CC BY
15УДК 539.3 DOI: 10.34759/trd-2020-114-07
Анализ напряженно-деформированного состояния многослойных композитных сферических оболочек на основе уточненной теории
1 А _ 1 А А Л
Фирсанов Вал.В.1 , Фам В.Т.1 , Чан Н.Д.2
1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия Государственный технический университет им. Ле Куи Дона, ул. Хоанг Куок Вьет, 236, Ханой, Вьетнам e-mail: k906@mai.ru e-mail: pvthien88@gmail.com
Статья поступила 18.09.2020
Аннотация
Разработан вариант уточненной теории расчета напряженно-деформированного состояния сферических оболочек из слоистых композиционных материалов. При построении математической модели оболочки применяются трехмерные уравнения теории упругости. Компоненты искомых перемещений аппроксимируются полиномами по нормальной к срединной поверхности оболочки координате на две степени выше относительно классической теории Кирхгофа -Лява. С помощью вариационного принципа Лагранжа получена система дифференциальных уравнений равновесия и соответствующие граничные условия. Решение сформулированной краевой задачи проводится последовательным применением методов конечных разностей и матричной прогонки. Проведено
сравнение результатов, полученных по предлагаемой уточненной теории, с данными, приведенными в публикациях других авторов.
Ключевые слова: сферическая оболочка, слоистый композиционный материал, вариант уточненной теории, вариационный принцип Лагранжа, метод конечных разностей, метод матричной прогонки, прогиб оболочки, поперечные нормальные напряжения.
Введение
В настоящее время благодаря многим преимуществам, таким как высокая прочность и низкая плотность, многослойные композитные оболочки широко применяются в различных областях машиностроения, в том числе авиационно-космической техники, а также в строительном деле. Например, в аэрокосмической промышленности 50 процентов деталей коммерческого самолета производятся из композиционных материалов, так как их использование для изготовления корпуса и крыльев самолетов нового поколения может снизить до 20% его общую массу относительно массы самолета, изготавливаемого из алюминиевых сплавов.
Инженерные расчеты оболочек базируются на результатах классической теории типа Кирхгофа - Лява [1,2], в основу которой была положена гипотеза о сохранении нормального элемента, позволившая привести трехмерную проблему теории упругости к двумерной. В результате поперечные нормальные напряжения растяжения (сжатия) обнуляются, а касательными напряжениями поперечных сдвиговых деформаций пренебрегают из-за их малости. Теоретические и
экспериментальные исследования показали, что при определении напряженного состояния пластин и оболочек, особенно в зонах соединений (фланцевых, сварных), локального и быстро изменяющегося нагружения, а также выполненных из неоднородных материалов, классическая теория не дает удовлетворительного соответствия с практикой.
Для композитных многослойных оболочек достоверное определение нормальных и касательных напряжений, соответствующих поперечным деформациям, представляет собой актуальную проблему. Известно [3-5,18-21], что эти напряжения по величине одного порядка с напряжениями, соответствующими классической теории. Эти дополнительные напряжения могут вызвать расслоение материала оболочки и привести к ее резрушению. По этой причине основные усилия исследователей были направлены на построение уточненной теории пластин и оболочек, свободной от гипотез Кирхгофа - Лява.
Один из возможных путей построения указанной теории состоит в
применении асимптотических методов, в том числе метода прямого
асимптотического интегрирования уравнений трехмерной теории упругости. В
рамках вариационно-асимптотического метода с помощью специально построенной
аппроксимирующей полиномиальной функции Вал. В. Фирсановым [3-5] были
сформулированы варианты приближенной теории, уточняющие результаты
классической теории не только во внутренних областях пластин и оболочек
постоянной и переменной толщины, но и в их узких краевых зонах. Установлено,
что дополнительное НДС вблизи защемленного края вносит существенный вклад в
3
общее напряженное состояние. Асимптотические методы являются основным аппаратом преобразования уравнений теории упругости в работах Гольденвейзера А.Л. [6,7], Агаловяна Л.А. [8], Wu [9,10], A.H. Sofiyev [11] и других ученых.
