Анализ напряженного состояния упругой полуплоскости, нагруженной постоянным давлением на ограниченных промежуточных участках с заданным периодом, методом конечных элементов на базе программного комплекса MSC. Marc Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, _______________________СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ______________________________________

УДК 51-71:53 Д.А. ЕЛОВЕНКО

ББК 22.311 аспирант Байкальского государственного университета

экономики и права, г. Иркутск e-mail: bear-paw3@yandex.ru

О.В. РЕПЕЦКИЙ

проректор по международной деятельности Байкальского государственного университета экономики и права, доктор технических наук, профессор, г. Иркутск

e-mail: repetskiy@isea.ru

АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ, НАГРУЖЕННОЙ ПОСТОЯННЫМ ДАВЛЕНИЕМ НА ОГРАНИЧЕННЫХ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ УЧАСТКАХ С ЗАДАННЫМ ПЕРИОДОМ, МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА БАЗЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА MSC.MARC

Исследовано напряженное состояние упругой полуплоскости, нагруженной постоянным давлением на ограниченных промежуточных участках, методом конечных элементов. Достоверность полученных результатов подтверждена сравнением с результатами, полученными аналитическим методом. Сделан вывод об эффективности метода конечных элементов.

Ключевые слова: полуплоскость, напряжения, период, постоянное давление, метод конечных элементов, численный анализ.

D.A. ELOVENKO

post-graduate student, Baikal State University of Economics and Law, Irkutsk e-mail: bear-paw3@yandex.ru

O.V. REPETSKIY

Vice Rector for International Relations, Doctor of Science in Engineering, Professor,

Baikal State University of Economics and Law, Irkutsk

e-mail: repetskiy@isea.ru

ANALYSIS OF STRESS STATE OF ELASTIC HALF-PLANE LOADED WITH CONSTANT PRESSURE AT LIMITED INTERMEDIATE SECTIONS WITH SPECIFIED PERIOD BY FINITE ELEMENT METHOD BASED

ON MSC.MARC SOFTWARE

The authors have studied stress state of an elastic half-plane loaded with constant pressure at limited intermediate sections using finite element method. The reliability of the results is proved by comparing them with the results of analytical method. It is concluded that finite element method is efficient.

Keywords: half-plane, stress, period, constant pressure, finite element method, numerical analysis.

Многие актуальные научно-технические нентов сосудов высокого давления, не име-

проблемы химического машиностроения, ют точных или приближенных аналитических

связанные с конструированием и оценкой решений. Зачастую это приводит к трудно-

прочности некоторых сопряженных компо- стям оптимизации параметров различных

© ДА. Еловенко, О.В. Репецкий, 2011

компонентов конструкции и осложняет определение предельных нагрузок и других технологических характеристик.

ОдноИ из таких проблем является корректная оценка влияния дистанционных планок нагревательных элементов на напряженное состояние несущих стенок в новых конструкциях автоклавов высокого давления, подобных описанноИ в [2]. В таких конструкциях имеет место процесс периодического контактного давления дистанционных планок прямоугольного профиля на несущую стенку. Аналитическая оценка прочностных характеристик такого взаимодеИствия сопрягаемых упругих элементов конструкции не представляется возможноИ. Однако же давление, оказываемое дистанционноИ планкоИ на несущую стенку сосуда, может быть приближенно заменено постоянным давлением на поверхности контакта. Решение такоИ задачи в прямоугольноИ системе координат для упругоИ однородноИ полуплоскости описано в [1]. Решая эту задачу методом конечных элементов, можно установить достоверность полученных результатов путем их сравнения с аналитическим решением и определить методику корректного моделирования и анализа более сложных систем, функционирующих по аналогичному принципу.

ЗадачеИ же настоящеИ работы является:

— выбор схемы численного решения типовоИ задачи, описанноИ в [1] , на базе программного комплекса MSC.Marc Ме^а1 путем сравнения результатов расчета с известным аналитическим решением;

— численное решение задачи с перио-дическоИ формоИ нагружения постоянным давлением упругоИ полуплоскости и анализ зависимости напряженного состояния от величины периода (расстояния) между границами участков, нагружаемых давлением.

