CC BY
37
Методы оценки временных и частотных характеристик
динамических систем
Самохвалов С.Ю.
Принципиальным моментом при идентификации систем является необходимость применения оптимального испытательного сигнала, обеспечивающего получение доверительной информации за минимальное время. Сигнал должен обладать свойствами практической финитности по спектру и на временном интервале. В известных работах таких сигналов не предложено. Например, в качестве испытательно предложено использовать сигнал в виде отрезка ряда Котельникова, имеющий ограниченный спектр с неограниченными по времени координатами функциями.
Используется в качестве испытательного сигнала дельта-функция, имеющая бесконечный спектр, но мгновенный импульс нельзя практически реализовать. Испытательный сигнал, синтезированный н6а основе принципа максимума Понтрягина при ограничении амплитуды сигнала, представлена релейной функцией с неизвестными моментами переключений, которые вычисляются методами многомерной оптимизации. Но такой сигнал из-за сложности формы невозможно также практически реализовать.
Другие применяемые на практике испытательные сигналы являются мало информационными, то есть определяют основную характеристику системы - ее оператор как весовую функцию.
Все существующие испытательные сигналы в должной мере не учитывают свойств динамической системы, для которой они применяются, и, следовательно, не обеспечивают оперативности и достоверности идентификации.
Вторым ключевым направлением при идентификации систем является оценивание их операторов по выходным данным при подаче на вход системы испытательных сигналов. Для линейных систем (непрерывных и дискретных) в качестве характеристики оператора, представляющего систему, принимается ее весовая функция (импульсная переходная функция). Для нелинейных систем, представимых операторами Вольтерра или Гаммерштейна, в качестве весовой функции принимается набор их ядер.
Обычно в качестве критерия идентификации принимается минимум среднего значения квадрата (дисперсии) ошибки между выходными значениями истинного неизвестного оператора реальной (идентифицируемой) системы и искомого оператора системы.
Такой критерий справедлив в тех случаях, когда случайные входные воздействия распределены по нормальному закону с известными параметрами. Однако при статистической непараметрической идентификации, когда входные случайные воздействия должны формироваться с заданными математическими ожиданиями и корреляционными функциями, потребуется большое количество реализаций. Поэтому вероятностные характеристики входного процесса реализуются с некоторыми погрешностями, границы которых можно оценить методами математической статистики. Кроме того, на практике, как правило, неизвестны значения корреляционных функций входных сигналов, а известны только границы их изменения.
Для этих условий актуальна постановка задачи идентификации по критерию минимаксной (максиминной) дисперсии ошибки в условиях априорной неопределенности о вероятностных характеристиках входных воздействий, обеспечивающего гарантированное значение дисперсии ошибки.
С другой стороны, как правило, известны математические ожидания (номинальные значения) и взаимные моменты второго порядка (разброса) отклонений
весовых функций (входных полезных сигналов фильтров статистической обработки) от номинальных значений. В этом случае сужается область их определения. За счет учета этого может быть значительно повышена точность определения оператора идентифицируемой системы.
Поэтому задача идентификации динамических систем с учетом априорной информации о значениях весовых функций в минимаксной (максиминной) постановках является актуальной. Это особенно важно для динамических систем, к которым предъявляются повышенные требования по надежности, например, экологически опасных систем, и систем, связанных с безопасностью человека.
Если система нелинейная или входные случайные воздействия не распределены по нормальному закону, то поиск оптимального оператора, обеспечивающего минимум среднеквадратического значения ошибки, должен осуществляться в классе нелинейных операторов, например, при представлении системы функциональным полиномом (оператором) Вольтерра. Полиномы Вольтерра нашли широкое применение для исследования нелинейных систем с непрерывными нелинейностями и для которых используются временные и спектральные методы анализа линейных систем.
Однако применение полиномов Вольтерра ограничено при статистической непараметрической идентификации систем с сосредоточенными параметрами и, особенно для систем с распределенными параметрами, из-за необходимости решения систем многомерных интегральных уравнений повышенной кратности для определения ядер, как функций от многих переменных.
Поэтому актуальной задачей является применение такого оператора при непараметрической идентификации нелинейных систем, для определения ядер которого не требуется вычисления многомерных интегралов повышенной кратности. Таким оператором является функциональный полином Гаммерштейна.
