CC BY
84
УДК 330.42
Л.А. Васин, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, 8-909-262-09-65, (Россия, Тула, ТулГУ);
Ю.В. Нечаев, магистрант, 8-920-755-97-55, unique foto@mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ)
АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ДУОПОЛИИ
ПРИ НЕРАВНЫХ ИЗДЕРЖКАХ УЧАСТНИКОВ
Проведен анализ классических моделей количественной дуополии при неравных предельных и постоянных издержках участников с целью выбора стратегии организации вусловиях конкуренции.
Ключевые слова: стратегия; стратегические решения; модели дуополии; неравные издержки.
Модели олигополии создаются для исследования процессов принятия стратегических решений и прогнозирования результатов взаимодействия производителей (продавцов) на рынке. Модели, в которых эндогенными переменными являются объемы выпуска продукции, называют моделями количественной олигополии. Во всех моделях предполагается рациональное поведение участников, стремящихся максимизировать свою прибыль. Модели, в которых анализируется деятельность только двух участников рынка в условиях олигополии, называют моделями дуополии. Модели дуополии можно применять для выбора стратегии, если на деятельность данной организации существенно влияет только один конкурент. Традиционно в этих моделях рассматриваются участники, имеющие одинаковые предельные издержки, а постоянные издержки не учитываются. Для практического применения моделей при выборе стратегии необходимо выполнить их сравнительный анализ для участников с неравными условиями по издержкам. Далее рассматриваются классические модели Курно, Чемберлина, Штакельберга, в которых участники дуополии имеют неравные предельные и постоянные издержки.
Модели базируются на следующих предпосылках [1, с. 168]. Участники производят (продают) однородный продукт. Под этим понимается один вид продукции или много видов при постоянной структуре.
Рыночный спрос описывается линейной функцией:
p = a - bQ ,
где p — цена продукта; a — верхняя граница цены; a / b — потенциальный спрос; Q — реальный спрос.
При равновесии рынка спрос 2 равен совокупному предложению участников:
2 = Чх + Ч2 ,
где ч1 ч2 — объем выпуска (объем продаж в натуральном выражении)
первого и второго участников.
Участники имеют линейные функции издержек:
^ = V ■ Чг + Сг; / =12,
где 2г — полные издержки; уг — предельные издержки; Сг — постоянные издержки.
Первый участник является лидером по издержкам:
у < у2 < а ; Сх < С2.
Выручка (доход от реализации продукции) участников составляет: кг=р ■ дг=(а _ ь ■ ~ь' д2 )■ дг;г=1,2 Прибыли участников определяются как разности между выручкой и издержками:
л-1 =(а - Ух - ь ■ Чх - ь ■ Ч2 )■ Чх - Сх; (1)
П2 =(а - V - Ь • 4 - Ь • Ч2 )' Ч2 - С2 . (2)
Необходимые условия максимума прибыли участников:
где
= const
dn, 1 1 dq2
—1 = a - v, - 2b • q, - b ■ q2 - b ■ q,-----2 = 0;
dq, dq,
d^v, 7 7 dq,
—^ = a - V2 - 2b • q2 - b • q, - b • q2 • —^ = 0,
dq2
dq2
= const
dq,
---- — const
dq2 ’ dq,
В моделях приняты допущения:
dq2
предполагаемые вариации.
(3)
(4)
dq2 <,; dq, < !
dq, dq2
Достаточные условия максимума прибыли участников:
= -2b •
dq2
dq,
d Я2 T
< 0; —^ = -2b •
dq2
dq,
dq
< 0.
Решение системы уравнений (3)-(4) позволяет установить оптимальные объемы выпуска, при которых прибыль участников максимальна.
Модель Курно [2, с. 189] описывает количественную дуополию с нулевыми предполагаемыми вариациями:
^ = о; ^ = 0. (5)
ёч2 йчх
В этой модели каждый участник принимает решение об уровне выпуска, не делая предположений о возможной реакции конкурента и решая задачу на максимум своей прибыли при данной величине выпуска конкурента. Решение системы уравнений (3)-(4) с учетом (5) дает оптимальные объемы выпуска:
а - 2у + у2 а +у - 2у2 ,
Чч2 =—3г^ • (6)
Подстановка (6) в (1) и (2) позволяет установить выражения для прибыли участников:
„ (а - 2у + у2 )2
= у------1--2±_ _ С , (7)
1 9Ь ’ (7)
ж (а + V, - 2у2 )2 = 1 ‘9Ь г) - С2. (8)
Модель Чемберлина [1, с. 172] при неравных издержках участников целесообразно рассмотреть в двух вариантах.
