CC BY
86
В.И. Костылев,
доктор физико-
О.В. Полозова,
Воронежский государст венный университет
Д.В. Звягин,
Воронежский
математических наук, профессор, Воронежский
государственный у н иверситет
государственный
университет
АНАЛИЗ МОДЕЛИ ТЕНЕВОГО СИГНАЛА
ANALYSIS OF THE SHADOW SIGNAL MODEL
Представлена аналитическая модель для сигнала теневого радара в случае малоразмерной цели. Сигнал обладает кусочно-линейной частотной модуляцией в результате эффекта Доплера и постоянной амплитудой вследствие незначительной площади цели. Аналитическое изучение свойств теневых сигналов в случае малоразмерной цели может быть полезно при разработке более сложных моделей сигналов для целей с достаточно большими размерами.
There is an analytical model of a signal for forward scattering radar in the case of a small target at this article. The signal has a piecewise linear frequency modulation as a result of Doppler Effect and a constant amplitude as a result of the negligible area of the target. Analytic study of shadow signal properties in the case of a small target may be useful for the development of more complicated signal modelsfor targets with sufficiently larger sizes.
Теория моностатической радиолокации основывается на базовом предположении, что передатчик и приёмник пространственно совмещены. Однако известны и другие типы радаров, такие как бистатические [1, 2] и многопозиционные [3, 4], для которых условие ко-локации передатчика и приёмника не выполняется. В частности, конфигурация бистатического радара предполагает наличие разнесённых в пространстве одной передающей и одной приёмной станций.
В бистатическом случае передатчик T, приёмник R и цель Г составляют треугольник, показанный на рис. 1 и известный как бистатический треугольник. Бистатический треугольник лежит в плоскости, которую резонно считать бистатической плоскостью. Будем называть стороны бистатического треугольника бистатическая база (сторона между передатчиком и приёмником), сторона приёмника (сторона между приёмником и целью) и сторона передатчика (сторона между передатчиком и целью).
Сторона приёмника и сторона передатчика составляют угол ¡3 (рис. 1), широко известный в теории радиолокации как бистатический угол. В теории бистатической радиолокации бистатический угол является одной из главных геометрических характеристик, поскольку присутствует во многих важных формулах.
Обычно можно считать, что диапазон изменения бистатического угла известен и не очень велик. Указанные соображения позволяют разделить бистатические радары по признаку размера бистатического угла на три большие группы: квазимоностатические радары, собственно бистатические радары и теневые (просветные) радары. Особенностью квазимоностатических радаров является функционирование в условиях малых бистати-ческих углов; теневые радары имеют дело с бистатическими углами, близкими к развёрнутому.
В основе принципа действия теневого радара лежит явление дифракции электромагнитных волн, вследствие чего модель сигнала такого радара может быть прин -ципиально иной, нежели в случае моностатической радиолокации.
Вначале синтезируем аналитическую модель сигнала теневого радара в случае малоразмерной цели, для которой справедливы приведённые на рис. 2 обозначения. Здесь T — фазовый центр антенны передатчика зондирующей электромагнитной волны; R — фазовый центр антенны приёмника; Г — малоразмерная цель; V — вектор скорости цели. Малоразмерная цель отличается от точечной тем, что она имеет конечную (ненулевую) площадь 2, поэтому малоразмерная цель создаёт тень, а точечная — нет.
Рис. 1. Бистатический треугольник
Рис. 2. Геометрические соотношения в теневом радаре
Будем полагать, что излучаемый передатчиком сигнал — гармонический:
^ ^ cos ( 2р/,Ї + р0 ) , ( 1 )
где 5Т,/ = й0/(2р) и р — амплитуда, несущая частота и начальная фаза излучаемого сигнала.
Пусть малоразмерная цель движется с постоянной скоростью, т.е. прямолинейно и равномерно, причём траектория движения перпендикулярна базовой линии радара. И пусть цель Г пересекает базовую линию радара в момент времени /+. Точку пересечения траектории и базовой линии обозначим через О (см. рис. 2). Расстояния dт = ТО и dR = OR в сумме составляют базу радара, Ь = dт + dR. Напомним, что фронт волны, достигшей точки О, можно мысленно поделить на зоны Френеля, имеющие радиусы
рт = р1л/т , где т — номер зоны, а
р1 =Щ^ГЬ (2)
— радиус первой зоны Френеля [1, 5].
