Анализ корреляций в колебаниях скорости экономического развития Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.4

АНАЛИЗ КОРРЕЛЯЦИЙ В КОЛЕБАНИЯХ СКОРОСТИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ

Р.Х. Ильясов

Чеченский государственный университет, г. Грозный, Чеченская Республика

С.В. Крюков Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону

При анализе экономических взаимосвязей корреляция не всегда обнаруживается непосредственно в абсолютных изменениях исследуемой динамики. В то же время могут сильно коррелировать колебания скорости развития процессов. Предлагаемые методы исследования позволяют находить закономерности в локальных изменениях процессов, поскольку опираются на непрерывные сплайн-модели, чувствительные к небольшим изменениям конъюнктуры. Сплайн-функции или сплайны стали основой искомого математического конструкта «тонких» преобразований, а тенденция (скорость роста исследуемых показателей) или первая производная сплайновых моделей легла в основу поиска новых корреляционных зависимостей. В статье показано, что если процессы в решетчатых функциях и не коррелируют явно, то их погружение в фазовое пространство позволяет одновременно исследовать как связи переменных, так и связи их тенденций. В фазовом пространстве можно исследовать непрерывное поведение процессов в каждый момент времени. Тогда взаимосвязи могут более рельефно обнаруживаться именно в изменениях скорости развития процессов.

Ключевые слова: новая эконометрика, динамика, тенденция, корреляция, теория сплайнов.

В методах «старой эконометрики» встречаются случаи, когда анализ взаимосвязей экономических процессов, при вариации в широких пределах значений регрессора, факторного признака или объясняющей переменной приводит к малым изменениям корреляции их результативных признаков или объясняемых переменных, в то время как корреляция тенденций (первых производных) этих процессов друг с другом гораздо заметнее. Само по себе дифференцирование не изменяет, не усиливает и не ослабляет исходный экономический сигнал, оно лишь переводит его из временного ряда х(1) на двумерную плоскость х'(х), в фазовое пространство, в котором корреляция теперь ищется не по оси х, а по оси х'. В таких случаях можно говорить о наличии «скрытых» или «тонких» взаимосвязей, не проявляющихся в темпоральной области, на оси времени, не обнаруживающихся привычной корреляционной методологией. Классические экономет-рические способы («старая эконометрика») в подобных случаях можно назвать

«грубыми». Всё разительно меняется с переходом к методологии «новой эконометрики», с более эффективным использованием «тонких» методов исследования невидимых взаимосвязей экономических переменных, в некоей новой операционной системе [1, 2].

Парадигматическими основами «новой эконометрики», ветви экономической науки, являются: точное прохождение модельного полинома через точки реального показателя; аналитичность, дифференцируемость, гладкость, непрерывность строящейся модели; последовательная вариативность структуры модельного полинома от изменения экзогенных условий; оптимальная «сшивка» фрагментов этой структуры с минимумом кривизны строящихся траекторий; привлечение фазовых пространств и фазового анализа, с выявлением и построением настоящих циклов в виде круговых траекторий; нахождение взаимных параметрических зависимостей нескольких показателей друг от друга; аналитический переход к идеям эконофизики и пр. [3].

В механике и физике произведение массы на первую производную называется импульсом MdY(t)/dt или представляет собой импульс, где М - масса, Y(t) - перемещение, t - время. В экономике подобное выражение MdE/dt, где М - стоимость конкретного экономического акта, свободный денежный эквивалент, некоторый «массив» средств, затрачиваемый на «перемещение» (закупки, развитие, построение, спонсирование, кредитование...) показателя E(t). E(t) может быть экономическим архетипом, а вместе с его модельной функцией S(t) - архетипом модельным. Первая производная некоторого экономического показателя доставляется из уравнения сплайна, заменяя физическую массу М на объём потребляемых финансовых ресурсов М, необходимых для движения проекта, мы можем получить «экономический импульс» [4].

Экономисты поверили, что первая производная в экономике определяет тенденцию процесса. Усложним задачу и определим её как величину, пропорциональную «экономическому импульсу» или импульсу «экономического действия» MdE(t)/dt.

Это будет количество «экономического движения» dE(t)/dt. Поскольку закон сохранения импульса - всеобщий принцип Природы, в которой имеет место быть строгое и абсолютное подчинение законам сохранения физических импульсов MdY(t)/dt, то экономические динамические балансы становятся не только количественными, но и голономными. Ещё лучше обстоит дело со второй производной F = Md2Y(t)/dt2 или F =M-d2E(t)/dt2.