Другой подход построения математически обоснованной теории представляет теория сдвиговых деформаций первого порядка (FSDT) [12-14]. Эта теория основана на гипотезах Тимошенко - Рейсснера, что поперечные отрезки прямых линий после деформации остаются прямыми, но не будут нормальными к срединной поверхности. Теория FSDT требует использовать поправочные коэффициенты сдвига, от которых зависит точность результатов расчета. Ограничения классической теории и FSDT убедили исследователей разработать теорию сдвиговых деформаций высокого порядка (HSDT). На её основе Редди [15], J.L. Mantari [16], Sayyad [17] исследовали слоистые композитные пластины и оболочки. Однако их предположения не позволяют удовлетворить естественным граничным условиям на поверхностях пластин и оболочек.
Иной подход, называемый в [18,19] энергетически согласованным,
заключается в аппроксимации искомых перемещений полиномиальными функциями
по нормальной координате и определении количества слагаемых в этих
аппроксимациях по тангенциальным и поперечному направлениям. Одна из
особенностей этого подхода состоит в том, что поперечные нормальные и
касательные напряжения определяются непосредственно интегрированием
уравнений равновесия трёхмерной теории упругости. На основе этого подхода в
работах [20-21] построена уточненная теория расчета НДС цилиндрических
4
оболочек. В работе [20] в рамках уточненной теории для цилиндрической оболочки получено частотное уравнение, позволяющее определить высокие тона свободных колебаний, не описываемых классической теорией.
Следует отметить также работы [22-25], в которых рассматриваются другие методы уточненного расчета пластин и оболочек.
В данной работе в рамках подхода, представленного в [18-21], построена уточненная математическая модель НДС сферических оболочек из слоистых композиционных материалов. Основные уравнения уточненной теории оболочки получаются с помощью вариационного принципа Лагранжа и разложения искомых перемещений по нормальной к срединой поверхности оболочки координате в полиномы на две степени выше, чем в классической теории типа Кирхгофа-Лява.
Основные уравнения уточненной теории сферической оболочки Рассматривается сферическая оболочка постоянной толщины 2Н, отнесенная к ортогональной системе координат в, % (рис. 1). Основное направление армирования волокон каждого слоя, соответственно, совпадает с направлением локальной системы координат O123.
Рис.1. Композитная многослойная cферическая оболочка Здесь 0 представляет собой угол между осью оболочки и нормалью к поверхности оболочки, р - угол, определяющий положение точки на соответствующем параллельном круге, а ось f направлена по внешней нормали к срединной поверхности радиуса R. Обозначим через A, A - коэффициенты первой квадратичной формы, имеем A = R, A = R sinO, N - количество слоев.
Полагаем, что по внутренней и внешней поверхностях оболочки, а также на торцевых плоскостях действуют внешние распределенные нагрузки
qf3, q , i = 1,3, j = 1,2, соответственно.
Представим искомые упругие перемещения в виде:
3 f
Ui(0,p,%) = £ uk (0,р) f,
k!
k=0
3k
3 fk
U 2(0,p,f) = X Vk O(P) f, (1)
k!
k=0
2k
U3(0,(f) = X ^k (0( f
k!
k=0
В аппроксимациях (1) индексы 1, 2, 3 соответствуют осям 0, р, и %.
Деформации оболочки определяются как
{е} = {евв,в«,е<%,е< , где, компоненты деформаций находятся с помощью геометрических соотношений
1 1 дИх
ее
тт 1 8Н1тт
1 8и,
1 8Н„
Н 8е НН 8^ н 8£
и\ +
1 8Н
Н 8^ НН 8е 1 н 8£
и
3
8и
1 8^ 1 8и2 _ 1
^ и + ^ и 8^ 8е
1 8из Нтт
Г и 2,
££ 8^ е н 8^ Н 8е нн2
1 8и 8и 1 8Н
ее£ =--3 + —1---1 и,, е£
е£ н 8е 8£ Н 8£ к Н 8р 8£ Н 8%
и коэффициенты Ламе Н (к = 1,3) определяются формулами
Н = Аа , Н = 1, а = 1 + £, 1 = 1,2.
г г г? 3 'г Г)
Кг
Закон Гука для ^го слоя в локальной системе координат O123 имеет следующий вид:
{< } = [ С <к) ]{е&>}.