При выборе схемы численного решения ограничимся следующим частным случаем. Полуплоскость представляет собоИ упругое тело у < 0 со стандартными структурными своИствами модуля упругости и коэффициента Пуассона, например стали — соответственно Е = 200 000 МПа и ^ = 0,3. Полоса нагружения постоянным давлением Р имеет размер 2а = 0,03 м (рис. 1). За пределами зоны нагружения —а > х > а полуплоскость не нагружена.

Рис. 1. Схема определения напряженного состояния в упругой полуплоскости, возникшего в результате действия постоянного давления на полосе —а < х < а

Аналитическое решение для определения напряжениИ, возникающих в полуплоскости в результате деИствия постоянного давления на участке 2а, описанное в [1] для схемы, пока-занноИ на рис. 1, может быть представлено в следующем виде:

Выразив в этом уравнении углы в1 и в2 через координаты точки Z, получим выражение для определения напряжения р(х) в произвольноИ точке полуплоскости при условии —а < х < а:

- т

1

. / '

'

V 7 У

Решив эту задачу методом конечных элементов с применением программного комплекса MSC.Marc Mentat 2010, получим поле распределения напряжениИ р(х) в узлах конечных элементов полуплоскости. Модель для структурного анализа сформирована плоско напряженными конечными элементами второго порядка с номером 53. Подробное описание используемых конечных элементов приведено в [3].

Сравнивая графики, построенные с помощью аналитических и численных решениИ (рис. 2), можно сделать вывод о том, что применение численного анализа методом конечных элементов (МКЭ), реализованного в программном комплексе MSC.Marc Mentat

1

Известия ИГЭА. 2011. № 5 (79)

2010, для решения данного спектра задач полностью оправданно, а его результаты являются достоверными с высокоИ степенью точности. Напряженное состояние полуплоскости является симметричным относительно оси у, и графики напряжениИ могут быть приведены только для х > 0.

Рассмотрим теперь случаИ периодического нагружения полуплоскости, например на

двух промежутках, каждыИ из которых воспринимает одинаковое давление по величине и направлению и имеет длину 2а. Величина периода Ь будет задана как нормирующиИ параметр, оказывающиИ ключевое влияние на скорость наступления равномерного напряженного состояния в полуплоскости по направлению оси у. Схема описанноИ задачи показана на рис. 3.

у/а = 0,2

у/а = 0,4

0

С

2

^ -5

-15

0,5

х/а

1,5/

х/а

Аналитическое решение ...

Рис. 2. Графики напряжений р(х), возникающих в полуплоскости в результате действия постоянного давления 50 МПа на участке 2а

Метод конечных элементов

Известия ИГЭА. 2011. № 5 (79)

Рис. 3. Схема периодического нагружения постоянным давлением упругой полуплоскости

ДанныИ случаИ периодического нагружения пока не имеет аналитического решения и может быть решен только численным методом. Решив эту задачу методом конечных элементов с применением программного комплекса MSC.Marc Mentat 2010, получим графики распределения напряжениИ р(х) по оси у, представленные на рис. 4. Так как напряженное состояние, возникающее в упругоИ полуплоскости, является симметричным относительно оси у, справедливо показывать графики напряжениИ только для х > 0.

Заметим, что количество нагруженных участков в описанной выше задаче может меняться, как и свойства деформируемого упругого тела, которое представлено полуплоскостью. Неизменными остаются вектор нагрузки, приложенный к упругому телу, и расстояние между краями нагруженных участков b. Величина этого расстояния оказывает основное влияние на неравномерность напряженного состояния, возникающего в полуплоскости по оси у, на протяжении некоторого расстояния от поверхности приложения нагрузки, где у = 0.