Вторая производная часто, многократно и полезно употребляется в механике, физике, технике. Называясь там «ускорением», она, умноженная на некоторую константу М (в механике называемую массой), превращается в силу F = M^Y/dt2. Раз в физике - это сила, то будем логически надеяться, что в экономи-

ке она окажется «экономической силой», так станем называть эту конструкцию далее. Имея ё Еф/Ж в экономике, как вторую производную (ускорение) и анало-

2 2

гично ё - из уравнения модельно-

го сплайна и варьируя М - стоимостями экономических актов (финансовыми затратами проекта, свободными денежными средствами) на разных временных отрезках, получаем изменение «экономической силы» во времени [4].

Сплайн-функции или сплайны стали основой искомого математического конструкта «тонких» преобразований, а тенденция (скорость роста исследуемых показателей) или первая производная сплайновых моделей легла в основу поиска новых корреляционных особенностей. Таким образом, предлагается искать взаимосвязи не только абсолютных изменений дискретных (табличных) значений процессов, но и непрерывных изменений скорости их аналитических, гладких модельных эквивалентов [5].

Как известно, в физике широко используются понятия фазового пространства, фазовой траектории, сдвига фазы и др. при исследовании динамических процессов. С недавних пор фазовые методы начали применяться и в анализе экономических процессов - это исследования цикличности, сезонности, а также поиск взаимосвязей между процессами [5]. Фазовое пространство представляет множество возможных состояний системы в фиксированный момент времени. Обычно состояние системы задается некоторым набором чисел (фазовых координат) и представляет собой область в многомерном пространстве или «многообразие». Каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства. Каждая точка фазового пространства задаёт состояние всей системы в текущий момент времени. Прагматическая сущность понятия фазового пространства заключается в том, что состояние сколь угодно сложной системы

представляется в нём единственной точкой, а эволюция этой системы представляется движением точки по фазовому пространству. Кривая, описываемая такой точкой, называется фазовой кривой или фазовой траекторией [5].

Математически строго под фазовой траекторией принято понимать «...кривую в фазовом пространстве, составленную из точек, представляющих состояние динамической системы в последовательные моменты времени в течение всего времени эволюции. Динамическая система задаётся с помощью закона, позволяющего установить состояние системы в произвольный (допустимый) момент времени Т>0, если известно её состояние в начальный момент I = 0» [6]. При анализе фазовой зависимости положения тела от его первой производной пользуются графическим представлением процесса в системе координат «положение точки - скорость точки» (рис.1). Для построения фазового портрета колебания

у &х

«... скорость движения х = — = п от-

&

кладывают по оси ординат, а отклонение х - по оси абсцисс фазовой плоскости. Каждому движению в момент времени ^ соответствует изображающая точка на указанной плоскости с координатами х, V, однозначно определяемая мгновенными значениями отклонения х и х' = V . Изображающая точка с течением

времени перемещается, описывая фазовую траекторию. Время в этом представлении играет роль параметра» [6].

В том случае, когда мы желаем исследовать взаимное влияние двух процессов X и У, мы прибегаем к табличному или графическому представлению их дискретных значений. Параллельно сравнивая состояния процессов в одинаковые моменты времени, мы делаем выводы о наличии или отсутствии их взаимного влияния, о тесноте и направлении связи, и только после этого подбираем форму непрерывного аналитического выражения связи (в виде закономерности или закона). Так классическая («старая») эконометрика для анализа взаимосвязей рассчитывает коэффициенты корреляции по дискретным значениям исследуемой динамики.

При построении регрессионных дискретных моделей широко используются методы сглаживания и усреднения динамики экономических процессов, обнаруживая при этом взаимосвязи только «в среднем» по всему ряду, обобщая и сглаживая возможные «выбросы», «всплески» и другие локальные изменения, естественно, теряя при этом ценную информацию о темпоральных особенностях процесса.

Рис. 1. Фазовая траектория как траектория движения в фазовой плоскости х, V

Однако, при поиске экономических взаимосвязей возможны случаи, когда корреляция не обнаруживается непосредственно в абсолютных изменениях исследуемой динамики, хотя в это же время могут сильно коррелировать колебания скоростей процессов. Методы «новой

эконометрики» позволяют находить закономерности в локальных изменениях процессов, поскольку опираются на непрерывные модели, чувствительные к небольшим изменениям конъюнктуры. Если процессы в своих решетчатых функциях не коррелируют явно, то их погружение в фазовое пространство позволяет одновременно исследовать как связи переменных, так и связи их тенденций. В фазовом пространстве можно исследовать непрерывное поведение процессов в каждый момент времени. Тогда взаимосвязи могут более рельефно обнаруживаться именно в изменениях скорости развития процессов.

