CC BY
43
Оригинальная статья / Original article
УДК 004.942, 534.13, 624.271, 624.31
DOI: http://dx.doi.org/10.21285/2227-2917-2018-1 -143-159
АНАЛИЗ КОРРЕЛЯЦИИ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ВЕКТОРОВ КОЛЕБАНИЙ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРОЛЕТНЫХ СТРОЕНИЙ МОСТОВ
© А.В. Забелин3, А.А. Пыхаловь
Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Анализ корреляции собственных частот и векторов колебаний применяется при проектировании и мониторинге конструкций во многих отраслях промышленности, например, в общем машиностроении, авиационно-космическом комплексе и других. В строительстве его использование актуально при подготовке сложных сооружений, в частности, пролетных строений мостов, к мониторингу. В представленной работе проведено исследование эффективности использования собственных частот и векторов колебаний конечно-элементных (КЭ) моделей пролетных строений мостов для анализа их корреляции. МЕТОДЫ. Использован метод конечных элементов (МКЭ) для моделирования типовых пролетных строений: железобетонного балочного автодорожного моста и моста железнодорожного с металлическими сквозными главными фермами, по две КЭ модели на каждую конструкцию. Первые модели генерировались в соответствии с типовыми проектами пролетных строений, вторые - играют роль реальных конструкций, находящихся в аварийном состоянии. РЕЗУЛЬТАТЫ. Определено, что в рассматриваемых примерах использование собственных частот и векторов для анализа корреляции результатов обеспечивает схожий результат. Степень корреляции собственных частот (коэффициент корреляции равен единице, максимальное отклонение по частотам достигает 7%) и векторов (согласно значениям коррелирующих матриц) - технически удовлетворительная. ВЫВОДЫ. Результаты анализа корреляции пролетных строений мостов по собственным частотам колебаний показывают их достаточность для несложных, распространенных и хорошо изученных конструкций. Однако с увеличением длины пролетных строений, их сложности, количества конструктивных элементов, а также при применении инновационных материалов и неудовлетворительном состоянии конструкций выбор склоняется в пользу корреляции по собственным векторам.
Ключевые слова: конечно-элементная модель, метод конечных элементов, анализ корреляции, железобетонное балочное пролетное строение, металлическое пролетное строение со сквозными главными фермами, собственные частоты колебаний, собственные векторы колебаний, мониторинг.
Информация о статье. Дата поступления 14 января 2018 г.; дата принятия к печати 02 февраля 2018 г.; дата онлайн-размещения 29 марта 2018 г.
Формат цитирования: Забелин А.В., Пыхалов А.А. Анализ корреляции собственных частот и векторов колебаний конечно-элементных моделей пролетных строений мостов // Известия вузов. Инвестиции. Строительство. Недвижимость. 2018. Т. 8, № 1. С. 143-159. DOI: 10.21285/2227-29172018-1-143-159
ANALYSIS OF CORRELATION OF OWN FREQUENCIES AND VECTORS OF OSCILLATIONS OF FINITE-ELEMENT MODELS OF A FRAMEWORK OF A BRIDGES
A.V. Zabelin, A.A. Pyhalov
Irkutsk State University of Railways,
15, Chernyshevskogo st., Irkutsk, 664074, Russian Fédération
аЗабелин Антон Вячеславович, аспирант, e-mail: [email protected] Anton V. Zabelin, Post-graduate student, e-mail: [email protected]
ьПыхалов Анатолий Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры «Физика, механика и приборостроение»; e-mail: [email protected]
Anatoliy A. Pyhalov, Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of physics, mechanics and instrument engineering; e-mail: [email protected]
ABSTRACT. PURPOSE. Analysis of the correlation of own frequencies and vibration vectors is used in designing and monitoring constructions in many industry fields, for example, in general engineering, aviation and space complex and others. In building its use is important during the preparation of complex structures, particularly frameworks of bridges, to monitoring. In this work we developed the research of the efficiency of using own frequencies and vibration vectors of oscillations of finite element (FE) models of a framework of bridges for analyzing their correlation. METHODS. We used the finite element method (FEM) to model typical span structures: reinforced concrete beam road bridge and a railway bridge with metal one-type main trusses, two FE models for each structure. The first models were generated in accordance with standard designs of span structures, the second play the role of real structures in an emergency condition. RESULTS. It is defined that in the considered examples the use of own frequencies and vectors for analysis of correlation of results provides a similar result. The degree of correlation of own frequencies (the correlation coefficient is a unit, the maximum frequency deviation reaches 7%), and the vectors (according to the values of the correlating matrices) are technically satisfactory. CONCLUSIONS. Results of the analysis of the correlation of frameworks of bridges with respect to own vibration frequencies show their sufficiency for simple, widespread and well-investigated structures. However, with the increase in the length of framework structures, their complexity, number of structural elements, and also with the use of innovative materials and unsatisfactory state of structures, the choice tends to favor correlation by own vectors.
Keywords: finite element model, finite element method, correlation analysis, reinforced concrete beam framework structure, metal framework structure with one-type main trusses, own oscillation frequencies, own vectors of oscillations, monitoring
Article info. Received January 14, 2018; accepted for publication February 02, 2018; available online March 29, 2018.
For citation: Zabelin A.V., Pyhalov A.A. Analysis of correlation of own frequencies and vectors of oscillations of finite-element models of a framework of a bridges. Izvestiya vuzov. Investitsii. Stroitel'stvo. Ned-vizhimost' [Proceedings of Universities. Investment. Construction. Real estate], 2018, vol. 8, no. 1, pp. 143-159. (In Russian) DOI: 10.21285/2227-2917-2018-1-143-159
Введение
На современном этапе развития расчетно-инженерных методов определение динамических характеристик реальных конструкций проводится на основе анализа математических моделей метода конечных элементов [1, 2]. Считается, что результаты решения с их использованием, в виде собственных частот и векторов колебаний, должны совпадать с результатами натурного испытания, то есть КЭ модель практически точно отражает поведение конструкции. Однако на практике такая концепция может привести к ощутимым погрешностям. Другим важным аспектом представленной проблемы является необходимость использования конечно-элементных (КЭ) моделей для мониторинга работы конструкций, с целью повышения эффективности (оперативности) анализа их технического состояния. В этой ситуации тре-
бования к точности КЭ модели относительно реального изделия существенно возрастают и необходима объективная оценка степени их идентичности. Технологией такой оценки с использованием математических зависимостей является анализ корреляции сравниваемых результатов КЭ решения и натурного испытания реальной конструкции. Тем самым определяется способность КЭ модели отражать динамические характеристики реальной конструкции [3, 4]. Использование в качестве сравниваемых характеристик собственных частот является самым очевидным и простым решением. В этом случае [5] количество используемых датчиков, устанавливаемых на конструкцию при натурных испытаниях, относительно небольшое1. Соответственно, материальные затраты на них минимальны, а установка на конструкцию технологически проста.