Используя для решения дифракционной задачи метод Кирхгофа и принцип Бабине [1, 4], можно получить аналитическое выражение для принимаемого сигнала в виде
2 А2
(ї) = А соб [ 2р (/ ї + у) ] +- — БІП
Р
2р
У2(ї - ї+)2 2Р!2
(3)
где А — амплитудный множитель; у = ро - 2жЬ/1 — начальная фаза неинформативного колебания, определяемая начальной фазой зондирующего колебания (1) и набегом фазы на пути ТЯ; Ь — база радара; 1 = с//о — длина зондирующей волны (с — скорость света); X — площадь малоразмерной цели; V — модуль скорости V цели. Радиус первой зоны Френеля фигурирует в выражении (3) как вторичный (вспомогательный) параметр, количественно характеризующий показанную на рис. 2 геометрию радара.
Сигнал (3) принимается в течение интервала времени [0, 7], где Т — длительность интервала регистрации сигнала. Таким образом, начало отсчёта времени связано с началом регистрации принимаемого сигнала. Этим, в частности, обусловлена необходимость введения начальной фазы ро в формуле для излучаемого сигнала (см. (1)).
Как видно из формулы (3), принимаемый сигнал 5я(/) является суммой неинформативного колебания е(/) и информативного сигнала 55),(/), а именно,
(/) = е(/)+ ^ /), (4)
где
•(/) = А СОБ [2р(/о/ + Уо )]; (/)
2 АХ А2
2р
/о/ + Уо -
V2 (/ - /+)2 2а2
(5)
В отсутствие цели приёмник зарегистрировал бы только колебание е(/). Информативный сигнал есть следствие тени, отбрасываемой целью на приёмную антенну. Он
содержит информацию о скорости V цели и моменте /о пересечения целью Г базовой линии радара.
Если ввести новые обозначения
/V = V/а; Фо = /А= /А,
то первую из формул (5) можно переписать в виде
2 АХ
А
2р
л<-
(6)
(7)
Относительно введённых нами для удобства параметров // и фо можно отметить, что // имеет размерность частоты, а параметр Фо безразмерен.
Из формул (5) — (7) следует, что прямое измерение скорости цели V и момента пересечения целью базовой линии /+ невозможно. Эти параметры могут быть измерены лишь косвенно. Прямое измерение может быть проведено для_вспомогательных параметров // и фо, измерив которые, можно затем вычислить скорость и момент пересечения базовой линии. Однако указанный расчёт потребует априорного точного знания радиуса первой зоны Френеля, а1 . Неточное знание последнего снижает точность измерения скорости цели и момента пересечения целью базовой линии радара.
Согласно (7) полная фаза Ф( / )= 2р (/о/ - Ь / 1)-р( & -фо )2-Р/2 (8)
информационного (теневого) сигнала имеет вид параболы с опущенными ветвями. Закон частотной модуляции сигнала (7) может быть определен как производная по времени от полной фазы (8), а именно
<7 Ф(/)
о(/ ) = = 2Р/о - /V (& - Фо)] = ® (о) - 2Р/Д = о(о) - 2Р2// А12,
(9)
где о( о) = 2р(/о + /ф ) — значение частоты в начальный момент времени. Второе
слагаемое в правой части формулы (9) есть результат дифракции Френеля на малоразмерной цели. Оно отсутствует при неподвижной цели и, следовательно, может трактоваться как проявление эффекта Доплера.
Таким образом, частота теневого сигнала з5й(/) убывает со временем по линейному закону. Максимальное изменение частоты за время наблюдения составляет
До = 2лТ/у = 272 / А2. (1 о)
Таким образом, чтобы измерить скорость цели, нужно знать радиус первой зоны Френеля и измерить максимальное за время Т изменение частоты принимаемого сигнала.
Ещё раз отметим, что необходимыми и достаточными условиями линейной частотной модуляции теневого сигнала являются: 1) малоразмерность цели; 2) дифракция Френеля; 3) возможность использования приближения физической оптики (метода Кирхгофа). Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то утверждение о линейной частотной модуляции теневого сигнала является, строго говоря, неверным.
Очевидно, что сигнал зт(/), формируемый приёмной антенной теневого радара из падающего на неё электромагнитного поля, есть высокочастотный радиосигнал. Обработка высокочастотных сигналов связана с известными трудностями, поэтому желательно преобразовать радиосигнал зт(/) в видеосигнал. С этой целью можно воспользоваться известной гетеродинной схемой, но можно поступить и иначе. Если пропустить сигнал зт(/) через нелинейный элемент с квадратичной характеристикой (на практике удовлетворительный результат может дать даже банальный диод [6, 7]), фильтр верхних частот и фильтр нижних частот, то сигнал з(/) на выходе такого трехкаскадного устройства будет иметь вид
cos i
v2 (t - О2 + 1
p2
, t e [0, T], (11)
где S — амплитуда сигнала (11). Как видно из формулы (11), сигнал s (t) информативный: подобно принятому сигналу sR(t) он содержит информацию о скорости цели и о моменте пересечения целью базовой линии радара.