Здесь } = [сг1^),к2),Кзз),К2з),к1(з),к1^)]Т- вектор напряжений к-го слоя
оболочки, {е^ } = [ е( \), ), ), е^), е( ^), е^) ] - вектор деформаций к-го слоя, матрица жесткости к-го слоя
"С(к) ] -
С(к) ] =
сЦ1 Г(к) С12 Г(к) С13 0 0 0
Г(к) С12 Г(к) С22 Г(к) С23 0 0 0
Г(к) С13 Г(к) С23 Г(к) С33 0 0 0
0 0 0 Г(к) С44 0 0
0 0 0 0 СЙ) 0
0 0 0 0 0 г(к) с66
Е1 ) (1 ~ М23)Мз2) ) п<<к) _ Е1 ) (Л2\ + ^31)^23) ) п<<к) _ Е1 ) (^31) + Л2\ Л2 )
Ж
Г( к) с11
.(к)
к) , с12
Г( к) С11
' ^13
/ ) / ) /
(к)
^ Е2к) (1 ) _ Е?> /) _ ^ (1/)
С22 т , С23 т , С3
( )
23
( )
33
( )
/ ' л ' л
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
с44 ^23 , с55 ^13 ' с66 ^12 'л (1 л12 л21 л23 ^32 л13 /31 2/13 ^32 ^ ),
где Е() - модуль Юнга, 0\к) - модуль сдвига, //к) - коэффициенты Пуассона
материала ^го слоя.
Связь между напряжениями и деформациями ^го слоя в общей системе координат Оврс; определяется следующей формулой [15]:
«Н^ ]Т [ст ][т « >}.
Здесь [ Т(к) ] - матрица перехода, принимаемая в виде
(3)
[Т(к) ] =
сов2 р{к) вт2 р{к) 0 0 0 вт ¡^кк) сов
вт2 р(к) сов2 р(к) 0 0 0 - вт /3^ сов
0 0 1 0 0 0
0 0 0 сов р[к) - в1п р{к) 0
0 0 0 в1п р{к) сов р[к) 0
- вт2^(к) вт2^(к) 0 0 0 сов2 /3{к) -вт2 ¡3^
и {&вр} = ), стРк;),0'в!к),°'вр)}Т, - вектор напряжений ^го слоя оболочки в
общей системе координат Оврс;.
Для построения основных уравнений уточненного варианта теории сферических оболочек используется вариационный принцип Лагранжа
31 = ЦЦК^ее + + с^де^ + + +
к=1
N
+ К£5е£) А1 А2а1а2^е^£~ХЦ( Уп5и1 + ^12ди2 + ^13ди3 )А2а2^£
N (
- Е 1Г(^215и1 + ^225и2 + Ч235и3 )А1а^Ш£ - |Г{д+3 [а1а25и1 ]
к=1 1
\(£=+к)
д-3 [а1а25и1 ]{£=-Ь) + д+3 [а1а25и2 ](£=+ А) - д~-3 [а1а25и2 ]
(£=+ *)
£ *)
+
+^3+3 [а1а25и3 ](£=+ *) - ^3-3 [а1а25и3 ](£=_к)} А1 А2а1а2ЛМф = 0
Подставляя выражения (1) последовательно в (2), (3), a затем полученный результат в (4), после преобразований получим следующую систему дифференциальных уравнений теории сферических оболочек в перемещениях:
3 С Я Р)2 р)2 ^
Кги™ + Кг:™ — + Кгит-^ + КГ
Е
т=0
+Е \Кф + Кг1
п=0
3
Е
1 8е 11 8е2
8 Л
"22
8ф2
и +
у
3 8 82 Л Кг1к— + КгЦ-8—
8ф 8е8ф
Е
к=0
V
к
у
8е
т=0
Кгит— + Кги 8
? = Кг*13- Кг*13д-3, г = 1,4
23
8р
т г12
8е8у
ит +
т
Е
к=0
Кйк + Кг:к — + К1
82
'V ^ у
2
+ЕКг? = К&д+23 - Кг*-3д~а, г = 58
1 8е
11 8е2
+ Кг
8
2 \
22 8^
V +
(5)
3
8
л
т=0 - +
Е\ Кг:+Кг:т-^ит+е т +Е
к=0
8ф
п=0
8
82
КГ- + Кг?" — + Кг? + Кг
0 1 8е 11 8е2
8
2
22 8д>2
= Кг*33д;ъ- Кг*33д~ъ, г = 9,11
Здесь переменные коэффициенты Кг представляют собой функции, зависящие от геометрических параметров, упругих постоянных материала оболочки и углае. Ввиду их многочисленности и громоздкости соответствующих формул
2
п
здесь они не приводятся. В уравнении (5) , , - коэффициенты разложений
искомых перемещений в выражениях (1).