Зависимость этого параметра от величины периода между штампами b, иначе говоря их отношение, является важной физической характеристикой процессов конструирования и оценки прочности узлов машин и аппаратов, которые имеют подобные схемы нагружения. Это связано с возможностью определения расстояния у, на котором напряжения p(x) станут равномерными на всем расстоянии между центрами смежных нагруженных участков 2a + b (рис. 3). Для этого запишем формулу определения относительной неравномерности p(x) при y / b = const:

■

.

,

■

X, мм

...у/Ь = 0,125

---у/Ь = 0,5

- -у/Ь = 1 -—у/Ь =1,5 —•У/Ь=2

" У/Ь = 2,5 ~*~У/Ь = 3 +У/Ь = 3,5 ~*~У/Ь = 4

— у/Ь = 4,5 —*~У/Ь = 5

Рис. 4. Графики распределения напряжений р(х) в полуплоскости по оси у

ИзвестияИГЭА 2011. № 5 (79)

В этой формуле Арср — абсолютная неравномерность среднего значения напряжений p(x) при y / b = const, определяемая по формуле:

i=1

ср

ср

а среднее значение напряжений p(x) на расстоянии 2a + b при y / b = const имеет вид

Р,

■

і

ср

По результатам проведенных исследовательских расчетов выведена графическая зависимость, представленная на рис. 5.

Рис. 5. График относительной неравномерности распределения напряжений р(х) в упругом теле (полуплоскости) в зависимости от расстояния между участками, нагруженными постоянным давлением

График на рис. 5 является безразмерным и универсален при определении расстояния у, на котором напряженное состояние в полуплоскости становится равномерным с требуемой точностью в процентах в зависимости от величины периода между краями участков, нагруженных постоянным давлением. Эта степень получения равномерности распределения напряжений р(х) имеет важное научно-практическое значение и позволяет облегчить выбор конструктивных параметров компонентов сосудов высокого давления новой конструкции со встроенными в несущую стенку нагревательными элементами.

Таким образом, сравнительный анализ результатов решения задачи Митчела [1] аналитическим методом и МКЭ подтверждает высокую степень точности результатов, получаемых методом конечных элементов.

С помощью МКЭ получена зависимость расстояния между нагружаемой поверхностью и координатой у, где напряженное состояние в полуплоскости становится равномерным, от величины периода между краями нагружаемых постоянным давлением участков полуплоскости с требуемой точностью. Эта зависимость может быть полезна при выборе оптимальной толщины стенки цилиндра, расположенного за нагревательными элементами в конструкциях автоклавов высокого давления, подобных описанной в [2], на стадии разработки и проектирования. Это будет справедливо для случая, когда действие дистанционных планок нагревателей может быть заменено аналогичным действием постоянного давления на тех же участках с необходимой степенью точности.

'

'

Список использованной литературы

1. Дженсон К. Механика контактного взаимодействия: пер. с англ. М., 1989.

2. Еловенко Д.А., Пимштейн П.Г., Репецкий О.В., Татаринов Д.В. Экспериментальное исследование модели автоклава для гидротермального синтеза минералов // Вестник Байкальского союза стипендиатов DAAD. 2010. № 1 (7). С. 11-19.

3. MSC.Marc 2010. Vol. B: Element library / MSC.Software Corporation. Santa Ana, 2010.

4. MSC.Marc 2010. Vol. A: Theory and user information / MSC.Software Corporation. Santa Ana, 2010.

Referenses

1. Dzhenson K. Mekhanika kontaktnogo vzaimodeistviya: per. s angl. M., 1989.

2. Elovenko D.A., Pimshtein P.G., Repetskii O.V., Tatarinov D.V. Eksperimental'noe issledovanie modeli avtoklava dlya gidrotermal'nogo sinteza mineralov // Vestnik Baikal'skogo soyuza stipendiatov DAAD. 2010. № 1 (7). S. 11-19.

3. MSC.Marc 2010. Vol. B: Element library / MSC.Software Corporation. Santa Ana, 2010.

4. MSC.Marc 2010. Vol. A: Theory and user information / MSC.Software Corporation. Santa Ana, 2010.

Известия ИГЭА. 2011. М 5 (79)