Для упрощения формул целесообразно ввести безразмерное время t = 0,25 Vtpb (12)
Тогда в новой шкале времени длительность обработки tT = 0,25 VT/p1 и момент пересечения целью базовой линии радара t+ = 0,25Vt+/p1 тоже становятся безразмерными. С учётом сказанного перепишем сигнал (11) в виде
s(t) = -Ssin ж(т-т+)2 , te [0, tT], (13)
В качестве примера на рис. 3 показаны рассчитанные по формуле (13) сигналы s(t) для следующих значений параметров: S = 8; t+ = 2; а) t+ = 5 или б) t+ = 8. Как нетрудно заметить, приведённые на рисунке сигналы обладают частотной модуляцией. При t = t+ имеет место изменение (скачок) фазы сигнала на ж и связанный с ним локальный максимум сигнала, который можно трактовать как радиофизическое проявление пятна Араго — Пуассона (подробнее о пятне Араго — Пуассона см. в [5]).
т
б
Рис. 3. Сигнал: а — тт = 5; т+ = 2; £ = 8; б — тт = 8; т+ = 2; £ = 8 Закон частотной модуляции сигнала 5(т) показан на рис. 4. Из него видно, что в момент пересечения целью базовой линии радара мгновенная частота сигнала равна нулю, а график зависимости мгновенной частоты от времени претерпевает излом.
т
а б
Рис. 4. Сигнал: а — тт = 5; т+ = 2; б — тт = 8; т+ = 2
т
а
т
Строго говоря, закон
о(т) = 2л\т-т0\ (14)
частотной модуляции сигнала з(2) является линейным только в двух частных случаях: т+ = о и т+ = Тт. В общем случае это кусочно-линейный закон. При этом минимальное значение частоты сигнала з(Т) равно нулю и достигается в момент пересечения целью базовой линии радара, а максимальное значение достигается либо в момент начала (т= о), либо в момент окончания (т= тт) регистрации поля приёмной антенной.
Энергия сигнала может быть определена по стандартной формуле
Т А Т
Е = | з2 (/) 7 = — | з2 (т) 7т. (15)
о V о
После нетрудных преобразований можно получить
где
С (г)= ёа
(17)
— косинус-интеграл Френеля. Графики интегралов Френеля и компьютерная программа для их вычисления приведены в [1]. Таким образом, вычисление энергии сигнала по формуле (16) не составляет большого труда. Из формулы (16) следует, что энергия сигнала равна нулю, если тт = о. Однако тт = о означает нулевую длительность сигнала, иначе говоря — отсутствие сигнала. Немудрено, что у отсутствующего сигнала нет энергии. Известно, что при увеличении аргумента косинус-интеграл Френеля сходится к У. Поэтому при фиксированном т+ и достаточно большом тт зависимость энергии сигнала от тт приближается к линейной. Рассчитанные по формуле (16) зависимости энергии сигнала от т+ приведены на рис. 5. Как видно из хода кривых, энергия сигнала существенно зависит от того, попадает момент пересечения целью базовой линии в интервал наблюдения или нет. При этом энергия больше, а её вариации при изменении т+
— меньше, если момент пересечения не попадает в указанный интервал.
Рис. 5. Энергия: а — тт = 5; £ = 8; V = Ю; — = 1; б — тт = 8; £ = 8; V = Ю; — = 1
В последнее время большой интерес вызывают так называемые эмпирические моды [8]. Функция называется эмпирической модой, если она удовлетворяет двум условиям:
- во всем наборе данных число экстремумов должно быть равно или отличаться не более чем на 1 от числа пересечений нулевого уровня;
- в любой точке среднее значение двух огибающих (верхней и нижней, образованных локальными максимумами и локальными минимумами, соответственно) должно равняться нулю.
t
б
Рис. 6. Моды: а — tT = 5; t+ = 2; S = 8; б — tT = 8; t+ = 2; S = 8
Эмпирические моды представляют собой осциллирующие моды, входящие в со-
M
став сигнала. Сигнал представляет собой сумму эмпирических мод: 5 (/ ) = Xх(1), где
I =1
£() — эмпирические моды. Количество мод, М, определяется свойствами сигнала и не может быть установлен априорно. На рис. 6 приведены моды двух сигналов, показанных на рис. 3. Как видно из рис. 6, при тт = 8 количество мод равно трём, а при тт = 5 — четырём.
