АНАЛИЗ КОНСТРУКТИВНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СКЛАДНЫХ РУЛЕЙ С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ АЭРОУПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 52

www. ша1. ги^аепсеЛгМу/

УДК 629.7.015.4

Анализ конструктивно-технологических решений складных рулей с учетом требований аэроупругой устойчивости.

Неделин В.Г.

Аннотация: В статье представлена общая постановка и схема решения задачи анализа конструктивно-технологических решений складных рулей. Алгоритм решения основывается на зависимостях, представленных в работе [1], при этом он содержит ряд изменений, вызванных конструктивными особенностями рассматриваемого объекта.

Ключевые слова: эталонное теоретическое решение; математическая модель; анизотропная пластина; конструктивные особенности; собственные колебания; аэроупругость; флаттер; дивергенция.

Данная задача является составной частью более общей задачи структурно-параметрической оптимизации (СПО) несущей поверхности (НП), в процессе решения которой предполагается отыскание наилучшего конструктивно-технологического решения (КТР) путем его идентификации с эталонным теоретическим решением (ЭТР) с последующей параметрической оптимизацией. В работе [1] приведена схема решения задачи СПО для традиционной (нескладной) НП, которая предполагает использование модели анизотропной пластины для определения оптимальных законов распределения массовых и жесткостных характеристик с учетом ограничений прочности и аэроупругой устойчивости.

Очевидно, что складная НП обладает рядом конструктивных особенностей, которые должны быть учтены при формировании математической модели. Так для складной НП характерно наличие элементов стопорения и пружинного или торсионного механизма. Фиксация НП в рабочем положении осуществляется одним или несколькими стержнями (стопорами) по схеме на рис.1.

а) б)

Рис.1 Варианты соединения вилки и лопатки руля (1 - вилка; 2 - лопатка; 3 - ось лопатки; 4 - стопор)

Из-за различного расположения осей стопора 4 варианты а) и б) будут отличаться изгибной и крутильной жесткостями. Влияние типа механизма раскладки на свойства НП, находящейся в раскрытом положении, когда положение лопатки относительно вилки обеспечивается только за счет стопора, сводится к различиям в массе. Кроме того, из-за конструктивных особенностей, представленных на рис. 2, могут возникать дополнительные степени свободы лопатки относительно вилки.

Рис.2 Дополнительные степени свободы лопатки НП (1 - вилка; 2 - лопатка) Лопатка 1 опирается на вилку 2 в зоне А, в идеальном случае (при отсутствии деформаций стопора, вилки, лопатки; зазоров) подобная конструкция обеспечит неподвижность лопатки относительно вилки, предполагается, что в реальной конструкции данное утверждение не выполняется, а, следовательно, при составлении математической модели необходимо учесть уменьшение жесткости НП в месте соединения. Предполагается, что жесткость соединения лопатки и вилки будет сопоставима с жесткостью крепления НП к корпусу летательного аппарата (ЛА). В случае подтверждения данного предположения

отличия характеристик аэроупругих колебаний складной НП от нескладной окажутся значительными.

На основании изложенного можно предложить два подхода к формированию математической модели НП: первый заключается в замене одной пластины парой пластин, соединение которых моделируется двумя пружинами (аналогично узлу крепления НП на рис.3); второй - в уменьшении жесткости единственной пластины в точках, лежащих на линии соединения лопатки с вилкой. С точки зрения простоты математической модели более предпочтительным является второй способ. Однако следует учесть, что значения жесткостей пружин Кф и Кв узла крепления НП определяются на основании эксперимента или назначаются исходя из сведений о прототипе, следовательно, определение подобных величин для соединения лопатки и вилки может оказаться затруднительным из-за недостатка данных на начальном этапе проектирования.

В обоих случаях (как в случае монолитной, так и в случае складной НП) предполагается использование метода конечных разностей, в соответствии с которым НП аппроксимируется сеточной областью с N узлами и для каждого узла соответствующие уравнения расписываются в конечных разностях, далее решается полученная система уравнений.