Решение сформулированной краевой задачи
Приведем систему двухмерных уравнений (5) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью тригонометрических рядов. С этой целью представим внешние нагрузки и перемещения в виде:
да
Чв (в р) = Е )13(в) сов(2 Р)'
2=0
да
Ч23 (в, Р) = Е ОЬ)23 (в) в1п(2 РХ
я=0 да
Чъ3(в,Р) = Е )33(в)сов(р
я=0
да _
И»(в,р) = Е^«(в>coв(zр>, » = 0,3,
я=0
да _
(в,р) = Е^ (в>вin(zр>, к = 0,3,
я=0
да _
(в,р) = ЕК (в>coв(zр>, п = 0,2,.
^к
(6)
п
я=0
Подставляя (6) в систему (5) и сравнивая коэффициенты тригонометрических рядов в левых и правых частях, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
ЕЕ
т=0
Кг;» - я2 КгЧ» + К
а
а
1 ав
+ К
а
2 Л
11 ав2
+я Е3+к/:
к=0
а_ ав
К +
п=0 ' 3 /
+Е| КГ,п + Кг;п— j= КгЧ13)13 -О-)В, г = 1,4
а
я Е|- Щт - К1ит — рт2+Е
т=0
3 с а а 2л
КС - я2 Ш + К11к а + К€\
ч 0 22 1 ав 11 ав2 У
=0
V
кя
- я Е КгЖ; = К/4* о; )23 - КгЧ- О(-2 )23, г = 5,8
п=0
3 ( а Л 3 2 ( а
Е| Кг;т + К/;т— Цт; + я Е К/;%; +Е| К^ - я 2КГ2п + Кг;п— +
ав У к=0 п=0 V ав
т=0
+К1
а
2
11 ав2
^ = -К1ЧъъО")33, г = 9,11, я = 0,1,2...
(я)33
(7)
Система уравнений (7) решается конечно-разностным методом. Производные 1-ого и 2-ого порядков аппроксимируются центральными разностями второго порядка точности:
аУ] _ У- +1 - у--1. а 2 у- _ У+1 - 2 у- + у--1
ав
2s
ав2
Из уравнений (7) получим следующую конечно-разностную систему:
2
2
№
п
Е
т=0
(г
к: Кг:
"11
vv
2 ^
и] -1 +
тг
Г Кгит л
2Кг11 + Кгит - г2Кгит 2 + Кг0 г К 22
V
иI +
+
3 { -гКР
Е
к=0
12 VТ1 + гЩУ^ +
2 ^
у
гКЩ 2 ^
Кг^т Кги
2s
и]++1
+
+
+Е
п=0
2 ( кг?" кг?" л
КгЖ'-1 + Кг?"Жп{ + КЖ^1
пг 0 пг пг
V 2 £ 2 £ у
К/®13 О+ - Кг^О" г = 14
Кг 0(2)13 кг 0(г)13, г 1,4,
(г )13 =
Е3
т=0
7Кгит 7Кгит
7К112 т Т]-1 _ у;итТТ] 7К112 ТТ 7+1 и тг 7к12 и тг ~ и тг
3
+Е
к=0
vV
2 £
1 +
2 £
V
-2кг
2 £
+
£ + Кг0т - г2 Кг% у
+
у
V
2£
У]1
уу
-ЕгКГЖ = Кгg2зб(+z)23 - Кг*23)23, г = 5,8.
п=0
Е
т=0
_ 1^ит ]<Пит
1 и]-1 + Кгити] + 1 и]+1
~ итг + Кг0 итг + ~ и тг
V 2 £ 2 £ у
(г)23
3
2
+Е
п=0
Кг? Кг?
2£
Ж]-1 +
г Кг? л
+ Кг?п - г2 Кг?
к=0 Ж] +
АКГИ КГГ л Кг11 ! Кг1
2£
Ж1+1
(8)
Кг*33б(+г)33 - Кг*330")33, г = 9,11, ] = 1,М -1,г = 0,1,2...