Определим автокорреляционную функцию сигнала:
Y(t)= I ^(a)s (a-1) da; Y(t)= J s(b) s(b-t)db.
(18)
Отметим, что Y(ґ) определена на интервале -Т £ і £ Т, а Y(T) — на интервале -Тт £ т£ тт.
После громоздких преобразований удалось получить формулу Y (т) = Г_£_ і соб
ípt2
4V
ípt2
[ C (й)+C (V2) ] - sin — l[S (v) + S (V2)]
sin (p|t V1) + sin (p|t V2)
(19)
РІТ
-tT £ t£ tT,
где V =lt + 2(t+-tT); V2 =lt-2t+; S(z) = Jsin pOC2 |da — синус-интеграл Френе
ля.
Нетрудно убедиться, что при т= о формула (19) переходит в формулу (16) для энергии.
На рис. 7 приведены графики нормированных автокорреляционных функций для сигналов, показанных на рис. 2. Как видно из этих графиков, автокорреляционная функция сигнала теневого радара имеет узкий центральный (главный) максимум и боковые лепестки небольшого уровня. Из хода кривых на рис. 7 нетрудно также сделать вывод, что ширина главного максимума, определяющая разрешающую способность, зависит от длительности сигнала, а именно, ширина главного лепестка уменьшается (т.е. разре-
а
шаюшдя способность увеличивается) при увеличении длительности сигнала. Эта зависимость с высокой точностью аппроксимируется параболой.
а б
Рис. 7. Автокорреляционная функция: а — тт = 5; т+ = 2; V = 10; р = 1; б — тт = 8; т = 2;
V = 10; r = 1
Под спектром сигнала з(^) будем понимать, как обычно, его преобразование Фу-
(2о)
рье:
G (f) = j 5 (t)exP (-j2pft)dt.
По аналогии с безразмерным временем т целесообразно ввести безразмерную частоту п = 4/—/К Тогда, после несложных преобразований, можно получить
G (f )_ “р і 5(т)exp (-j2лут)dt _
_ 0,25Sр1 _ V
(21)
\W(q+)-W* (q-)]
где
W(q)_ jexp(jpx){\_С(y)- С(z)] + j[s(y)- S(z)]] (22)
— комплексная функция векторного аргумента q _{x,y, z}, причём x± _(n±T+)2 -т+;
y±_V2 (n±T+); (23)
z± _ y± +Лтт _ V2 (n ± Т+ + Тт ), а знак * в формуле (21) означает операцию комплексного сопряжения.
На рис. 8 приведены рассчитанные по формулам (21) — (23) графики амплитудно-частотных спектров сигналов, показанных на рис. 3.
а б
Рис. 8. Амплитудно-частотный спектр: а — tT = 5; t+ = 2; S = 8; V = 10; p1 = 1;
б — tT = 8; t+ = 2; S = 8; V = 10; pl = 1
ЛИТЕРАТУРА
1. Kostylev V.I. Bistatic Radars / V.I. Kostylev // Bistatic Radars : Principles and Practice / ed. M. Cherniakov. — Chichester, UK: Wiley, 2007. — Pt. II, chaps. 9—14. — P. 189—394.
2. Willis N. J. Bistatic Radar / N. J. Willis. — Norwood, MA: Artech House, 1991.
3. Пространственно- временная обработка сигналов / И.Я. Кремер [и др.]. — М: Радио и связь, 1984.
4. Chernyak V.S. Fundamentals of Multisite Radar Systems. Multistatic Radar and Multiradar Systems / V.S. Cherniak. — Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, 1998.
5. О радиотехническом аналоге пятна Пуассона / В. И. Костылев, О.В. Полозова, И.В. Стукалова, Я.А. Волошенко // Радиолокация, навигация и связь: ХП междунар. на-уч.-техн. конф., 18—20 апр. 2006 г. — 2006 .— Т. 1 .— С. 616—623.
6. Cherniakov M, Salous M, Jancovic P, Abdullah R, Kostylev V (2005) Forward Scattering Radar for Ground Targets Detection and Recognition, Proc. 2nd Annual Technical DTC Conference.— Edinburgh, U.K.
7. Cherniakov M, Salous M, Kostylev V, Abdullah R. (2005) Analysis of Forward Scattering Radar for Ground Target Detection.— Proc. 2nd European Radar Conference.— Paris.— P. 145—148.
8. Huang N.E., Shen Z., Long S.R., Wu M.L., Shih H.H., Zheng Q., Yen N.C., Tung
C.C., Liu H.H. The empirical mode decomposition and Hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis.— Proc. Roy. Soc.— London A, Vol. 454.— 1998.— P. 903—995.