1Леденев В.В., Ярцев В.П. Обследование и мониторинг строительных конструкций зданий и сооружений. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2017. 252 с. / Ledenev V.V, Yartsev V.P. Inspection and monitoring of building constructions of buildings and structures. Tambov, Publ. of TSTU, 2017, 252 p.
Средством анализа корреляции собственных частот является, как правило, значение коэффициента корреляции между двумя множествами частот; также применяется анализ их отклонения друг от друга и может быть выполнен статистический анализ. Однако использование только частот для анализа корреляции не всегда достоверно по причинам:
- некоторым частотам могут соответствовать очень сложные формы колебаний;
- спектр частот может оказаться настолько плотным, что извлечение отдельных частот из таких экспериментальных данных не всегда возможно;
- нет гарантии совмещения собственных форм колебаний при идентичных частотах. Альтернативой (дополнением)
анализу корреляции по частотам является подобный анализ по собственным векторам колебаний - более сложный, но и более достоверный. При оценке способности КЭ модели отражать напряженно-деформированное состояние (НДС) при колебаниях натурного объекта появляется дополнительная возможность:
- сравнения схожих форм колебаний напрямую, даже если соответствующие им собственные частоты значительно отличаются, т.е. становится возможным совместить формы, получаемые при анализе КЭ модели и при натурном испытании конструкции;
- фиксации форм колебаний объекта исследования при плотном спектре частот. Однако фиксация собственных
векторов может оказаться затруднительной в связи с необходимостью установки большого количества датчиков.
Соответственно, возрастают и затраты на них, а также сложность подбора их оптимального положения и установки, и другие проблемы. По-
этому анализ корреляции результатов в виде собственных векторов используется для наиболее сложных, ответственных и высоконагруженных конструкций.
Средством анализа корреляции форм колебаний являются коррелирующие матрицы [6-9].
В случае низкой степени корреляции результатов необходимо провести новые испытания и уточнить параметры КЭ модели так, чтобы достичь максимальной степени корреляции сравниваемых результатов [10-13]. При получении высоких показателей такую модель можно использовать для мониторинга конструкции в реальном времени.
Анализ корреляции собственных частот и векторов колебаний применяется при проектировании и мониторинге конструкций во многих отраслях промышленности, например, в общем машиностроении, авиационно-космическом комплексе и других.
В строительстве его использование актуально при подготовке сложных сооружений, в частности, пролетных строений мостов, к мониторингу.
До сих пор для рассматриваемых мостовых конструкций стоит открытым вопрос достаточности использования лишь собственных частот при анализе их корреляции.
Для решения этой задачи были проведены численные эксперименты по анализу корреляции результатов расчетов исходных и измененных КЭ моделей типовых пролетных строений мостов по их собственным частотам и формам колебаний.
Результаты, получаемые с измененных КЭ моделей, в рассматриваемых примерах выступают в роли итогов натурного испытания конструкций, а данные с них фиксируются с определенных точек - «позиций датчиков» - для приближения численных экспериментов к натурным.
Рис. 1. Поперечный разрез балочного пролетного строения (мм) автодорожного моста Fig. 1. Cross section of a beam span (mm) of a road bridge
Анализ корреляции результатов в виде собственных частот
Одним из средств анализа корреляции по собственным частотам является вычисление коэффициента линейной корреляции (коэффициента корреляции Пирсона) результатов2. Этот коэффициент характеризует существование линейной зависимости между двумя величинами (в данном случае собственными частотами). Определяется он по формуле вида:
Если сравниваемых частот п меньше 100, то коэффициент корреляции необходимо корректировать по формуле, имеющей вид:
1 - r2
1 + - OV
2 (n - 3)
(4)
где гт - скорректированный коэффициент корреляции.
гиу и гт изменяются в интервале от -1 до +1. Если \гт\ = 1 или
= 1, то
и v линеино зависимы.
V(oi- о Mv -v)
j=1
\
КOl - о )2
i=1
1
(1)
ZVi -V)2
i=1
где гт - линейный коэффициент корреляции двух множеств собственных частот и и V; п - количество сравниваемых частот; и и V - средние значения и и V, которые определяются по формулам (2) и (3):
1 '
о = — V Oj, n^
j=1 n
1 n
= - Vv. nt1
(2) (3)
Если ruv = 0 или rv = 0, то и и v линейно независимы. Максимальное отклонение значений собственных частот не должно превышать 10%. Степень корреляции считается высокой, если коэффициент корреляции выше 0.9.
Анализ корреляции результатов в виде собственных векторов
Средством анализа корреляции форм колебаний являются коррелирующие матрицы. Самая, пожалуй, достоверная и наиболее часто используемая из них - матрица проверки ортогональности собственных векторов [ortho ] (Orthogonality) [6] - ос-
r = r •
OV OV
и
2
Харченко М.А. Корреляционный анализ. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского университета, 2008. 31 с. / Kharchenko M.A. Correlation analysis. Voronezh, Publishing and printing center of Voronezh University, 2008, 31 p.
нована на свойстве ортогональности собственных векторов колебаний одной конструкции [1, 14]. Она позволяет определить степень ортогональности сравниваемых собственных векторов колебаний с их нормированием
по одной из следующих КЭ матриц: масс, жесткости, демпфирования. Как правило, при вычислении элементов матрицы [ortho] применяется матрица масс [6, 7].
