величина g( У) - ^ X) характеризует производственные потери в зависимости от рассматриваемой производственной программы и выбранных оценок ресурсов.

Из первой теоремы двойственности следует, что при оптимальной производственной программе и оптимальном векторе оценок ресурсов производственные потери равны нулю. Иначе говоря, предприятию безразлично, производить ли продукцию по оптимальному плану X и получить максимальную прибыль, либо продать ресурсы по оптимальным ценам У и возместить от продажи равные ей минимальные затраты на ресурсы.

Выясним, на какой экономический смысл указывает вторая теорема двойственности при решении задачи на оптимальное использование ресурсов. Вторая теорема двойственности накладывает требования на оптимальную производственную программу X = (хь х2, ..., хп) и оптимальный вектор

оценок У = (уь у2, ..., ут). Первое и второе условия можно сформулировать так: если оценка yi единицы ресурса 1-го вида положительна, то при оптимальной производственной программе этот ресурс используется полностью;

А/ (X) = АЬу

если ресурс используется не полностью, то его оценка равна нулю. Третье и четвертое условия указывают на то, что если ]-й вид продукции вошел в оптимальный план, то он в оптимальных оценках не убыточен; если ]-й вид продукции убыточен, то он не войдет в план и не будет выпускаться.

Анализ модели на чувствительность необходимо проводить в том случае, когда некоторые характеристики системы, которую исследуют, не поддаются точной оценке. Решение двойственной задачи линейного программирования не ограничивается только нахождением оптимального решения. Необходимо обеспечить получение дополнительной информации о возможных изменениях решения при изменении параметров системы.

Экономико-математический анализ решений осуществляется в двух основных направлениях [4, с. 74]:

1. вариативные расчеты по моделям с сопоставлением различных вариантов плана;

2. анализ каждого из полученных решений с помощью двойственных оценок.

Вариативные расчеты осуществляют либо при изменении численной величины конкретных показателей модели, либо при изменении критерия оптимизации, добавлении новых ограничений на ресурсы или на способы производства их использования.

Рассмотрено применение теории и теорем двойственности к решению задач о планировании выпуска продукции.

Пусть некоторая фабрика выпускает три вида тканей. Суточное плановое задание составляет не менее 90 м тканей первого вида, 70 м - второго вида и 60 м - третьего вида. Суточные ресурсы следующие: 780 единиц производственного оборудования, 850 единиц сырья и 790 единиц электроэнергии, расход которых на один метр ткани представлен в табл. 1.

Таблица 1

Ресурсы Ткани

1 2 5

Оборудование 2 3 4

Сырье 1 4 5

Электроэнергия 3 4 2

Цена за 1 метр ткани первого вида равна 80 денежным единицам, за 1 метр второго вида ткани - 70 денежным единицам, за 1 метр ткани третьего вида - 60 денежным единицам.

Необходимо определить, сколько каждого вида следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной.

Была составлена модель производственной задачи. Введены обозначения: х1 - количество метров ткани первого вида; х2 - количество метров ткани второго вида; х3 - количество метров ткани третьего вида.

Учитывая данные задачи, модель примет вид:

f (X) = 80x + 70x2 + 60x3 ^ max

Ограничения по ресурсам:

2x + 3x + 4x ^ 780 X + 4x2 + 5x3 ^ 850 3x + 4x + 2X ^ 790

Плановое задание:

X > 90 X > 70 X > 60

В результате решения задачи симплексным методом был получен оптимальный план:

Xj = 112,5 м - оптимальный план выпуска ткани первого вида; x2 = 70 м - оптимальный план выпуска ткани второго вида; x3 = 86,25 м - оптимальный план выпуска ткани третьего вида; f X) = 19075 денежных единиц.

Решение двойственной задачи было получено на основе теоремы двойственности. Введены обозначения:

y1 - двойственная оценка ресурса «оборудование»; y2 - двойственная оценка ресурса «сырье»; y3 - двойственная оценка ресурса «электроэнергия»; y4 - двойственная оценка ткани первого вида; y5 - двойственная оценка ткани второго вида; y6 - двойственная оценка ткани третьего вида. Модель двойственной задачи:

g(Y) = 780^ + 850y2 + 790>3 + 90y4 + 70y5 + 60y6 ^ min

2y + У2 + ЗУ3 + y4 > 80

3y + 4У2 + 4Уз + y5 > 70 4У1 + 5У2 + 2У3 + Уб > 60 У1,2,3 > 0 У4,5,6 ^ 0

Условия для задания по выпуску продукции:

1. если ху > Т, то ут+- = 0;

2. если утЛ1 < 0, то х> Т.

В рассматриваемой производственной задаче количество типов ресурсов т = 3, оптимальный план: XI = 112,5; х2 = 70; х3 = 86,25.