'(г)33
где £, (М+1) - соответственно шаг конечно-разностной схемы и число узлов.
Система (8) является системой линейных алгебраических уравнений. Её матрица имеет одиннадцатый порядок и решается методом матричной прогонки с помощью программы для ЭВМ.
В результате получены перемещения в узлах сетки, для аппроксимации которых используются сплайны. Деформации оболочки находится с помощью геометрических соотношений, тангенциальные напряжения определяются из соотношений закона Гука. Поперечные напряжения получаются непосредственным интегрированием уравнений равновесия трехмерной теории упругости.
Пример расчета
В качестве примера расчета рассматривается многослойная композитная оболочка, жестко защемленная на двух краях в= 10°,в2 = 900. Эта оболочка рассматривается в работах Alwar [13,14] на основе теории FSDT и в работах Wu [9] в рамках асимптотического метода.
Значения безразмерных прогибов и напряжений определяются по следующим формулам:
-_wE2(2h)3 х104 /--1 ( , - а{
w =-^-—, I ^^ I = (евв^^), ^ = , сгц - —
/Э \4 \ 00 Л <?4\ 00 ' Ч*Р г п Я л
qoR (02 -01) qoS qoS qo
s = — 0 = 9 +02 2 h' 3 2 '
В таблице 1 приведены результаты расчета безразмерного прогиба в точке 0 = 0, находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки q0 на наружной поверхности. Материал каждого слоя имеет следующие параметры: модули упругости E / E = 5, 10,15, 30, E3 = E2, G12 = G31 = G23 = 0.428E2, коэффициенты Пуассона = ¡лЪ1 = ¡л2Ъ = 0.28, относительная толщина S = 20.
В таблице 2 приведен результат расчета безразмерного прогиба в точке 0 = 0 двухслойной оболочки [90о/0], находящейся под действием асимметричной нагрузки q = q0 cos 9 на наружной поверхности. Материал каждого слоя имеет
следующие параметры: модули упругости E / E = 20, E = E, Gi = = G23 = 0.5E2, коэффициенты Пуассона = ¡лЪ1 = ¡л2Ъ = 0.28, относительной толщиной S = 30.
Таблица 1
Alwar [13] Wu [9] В данной работе
[90о/0]
5 1.1541 1.1495 1.1503
10 0.6480 0.6432 0.6411
15 0.4500 0.4454 0.4439
30 0.2443 0.2327 0.2309
[90о/0/90о/0]
5 1.1710 1.1715 1.1821
10 0.6650 0.6630 0.6618
15 0.4636 0.4621 0.4574
30 0.2429 0.2420 0.2351
[90о/0/0/90о]
5 1.1470 1.1435 1.1530
10 0.6463 0.6438 0.6456
15 0.4500 0.4479 0.4474
30 0.2354 0.2349 0.2319
Таблица 2
Alwar [14] В данной работе
0.50788 0.50788
Из анализа данных таблиц 1 и 2, можно установить, что численные результаты, полученные в данной работе при симметричной и асимметричной нагрузках, практически совпадают с результатами, представленными [9] и [13,14].
На рис. 2-5 показаны графики изменений по толщине безразмерных напряжений на краю в = в2 и в точке в = в3, изготовленной из материала AS/3501 [15], с различными относительными толщинами S. Оболочка находится под действием равномерно распределенной нагрузки на наружной поверхности.
a) на краю 6 = 6 б) в точке 6 = 6
Рис. 2. Изменение сгт по толщине
a) на краю 6 = 6 б) в точке 6 = 6
Рис. 3. Изменение а по толщине
a) на краю в = в2 б) в точке в = в3
Рис. 4. Изменение а ^ по толщине
я) на краю в = в2 б) в точке в = в3
Рис. 5. Изменение а ^ по толщине Анализируя графики на рис. 2 - 5 можно установить следующее:
- Напряжения в краевых зонах как в тонкой, так и толстой оболочек примерно
в 1,7 раза превосходят максимальные напряжения в точке в = в3;
16
- Поперечные нормальные и касательные напряжения принимаются существенное значение на краях оболочек.
Выводы
На основании полученных результатов можно установить следующее:
- Построена математическая модель уточненной теории определения НДС сферических оболочек из слоистых композиционных материалов. Основные уравнения получены с помощью вариационного принципа Лагранжа и представления перемещений полиномами по нормальной координате на две степени выше по отношению к классической теории. Сформулированная краевая задача решается последовательным применением методов конечных разностей и матричной прогонки.