Рис. 2. Поперечный разрез типовой железобетонной балки и ее армирование (мм) Fig. 2. Cross section of a typical reinforced concrete beam and its reinforcement (mm)
Рис. 3. Армирование ребра балки (мм) Fig. 3. Reinforcement of the beam edge (mm)
Рассматриваемому свойству ортогональности собственных векторов соответствуют выражения (6) и (7). Равенство нулю в (6) говорит об ортогональности сравниваемых собственных векторов, а если в (7) использовать равные собственные векторы, то это произведение равно единице.
ф}Т ■ [м]■{} = 0, (6)
ф}Т ■[мМф} = 1, (7)
где {ф} , {{} - векторы-столбцы собственных векторов колебаний; [м] -матрица масс КЭ модели.
Элементы матрицы [ortho] имеют вид:
ORTHOjj = {ф1 }T ■ [мг ]■ {j} (8) где {фj} и {} - сравниваемые множества собственных векторов; [мг] -редуцированная [6, 15, 16] по размерности собственных векторов матрица масс.
Исходя из свойства ортогональности собственных векторов, диагональные элементы матрицы проверки их ортогональности в идеальном случае должны быть равны 1 (единице), а внедиагональные - 0 (нулю). Использование матрицы [ortho] - это основной и наиболее точный способ анализа корреляции собственных векторов колебаний.
Рис. 4. Схема главной фермы металлического пролетного строения (мм) Fig. 4. Scheme of the main truss of a metal framework structure (mm)
В1-B3: x = 20 B3-B5:x = 40
730
zTj
Г
526
H О- H 2: x = 32, y = 12, z = 12 H2-H4:x = 25, y=16,z=12 H 4- H 6.x = 32, y = 12, г = 12
526
H О-В 1: x = 800, y = 32, z = 16 В 1-H 2: x = 650, y = 12, Z" 12 H 2" В 3: X = 650, y = 20, Z = 10 B3-H4: x = 450, y = 10,z = 10 H4-B5: x = 450, y = 10, z = 10
Подвески, стойки (B1-H1,,..,B9-H9)
10
ч
526
Г\
Продольная балка проезжей части: х = 20
Поперечная балка проезжей части: х =25
12
Рис. 5. Поперечные сечения основных несущих элементов пролетного строения
со сквозными главными фермами (м) Fig. 5. Cross sections of the main bearing elements of the framework structure with one-type
main trusses (m)
Следующей коррелирующей матрицей является матрица коэффициентов корреляции форм колебаний, или критерий достоверности (схожести) форм колебаний [mac] (Modal Assurance Criterion). [mac] -это матрица, каждый элемент которой дает оценку схожести сравниваемых собственных векторов без их нормирования по КЭ матрицам. Элемент матрицы [mac] имеет вид:
mac и =
h Y,-h}
(9)
PT^TjHjl'
MAC,! равен квадрату косинуса
угла между сопоставляемыми собственными векторами. Так как в MAC,! собственные векторы не нормируются по КЭ матрицам, то значения [mac] могут оказаться ошибочными, поэтому данная матрица является вспомогательным критерием при анализе корреляции собственных векторов. При равенстве
МАСц единице сравниваемые векторы коллинеарны, а при равенстве нулю ортогональны.
Если значения диагональных членов коррелирующих матриц больше 0.75 и внедиагональных меньше 0.25, то сравниваемые множества собственных векторов обладают высокой степенью корреляции; в остальных случаях степень корреляции низкая [6-9].
Анализ корреляции результатов, полученных на КЭ моделях пролетных строений
В качестве примеров для сравнения эффективности анализа корреляции по собственным частотам и векторам колебаний рассмотрены КЭ модели следующих конструкций.
- Типового балочного железобетонного пролетного строения (ПС) автодорожного (а/д) моста длиной 18 м, состоящего из пяти балок марки Б1-18-4 и двух балок марки Б2-18-
4. Балки Б2-18-4 являются крайними в пролетном строении, а Б1-18-4 располагаются между ними.
- Типового металлического ПС железнодорожного (ж/д) моста со сквозными главными фермами длиной 110 м с проездом понизу3. Причиной выбора таких конструкций является их распространенность на дорогах РФ и, следовательно, хорошая изученность. Для исходных КЭ моделей (КЭ-1) значения механических характеристик (модуль упругости, коэффициент Пуассона и др.) и размеров сечений приняты согласно типовым проектам. В качестве результатов натурного эксперимента используются данные анализа КЭ моделей (КЭ-2) с уменьшенными значениями механических и геометрических характеристик сечений деградации материала, трещин или иных повреждений, дефектов конструкции. Рассматриваемые параметры уменьшаются для моделирования аварийного состояния конструкций, когда их несущая способность существенно снижается. Данный случай представляет особый интерес, т.к. позволяет оценить, насколько сильно могут измениться динамические характеристики конструкций в аварийном состоянии.
Описание конструкций, материалов и КЭ моделей пролетных строений. Длина балочного ПС а/д моста равна 18 м, количество балок в сечении - 7, сечение балок тавровое, габарит пролетного строения - Г-10 (ширина проезжей части - 10 м). Армирование и бетон балок Б1-18-4 и Б2-18-4 аналогичны.
Поперечные разрезы пролетного строения и отдельной балки изображены соответственно на рис. 1 и 2. Армирование ребер балок представлено на рис. 3. Основные механические характеристики материалов балок следующие:
- Класс бетона - В254 Его механические характеристики: модуль упругости Е = 30 ■ 103МПа; коэффициент Пуассона V = 0.2; плотность р = 2200кг/м3;
- Рабочая продольная арматура в ребрах балок и наклонная арматура, - класс АШ5, диаметр 28 мм. Механические характеристики арматуры класса АШ: модуль упругости Е = 2.0■Ю5МПа; коэффициент Пуассона V = 0.28; плотность р = 7850кг/м3 .