В качестве эмпирической базы исследования рассмотрим некоторые статистические показатели рынка труда современной России. В условиях сырьевой направленности экономики страны интересен анализ взаимного влияния уровня безработицы и числа (доли) занятых в обрабатывающем производстве (таблица 1).

Можно предположить, что развитие обрабатывающей отрасли приводит к заметному снижению уровня безработицы. Однако, эконометриче-ский анализ («старая эконометрика») обнаруживает между исследуемыми процессами слабую прямую линейную связь с малым коэффициентом детерминации Я2 = 0.16 . Конечно, существует большой выбор регрессионных кривых, которые могли бы показать большие значения коэффициента детерминации, но это приведёт к заметному ухудшению интерполяционного поведения кривых, к увеличению количества и степеней объясняющих переменных, к усложнению экономической интерпретации параметров (рис. 2)

2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Уровень безработицы, % 7.2 6.1 6.3 8.4 7.3 6.5 5.5 5.5 5.2 5.6

Доля занятых в обрабатывающем производстве, % 16.9 16.7 16.3 15.4 15.2 15.2 15.0 14.8 14.6 14.4

Таблица 1

Динамика уровня безработицы и доли занятых в обрабатывающем производстве в среднем по России с 2006 по 2015 годы

Рис. 2. Эконометрическое представление взаимосвязи между уровнем безработицы и долей занятых в обрабатывающем производстве (проценты) в

России в 2006-2015 гг.

Линия регрессии первой степени (пунктир) и кубическая сплайн-аппроксимация (штрих-пунктир). [Система компьютерной математики MAPLE 18]

«Новая эконометрика» предлагает при исследовании взаимосвязей, в первую очередь, представить динамику исследуемых процессов аналитическими непрерывными моделями. Тогда мы сможем сравнивать поведение процессов не только в узловых точках, но и непрерывно, в каждый момент времени. Становится при этом важным выбор аппроксимирующих функций. Для перехода от решетчатых функций к непрерывным моделям динамики, с их последующим переводом в фазовое пространство, необходимо использовать функции, обладающие свойствами плавности, гибкости, непрерывности, а аналитичность позволит их дифференцировать и получать явно формулы для первых производных (тенденций). Все указанные свойства наилучшим образом проявляются при аппроксимации экономической динамики сплайнами. Указанные свойства, плюс вариативность структуры, плюс оптимальность «сшивки» фрагментов, плюс минимум

кривизны проводимых траекторий, в соответствие с теоремой Холлидея, и многое другое делают сплайны более предпочтительными перед другими функциями при моделировании экономической динамики. Свойство минимальности кривизны кубических сплайнов становится особенно полезным при сравнении тенденций исследуемой динамики, позволяя эффективно использовать их при интерполировании. Непрерывность сплайн-функций облегчает понимание инерционности, взаимной увязки разных процессов рынка в разные времена.

«Латентные» взаимосвязи между процессами могут проявляться в периоды воздействия «событийных составляющих». «Событийные составляющие» (unusualevents) в экономической динамике определяются процессами, в которых амплитуда исследуемого процесса меняется «в разы». Сам термин появился относительно недавно [5]. Очевидно, что «событийные составляющие» в эко-

номической конъюнктуре представляют собой результат нелинейности в реакции процесса на внезапные, хотя и существенные, изменения экзогенного фона. «Старая эконометрика», опирающаяся на линейную парадигму в своих методах и моделях, пыталась избавиться от необходимости изучения подобных «составляющих», используя для этого ряд грубых замен «аномальных» значений. Понятна ущербность такого подхода, ведь изучение влияния «событийных составляющих» может стать источником ценной информации об изменениях в структуре изучаемой динамики, о переходе процесса из одного «временного класса» в другой. Аппроксимируя экономическую динамику сплайнами, мы сохраним реальный «рельеф» процессов, что, в дальнейшем, позволит нам сравнивать их замедления и ускорения, видеть непрерывную траекторию откликов даже на слабые воздействия факторов.

Анализ динамики уровня безработицы показывает её снижение с 7.2% до 5.6%. Естественно, колебания уровня безработицы воздействуют на структуру занятости по разным видам экономической деятельности. Эмпирические данные показывают, что доля занятых в обрабатывающем производстве в это же время также уменьшалась - в среднем по России снижение составило 2.5%. Величина

коэффициента корреляции между уровнем безработицы и долей занятых в обрабатывающем производстве в среднем по России с 2006 по 2015 годы составила 0.399, что говорит о взаимосвязи слабой и прямой.

