CC BY
0О.В. Репецкий, д-р техн. наук, проф., проректор по международным связям
Д.А. Еловенко, аспирант Байкальский государственный университет экономики и права, г. Иркутск
АНАЛИЗ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЖЕСТКИХ ШТАМПОВ С УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТЬЮ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА БАЗЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА MSC.MARC
В статье описан эффективный метод для расчета и анализа напряженного состояния контактного взаимодействия жестких штампов с упругой полуплоскостью методом конечных элементов. Достоверность полученных результатов подтверждена сравнением с аналитическим методом.
Ключевые слова: штамп, полуплоскость, контактное взаимодействие, напряжения, период, метод конечных элементов, численный анализ.
This paper describes finite elements method which is efficient for calculation and analysis of the stress state of contact interaction of rigid stamps with elastic half-plane. Reliability of the results is confirmed with the analytical method.
Key words: stamp, half-plane, contact interaction, stress, period, finite element method, numerical analysis.
Физические процессы периодического контактного взаимодействия конструкций вида жесткое тело - упругая полуплоскость в различных областях машиностроения, и в частности в химическом машиностроении, носят высокую научную актуальность. Это связано, прежде всего, с выбором методов оценки прочностных характеристик взаимодействующих контактных элементов на стадии конструирования, когда учет особенностей контактных процессов прямо влияет на работоспособность и долговечность аппарата в технологических условиях его работы.
Очень часто такие задачи не имеют аналитических решений по причине высокой степени сложности описания математической моделью, нелинейных процессов контакта и геометрической конфигурации сопряженных тел. В связи с этим решение этих задач может осуществляться численными методами, в частности наиболее развитым и хорошо реализованным в наукоемких программных комплексах является метод конечных элементов. Однако при его использовании всякий раз необходимым является подтверждение адекватности формулируемых математических моделей метода исследования и достоверности получаемых на их базе результатов. Эти вопросы могут быть решены путем сравнения результатов численного решения либо с экспериментальными данными, либо с известными аналитическими решениями, являющимися частными случаями рассматриваемой или смежных проблем. В связи с изложенным целью работы является:
а) выбор схемы численного решения задачи, описанной в [1], на базе программного комплекса MSC. Marc Mentat путем сравнения результатов расчета с известным аналитическим решением;
б) численное решение периодической контактной задачи с двумя жесткими штампами и анализ зависимости неравномерности напряженного состояния в полуплоскости от величины периода (расстояния) между ними.
При выборе схемы численного решения ограничимся следующим частным случаем. Полуплоскость представляет собой упругое тело y < 0, много больше жесткого штампа со стандартными структурными свойствами модуля упругости и коэффициента Пуассона, например стали, Е = 200000 МПа и о = 0,3. Штамп шириной 2a = 30 мм и весом Р, при определении нормальных давлений взаимодействует с полуплоскостью без сил трения (рис. 1). За пределами контактной зоны полуплоскость не нагружена.
Аналитическое решение для определения напряженного состояния полуплоскости на поверхности контакта с жестким штампом приведено в [1] и имеет вид
O.V. Repetskiy, D.Sc. Engineering, Prof. D.A. Elovenko, P.G.
CONTACT INTERACTION ANALYSIS OF RIGID STAMP WITH ELASTIC HALF-PLANE BY FINITE ELEMENTS METHOD BASED ON MSC.MARC SOFTWARE
P
P
где q0 = _ = 50 МПа. 2 a
Решая это уравнение для х на интервале - а < х < а, получаем график распределения напряжений р(х) на контактном участке полуплоскости (рис. 2).
\у
Р
а а
X
/ Е,а
Рис. 1. Схема контактного взаимодействия жесткого штампа с упругой
полуплоскостью
Рис. 2. Распределение напряжений р(х) на контактной верхности упругой полуплоскости, вызванное контактом с жестким штампом
0 -1 5 -] 0 -в— 1 3 1Б 2
-188— v, МПа
по-
Эту же задачу можно решить методом конечных элементов с применением программного комплекса MSC.Marc Mentat 2010. Формируем модель для статического анализа с учетом описанных выше граничных условий и задаем характер контактного взаимодействия тел соответственно принципам, описанным в [2]. Для конечно-элементной сетки полуплоскости выбираем объемные элементы второго порядка с номером 57, а для поверхностей жесткого штампа - обол очечные элементы первого порядка с номером 140. Подробное описание используемых конечных элементов приведено в [3].
Результаты определения напряжений p(x) в зоне контакта на полуплоскости показаны на графике рисунка 3.
Сравнивая графики аналитического и численного решения на рисунке 4, можно сделать вывод о том, что использование численного решения задачи методом конечных элементов с применением программного комплекса MSC. Marc Mentat 2010 полностью оправдано, а результаты анализа подобных задач могут быть получены с высокой степенью точности. Также на графике сравнения можно видеть, что в аналитическом решении при значениях х, весьма близких и стремящихся к а, напряжения р(х) будут резко возрастать и стремиться к бесконечности. На самом же деле значения р(х) имеют конечное значение, что явно отражено на графике численного решения МКЭ.
Очевидным же преимуществом метода конечных элементов является возможность определения широчайшего спектра необходимых результатов структурного анализа программой MSC. Marc практически в любой точке конструкции. Это очень важно ввиду того, что аналитические решения для получения этих результатов еще не разработаны, а для многих из них это вообще не представляется возможным.