- Рабочая арматура, находящаяся в сжатой зоне балок, - класс А11, диаметр 16 мм. Механические характеристики арматуры класса А11: модуль упругости Е = 2.1 ■Ю5МПа, коэффициент Пуассона V = 0.28; плотность р = 7850кг/м3 .
- Хомуты (поперечная арматура балки) - класс А1, диаметр 8 мм. Механические характеристики арматуры класса А1: модуль упругости Е = 2.1 ■Ю5 МПа; коэффициент Пуассона V = 0.28 ; плотность р = 7850кг/м3 .
- Рабочая арматура плиты проезжей части - класс АШ. Схема армирования плиты представлена в типовом проекте.
3
Пролетные строения для железнодорожных мостов с ездой понизу, пролетами 33-110 м, металлические, со сварными элементами замкнутого сечения и монтажными соединениями на высокопрочных болтах в обычном и северном исполнении: Типовой проект 3.501.2-139: Утв. и введ. в действие с 01.07.87 указанием МПС СССР / Разраб. Гипротрансмост. / Framework constructions for the railway bridges with low ride, spans 33-110m, metal, with welded elements of closed section and mounting connections on high-strength bolts in usual and northern variants: Typical project 3.501.2-139: Approved and introduced into action since 01.07.87 by the order of the Ministry of the railways of the USSR / Developed by Giprotransmost.
4,5Свод правил: Мосты и трубы: СП 35.13330.2011. Актуализир. Ред. СНиП 2.05.03-84*. введ. 2011.05.20. М.: ЦНИИС, 2011. 341 с. / Code of Regulations: Bridges and pipes: CR 35.13330.2011. Act. Ed.. SNiP 2.05.03-84*. intr. 2011.05.20. M.: CSRIC, 2011. 341 p.
Рис. 6. Конечно-элементная модель половины балочного пролетного строения и «позиции датчиков» (точки со стрелками) на «реальной конструкции» КЭ-2 балочного пролетного строения (Dx, Dy, Dz - поступательные степени свободы соответственно по осям x, y, z; Rx, Ry, Rz - вращательные степени свободы соответственно
относительно осей x, y, z) Fig. 6. Finite-element model of the half framework beam structure and the "sensor position" (points with heads) on the "real structure" of the FE-2 beam framework structure (Dx, Dy, Dz are translational degrees of freedom in x, y, z axes, respectively; Rx, Ry, Rz are rotational degrees of freedom with respect to x, y, z axes respectively)
КЭ-1 балочного ПС построена в программе MSC.Apex согласно типовому проекту, с учетом характеристик, указанных выше. ПС моделировалось объемными solid-элементами типа hex - это сами балки и их продольная рабочая арматура. Количество конечных элементов в модели -940000. Вся остальная арматура учтена приведением модуля упругости арматуры к бетону и заданием получившихся характеристик материалов по частям модели - для ребер и плит балок в отдельности. Коэффициенты приведения n1, согласно п. 7.48 СП «Мосты и трубы», вычисляются как отношение модуля упругости арматуры к модулю упругости бетона. Тогда для плит балок данный коэффициент равен n1 = 2.0 ■ ю5/зо ■ 103 = 6.7. Так как рабочей арматурой ребер балок является не только поперечная арматура класса AI, но и наклонная класса AIII, то усредненный модуль упругости стали упрощенно равен E = 2.05 ■ 105МПа. В таком случае коэффициент приведения составляет n1 = 2.05 ■ 105/з0 ■ 103 =6.83. Полученные
коэффициенты приведения умножаются на площадь всей соответствующей им рабочей арматуры, и полученное выражение складывается с модулем упругости бетона для получения итоговых выражений. Механические характеристики материалов, заданные в КЭ модели, указаны в табл. 1.
Граничные условия. С одной стороны, на опоре для каждой балки ПС есть закрепления, позволяющие только поворот относительно оси y (неподвижная опорная часть); с другой - позволен поворот относительно оси y и продольное перемещение вдоль ПС (подвижная опорная часть). Поскольку конструкция симметрична вдоль оси х по центру балки № 4, также имеется возможность построения КЭ модели в виде половины ПС. Для этого дополнительными граничными условиями для КЭ модели являются закрепления, характеризующие симметрию конструкции (граничные условия типа symmetry в MSC.Apex) вдоль сечения балки № 4 по оси ПС. КЭ модель изображена на рис. 6 и 7.
Рис. 7. Конечно-элементная модель пролетного строения со сквозными главными фермами и «позиции датчиков» (точки со стрелками) на «реальной конструкции»
КЭ-2 ж/д ПС
Fig. 7. Finite-element model of a framework structure with one-type main trusses and "sensor positions" (points with heads) on the "real structure" of the FE-2 railway FS
Таблица 1
Механические характеристики материалов для исходной (КЭ-1) и измененной (КЭ-2) КЭ моделей а/д ПС. Значения для КЭ-2 в скобках типа: Q - для балок № 1 и № 7; [] - № 2 и № 6;
// - № 3-5
Table 1
Mechanical characteristics of materials for the original (FE-1) and modified (FE-2) FE models a / r FS. Values for FE-2 in brackets of the type: ()- for beams No. 1 and No. 7; [] - No. 2 _and No. 6; // - № 3-5_
Материал / Material Е1, МПа / MPa v1 Р13 кг/м / kg/m3 Е2, МПа / MPa v2 р23 кг/м / kg/m3
Рабочая продольная арматура в сжатой зоне плиты AII / Main longitudinal reinforcement in the compressed area of the flange AII 2.1105 0.28 7850 (1.78105) [1.89105] /2.0105/ 0.28 7850
Рабочая арматура в ребре AIII / Main reinforcement in the web AIII 2.0105 0.28 7850 (1.7.105) [1 8105] /1.9.105/ 0.28 7850
Ребро балки - B25 + Хомуты AI + Наклонная арматура AIII / The web - B25 + Shear reinfo-cement AI + Diagonal reinforcement AIII 35.104 0.2 2400 (28103) [31.5103] /33.2.103/ 0.2 2400
Плита проезжей части - B25 + Рабочая арматура плиты AIII / The flange - B25 + Main reinforcement of the deck AIII 30.3104 0.2 2400 (24.4.103) [27.3.103] /28.8.103/ 0.2 2400
При построении модели не были учтены барьерные ограждения, карнизные блоки с перильным ограждением, а также асфальтобетонное покрытие (рис. 1), т.к. они не оказывают существенного влияния на динамические поведение конструкции.