Результаты исследования

классическими эконометрическими

методами на этом могли бы исчерпаться, сделав вывод об отсутствии какого-либо

существенного влияния между процессами. Стало интересно исследовать взаимосвязь методами «новой эконометрики», погружая модели динамики в фазовое пространство, сравнивая скорости изменения этих процессов.

Исследуя непрерывное

поведение сплайн-функций,

моделирующих динамику

исследуемых процессов, мы в «кризисные» 2008 и 2009 годы замечаем асинхронные изменения в уровне безработицы и в доле занятых в обрабатывающем производстве. «Событийные составляющие»

динамики, проявившиеся в 2008-2009 годах, обнаруживают «скрытую» закономерность - исследуемые процессы могут коррелировать отрицательно (рис. 3,4). Для явного обнаружения этой взаимосвязи может быть полезен переход к сравнению первых производных (тенденций) и вторых производных переменных. Известно, что математический сплайн д-го порядка непрерывен и имеет (д - 1) непрерывную производную, д-я производная претерпевает в точках соединения (узлах сетки) разрыв с конечным скачком. Куски сплайна «сшиваются» в узловых точках оптимальным образом, так, чтобы значения функции и всех её производных слева и справа от каждого узла совпадали,

т.е.

/к)(хг + 0) = /®(хг -0), к=0,1,2...д, I =1..п

Тогда /(х),/'(х),/"(х),... становятся непрерывными функциями во всём интервале [х1..хп].

Рис.3. Динамика уровня безработицы и доля занятых в обрабатывающем производстве в России. Темпоральные зависимости 2006-2015 гг.

Кубическая сплайновая аппроксимация. [Система компьютерной математики MAPLE 18]

Рис. 4. Первые производные (скорости, «экономические импульсы») кубических сплайновых моделей, аппроксимирующих динамику уровня безработицы и долю занятых в обрабатывающем производстве в России.

[Система компьютерной математики MAPLE 18]

Дифференцирование сплайн-функций, непрерывно моделирующих динамику исследуемых процессов, позволяет увидеть столь же непрерывные колебания их скорости, а также взаимные корреляции. Рис. 4 обнаруживает наличие обратной взаимосвязи между скоростями изменения уровня безработицы и доли занятых в обрабатывающем производстве.

Особенно чётко отрицательная корреляция наблюдается в 2008-2009 годах - модельные кривые двух процессов показывают существенные разнонаправленные колебания

скорости. Теперь коэффициент корреляции (уже не с суммами, а с интегралами его составляющих), между значениями первых

производных сплайн-моделей,

аппроксимирующих динамику

исследуемых процессов с 2006 по 2015 годы, становится равным -0.841.

В предлагаемом подходе требуется непрерывность фазового представления и взаимных связей. Тогда фазовая траектория

экономической взаимосвязи может быть графически представлена в системе координат «скорость развития процесса X - скорость развития процесса У» (рис. 5). При исследовании экономических

взаимосвязей возможен также поиск корреляций между ускорениями процессов, между скоростью и ускорением или другими

комбинациями взаимного воздействия динамики, скорости и ускорения.

Современная экономика часто оперирует такими понятиями, как скорость, ускорение, замедление и др. Предложенная «старой

эконометрикой» классификация

взаимосвязей по направлению, тесноте и другим параметрам недостаточно точно соответствовала сложности, чувствительности и

«тонкости» новых экономических конъюнктур и их взаимных зависимостей.

Использование производной в экономике, в основном, находило свое применение при расчетах предельных значений некоторых показателей, например, предельных издержек производства. «Новая эконометрика» для своих методов опирается на экономическую интерпретацию

физического смысла производной -«производная от непрерывной

функции х(1) в точке to - есть мгновенная скорость изменения величины функции, при условии, что изменение аргумента Лt стремится к нулю».

Таким образом, если некоторая непрерывная и дифференцируемая функция х(^ описывает динамику экономического поведения, то производная в точке to есть

мгновенная скорость изменения значений этого процесса в момент времени to. Вторая производная представляет ускорение процесса (рис. 6).

Исследование показывает

необходимость сохранения локальных особенностей исследуемой динамики (выбросов, скачков, «событийных составляющих», возмущений,

катастроф, крахов, катаклизмов, кризисов, дефолтов, падений, обвалов, шоков), которые могут

продемонстрировать особенности поведения процессов в

«нестандартных» ситуациях. Как показало исследование, уровень безработицы и доля занятых в обрабатывающем производстве, в колебаниях скоростей своих изменений, коррелируют отрицательно.

