CC BY
25
УДК 681.5.015
АНАЛИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Н. А. Черных Научный руководитель - О. В. Чубарова
Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-mail: chernyh.studbox@gmail.com
Рассматриваются достоинства и недостатки популярных классических и универсальных методов решения задачи идентификации нелинейных динамических систем.
Ключевые слова: задача идентификации, нелинейная система, динамический объект, система управления.
ANALYSIS OF THE METHODS OF SOLVING THE PROBLEM OF IDENTIFICATION OF NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS
N. A. Chernykh Scientific Supervisor - O. V. Chubarova
Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Е-mail: chernyh.studbox@gmail.com
The paper examines the advantages and disadvantages of popular classical and universal methods for solving the problem of identification nonlinear dynamical systems.
Keywords: identification, nonlinear system, dynamic objects, management system.
Идентификация нелинейных динамических систем
В настоящее время в терминологическом аппарате практически всех областей наук прочно укоренилось понятие модели. Различные сложные задачи, носящие технический, технологический, социальный, экономический и прочий характер возникают в результате анализа свойств и особенностей реальных объектов. Эти задачи связаны одной общей целью - реализацией адаптивного управления системой на основе оптимальных управляющих воздействий, выработанных на моделях реальных объектов.
Модели повсеместно используются как в процессе создания систем управления объектами, так и в процессе их эксплуатации в течение всего их жизненного цикла. Это обуславливает актуальность проблемы построения эффективных моделей, адекватно отражающих необходимые исследователю свойства реальных процессов.
Важным составляющим процесса создания системы управления и принятия решения является решение задачи идентификации. Суть идентификации объекта лежит в построении математической модели посредством наблюдения за поведением объекта, при условии полного или частичного отсутствия априорной информации о структуре и параметрах.
Поскольку реальные объекты обычно характеризуются нелинейной, сложной структурой, изменяющимися во времени параметрами, а также неполнотой математического описания и информации, как о самом объекте, так и сигналах, и помехах, действующих на него, актуальна реализация задачи идентификации нелинейных динамических систем.
Анализ методов решения задачи идентификации нелинейно динамических систем
Сегодня существуют различные методы и подходы для решения задачи идентификации нелинейных динамических систем. В общем случае они делятся на классические и универсальные
методы. Первые разработаны для решения конкретно задачи идентификации и постоянно модифицируются с целью повышения точности, но имеют ряд ограничения в применении. К ним относятся использование нелинейных дифференциальных уравнений, модели Гаммерштейна, разложение Вольтерра, описание в теории пространств.
Вторые методы требуют минимальной априорной информации об объекте, но сложны в реализации. К ним относятся такие методы, как генетические алгоритмы многопараметрического поиска решений, самоорганизации и искусственные нейронные сети.
Методы идентификации, требующие меньше априорной информации, как правило менее точны, более громоздки и ресурсозатратны, по сравнению с методами, использующими большой объём априорной информации. Аналогично, методы, использующиеся для идентификации нелинейных и нестационарных процессов, более сложны и зачастую менее точны, чем методы идентификации, предназначенные для линейных стационарных процессов.
Классические методы
Примеров возможных явлений и процессов, протекающих в нелинейных динамических системах значительно больше, чем в линейных системах. Вследствие этого, для таких систем становится невозможным применение математического аппарата, используемого для описания линейных случаев. На сегодняшний день разработано два подхода для получения классических математических моделей нелинейных динамических систем. В первом подходе при помощи таких методов линеаризации, как гармонические, статические и малые приращения, вырабатывается приближенное математическое описание линеаризованной модели, которая в определенном смысле отражает исходную нелинейную модель. Этот подход эффективно применяется для объектов отвечающим некоторым требованиям. Так, процессы в таких объектах должны протекать при небольших отклонениях и возмущениях относительно нормальных режимов функционирования, а характеристики объекта должны быть достаточно гладкими. Данные требования сужают возможность применения такого подхода. При втором подходе модель считается существенно нелинейной и применяются следующие модели [1].
Нелинейные дифференциальные уравнения.
Связь между входным и выходным сигналами для непрерывного одномерного объекта управления записывается неявным выражением:
где Е - некоторый нелинейный оператор (п + т + 1) аргумента, который требуется идентифицировать. В ряде случаев, для параметризации этой нелинейной модели осуществляется структурирование Е с введением некоторого вектора параметров Рг- :
где Рг-, I = 1 ... I - параметры модели.
Задача идентификации в данном случае сводится к определению оператора Е и к оцениванию его вектора параметров Рг-, I = 1 ... I.
Если идентифицируется нелинейный дискретный объект, то по аналогии строятся нелинейные разностные уравнения. Данный метод чувствителен к шуму, а на длительность процесса идентификации существенно влияет количество параметров объекта.