ISSN 2227-2917 (print) ISSN 2500-154X (online)
Также это необходимо для снижения размерности задачи.
Длина ПС со сквозными главными фермами равна 110 м. Схема одной из главных ферм ПС изображена на рис. 4. Сечения основных несущих элементов ПС представлены
на рис. 5. ПС является симметричной конструкцией, поэтому элементы на рис. 5 представлены для ее половины.
Сечения остальных элементов ПС описаны в типовом проекте3. Материал для КЭ-1 соответствует типовому проекту - это сталь марки 15ХСНД. Ее механические характеристики: модуль упругости Е = 2.1 ■ 105 МПа; коэффициент Пуассона V = 0.28 ; плотность р = 7850кг/м3 .
КЭ-1 ПС со сквозными главными фермами моделировалась в про-
грамме MSC.Apex балочными конечными элементами с сечениями, соответствующими типовому проекту. Сечения элементов в зоне болтовых соединений уменьшены до характеристик нетто, т.е. площадь сечения уменьшена на площади ослаблений от болтов. Общее количество конечных элементов в модели - 6500. Граничные условия аналогичны КЭ модели балочного ПС за исключением симметричных граничных условий. Сама модель изображена на рис. 7.
Таблица2
Размеры и площади сечений ПС со сквозными главными фермами для КЭ-1 (x1, y1, z1, A1)
и КЭ-2 (x2, y2, z2, A2)
Table 2
The sizes and squares of the cross-sectional areas of the FS with one-type main trusses for FE-1 _(x1, y1, z1, A1) and FE-2 (x2, y2, z2, A2)_
Элементы / Elements x1, мм / mm yi, мм / mm z1, мм/ mm А1 брутто, мм2 / gross, mm2 x2, мм / mm y2, мм / mm z2, мм / mm А2 брутто, мм2 / gross, mm2
Н0-Н2, Н8-Н10 32 12 12 55900 27 12 12 49900
Н2-Н4, Н6-Н8 25 16 12 48880 22 11 11 41890
Н4-Н6 32 12 12 55900 27 12 12 49900
Н0-В1, В9-Н10 800 32 16 65980 800 30 16 62780
В1-Н2, Н8-В9 650 12 12 27640 650 11 12 26350
Н2-В3, В7-Н8 650 20 10 35720 650 9 9 34750
В3-Н4, Н6-В7 450 10 10 19120 450 9 9 17200
Н4-В5, В5-Н6 450 10 10 19120 450 9 9 17200
Поперечные балки проезжей части / Transverse beams of the roadway 25 - - 32640 14 - - 26400
Продольные балки проезжей части / Longitudinal beams of the roadway 20 - - 29760 10 - - 23810
Для получения КЭ-2 балочного ПС (условные) модули упругости балок ПС уменьшены до значений, указанных в табл. 1. Модули упругости существенно уменьшены для крайних балок № 1 и № 7 (для бетона на 20, для арматуры на 15%), т.к. они являются одними из самых нагруженных в ПС. Также их бетон, как правило, первым подвергается выщелачиванию в связи с недостатками водоотвода в конструкции ПС, следовательно, арматура таких балок подвергается коррозии. Для балок № 2 и № 6 модуль Юнга уменьшен для бетона
на 15% и для арматуры на 10%. Такое уменьшение обосновано тем, что эти балки загружены примерно так же, как и крайние балки, однако повреждения, связанные с недостатками водоотвода, у них, как правило, меньше. Модули упругости средних балок № 3-5 уменьшены для бетона на 10% и для арматуры на 5%. Такие изменения физико-механических характеристик материалов моделируют аварийное состояние конструкции, т.к., например, уменьшение модуля упругости бетона на 20% снижает его
класс с В25 до ~В17.5, что является критическим для ПС.
Для получения КЭ-2 ПС со сквозными главными фермами площади брутто (полная площадь без учета болтовых и иных отверстий) и нетто некоторых ее элементов уменьшены на 5-20% с целью моделирования дефектов в элементах ПС и коррозии металла, повреждений в узлах несущих элементов, трещин. Размеры полученных сечений, а также их площади представлены в табл. 2 (х, у, z см. на рис. 5). Дополнительно (условный) модуль упругости ПС уменьшен для всей КЭ-2 на 10% относительно исходного для моделирования возраста ПС, деградации стали от действия циклически повторяющихся нагрузок. Аналогично случаю с железобетонным ПС, такое состояние конструкции аварийное, т.к. рассматриваемое уменьшение представленных характеристик существенно снижает несущую способность конструкции.
Исходные (КЭ-1) и измененные (КЭ-2) КЭ модели рассчитаны на первые 5 собственных форм колебаний, представленных в данной работе по собственным частотам (табл. 3) и некоторым формам (рис. 8, 9).
Для приближения численных экспериментов к реальным условиям
данные о собственных векторах, получаемых на «реальной конструкции» КЭ-2, считываются с определенных узлов и соответствующих им поступательных степеней свободы - мест расположения датчиков на конструкции. При анализе корреляции по собственным векторам колебаний для всех КЭ моделей будут использоваться только векторы, получаемые именно по указанным выше степеням свободы.
Подбор расстановки датчиков с помощью КЭ модели - это отдельная комплексная задача, которая подробно рассмотрена в работах [4, 9]. В представленном исследовании для а/д ПС такими точками выступают точки на ребрах всех балок в середине и четверти их длины. Для ж/д ПС -в узлах сопряжения некоторых элементов одной из главных ферм. Данные «позиции датчиков» на моделях показаны на рис. 6 и 7.