Уравнения равновесия для элемента анизотропной пластины, представленного на рис. 4 будет иметь следующий вид:

У

2

дю

Рис. 3 Моделирование узла крепления НП Определение напряженно-деформированного состояния.

Рис.4 Силовые факторы, действующие на элемент анизотропной пластины Моменты Мх, Мг, Мхг связаны с прогибом н,(х,г) срединной поверхности анизотропной пластины следующими соотношениями:

М =-

х

С - 1

V

(

1

Мг =-

м =-

1

12

1

д2 ^ ~дх2

д2 ^ д2

д2 ^ ~дх2

+1

+1

д2 ^ д2 ^

+ 2Д.

+ 21

22 ~ 2 26

+1

дг2 д2 ^

+ 21

д2 ^ Л дхдг

д2 ^ Л дхдг ^

д2 w ^

(2)

дхдг

где Бу - изгибные жесткости анизотропной пластины (г,]=1,2,6).

Граничные условия пластины при различных вариантах крепления следующие: 1. Край пластины (х = 0) защемлен. Прогиб и угол поворота в точках края равняются нулю:

М,=о = 0

= о

, дх )„_п

(3)

(4)

2. Край пластины (х=а) свободно оперт. Прогиб и изгибающий момент равны нулю:

= о

(Мх 1=а = 0

3. Край пластины (х=Ь) свободен. По этому краю нет ни изгибающих или крутящих моментов, ни вертикальных перерезывающих сил:

(Мх 1-=Ь = 0

М )х-=ь = 0 (5)

(Ох )х=ь = 0

Для узла поворота руля (рис.3) граничные условия имеют вид:

Кв* = GJp ^

дх дхдг ^

с№ д2

-£/д,

В общем случае для прямолинейной кромки, непараллельной осям координат (рис.5), граничные условия имеют вид:

д^

1. При защемлении w = 0 — = 0

дп

2. При свободном опирании w = 0 М п= 0

3. На свободном крае М = 0 Qn+дМ- = 0

&

В данных соотношениях п - нормаль к рассматриваемой части контура; I -касательная к ней, совпадающая по направлению с передней кромкой.

Рис.5 Система координат для стреловидной передней кромки В этом случае моменты определяются следующими выражениями:

Mn = Mx sin2 х+ Mz cos2 х-2Mxz sinxcosx Mt = Mx cos2 x + Mz sin2 x + 2Mxz sin xcosx Mm = (Mz -Mx)sinxcosx+ Mxz(cos2 x- sin2 x)

С учетом деформации конструкции для крыла и руля результирующее аэродинамическое давление определяется следующими соотношениями:

Р = С<ХуЧ{аж +Vy ) Р = cayqax ± cSyq(Sx +Ру )

где суа - производная коэффициента подъемной силы несущей поверхности по углу атаки аж; q - скоростной напор; аж - угол атаки жесткой несущей поверхности (корпуса ЛА); фу -дополнительный угол атаки, обусловленный упругостью конструкции, p=8w/dx; cys -производная коэффициента подъемной силы руля по углу отклонения Зж; Ьж - угол отклонения жесткого руля.

(7)

Напряжения и деформации в точках конструкции связаны следующими соотношениями:

^х = -

(

- 1

V

г

1

V (

В,

В

т = -

В

д2 ^ ~дх2

д2 ^ 12 а^

д2 ^

+В

д2 ™

1 т-:г" + 2В,,

12 я_2 16

+В

16 дх2

+В

дг2

д2 ^ 22 "д7"

д2 ^

л

дхдг

У

+ 2В

д2 И

26

дг2

+ 2 Вй

дхдг

д2 ^ дхдг

У

(8)

у

2„, Л

У

Выражения для коэффициентов жетсксти Ву (¡, ]=1,2,6) имеют вид:

В11 = В22 =

Е

1 -М2

В12 =

Е

1 -р

М В16 = В26 = 0 В66 =

Е

2(1 + м)

(9)

где Е, / - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала.