- Численные результаты расчета безразмерного прогиба оболочек под действием симметричной и асимметричной нагрузок, практически совпадают с опубликованными результатами исследователей, использующих другие методы, что подтверждает достоверность предлагаемой уточненной теории.
- Исследуется влияние толщины на напряжения оболочки. Дается непрерывное распределение напряжений по толщине оболочки, это очень важны для композитных материалов. Установлено, что в краевой зоне многослойных оболочек возникают значительные по величине поперечные нормальные и касательные напряжения, для определения которых рекомендуются использовать предлагаемую уточненную теорию.
Библиографический список
1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.: Наука, 1966. - 636 с.
2. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов: учебник для авиационных специальностей вузов. - М.: Машиностроение, 1986. - 536 с.
3. Firsanov V.V. Study of stress-deformed state of rectangular plates based on nonclassical theory // Journal of machinery, manufacture and reliabitity, 2016, vol. 5, no. 6, pp. 515 -522.
4. Firsanov V.V. The Basic Stress - Strain State of a Circular Plate of Variable Thickness Based on a Nonclassical Theory // Journal of machinery, manufacture and reliabitity, 2019, vol. 48, no. 1, pp. 54 - 60. DOI: 10.3103/S1052618819010072
5. Фирсанов В.В. Напряженное состояние «пограничный слой» - краевое кручение цилиндрической оболочки // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. № 6. С. 144 - 153.
6. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластики методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. № 4. С. 668 - 686.
7. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при помощи
асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // Прикладная
математика и механика. 1963. Т. 27. № 4. С. 593 - 608.
18
8. Агаловян Л.А., Геворкян Р.С. Асимптотические решения связанных динамических задач термоупругости для тонких тел из анизотропных, в плане неоднородных материалов // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. №. 5. С. 858 - 871.
9. Chih-Ping Wu, Jyh-Yeuan Lo. Three-dimensional elasticity solutions of laminated annular spherical shells // Journal of Engineering Mechanics, 2000, vol. 126 (8), pp. 882 -885. DOI: https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(2000)126:8(882)
10. Chih-Ping Wu, Yi-Hwa Tsai. Asymptotic DQ solutions of functionally graded annular spherical shells // European Journal of Mechanics, A/Solids, 2004, vol. 23(2), pp. 283 -299. DOI: https://doi.org/10.1016/j .euromechsol .2003.11.002
11. Akhmedova N.K., Sofiyev A.H. Asymptotic analysis of three-dimensional problem of elasticity theory for radially inhomogeneous transversally-isotropic thin hollow spheres // Thin-Walled Structures, 2019, vol. 139, pp. 232 - 241. DOI: 10.1016/j.tws.2019.03.022
12. Reissner E. The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Elastic Plates // ASME Journal of Applied Mechanics, 1945, vol. 12, pp. 68 - 77.
13. Alwar R.S., Narasimhan M.C. Application of Chebyshev polynomials to the analysis of laminated axisymmetric spherical shells // Computers and Structures, 1990, vol. 15 (3), pp. 215 - 237.
14. Alwar, R.S., Narasimhan M.C. Analysis of laminated orthotropic spherical shells subjected to asymmetric loads // Computers and Structures, 1991, vol. 41 (4), pp. 611 -620.
15. Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells. Theory and analysis, (2nd ed.), New York, CRC Press, 2004, 831 p.
16. Mantari J.L., Oktem A.S., Guedes Soares C. A new higher order shear deformation theory for sandwich and composite laminated plates // Composites Part B: Engineering, 2012, vol. 43 (3), pp. 1489 - 1499. DOI: https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2011.07.017
17. Sayyad A.S., Ghugal Y.M. Static and free vibration analysis of laminated composite and sandwich spherical shells using a generalized higher-order shell theory // Computers and Structures, 2019, vol. 219, pp. 129 - 146.
18. Васильев В.В., Лурье С.А. О теории тонких пластин // Известия АН. Механика твердого тела. 1992. № 3. С. 26 - 47.
19. Васильев В.В., Лурье С.А. К проблеме уточнения теории пологих оболочек // Известия АН. Механика твердого тела. 1990. № 6. C. 139 - 146.