Чтобы определить, достаточно ли использовать анализ корреляции лишь по собственным частотам для получения объективной оценки способности КЭ моделей пролетных строений отражать динамическое поведение моделируемых конструкций, результаты этого анализа необходимо сравнить с анализом корреляции по собственным векторам.
Таблица 3
Собственные частоты колебаний конструкций и коэффициенты их корреляции
Table 3
Natural vibration frequencies of structures and coefficients of their correlation_
КЭ модель / FE model ---- _________ v, Гц / Hz v1 v2 v3 v4 v5
Исходная ПС а/д моста - КЭ-1 / Initial span of the road bridge - FE-1 1.216 9.742 14.884 20.624 23.193
Измененная ПС а/д моста - КЭ-2 / Modified span of the road bridge - FE-2 1.151 9.417 15.531 22.007 24.042
отклонение, %: / deviation, %: 5.65 3.45 4.17 6.28 3.53
Коэффициент корреляции r / Correlation coefficient r 1
Исходная ПС ж/д моста - КЭ-1 / Initial span of the railway bridge - FE-1 1.399 2.413 2.915 3.024 4.700
Измененная ПС ж/д моста - КЭ-2 / Modified span of the railway bridge - FE-2 1.328 2.473 2.794 3.063 4.804
отклонение, %: / deviation, %: 5.35 2.43 4.33 1.27 2.16
Коэффициент корреляции r / Correlation coefficient r 1
.00675
0.00675 .0.00630 ' 0.00585 0.00540 0.00495 0.00450 0.00405 0.00360 0.00315 0.00270 0.00225 0.00180 0.00135 0.00090 0.00045
o.ooood
a b
Рис. 8. Третья форма колебаний балочного пролетного строения:
a - для КЭ-1; b - для КЭ-2 Fig. 8. The third form of oscillations of beam framework structure: a - for FE-1; b - for FE-2
Анализ корреляции собственных частот колебаний ПС. В результате динамического расчета исходных и измененных КЭ моделей получены по 5 их первых собственных частот колебаний. Они, вместе с коэффициентами корреляции результатов, представлены в табл. 3.
Коэффициенты Пирсона для собственных частот равны г = 1. Отклонение результатов лежит в пределах 3.53-6.28% для а/д моста и 1.275.35% для ж/д моста.
Если предположить, что измененные КЭ модели (КЭ-2) выступают в роли реальных конструкций, то полученные результаты говорят о способности исходных КЭ моделей (КЭ-1) с параметрами, соответствующими типовым проектам для а/д ПС и для ж/д ПС, с достаточной степенью точности представлять динамические характеристики «реальных» конструкций, находящихся в аварийном состоянии, т.к. коэффициент корреляции равен 1, а отклонение частот не превышает 10%. В случае необходимости достижения максимальной степени соответствия результатов, КЭ модель необходимо уточнить [10-13].
В рассматриваемых примерах собственные частоты колебаний изменяются приблизительно пропор-
ционально. Этим и объясняется полученное значение коэффициента Пирсона, так как он отражает пропорциональность изменчивости переменных, получаемых с двух разных источников.
Анализ корреляции собственных векторов колебаний ПС. В результате динамического расчета исходных и измененных КЭ моделей получены 5 их первых собственных форм колебаний. Формы колебаний ПС а/д моста, полученные на КЭ-1 и КЭ-2, являются практически идентичными.
Например, на рис. 8 изображена третья форма, полученная на рассматриваемых моделях а/д ПС. Для анализа корреляции по собственным векторам колебаний, полученных на КЭ-1 и КЭ-2, вычислены коррелирующие матрицы [ortho] и [mac].
Эти матрицы вычисляются с помощью программы MSC.ProCOR [9] и изображены на рис. 10. Значения диагональных элементов коррелирующих матриц близки к 1 или равны 1, что говорит о полном совпадении форм колебаний, полученных на КЭ-1 и КЭ-2 и имеющих одинаковый порядковый номер.
b
Рис. 9. Первая форма колебаний пролетного строения со сквозными главными фермами:
a - для КЭ-1; b - для КЭ-2 Fig. 9. The first form of oscillations of a framework structure with one-type main trusses:
a - for FE-1; b - for FE-2
.Ortho. Coefficient
■odel 1 lyki
odel 2 Modes
1-2, 1.2 2-2, 9.4 H: 3-2, 15.5 Hz 4-2, 22.0 Hz 5-2, 24.0 Hz
^ L iJl.oUZHz
2-1, 10.0 Hz
3-1, 16.4 Hz
4-1, 23.4 Hz
5-1, 25.3 Hz
a
b
a
Рис. 10. Коррелирующие матрицы, сравнивающие собственные векторы, которые получены с помощью КЭ-1 (Model 1 Modes) а/д ПС и КЭ-2 (Model 2 Modes) балочного пролетного
строения: a - [MAC]; b - [ORTHO] Fig. 10. Correlating matrices that compare own vectors that are obtained with FE-1 (Model 1 Modes) of a/r FS and FE-2 (Model 2 Modes) of a beam framework structure:
a - [MAC]; b - [ORTHO]
Однако у матриц имеется значительное количество внедиагональ-ных элементов, которые отличны от 0, но не достигают предельного значения 0.25 (максимальные 0.17 у [ORTHO ] и 0.11 у [mac ]). В нашем случае, например, вторая форма, описываемая с помощью КЭ-1, незначительно коррелирует (сходится) с
формой 1, полученной на КЭ-2. Эти данные говорят о том, что степень корреляции достаточная, но далека от идеальной.
Форма колебаний № 3 ПС ж/д моста, полученная на КЭ-1 и КЭ-2, изображена на рис. 11.
Остальные формы колебаний моделей также идентичны, что наглядно демонстрируют коррелирую-
щие матрицы, представленные на рис. 11.
Результаты анализа корреляции для ж/д ПС аналогичны результатам для а/д ПС. Диагональные члены матриц близки к 1 или равны 1, что свидетельствует о полном совпадении форм колебаний, полученных на КЭ-1 и КЭ-2 и имеющих одинаковый порядковый номер. Однако имеются некоторые внедиагональные элемен-
Ortho. Coefficient
ты данных матриц, которые говорят о незначительной корреляции отдельных форм колебаний с разным порядковым номером их собственных частот. Максимальные значения внедиа-гональных членов матриц - 0.15 у [ORTHO] и 0.11 у [mac] - меньше 0.25: достаточная, но далекая от идеальной степень корреляции сравниваемых результатов.