Для получения расчетной модели напряженно-деформированного состояния конструкции НП будем использовать метод конечных разностей (МКР). В соответствии с идеей МКР:

• несущая поверхность аппроксимируется сеточной областью с N узлами, при этом для складной НП разбиение должно быть таким, чтобы линия соединения лопатки и вилки проходила через узлы сеточной области (рис.6);

• для каждого узла сеточной области расписывается в конечных разностях через прогибы уравнение равновесия (1) или соответствующее граничное условие (3) — (6), решается система алгебраических уравнений относительно прогибов в узлах сеточной области;

• определяются напряжения в узлах сетки по соотношениям (8), записанным в конечно-разностной форме.

Рис.6 Сеточная область, аппроксимирующая несущую поверхность (1 - линия соединения лопатки и вилки НП)

Известно, что производные некоторой функции ¥(х,г), дифференцируемой в области Ь (рис. 6), аппроксимируемой областью Ь' с прямоугольной сеткой с шагом Ах, Az , можно выразить через значения самой функции в узловых точках сеточной области. Так, основные

2 2

производные с точностью порядка Ах , Az в точке 0 (рис. 6) имеют следующий вид:

? 1 & - 1)

дх

2Дх

=±& -)

дг

Гд 2

2Дг

Кдх2 J0 (д 2 & 1

Дх

!_. - + & )

2 J 0 (д 2 & 1

& - 2&0 + & )

Д2

(10)

дхдг

J 0

-— + - - )

4ДхДг

Следует отметить, что передача усилий от лопатки к вилке НП в месте соединения осуществляется не на всей длине хорды (рис. 7). В дальнейшем при составлении системы уравнений для незаштрихованных узлов на рис. 7 применяются ГУ свободного края пластины, заштрихованные узлы рассматриваются как центральные.

Рис.7 Определение граничных условий в соединении лопатки и вилки НП (1 - линия соединения лопатки и вилки НП) Расписывая уравнение равновесия (1) с учетом граничных условий (3)-(6) и группируя коэффициенты при неизвестных, получим систему линейных алгебраических уравнений порядка М(М-число узлов сеточной области, в которых записаны уравнения равновесия):

С„ Щ + с12 ^ + ... + C1NWN = Р1 с2^1 + С22 Щ + ... + С2 NWN = Р2

СЖ ^ + CN 2 ^ + ... + CNNWN = Р

(11)

В матричном виде: СЖ = Р (12)

где С - матрица жесткости конструкции; Ж - вектор прогибов; Р - вектор нагрузки.

7

0

0

Определив прогибы конструкции, находим напряжения ох, о2, тхг, действующие в узлах сеточной области, по формулам (8), записанным в конечно-разностной форме. По соотношениям (8) можно определить напряжения, действующие в любой точке конструкции НП. Однако для нахождения напряжений в точках на свободном контуре требуется предварительное знание прогибов в близлежащих законтурных точках. Прогибы в этих точках можно получить с помощью экстраполяции кубическим сплайном [2].

После чего определяются эквивалентные напряжения. Для обеспечения статической прочности конструкции НП необходимо, чтобы эквивалентные напряжения аэк^ в узлах сеточной области не превышали допускаемое с точки зрения прочности напряжение. °эквк ,к = 1,2,...,N. (13)

Определение частот и форм собственных колебаний.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний анизотропной пластины переменной толщины, схематизирующей конструкцию НП, имеет вид:

д 2Мх од 2Мхг д 2Мг д2 w( х, г, 1) Л

-+ 2-^ +-- т(х, г)-4 2 7 = 0 (14)

дх2 дхдг дг2 Ы2

где т(х^) - функция распределения масс пластины; w(x,z,t) - динамический прогиб

пластины; Мх, Мг, Мхг - моменты, связанные с прогибом w(x,z,t) соотношениями (2); 1 -

время.