20. Firsanov V.V., Doan T.N. Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory // Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal, 2015, vol. 6 (2), pp. 135 - 166. DOI: 10.1615/CompMechComputApplIntJ.v6.i2.40
21. Doan T.N., Van Thom D., Thanh N.T., Van Chuong P., Tho N.C., Ta N.T., Nguyen H.N. Analysis of stress concentration phenomenon of cylinder laminated shells using higher-order shear deformation Quasi-3D theory // Composite Structures, 2020, vol. 232, DOI: https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2019.111526
22. Зверяев Е.М. Выделение уравнений типа Тимошенко из пространственных уравнений теории упругости для пластины на основе принципа сжатых отображений // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53459
23. Зверяев Е.М., Олехова Л.В. Итерационная трактовка полуобратного метода Сен-Венана при построении уравнений тонкостенных элементов конструкций из композиционного материала // Труды МАИ. 2015. № 79. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=55762
24. Коровайцева Е.А. Смешанные уравнения теории мягких оболочек // Труды МАИ. 2019. № 108. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID= 109235. DOI: 10.34759/trd-2019-108-1
25. Иванычев Д.А. Решение задач термоупругости для анизотропных тел вращения // Труды МАИ. 2019. № 106. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=105643
Strain-stress state analysis of multilayer composite spherical shells based
on the refined theory
i * _ i * * _
Firsanov Val.V.1 , Pham V.T.1 , Tran N.D.2
1Moscow Aviation Institute (National Research University), MAI, 4, Volokolamskoe shosse, Moscow, A-80, GSP-3, 125993, Russia Le Quy Don Technical University, 236, Hoang Quoc Viet, Hanoi, Vietnam
e-mail: k906@mai.ru e-mail: pvthien88@gmail.com
Abstract
Nowadays, due to such advantages as high strength and low density, multilayer composite shells are widely used in various fields of mechanical engineering, including aerospace engineering. Theoretical and experimental studies have shown that when determining the stress condition of plates and shells, especially in the areas of joints (flanged, welded), local and rapidly changing load, as well as those made of non-homogeneous materials, the classical theory is not in line with the practice.
For multilayer composite shells, reliable determination of normal and shear stresses corresponding to lateral deformations represents an urgent issue. This article presents an option of the refined theory of the strain-stress state calculation of spherical shells made of layered composite materials. When creating mathematical model of the shell, the three-dimensional equations of linear elasticity are used. Components of the required displacements are being approximated by polynomials at a coordinate normal to the middle surface of the shell by the two degrees higher than the classical Kirchhoff-Love theory. A system of differential equations of equilibrium and corresponding
boundary conditions have been obtained using the Lagrange variation principle. The formulated boundary value problem is being solved by successive application of finite difference and matrix sweep methods. The calculations were performed using a computer program.
A multilayer composite shell, rigidly pinched at two edges was considered as calculation example. The numerical results of the calculation of dimensionless shells deflection under the action of symmetric and asymmetric loads are practically identical to the published results of researchers, employing the other methods, which confirms the validity of the proposed refined theory.
The thickness impact on the stress condition of the shell is being studied. The article presents the graphs of the continuous stress distribution over the thickness of the shell are presented, which is of great importance for the composite materials. It has been established that lateral, normal and tangential stresses of significant value occurred in the edge zone of the multilayer shells. The authors recommend employing the proposed refined theory for their determining.
Keywords: spherical shell, layered composite material, variant of the refined theory, Lagrange variation principle, finite difference method, matrix sweep method, shell deflection, lateral normal stresses.
References
1. Timoshenko S.P., Voinovskii-Kriger S. Plastinki i obolochki (Plates and Shells), Moscow, Nauka, 1966, 636 p.
2. Obraztsov I.F., Bulychev L.A., Vasil'ev V.V. et al. Stroitel'naya mekhanika letatel'nykh apparatov: uchebnik dlya aviatsionnykh spetsial'nostei vuzov (Structural mechanics of flying vehicles. Test book for aviation branch of study), Moscow, Mashinostroenie, 1986, 536 p.
3. Firsanov V.V. Study of stress-deformed state of rectangular plates based on nonclassical theory, Journal of machinery, manufacture and reliabitity, 2016, vol. 5, no. 6, pp. 515 -522.