.Ortho. Coefficient
lodel 2 Modes
b
a
Рис. 11. Коррелирующие матрицы, сравнивающие собственные векторы, которые получены с помощью КЭ-1 (Model 1 Modes) ж/д ПС и - КЭ-2 (Model 2 Modes) пролетного строения со сквозными главными фермами: a - [MAC]; b - [ORTHO] Fig. 11. Correlating matrices that compare own vectors that are obtained with FE-1 (Model 1 Modes) of FS and FE-2 (Model 2 Modes) of a framework structure with tone-type main
trusses: a - [MAC]; b - [ORTHO]
Если предположить, что измененные КЭ модели (КЭ-2) выступают в роли реальных конструкций, то полученные результаты говорят о способности исходных КЭ моделей (КЭ-1) с параметрами, соответствующими типовым проектам для а/д ПС и для ж/д ПС, в достаточной мере представлять динамические характеристики «реальных» конструкций, находящихся в аварийном состоянии, т.к. значения диагональных элементов коррелирующих матриц больше 0.75, а внедиагональные меньше 0.25. Однако, как было указано выше, степень корреляции, полученная в данных примерах, лишь технически удовлетворительная, и, в случае необходимости устройства системы монито-
ринга состояния конструкций, нужно максимально приблизить значения коррелирующих матриц к идеальным (единицы - диагональные элементы матриц, нули - внедиагональные).
Это достигается, например, уточнением параметров модели с помощью методов оптимизации [10-13].
Выводы
На основании результатов анализа корреляции КЭ моделей необходимо отметить:
1. Степень корреляции по частотам и векторам для примера ж/д ПС технически удовлетворительная. Частоты, полученные на КЭ-1 и КЭ-2, отличаются незначительно (в пределах 7%), а коэффициент Пирсона равен 1 во всех примерах.
При анализе корреляции по векторам определено, что степень корреляции достаточная, однако она не идеальна, т.к. у матриц имеется несколько внедиагональных элементов со значениями больше 0.1.
Таким образом, можно сделать вывод о достаточности
использования только частот для точного анализа их корреляции для типовых конструкций, рассмотренных в данной работе, а именно: относительно небольших а/д балочных ПС, состоящих из тавровых балок с ненапрягаемой арматурой, и протяженных ж/д металлических ПС со сквозными главными фермами. Однако стоит учитывать техническое состояние конструкции, что отражено в выводе 3.
2. В зависимости от сложности, ответственности конструкции,
материальных средств, требуемого количества датчиков, вида внешних воздействий и прочих факторов подбирается способ анализа корреляции результатов в виде собственных частот или векторов колебаний. Например, если конструкция пролетного строения является новой в своем роде, при ее возведении были применены инновационные материалы или она находится в сейсмически опасной зоне, то анализ корреляции следует проводить по собственным векторам колебаний ПС даже несмотря на существенные затраты на датчики. В типичных условиях достаточно анализа корреляции по собственным частотам колебаний.
3. Дополнительным критерием при выборе результатов для анализа корреляции является техническое состояние конструкции, т.е. необходимо проводить ее предварительное обследование. Стоит идентифицировать наличие и степень повреждений и дефектов элементов конструкции, проверить, насколько изменился класс бетона конструкции во времени, и т.п. В случае, если на основании результатов обследования состояние конструкции оказалось неудовлетворительным, то предпочтение стоит отдать анализу корреляции по векторам, т.к. он позволит точно определить степень соответствия результатов, получаемых на КЭ модели и при натурном испытании. Также такой анализ позволит принять решение о дальнейших действиях по ремонту/реконструкции сооружения и корректировкам КЭ модели.
4. Необходимо предварительно анализировать КЭ модель на предмет динамических характеристик. В частности, следует определять плотность спектра собственных частот колебаний. В случае, если невозможно выделить отдельные частоты из такого спектра, стоит использовать анализ корреляции по собственным векторам колебаний.
5. При необходимости устройства системы мониторинга пролетного строения, включающую в себя фиксацию динамических характеристик, лучшим решением будет проведение анализа корреляции по собственным векторам колебаний.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 542 с.
2. Пыхалов А.А., Милов А.Е. Контактная задача статического и динамического анализа сборных роторов турбомашин. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2006. 192 с.
3. Gan Chen. FE model validation for structural dynamics. A thesis submitted to the University of London for the degree of Doctor of Philosophy, 2001. 209 p.
4. Забелин А.В., Пыхалов А.А. Вали-дация конечно-элементных моделей и алгоритм ее реализации // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2017. № 3. С. 216-233. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.3.13.
5. Мещихин И.А., Гаврюшин С.С., Зайцев Е.А. Мониторинг технических конструкций на основе редуцированных конечно-элементных моделей // Известия высших
учебных заведений. Машиностроение. 2015. № 9 [666]. С. 10—18.
6. Ching Y.T. Model reduction and model correlation using MSC.NASTRAN. MSC World Users' Conf. Proc., 1995. Paper no. 8.
7. Allemang A.J. The modal assurance criterion (MAC): twenty years of use and abuse. Journal of Sound and Vibration, vol. 8, no. 37, August 2003, pp. 14-21.
8. Ewins D. Modal testing: theory and practice. Research studies press, Letchworth, Hertfordshire, England, 1984, 313 p.
9. MSC.ProCOR 2005 r3 / MSC.Software Corporation, May 2006, 224 p.
10. Забелин А.В., Пыхалов А.А. Уточнение параметров конечно-элементных моделей методом аппроксимации откликов полиномиальными регрессионными моделями // Транспортная инфраструктура Сибирского региона: материалы Восьмой международной научно-практической конференции. Иркутск: ИрГУПС, 2017. Т. 2. С. 772-778.