Подставив эти данные в ограничения задачи, получим:

2-112,5 + 3-70 + 4-86,25 = 780 112,5 + 4-70 + 5-86,25=823,75 < 850

3-112,5 + 4-70 + 2-86,25 = 790

112,5 > 90 70 =70

86,25 > 60

Таким образом, суточные ресурсы по оборудованию и электроэнергии использованы полностью. Сырье используется не полностью, имеется остаток в размере 850 - 823,75 = 26,25. План выпуска по тканям первого и третьего вида перевыполнен.

Из второй теоремы двойственности вытекает, что у2, у4, у6 равны нулю. Остается найти значения уь у3, у5 на том основании, что Х1,2,3 > 0, то все три ограничения двойственной задачи выполняются как равенства:

' 2У1 + У 2 + ^Уз + У4 = 80 < 3у + 4у2 + 4Уз + у5 = 70 4 У1 + 5 У2 + 2 Уз + Уб = 60

Учитывая, что у2 = у4 = у6 = 0, получили:

2 У1 + 3 Уз = 80 < 3У1 + 4Уз + У5 = 70 4 У1 + 2 Уз = 60

' У1 = 2,5

< Уз = 25

. У 5 =-з7,5

Чтобы проверить выполнение условия А X) = g( У) для оптимального плана, следует подставить значения неизвестных в целевую функцию:

g( У) = 780-2,5 + 850-0 + 790-25 + 90-0 - 70-37,5 + 60-0 = 19075

Вывод: Условие первой теоремы двойственности выполнено, следовательно, рассмотренный план выпуска тканей и соответствующая ему система оценок ресурсов и продукции оптимальны.

На данном этапе было проведено экономическое истолкование оценок, их общих экономико-математических свойств.

Нулевую оценку получает не использованный полностью в оптимальном плане ресурс. Нулевая оценка ресурса указывает на его недифицитность, в данном случае из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане. Данный ресурс не препятствует дальнейшему максимизированию

целевой функции ](X). Целевую функцию ограничивают дефицитные ресурсы, в рассмотренной задаче - это оборудование и электроэнергия.

Оценка продукции. Нулевую оценку у4 = 0, у6 = 0 получает продукция, задания, по выпуску которой в оптимальном плане перевыполняются. Перевыполнение плана целесообразно по выгодной продукции - ткани видов первого и третьего. Речь идет о продукции, производство которой способствует достижению максимума критерия оптимальности. Размеры производства такой выгодной продукции определяются не величиной задания на выпуск Т, а ограниченностью дефицитных ресурсов. Выпуск выгодной продукции лимитируется как фактом ограниченности дефицитных ресурсов, так и тем, что часть дефицитных ресурсов требуется выделить на обеспечение выпуска невыгодной продукции в соответствии с плановыми заданиями. Отрицательную оценку получает продукция у5 = -37,5, задания по выпуску которой не перевыполняются. Плановые задания должны быть обязательно выполнены, то продукция делится на выгодную (первого и третьего вида) и невыгодную (второй вид ткани).

Ограничения по второму виду ткани 3у1 + 4у2 + 4у3 + у5 > 70.

Если подставить полученные значения двойственных оценок в данное неравенство, то получится, что стоимость ресурсов, затраченных на один метр ткани второго вида, составляет 107,5 денежных единиц, что на 37,5 денежных единиц больше цены одного метра ткани этого вида.

Второй вид ткани убыточен для фабрики, так как на каждом выпущенном метре ткани этого вида фабрика теряет 37,5 денежных единиц.

Вывод: Влияние ограничений по выпуску продукции на критерий оптимальности противоположно влиянию ограничений по ресурсам. Уменьшение плановых заданий по невыгодной продукции позволяет снизить ее выпуск и перенаправить сэкономленные ресурсы на дополнительный сверхплановый выпуск выгодных видов продукции, что увеличивает значение целевой функции.

Рассмотренные экономические свойства оценок оптимального плана выпуска продукции позволили сделать следующий вывод: оценка ресурса показывает, на сколько изменится критерий оптимальности при изменении количества данного ресурса на единицу; влияние ограничений по выпуску продукции на критерий оптимальности противоположно влиянию ограничений по ресурсам; изменение плановых заданий по выгодной продукции не изменяет значения целевой функции.

Список литературы:

1. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании: учебное пособие для экономистов. - М.: Экономика, 1987. - 240 с.

2. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учебник. - 4-е изд., испр. - М.: Дело, 2003. -688 с.

3. Макаров С.И. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие. - М.: КНОРУС, 2007. - 232 с.

4. Федосеев В.В. Экономию -математические методы и прикладные модели: учебное пособие. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 391 с.