Блочно-ориентированные модели (модели Гаммерштейна)
Главной особенностью моделей Гаммерштейна является предположение что идентифицируемый объект можно условно разделить на два последовательно соединенных звена: нелинейно безынерционное звено и динамическое линейное звено. Модели объектов одномерном стационарном случае имеют два варианта описания:
^ ,...,.у (п), и, к,..., и (т), Р1, р2,..„ рг ) = 0,
(а)
0
или
у (г ) = ¥
^ (%)¥ [и (г-%)] й %
(б)
где ^(т) - импульсная переходная функция линейного звена, а ¥ (и) - статическая характеристика нелинейного звена.
Блочное представление моделей для каждого из вариантов описаний приведено на рисунке.
¥ V
и Нелинейное звено ¥(и) Динамическое звено у
а
¥
и Динамическое звено | V • и Нелинейное звено у „
б
Блок-схема модели Гаммерштейна при описании вида (а) и вида (б)
Разбивание динамического объекта на множество малых объектов с достаточно простым математическим описанием приводит к тому, что понимание и изучение системы становится более реальным, что говорит о несомненной выгоде использования блочно-ориентированных моделей.
Достоверность полученных результатов, при идентификации нелинейных систем в условиях зашумленности данных, зависит от точности измерения выходных сигналов систем и математической обработки экспериментальных данных.
Разложение Винера. Развитием популярного метода разложения Вольтерра стал алгоритм идентификации на основе разложения функционалов Винера [2]. Результатом этой процедуры являются наборы оптимальных ядер Винера, которые определяются следующей формулой:
у(0-&[К,*(0]]*П*(') ;
V 1=0 ) г=1 _
п = 1,2,...
Для того чтобы решение задачи получения ядер Винера считалось корректным обязательно должно выполняться условие подачи на вход исследуемой системы идеального белого шума. В реальности такой процесс реализовать невозможно, поэтому возникает проблема выбора оптимальных параметров тестирующего сигнала, которые будут обеспечивать восприятие этого сигнала системой, как белый шум. Чтобы оценка параметров исследуемой системы соответствовала заданной точности необходимо определить частотный диапазон тестирующего сигнала. Для того чтобы система в качестве белого шума воспринимала входной гауссов процесс, полоса пропускания системы должна быть полностью перекрыта частотным диапазоном, который в пределах полосы пропускания должен обладать постоянной спектральной плотностью.
На практике полоса пропускания является информативной характеристикой только для линейных систем. Выбор оптимального частотного диапазона на основе полосы пропускания в случае нелинейной системы невозможен, а оценки ядер Винера из-за ограниченности спектральной полосы тестирующего сигнала получаются смещенными [3].
К (
ш*
-м
П!
Для решения этой проблемы был предложен дифференцированный подход, который заключается в определении частотного диапазон для каждого порядка рассчитываемых ядер. Однако такой подход сложен в реализации, особенно для динамического объекта. Описание в пространстве состояний.
Конечномерные непрерывные системы выражаются следующими уравнениями состояний:
Первое уравнение представляет собой уравнение состояния, которое в описывает состояние системы в момент времени г. Состояние системы изменяется во времени и зависит от входного воздействия и (г) и начального момента времени г0 . Второе уравнения является уравнением выхода, которое определяет отношение между текущем состоянием системы и входным воздействием, а также их совместное отношение к выходу системы у (г).
В общем случае ставится задача определения нелинейных функций / и g. Если же существует возможность параметризации описание система принимает следующий вид:
где р - вектор неизвестных параметров, который подлежит определению.
Представление в пространстве состояний очень удобно для многомерных объектов. Нестационарные объекты отличаются зависимостью вектора параметров р от времени.
Если g( ) - нелинейная функция, то решение уравнения выхода усложняется, так как сводится к интегрированию системы нелинейных дифференциальных уравнений. Так как методы интегрирования систем дифференциальных уравнений хорошо разработаны только для линейных систем, то перед работой с ними необходимо линеаризовать g( ) в окрестности рабочей точки, которой соответствует установившейся режим работы объекта.
Универсальные методы
Современные универсальные алгоритмы идентификации представлены в основном в виде генетических алгоритмов, нейронных сетей и алгоритмов самоорганизаци.
Генетические алгоритмы используют принципы наследственности, изменчивости и естественного отбора. Главной единицей алгоритма является индивид, в хромосоме (генотипе) которого заложено возможное решение задачи (фенотип). Группа индивидов, случайно формируемая в начале алгоритма, называется популяцией. Оценка качества возможного решения задачи производится путём вычисления функции пригодности. По результатам оценки наиболее приспособленные индивиды выбираются для скрещивания. Полученные в результате скрещивания индивиды обладают комбинацией хромосомной информации своих родительских особей и называются потомством. Потомство формирует новую популяцию, часть из которой подвергается мутации, что выражается в случайном изменении генотипа мутировавших индивидов. Итерация алгоритма от оценивания популяции до формирования новой популяции называется поколением. Эволюция популяции происходит в результате последовательности таких поколений.
Длительность эволюции определяется заданным ограничением количества поколений, фактором вырождения популяции, т. е. когда хромосомы разных индивидов в популяции становятся почти идентичными, или нахождением оптимального решения [4].