Приведенное выше уравнение свободных колебаний можно получить из уравнения равновесия (1) подстановкой динамического прогиба (15) и инерционной нагрузки (16). w( х, г, 1) = w (х, г )в}0Я (15)

д2 w( х, г, 1)

Рин = -т(х г)-г-2-" (16)

где а, w (х, г) - частота и форма собственных колебаний.

С учетом соотношения (15) выражение для нагрузки (16) можно преобразовать к

виду:

рин = о2 т( х, (х, г)е(17)

Используя метод конечных разностей и сосредоточив распределенную массу пластины в узлах сеточной области (рис. 6), дифференциальное уравнение свободных колебаний (14) можно представить в виде системы конечно-разностных алгебраических уравнений порядка N

(с„ -012т1 + С12Щ + ••• + C1NWN = 0

С21^1 + (с22 - ®22т2 )™2 + ••• + С2NWN = 0 ^^

Ст + CN2 ^2 + ••• + mN )WN = 0

В матричной форме система уравнений (18) принимает следующий вид: (С -а2М)Ж = 0 (19)

где С - матрица жесткости; с - вектор, компоненты которого - частоты собственных колебаний; М - матрица масс, сосредоточенных в узлах сеточной области; Ж - матрица, столбцы которой - формы собственных колебаний wn представляющие собой прогибы wnk в каждом узле сеточной области (п=1,2,...^; к=1,2,...,Nк)•

Уравнение (19) преобразуем к виду: ф - ЛЕ)Ж = 0 (20)

Решение системы уравнений (20) заключается в определении собственных значений Хп и соответствующих векторов wn, п=1,2, Эта система уравнений имеет нетривиальное решение лишь в том случае, если определитель системы равен нулю: ёйф - ЛЕ) = 0 (21)

Собственные значения динамической матрицы определяются из системы уравнений (21) методом парабол [2]. Данный метод является эффективным при решении проблемы собственных значений и векторов систем высокого порядка. Кроме того, метод парабол, как правило, гарантирует нахождение собственных значений, начиная с наименьших величин, а, следовательно, позволяет определять частоты сп и формы wn собственных колебаний именно низших (основных) тонов.

Исследование аэроупругой устойчивости Для исследования статической и динамической аэроупругой устойчивости конструкции НП воспользуемся динамическим методом (методом малых колебаний), согласно которому рассматривают малыее колебания системы вокруг положения равновесия. Уравнения малых колебаний получим из уравнения равновесия (1), записанного в конечных разностях через прогибы, подстановкой динамического прогиба и заменой статической нагрузки на динамическую и инерционную.

w( х, г, г) = w (х, г)вт (22)

-.а

Рдин =-СуЧ\ - + —-

Рн = -т( х, г)^^ (23)

(дх 1 дм \дх + V Ы , д2 х, г, t)

~дё Р = Рдин + Рин

х(х,г) - форма колебаний конструкции в аэродинамическом потоке; S=S+ia - комплексная частота колебаний; t - время; V - скорость аэродинамического потока; т(х^) - функция распределения масс пластины (значения которой подсчитываются в каждом узле сеточной области); дмд — поперечная скорость колебаний. Подставив выражение (22) в (23), получим:

Р=

^Л^Хх + V + т( х 2)5 2 м

е5 (24)

Приведенная формула (24) справедлива для неподвижной несущей поверхности (крыла или стабилизатора); для руля следует вместо коэффициента Сау использовать

коэффициент Су . Производная дw/дx - в каждом узле сеточной области находится через

значения и в соседних узлах по разностной формуле (10).