Таким образом, возникает необходимость комплексного подхода к решению проблемы идентификации, как проблемы синтеза оптимального испытательного сигнала, разработки методов и алгоритмов определения оптимальных операторов линейных и нелинейных динамических систем, разработки программно-реализуемых на ПЭВМ алгоритмов, обеспечивающих достоверный и своевременный контроль состояния динамических систем в текущих условиях их функционирования.
В синтезе испытательных сигналов в базисе ВВСФ, полученных в результате решения однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с сильно осциллирующим ядром и максимальными значениями коэффициентов подобия как собственных значений соответствующих ВВСФ. Собственно синтез осуществляется по критерию минимизации среднеквадратической ошибки приближения единичного спектра линейной комбинацией ВВСФ с учетом требований по заданной энергии и согласованности с полосой пропускания частот идентифицируемой динамической системы. Известные методы не обеспечивают формирования испытательных сигналов с максимальными значениями коэффициентов подобия при требовании их финитности в частотной области и с заданной энергией во временной области.
В синтезировании оптимальных операторов линейных динамических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами при априорной неопределенности о пространственно-временных и частотных характеристиках внешних воздействий как условий функционирования, вызывающих дополнительные ошибки при формировании выборочных данных измерительными средствами идентифицируемой системы.
Синтез основан на доказательстве а) оптимальности операторов систем (весовых функций), описываемых байесовскими минимаксными (максиминными) фильтрами с конечной памятью при учете
ограничений на значения корреляционных функций ошибок выборочных данных. Доказательство построено на сведении задачи поиска условного минимакса (максимина) к задаче минимизации квадратичной формы без ограничений на весовые функции. Ограничения по несмещенности на весовую функцию снимаются за счет представления полезного входного сигнала каноническим разложением со случайными коэффициентами, характеризующимися априори заданными математическими ожиданиями и взаимными центральными моментами второго порядка, а также за счет введения требования точного преобразования фильтром априорного математического ожидания, заложенного в его структуре.
Это теоретическое положение охватывает имеющееся решение аналогичной задачи, для случая, когда коэффициенты разложения имеют бесконечные дисперсии и нулевые взаимные моменты.
б) оптимальности метода вычисления эффективных оценок параметров весовой функции по критерию максимума правдоподобия (при нормальном законе распределения аддитивных ошибок измерений) посредством условной максимизации квадратичной формы с положительно определенной матрицей, при условии, что ошибки измерений ограничиваются заданными пределами второй составляющей ошибок, и последующем сведением задачи максимизации к полной проблеме собственных значений, легко реализуемой на ПЭВМ.
Существующие же методы решения таких задач являются весьма трудоемкими для реализации на ПЭВМ.
в) необходимого условия оптимальности весовой функции линейной системы с распределенными параметрами как двумерного согласованного фильтра. Доказательство основано на принципе построения согласованного фильтра по критерию максимума отношения сигнал/шум на выходе системы, приводящего к формированию двумерного линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода, решением которого является искомая оптимальная весовая функция. Установленное таким образом необходимое условие в форме интегрального уравнения является общим по отношению к существующим методам определения весовых функций линейных систем как согласованных фильтров.
В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем с распределенными параметрами как нелинейных согласованных фильтров-обнаружителей тестовых сигналов.
Синтез основан на реализации критерия максимального отношения сигнал/шум на выходе динамической системы, представимой оператором Гаммерштейна п-го порядка, и приводит к необходимым условиям оптимальности в виде системы двумерных линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода, которой должны удовлетворять ядра Гаммерштейна.
Полученные необходимые условия являются обобщением соответствующих условий для линейных согласованных фильтров, так как последние получаются как частный случай при представлении динамической системы полиномом Гаммерштейна первой степени.
В синтезе оптимальных операторов нелинейных динамических систем, как сглаживающих фильтров, представимых двумерным оператором Гаммерштейна п-го порядка, по критерию минимума среднего значения квадрата ошибки воспроизведения требуемого выходного сигнала идентифицируемой системы. Необходимые условия оптимальности оператора получены в форме системы п-го порядка линейных двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. При этом уравнение Винера- Хопфа является частным случаем полученной системы при представлении динамической системы полиномом Гаммерштейна первой степени.