Выгодной отличительной чертой для этой группы алгоритмов является то, что они применимы для решения задач с низким уровнем формализации, а также для задач с большой размерностью, что является серьёзным препятствием для классических методов идентификации.
Однако генетические алгоритмы плохо масштабируемы под сложность решаемой проблемы. Это значит, что число элементов, подверженных мутации очень велико, если велик размер
ёх ёг
/(х(г),и (г),г); х(о ) = хо; г > г у (г )= g (х (г), и (г), г).
ёх ёг
/ (х (г), и (г), р, г); х (о ) = хо; г > г, у (г)= g (х (г), и (г), р, г),
области поиска решений. Для того чтобы сделать так, чтобы такие проблемы поддавались эволюционным алгоритмам, они должны быть разделены на простейшие представления. Но тогда требуется хорошая совместимость этих представлений с другими частями в процессе оценки пригодности [5].
Нейронные сети - это математические модели, работающие по принципу сетей нервных клеток животного организма. На входной слой нейронов поступает определенная информация. Она передаётся посредством синапсов следующему слою, при этом каждый синапс имеет свой коэффициент веса, а каждый следующий нейрон может иметь несколько входящих синапсов. В итоге информация, полученная следующим нейроном, представляет собой сумму всех данных, перемноженных каждый на свой коэффициент веса. Полученное значение подставляется в функцию активации и получается выходная информация, которая передаётся дальше, пока не дойдёт до конечного выхода. Обучением нейронных сетей называется процесс определения значений весов фиксированной структуры на основе набора известных данных входов и выходов. Требуется определить весовые коэффициенты нейронной сети так, чтобы результат работы сети (значение выходной функции) на векторе входных переменных был как можно ближе к заданному значению функции (обучающему значению) для этого вектора. Способность нейронных сетей к обучению избавляет от необходимости применения сложного математического аппарата.
В настоящее время круг решения задач, решаемых одной отдельно взятой нейронной сетью, довольно ограничен. Это связано с тем, что для каждого возможного применения нейросеть выбираются топология, алгоритмы и коэффициенты нейросети, наиболее подходящие для данной задачи, и они могут быть неприемлемы ни для какой другой [6].
Алгоритмы самоорганизации основываются на гипотезе селекции моделей. На первом этапе алгоритма происходит идентификация базисных функции по заданному критерию. Затем из моделей, которые преодолели пороговый самоотбор по ансамблю критериев, создается комбинация моделей предыдущего уровня [7]. Выделяющим признаком использования подхода самоорганизации для идентификации объектов является допущение о том, что вся необходимая для исследования объекта информация содержится в экспериментальных данных и в ансамбле критериев селекции моделей. Поэтому, использование алгоритмов самоорганизации позволяет построить математическую модель без априорного указания закономерностей исследуемого объекта. Однако составить измерительную выборку, содержащую достаточно полную информацию об объекте исследования, отражающую современное состояние функционирующего в определенных условиях объекта, достаточно трудная задача, требующая от исследователя погружения в специфику идентифицируемого объекта. Если для построения модели использовать устаревшие или неполные информационные выборки, то модель получится неадекватной, и прогноз с использованием такой модели будет содержать существенные погрешности.
Выводы
Существующие классические методы идентификации справляются с управлением сложными техническими процессами и восстановлением параметров систем. Но постоянно возрастающие требования к точностным характеристикам результатов и необходимость быстрой обработки больших баз данных, для осуществления управления в реальном времени, снижают их эффективность. Поэтому возникает необходимость в универсальных методах идентификации, обладающих возможностью применяться в различных практических приложениях, требующих минимальное количество временных ресурсов и априорной информации об идентифицируемой системе, а также способных осуществлять управление в реальном времени.
Библиографические ссылки
1. Дилигенская А. Н. Идентификация объектов управления : учеб. пособие ; Самар. гос. техн. ун-т. Самара, 2009. 136 с.
2. Пупков К. А., Капалин В. И., Ющенко А. С. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М. : Наука, 1976.
3. Лукьянова Н. В., Кузнецов И. А. Идентификация нелинейных динамических систем на основе разложения функционалов методом Винера // Управление в морских и аэрокосмических системах : материалы конф. СПб., 2014.
4. Фам С. Ф., Цибизова Т. Ю. Методы построения математических моделей: генетические алгоритмы // Достижения вузовской науки : тр. Междунар. науч.-практ. конф. (Моск. обл., г. Де-довск, 15-20 сентября 2014 г.). Ч. 2. М. : ИИУ МГОУ, 2014. С. 158-162.
5. Steven S. Skiena. The Algorithm Design Manual. Second Edition. New York : Springer, 2008.
6. Гаврилов А. И., Цибизова Т. Ю., Родионов В. Я. Методы исследования и анализ сложных систем управления и обработки информации : метод. рекомендации. М. : РАДЭКОН, 2006. 48 с.
7. Neusipin K. A., Ke Fang. The reasearch on modeling algorithm using self-organization method in aerocraft intelligent control system // Jornal of projectiles rocket missiles and guidance. 2010. № 5. Р. 39-42.
© Черных Н. А., 2018