В первом варианте первый участник начинает действовать как монополист, т. е. максимизирует свою прибыль при условии
Ч2 = °. (9)
Подставляя (9) в (1), получаем функцию прибыли первого участника:
пх = (а - V, - Ь ■ чх )• Ч\ ~ С,.
Необходимое условие максимума прибыли:
= а - V, - 2Ь • ч, = 0 . (10)
Достаточное условие максимума прибыли:
^ = -2Ь < 0.
Из уравнения (10) находим объем выпуска первого участника:
а - V,
Ч ~2Ь- • (11)
Второй участник максимизирует свою прибыль с учетом действий первого участника. Подставляя (11) в (2), получаем выражения для определения прибыли второго участника:
( а + V, - 2у2 ^
^2 = I ---2---- “ ' Ч2 I- Ч2 - С2 .
Необходимое и достаточное условие максимума прибыли:
^ = а + У ~2у -2Ь• Ч2 = 0, (12)
ёд2 2
ё 2л.
= -2Ь < 0,
Из уравнения (12) находим объем выпуска второго участника:
а + V! - 2v2 { Л
=—4г^ • (13)
Первый участник снижает свой объем выпуска (11) на величину объема выпуска конкурента (13) для повышения равновесной рыночной цены:
а - 3у, + 2у9 Ч =—АЬ---------------------------------------• (14)
Подставляя (14) и (13) в (1) и (2), устанавливаем выражения для вычисления прибыли участников в первом варианте:
= (а - у, )•(а - 3у-1 + 2у, ) _ С,; (15)
1 8Ь 1 V У
= _ С2. (16)
2 8Ь
Во втором варианте второй участник начинает действовать как монополист, т. е. максимизирует свою прибыль при условии
Чх = 0. (17)
Подставляя (17) в (2), находим функцию прибыли второго участника:
П2 =(а - У2 - Ь • Ч2 )• Ч2 - С2.
Необходимое и достаточное условие максимума прибыли:
ё ^9 гм г\
— = а - у2 - 2Ь • Ч? = 0, (18)
^ = -2Ь < 0
ёд,
Из уравнения (18) находим объем выпуска второго участника:
а - у
=^ЬЬТ. (19)
Первый участник максимизирует свою прибыль с учетом действий второго участника. Подставляя (19) в (1), устанавливаем прибыль первого участника по зависимости:
п,
V 2
Ь • Ч, • Ч, - С1.
Необходимое и достаточное условие максимума прибыли:
^ - 2Ь • ч, = 0. (20)
^ = -2Ь < 0
ёд,
Из уравнения (20) находим объем выпуска первого участника:
а - 2у + у0
Ч =—(2‘)
Второй участник снижает свой объем выпуска (19) на величину объема выпуска конкурента (21) для повышения равновесной рыночной цены:
а + 2у, - 3у9 д2 =---4Ь-----. (22)
Подставляя (21) и (22) в (1) и (2), определяем прибыль участников во втором варианте по зависимости:
„ 9 (а - 2у, + у9 )2
"2 = -----1-— - С, • (23)
1 8Ь 15 (23)
^-2 = (а - у2 )•(« + 2у, - 3у2 ) _ С2. (24)
Модель Штакельберга [2, с. 190] предусматривает два варианта стратегического взаимодействия участников: 1) как лидера и
последователя; 2) как конкурентов, стремящихся к лидерству. Несмотря на различные позиции участников по издержкам, наиболее вероятной
является ситуация борьбы за лидерство, когда каждый участник считает себя лидером, а конкурента — последователем (второй вариант модели). В этом случае предполагаемые вариации равны
ёд, _ 1 ёд2 1
ёд2 2 ’ ёд, 2 '
(25)
Подставляя (25) в (3), (4), находим необходимые условия максимума прибыли:
ё^1 3 и и (Л
-д = а~у1 -,Ь• Ч, -Ь'Ч? = 0, (26)
-д- = а-у2 -Ь ■ Чх-,Ь • Ч? = 0. (27)
Достаточные условия максимума прибыли:
ё ^,1 Г\ ё ^2 1 г\
----1 = -Ь < 0 - --22- = -Ь < 0
ёд, ’ ёд2
Решение системы уравнений (26)-(27) позволяет определить оптимальные выпуски по зависимостям:
2 (а - 3у, + 2у9 ) 2 (а +2у, - 3у2 )
д1= 5Ь---; Ч? =^ъ----------------• (28)
Подставляя (28) в (1) и (2), находим прибыль участников:
2(а - 3у + 2у2 )2 25Ь
1 - -х; (29)
ш 2( а + 2у1 - 3у2 )2
—------------------------С
25Ь 2 ■ (30)
Для сравнения прибыли, получаемой участниками в различных моделях, преобразуем выражения для прибыли с помощью следующих относительных величин:
_ а - у, £ а - V?