Рассмотрим теперь периодическую контактную задачу с двумя жесткими штампами шириной 2а и расстоянием между ними Ъ, которые контактируют с описанной выше полуплоскостью (рис. 5). На свободные поверхности штампов, перпендикулярные оси у, воздействует давление q0. Решая эту задачу методом конечных элементов, получим графики распределения напряжений по оси у, представленные на рисунке 6. Так как напряженное состояние, возникающее в упругой полуплоскости, является симметричным относительно оси у, справедливо показывать графики напряжений только для x>0.
В этом классе задач может меняться количество штампов, физические и геометрические свойства деформируемого упругого тела, которое представлено полуплоскостью. Неизменным остается вектор нагрузки, приложенный к штампам, и расстояние между ними Ъ. Величина этого расстояния оказывает основное влияние на неравномерность напряженного состояния, возникающего в полуплоскости по оси у на протяжении некоторого расстояния от поверхности контакта, где у = 0.
0 -1 5 -3 0 0 > 1 1 0 1 5 2
-— <30
/ \
/ \
—iee- у, МПа
Рис. 3. Распределение напряжений р(х) на контактной поверхности упругой полуплоскости, возникающее при контактном воздействии жесткого штампа
Рис. 4. График сравнения результатов расчета напряже ний р(х) по контактной поверхности упругой полуплос кости от воздействия жесткого штампа
у, МПа
• Аналитическое решение
Рис. 5. Схема периодического контактного взаимодействия штампов с упругой полуплоскостью
Рис. 6. Графики распределения напряжений р(х) в упругом теле (полуплоскости) по оси у
> 1 20 2
" ~ - ikt Ч .
р(:V). МП, 1
-у/Ь=0,125
......... у/Ь=0,5
---у/Ь=1
----*/Ь=1.5
-----у/Ь-2
---yrti-J.s
— — у/Ь=Э
-— v/b=3.S
-■-у/Ъ-^
-■—v/b^l.5
—— у/Ь=5
Зависимость этого параметра от величины периода между штампами - b, иначе говоря, их отношение является важной особенностью в процессе конструирования и оценки прочности узлов машин и аппаратов, где имеют место подобные схемы сопряжения контактных компонентов. Это связано с возможностью определения расстояния у, на котором нормальные к поверхности контакта напряжения станут равномерными на всем расстоянии между центрами смежных штампов, равном 2a+b. Для этого запишем формулу определения относительной неравномерности p(x) при y/b = const:
Dp
-100%. (1)
pcp
В этой формуле Арср - абсолютная неравномерность среднего значения напряжений p(x) при y/b = const, определяемая по формуле:
Ë \pi - p ср I
Dp ср = -. (2)
n
а среднее значение напряжений p(x) на расстоянии 2a+b при y/b = const, имеет вид
n
^ pi (3)
p = ----(3)
г ср
n
По результатам проведенных исследовательских расчетов выведена графическая зависимость, представленная на рисунке 7.
Рис. 7. График относительной неравномерности распределения напряжений p(x) в упругом теле (полуплоскости) в зависимости от расстояния между штампами
График на рисунке 7 является безразмерным. Он универсален при определении расстояния у, на котором напряженное состояние в полуплоскости становится равномерным, с требуемой точностью в %, в зависимости от величины периода между штампами.
Эта степень получения равномерности распределения напряжений p(x) носит важное научно-практическое значение и облегчит выбор конструктивных параметров компонентов сосудов высокого давления новой конструкции со встроенными в несущую стенку нагревательными элементами.
Выводы
В работе сделан сравнительный анализ результатов решения задачи Садовского, аналитическим методом и МКЭ, в результате которого подтверждена достоверность высокой точности результатов, получаемых методом конечных элементов.
С помощью МКЭ получена зависимость величины периода (расстояния) между жесткими штампами от расстояния между контактной поверхностью и координатой у, где напряженное состояние в полуплоскости становится равномерным с требуемой точностью. Эта зависимость может быть полезна при выборе оптимальной толщины стенки цилиндра, расположенного за нагревательными элементами в новых конструкциях автоклавов высокого давления, подобных описанной в [4] на стадии разработки и проектирования. Однако это справедливо только в случае, когда модули упругости контактных тел отличаются на четыре и более порядка.
Библиография
1. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости. - М.: Высш. шк., 1966. - 228 с.
2. MSC. Marc 2010. Volume A: Theory and User Information. MSC.Software Corporation. 2010. - 830 p.
3. MSC. Marc 2010. Volume B: Element Library. MSC.Software Corporation. 2010. - 904 p.
4. Еловенко Д.А., Пимштейн П.Г., Репецкий О.В. и др. Экспериментальное исследование модели автоклава для гидротермального синтеза минералов// Вестн. байкальского союза стипендиатов DAAD. - 2010. - N° 1 (7). - С. 1119.
Bibliography
1. Rekach V. G. «Guideto solving problems in the theory of elasticity»Vysshaya shkola. - M., 1966. - 228 p.
2. MSC.Marc 2010. Volume A: Theory and User Information. MSC.Software Corporation. 2010. - 830 p.
3. MSC.Marc 2010. Volume B: Element Library. MSC.Software Corporation. 2010. - 904 p.
4. Elovenko D-А., Pimshteyn P.G., RepetskyО. V., Tatarinov D. V. «Experimental research of autoclaves model for hydrothermal synthesis of minerals » Letter des Baikal-Vereins der DAAD-Stipendiaten.№ 1 (7), 2010 . - С. 11-19.