Подставляя в уравнение (1) для прогиба х выражение (22) и для нагрузки Р выражение (24), записанное в конечных разностях, собираем все члены уравнения в левой части и сокращаем их на множитель е . Проделав эти операции для каждого из узлов сеточной

области, получим систему алгебраических уравнений порядка N которая имеет вид:

(с11 +А М + С12Х2 + ... + С1МХМ = 0

С21Х1 + (С22 + 42 Х2 + ... + С21МХМ = 0

СМ1Х1 + СМ2Х2 + ... + (С^ + 4 = 0

или в матричной форме

[С + 4(5 )Е ]Ж = 0 (26)

где Су - коэффициенты матрицы жесткости С (¡у=1,2,...,Ы); элементы вектора определяются следующим выражением (27); Ж - матрица, столбцы которой - формы собственных колебаний хп; Е - единичная матрица.

= тХ + СУуЧV 5п (27)

Система уравнений (26) имеет нетривиальное решение, если определитель системы равен нулю:

ёе^С + 4Е) = 0 (28)

10

Комплексные частоты 8„ определяются из системы (28) методом парабол. Исследование аэроупругой устойчивости конструкции НП заключается в анализе поведения комплексных частот 8„ в зависимости от скорости У. Относительное равновесие НП в потоке устойчиво, пока все коэффициенты затухания Ь„ отрицательны: 8п < 0,„ = 1,2,...,N (29)

Наименьшее значение скорости У, начиная с которого хотя бы один коэффициент затухания 81 (I е Ы) меняет знак, является критическим. Смена знака у коэффициента

затухания 8г означает потерю устойчивости конструкцией. Характер неустойчивости при

этом может быть как статическим (а1 = 0 - дивергенция, рис. 8,а), так и динамическим

(О Ф 0 - флаттер, рис. 8,б). Следует отметить, что на практике ограничиваются

исследованием нескольких низших тонов колебаний. Конструкция НП должна обладать 1,2-кратным запасом по критической скорости флаттера ¥кр. фл (дивергенции Укр. див).

Ц =й)фя

ЯеЯб}

В!

Рис.8 Характер связи между параметрами комплексной частоты и скоростью (а - статическое поведение конструкции; б - динамическое поведении конструкции) Представленная выше математическая модель позволяет определить характеристики ЭТР НП. Далее следует осуществить переход от эталона к КТР, для чего используют оптимизационную процедуру идентификации. В данной процедуре есть только геометрические ограничения на варьируемые параметры КТР, поэтому она обладает высоким быстродействием. В рамках оптимизационной процедуры идентификации КТР и

ЭТР реализуется интерактивный поиск рациональной структуры НП с учетом трудноформализуемых требований технологического и эксплуатационного характера.

Следует отметить, что при получении ЭТР НП рассматривается один вариант механизма раскладки и способа фиксации лопатки, следовательно, он будет применен во всех рассматриваемых КТР. В случае, когда необходимо определить характеристики КТР НП с различными механизмами и способами фиксации, задачу структурно-параметрической оптимизации следует решать для каждого из вариантов, т.е. получить рациональные КТР для каждого ЭТР, а затем произвести их сравнение.

С целью проверки корректности удовлетворения КТР, полученных в результате решения задачи идентификации, функциональным ограничениям проводят параметрическую оптимизацию данных КТР.

Заключительным этапом решения задачи структурно-параметрической оптимизации является выбор рационального КТР НП. Этот выбор делают на основе оценки конструктивного и технологического совершенства КТР, полученных в результате решения оптимизационной задачи идентификации, с применением экспертного метода - метода анализа иерархий.

На основе представленных моделей, сформированных с учетом ограничений прочности, аэроупругой устойчивости и конструктивных особенностей складной несущей поверхности, строится алгоритм, которой позволит определить оптимальный закон распределения массово-инерционных и жесткостных характеристик НП с точки зрения минимума массы.

Библиографический список

1. Парафесь С.Г. Методы структурно-параметрической оптимизации конструкции беспилотных летательных аппаратов. - М.: МАИ-Принт, 2009. - 316 с.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

НЕДЕЛИН Владислав Геннадьевич, инженер-конструктор ОАО «Долгопрудненское научно-производственное предприятие»; аспирант Московского авиационного института (национального исследовательского университета), тел.: +7 (926) 901-04-26; e-mail: nedelinv@rambler.ru