<5, =-1; ¿2 =----------2. (31)
аа
Подставляя (33) в (7), (8), (15), (16), (23), (24), (29), (30), получим следующие выражения для вычисления прибыли участников:
_к _ а2 (25,-62)2 С _х _ а2 (2<52-3,)2 С
ж, — — ---------------С ; ж 0 — — -------С г. ;
1 Ь 9 ь 2 Ь 9 2’
-1 ^1 '(3^1 2^2) С ТЧ~1 а2 (2^2 ^1 ) С (39)
ж, —----------------------------------С,; ж9 =--------------------------------C9• (32)
1 *• 8 ь 2 Ь 8 2 2
.У-1 а
-2 (2^1 ~82) С „4-2 _ а2 32 •( 3^2 - 2^1) С
ж, — — -------------------------------С; ж п. — • Сп.
1 Ь 8 ь 2 Ь 8 2
ч-2 а
_ш _ а2 2(3^1 - 28? )2 С _ш _ а2 2(35? - 28х )2 С
ж, — — -------------------С ; ж0 — — -------------------Сг.
1 Ь 25 ь 2 Ь 25 2
Сравнение выражений (32) показало, что во всех моделях прибыль
первого участника (лидера по издержкам) выше прибыли второго
участника.
При условии
32 а - у2
5 = — =-------------------2 > 0,8
3, а - у,
(33)
имеют место следующие неравенства:
-2 ^ -1 ^ ^ -1 ^ ~2 ^ ^ /о лл
ТГ, ^ ТГ, ^ ТТ", ^ ТГ, ; 7Г2 ^ ТТ? ^ 71? ^ ТТ? . (34)
Условие (33) охватывает часто встречающиеся на практике случаи, когда предельные издержки не превышают 40 % верхней границы цены, а различие между участниками по предельным издержкам не превышает 50 %.
Из (34) следует, что для обоих участников наиболее привлекательной является модель Чемберлина. При этом каждому участнику выгодно занимать выжидательную позицию, т. е. для первого участника предпочтительным является второй вариант модели, а для второго участника — первый вариант. Модель Чемберлина является моделью кооперативной дуополии, т. е. предполагает согласованные действия участников. Участники могут по взаимной договоренности реализовать один из вариантов модели. Во многих случаях различие между вариантами по размеру прибыли, получаемой участниками, составляет 3-5 %. Учитывая оценочный, прогнозный характер расчетов, можно считать оба варианта равноценными. В ситуациях, когда участники не обладают достаточной информацией о возможном поведении друг друга и не имеют возможности устранить эту неопределенность, им следует выбирать стратегии в соответствии с моделью Курно.
Библиографический список
1. Моделирование экономических процессов: учеб. для вузов / М.В. Грачева и др.; под ред. М.В. Грачевой и др. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 351 с.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика: учеб. для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 399 с.
L.A. Vasin, J.V. Nechaev
The analysis of the models of duopoly with UNequal costs of participants The analysis of the classical models of quantitative duopoly with unequal marginal and constant costs of participants in order to select the organization's strategy in a competitive environment.
Key words: strategy; strategic decisions; duopoly models; unequal costs.
УДК 330.42
В.И. Нечаев, канд. техн. наук, доцент, 8-910-942-08-45, у1 nechaev@mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ);
Е.С. Нечаева, канд. техн. наук, доцент, 8-910-556-73-47, еБ n@mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ)
ВЫБОР ЦЕНОВОЙ СТРАТЕГИИ ОРГАНИЗАЦИИ В УСЛОВИЯХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЙ ДУОПОЛИИ
Рассматривается применение модели Бертрана с логарифмической функцией полезности для выбора ценовой стратегии организации в условиях дифференцированной дуополии.
Ключевые слова: стратегия; стратегические решения; модели дуополии; функция полезности.
Преобладающей формой рыночной структуры многих отраслей экономики является олигополия. Олигополия предполагает ограниченное число крупных производителей однородного или дифференцированного продукта, которые влияют на уровень рыночных цен и осознают свою взаимозависимость. Для принятия стратегических решений и прогнозирования результатов взаимодействия производителей (продавцов) на рынке возможно применение моделей олигополии. В моделях предполагается рациональное поведение участников отраслевого рынка, стремящихся максимизировать свою прибыль. Модели, в которых эндогенными переменными являются цены продукции, называют моделями ценовой олигополии. Модели, в которых участники принимают решения независимо друг от друга, называют моделями некооперированной олигополии. Модели, в которых анализируется деятельность только двух участников рынка в условиях олигополии, называют моделями дуополии. Модели дуополии можно применять для выбора стратегии, если на деятельность данной организации существенно влияет только один конкурент.