Подводя итоги, следует сказать, что в условиях незначительной вариации показателей исследуемых процессов, взаимосвязи не всегда

обнаруживаются явно. Выход экономических процессов из «состояния покоя», под воздействием «событийных составляющих»

экономической динамики, способен обнаружить корреляцию значительными изменениями скоростей развития.

Эффективным инструментом «новой эконометрики», для анализа взаимосвязей, становится сплайновая аппроксимация исследуемой

динамики. Дифференцирование её сплайн-моделей переводит

экономический анализ к сравнению скоростей развития процессов и поиску их корреляции. Поднимаясь над обыденностью с помощью эконофизики, пришла пора говорить о корреляции «экономических импульсов» (рис.4) и «экономических сил» (рис. 6).

Рис. 5. Фазовая траектория взаимосвязи между скоростью изменения уровня безработицы и долей занятых в обрабатывающем производстве в России с 2006 по

2015 годы

Кубическая сплайн-аппроксимация.[Система компьютерной математики MAPLE 18]

Рис. 6. Вторые производные (ускорение, «экономические силы») в кубических сплайн-моделях, аппроксимирующих динамику уровня безработицы и долю занятых в обрабатывающем производстве в России

[Система компьютерной математики MAPLE 18]

Очевидно, в различных областях человеческой деятельности (в медицине, технике, экономике и др.) появляется интересная задача воздействия на процессы с прямым результатом - изменением скорости развития. Это может быть замедление процессов старения организма, замедление уровня безработицы, ускорение качества жизни населения, ускорение роста ВВП - и многие другие.

Методы классической «старой эконометрики» в этой задаче оказываются «грубыми», неспособными оценить результаты воздействия факторов на скорость и ускорение изменения результативных признаков. Аппарат сплайновой аппроксимации с явным дифференцированием

получаемых моделей динамики, с их погружением в фазовое пространство и построением фазовых траекторий, становится «тонким»,

чувствительным инструментом

корреляции связей, включая и их тенденции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боташева Ф.Б., Винтизенко И.Г. "Новая эконометрика" с её "тонкими" методами исследования экономических конъюнктур // European Social Science Journal. 2014. №10(1). С. 31-39.

2. Крюков С.В., Ильясов Р.Х., Барзаева М.А. Анализ взаимосвязей в экономике дифференцированием сплайн -моделей // Современные проблемы и перспективные направления инновационного развития науки: сборник статей Международной научно-практической конференции: в 8 частях. Ч.1. Уфа: АЭТЕРНА, 2016. С. 204-208.

3. Винтизенко И.Г., Ильясов Р.Х. Новая эконометрика. Парадигма // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы экономического развития регионов», посвящённой 45-летию образования Института экономики и финансов. Грозный. 2017. С. 64-72

4. Огородникова Т.В. Индивидуальное и коллективное волновое поведение микросубъектов экономики: методологический аспект: автореферат дисс.

...д-ра экон. наук: 08.00.01. Иркутск: 2007. 40 с.

5. Винтизенко И.Г., Яковенко В.С. Экономическая цикломатика. М.: Финансы и статистика, Ставрополь: АГРУС, 2008. 428 с.

6. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебное пособие для вузов, 3-е издание, перераб. и доп. М.: Наука, 1984. 368 с. Рукопись поступила в редакцию 14.11.2017

ANALYSIS OF CORRELATIONS IN SPEED FLUCTUATIONS OF ECONOMIC DEVELOPMENT

R. Ilyasov, S. Krukov

At the analysis of economic interrelations correlation is not always found out directly in absolute changes of investigated dynamics. At the same time can correlate fluctuations of speed of development of processes strongly. The proposed methods of research help find patterns in change of local processes, because they lean on the continuous splines-models sensitive to little changes of a conjuncture. Spline functions or splines became the basis of the required mathematical construct "subtle" changes, and the tendency (growth rate of investigated indicators) or the first derivative of splines- models has laid down in a basis of search of new correlation dependences. In article it is shown, that if processes in the lattice functions and do not correlate obviously, their immersing in phase space allows to investigate simultaneously both communications of variables, and communications of their tendencies. In phase space it is possible to investigate the continuous behavior of the processes in each moment of time. Then interrelations can be found out more relief in changes of speed of development of processes.

Key words: the new econometrics, dynamics, tendency, correlation, the theory of splines,