4. Firsanov V.V. The Basic Stress - Strain State of a Circular Plate of Variable Thickness Based on a Nonclassical Theory, Journal of machinery, manufacture and reliabitity, 2019, vol. 48, no. 1, pp. 54 - 60. DOI: 10.3103/S1052618819010072
5. Firsanov V.V. Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie nauki, 2017, no. 6, pp. 144 - 153.
6. Gol'denveizer A.L. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1962, vol. 26, no. 4, pp. 668 -686.
7. Gol'denveizer A.L. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1963, vol. 27, no. 4, pp. 593 -608.
8. Agalovyan L.A., Gevorkyan R.S. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2011, vol. 75, no. 5, pp. 858 - 871.
9. Chih-Ping Wu, Jyh-Yeuan Lo. Three-dimensional elasticity solutions of laminated annular spherical shells, Journal of Engineering Mechanics, 2000, vol. 126 (8), pp. 882885. DOI: https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(2000)126:8(882)
10. Chih-Ping Wu, Yi-Hwa Tsai. Asymptotic DQ solutions of functionally graded annular spherical shells, European Journal of Mechanics, A/Solids, 2004, vol. 23 (2), pp. 283 -299. DOI: https://doi.org/10.1016/j .euromechsol .2003.11.002
11. Akhmedova N.K., Sofiyev A.H. Asymptotic analysis of three-dimensional problem of elasticity theory for radially inhomogeneous transversally-isotropic thin hollow spheres, Thin-Walled Structures, 2019, vol. 139, pp. 232 - 241. DOI: 10.1016/j.tws.2019.03.022
12. Reissner E. The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Elastic Plates, ASME Journal of Applied Mechanics, 1945, vol. 12, pp. 68 - 77.
13. Alwar R.S., Narasimhan M.C. Application of Chebyshev polynomials to the analysis of laminated axisymmetric spherical shells, Computers and Structures, 1990, vol. 15 (3), pp. 215 - 237.
14. Alwar, R.S., Narasimhan M.C. Analysis of laminated orthotropic spherical shells subjected to asymmetric loads, Computers and Structures, 1991, vol. 41 (4), pp. 611 - 620.
15. Reddy J.N. Mechanics of laminated composite plates and shells. Theory and analysis, (2nd ed.), New York, CRC Press, 2004, 831 p.
16. Mantari J.L., Oktem A.S., Guedes Soares C. A new higher order shear deformation theory for sandwich and composite laminated plates, Composites Part B: Engineering, 2012, vol. 43 (3), pp. 1489 - 1499. DOI: https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2011.07.017
17. Sayyad A.S., Ghugal Y.M. Static and free vibration analysis of laminated composite and sandwich spherical shells using a generalized higher-order shell theory, Computers and Structures, 2019, vol. 219, pp. 129 - 146.
18. Vasil'ev V.V., Lur'e S.A. Izvestiya AN. Mekhanika tverdogo tela, 1992, no. 3, pp. 26 -47.
19. Vasil'ev V.V., Lur'e S.A. Izvestiya AN. Mekhanika tverdogo tela, 1990, no. 6, pp. 139 -146.
20. Firsanov V.V., Doan T.N. Investigation of the statics and free vibrations of cylindrical shells on the basis of a nonclassical theory, Composites: Mechanics, Computations, Applications: An International Journal, 2015, vol. 6(2), pp. 135 - 166. DOI: 10.1615/CompMechComputApplIntJ.v6 i2.40
21. Doan T.N., Van Thom D., Thanh N.T., Van Chuong P., Tho N.C., Ta N.T., Nguyen H.N. Analysis of stress concentration phenomenon of cylinder laminated shells using higher-order shear deformation Quasi-3D theory, Composite Structures, 2020, vol. 232, DOI: https://doi.org/10.1016/i.compstruct.2019.111526
22. Zveryaev E.M. Trudy MAI, 2014, no. 78. URL: http: //trudymai .ru/eng/publ i shed.php?ID=53459
23. Zveryaev E.M., Olekhova L.V. Trudy MAI, 2015, no. 79. URL: http: //trudymai .ru/eng/publ i shed.php?ID=55762
24. Korovaitseva E.A. Trudy MAI, 2019, no. 108. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=109235. DOI: 10.34759/trd-2019-108-1