11. Забелин А.В., Пыхалов А.А. Использование метода аппроксимации откликов полиномиальными регрессионными моделями для уточнения параметров конечно-
элементной модели ферменного пролетного строения железнодорожного моста // Транспортная инфраструктура Сибирского региона: материалы Восьмой международной научно-практической конференции. Иркутск: ИрГУПС, 2017. Т. 1. С. 599-607.
12. Ren W., Chen H. Finite element model updating in structural dynamics by using the response surface method. Engineering Structures, 2010, vol. 32, no. 8, pp. 2455-2465. DOI: 10.1016/j.engstruct.2010.04.019
13. Николаев С.М., Киселев И.А., Жу-лев В.А., Воронов П.С. Методика уточнения конечно-элементной модели механической системы с помощью анализа чувствительности // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. № 1. С. 128-136. DOI: 10.7463/1214.0751548
14. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.
15. Guyan R.J. Reduction of stiffness and mass matrices. AIAA J., 1965, vol. 3, no. 2, p. 380. DOI: 10.2514/3.2874
16. Qu Z-Q. Model Order Reduction Techniques. Springer-Verlag London, 2004, 378 p. DOI: 10.1007/978-1-4471-3827-3_1.
REFERENCES
1. Zienkiewicz O.C. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite element method in engineering]. Moscow, Mir Publ., 1971, 542 p. (In Russian).
2. Pykhalov A.A., Milov A.E. Kon-taktnaia zadacha staticheskogo i di-namicheskogo analiza sbornykh rotorov turbomashin [Contact task of static and dynamic analysis of the assembled rotors of turbo machines]. Irkutsk: IrGTU Publ., 2006. 192 p. (In Russian).
3. Gan Chen. FE model validation for structural dynamics. A thesis submitted to the University of London for the degree of Doctor of Philosophy, 2001. 209 p.
4. Zabelin A.V., Pyhalov A.A. Vali-datsiya konechno-elementnykh modelei i algo-ritm ee realizatsii [Validation of finite-element models and algorithm for its implementation]. Vestnik Permskogo natsional'nogo issle-dovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Mekhanika [Bulletin of Perm National Research Polytechnic University. Mechanics], 2017, no. 3, pp. 216-233. (In Russian). DOI: 10.15593/perm.mech/2017.3.13.
5. Meshchikhin I.A., Gavriushin S.S., Zaitsev E.A. Monitoring tekhnicheskikh kon-struktsii na osnove redutsirovannykh konechno-elementnykh modelei [Monitoring of technical constructions based on reduced finite element models]. Izvestiia vysshikh uchebnykh zave-denii. Mashinostroenie [News of Higher educational establishments. Mechanical engineering]. 2015, vol. 666, no. 9, pp. 10-18. (In Russian).
6. Ching Y.T. Model reduction and model correlation using MSC.NASTRAN. MSC World Users' Conf. Proc., 1995. Paper no. 8.
7. Allemang A.J. The modal assurance criterion (MAC): twenty years of use and abuse. Journal of Sound and Vibration, vol. 8, no. 37, August 2003, pp. 14-21.
8. Ewins D. Modal testing: theory and practice. Research studies press, Letchworth, Hertfordshire, England, 1984, 313 p.
9. MSC.ProCOR 2005 r3 / MSC.Software Corporation, May 2006, 224 p.
10. Zabelin A.V., Pykhalov A.A. Utoch-nenie parametrov konechno-elementnykh modelei metodom approksimatsii otklikov polinomi-al'nymi regressionnymi modeliami [Specification of parameters of finite element models by the method of response approximation by polynomial regression models]. Transportnaia infra-struktura Sibirskogo regiona: materialy Vos'moi mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konfer-entsii [Transport infrastructure of the Siberian region: materials of the Eighth International Scientific and Practical Conference]. Irkutsk, 2017, part II, pp. 772-778. (In Russian).
11. Zabelin A.V., Pykhalov A.A. Is-pol'zovanie metoda approksimatsii otklikov poli-nomial'nymi regressionnymi modeliami dlia utochneniia parametrov konechno-elementnoi modeli fermennogo proletnogo stroeniia zheleznodorozhnogo mosta [Use of the method of response approximation by polynomial regression models to specify parameters of the finite element model of the bridge framework
structure of the railway bridge]. Transportnaia infrastruktura Sibirskogo regiona: materialy Vos'moi mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii [Transport infrastructure of Siberian region: materials of the Eighth International Scientific and Practical Conference]. Irkutsk, 2017, part I, pp. 599-607. (In Russian).
12. Ren W., Chen H. Finite element model updating in structural dynamics by using the response surface method. Engineering Structures, 2010, vol. 32, no. 8, pp. 2455-2465. DOI: 10.1016/j.engstruct.2010.04.019
13. Nikolaev S.M., Kiselev I.A., Zhulev V.A., Voronov P.S. Metodika utochneniya konechno-elementnoi modeli mekhanicheskoi sistemy s pomoshch'yu analiza chuvstvitel'nosti
[Method of specifying the finite element model of a mechanical system with the help of sensitivity analysis]. Nauka i Obrazovanie. MGTU im. N.E. Baumana. [Science and Education. MSTU named after N.E. Bauman], 2014, no. 1, pp. 128-136. (In Russian). DOI: 10.7463/1214.0751548
14. Clough R.W., Penzien J. Dinamika sooruzhenii [Dynamics of structures]. Moscow, Stroiizdat Publ., 1979, 320 p.
15. Guyan R.J. Reduction of stiffness and mass matrices. AIAA J., 1965, vol. 3, no. 2, p. 380. DOI: 10.2514/3.2874
16. Qu Z-Q. Model Order Reduction Techniques. Springer-Verlag London, 2004, 378 p. DOI: 10.1007/978-1-4471-3827-3_1.
Критерии авторства
Забелин А.В., Пыхалов А.А. имеют равные авторские права и несут равную ответственность за плагиат
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Contribution
Zabelin A.V., Pyhalov A.A. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagiarism.
Conflict of interests
The authors declare no conflict of interests regarding the publication of this article.
