Анализ каскадных моделей случайных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 9. 2009

УДК 519.6

АНАЛИЗ КАСКАДНЫХ МОДЕЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ

ПОЛЕЙ1

Н.П. Ельцов2, В.А. Огородников3, С.М. Пригарин 3

Каскадные модели случайных процессов и полей широко используются для математического моделирования разнообразных объектов и явлений. В работе исследуются свойства ограниченных каскадных моделей на плоскости, их одномерные распределения и корреляционная структура. Полученные результаты позволяют оценивать целесообразность применения каскадных моделей при решении различных прикладных задач.

Ключевые слова: математическое моделирование, случайные процессы и поля, каскадные модели.

1. Введение

Каскадные модели первоначально были предложены для описания турбулентности, но впоследствии они нашли применение для представления широкого класса самых разнообразных процессов и явлений, обладающих фрактальной природой: пространственное распределение осадков, распространение лесных пожаров, изменение цен акций, организация нейронных сетей, сетевой трафик и т.д. (см., например, [1,2] и имеющиеся там ссылки). В данной работе мы исследуем ограниченные каскадные модели на плоскости, которые, в частности, активно используются американскими специалистами для моделирования пространственной неоднородности облачных сред [3-10]. В п.1 даётся описание

1 Работа выполнена при финансовой поддержке ШТАЯ (05-1000008-8024), РФФИ (06-05-64484а) и президентской программы ’’Ведущие научные школы”(НШ-4774.2006.1.).

2Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

3Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Новосибирский госуниверситет

© Ельцов Н.П., Огородников В.А., Пригарин С.М., 2009.

конструктивного алгоритма построения каскадных моделей, в п.2 рассматриваются одномерные распределения, а в п.З изучается корреляционная структура каскадов разного уровня. Получены новые результаты, которые позволяют проводить предварительный анализ адекватности описания тех или иных объектов и процессов с помощью каскадных моделей.

2. Каскадная модель и ее свойства

Сначала мы представим алгоритм построения каскадной модели на плоскости (см., например, [1,3]). Речь идет о последовательности случайных полей £п(х, у) на квадрате [О, V) х [О, I/), которые мы будем называть каскадами уровня п. Каскад уровня п определяется на разбиении множества [0,1/) х [0,1/), состоящем из 4П квадратов

= [г 2~п Ь, 1 2~п Ь) х [(г + 1) 2~п Ь, Ц + 1) 2~п Ь), т

со стороной (2~ПЬ). Каскад £п(х,у) на квадрате принимает некоторое случайное значение Значения определяются согласно ре-куррентной процедуре:

С=™о, = тДе{0,1}, (2)

Случайные веса ^) выбираются таким образом, чтобы выпол-

нялось равенство

Е >о(*.л = 4. (з)

т,к—0,1

т-е- \ Е й11ты+к = Ф~1} Для всех п и г, ] = 0,..., 2~п - 1, и, зна-

т,к=0,1 2п-1

чит, ^ — то- Рекуррентную процедуру можно интерпретиро-

i,j=0

вать как последовательное перераспределение некоторой массы внутри области. Первоначально масса т01/2 равномерно распределена по области [0, V) х [0, V) (каскад уровня 0), затем происходит перераспределение этой массы по четырем меньшим квадратам (каскад уровня 1), затем внутри каждого из четырех квадратов происходит очередное перераспределение массы по четырем еще боле мелким квадратам, в итоге масса оказывается перераспределена по 16 квадратам (каскад уровня 2), и

т.д. При такой интерпретации каскады £п(х,у) являются плотностями распределения массы (см. рис. 1).

Свойства каскадной модели полностью определяются весами в качестве которых мы будем рассматривать случайные величины независимые для различных значений п, г, j. Будем считать, что для фиксированных значений пиу' Е {0,..., 2~п — 1} четыре значения ^^(г,^), ~ 0,1, моделируются случайной перестановкой

(т.е. выборкой без возвращений) из набора чисел

Vl = 1 + ai6n, У2 = 1 + a2bn, V3 = 1 - ai&n, V4 = 1 + a2bn. (4)

Далее будем предполагать, что 0 < b < 1. Это соответствует ограниченной каскадной модели (bounded cascade model, см. [1,3]), в отличие от сингулярной каскадной модели для которой 6=1. Таким образом, рассматриваемая каскадная модель (1-4) описывается параметрами m0, ai, a2 и b:

£п(х,у)= тй\^гт[^у)М^у)(і{х}у)^{х}у)) =тй\\(1±а8Ьк), (5)

г—1 к—1

где значения индексов т, &, г, ^ определяются очевидным образом координатами х, у, а индекс 8 и знак (плюс или минус) выбираются случайным образом. Как утверждается в работе И, для 1 > Ь2 > 1/2 при больших п каскадная модель имеет степенной спектр с показателем (—а) и одномерное распределение приближается логнормальным с параметрами с = Е\п£п(х,у), а2 — V 1п£п(х, у), где символы Е и V используются для обозначения математического ожидания и дисперсии, соответственно,

а = 1 — к^2 62, 1 < а < 2, 1 > й2 > 1/2, у) = т0^ ехр(сг2/2 + с),

(П г 2 2 1 \

П 1 + ^1^2-Ь2к - і) Шц ~ ехр(ст2 + 2с)[ехр(ст2) - 1].

Более подробно корреляционные функции каскадов £п(х,у) исследованы в п.З. Здесь мы лишь отметим, что случайные поля £п(х,у) являются существенно анизотропными и неоднородными (см. рис.2), и утверждение о степенном спектре нужно понимать специальным образом [1,3]:

Уах,у) - У£п-і(х,у) ~ 2"(1_“).

Рисі 1: Реализации каскадові четвертого (вверху) и седьмого (внизу) уровней.

г

Рис. 2: Значения нормированной корреляционной функции

Кп(х1,у1,Х2,у2) = Щп(х1,У1)€п(х2,У2), £п(Х’У) = [€п(х,у) ~

Щп(х,у)\/у/уь (ж, у), для каскада уровня п — 7 с параметрами

а\ — а2 = 1.209, Ь = 0.63, т0 = 12.909, Ь = 128. Сплошная линия соответствует функции ^(0, 0, 0), а пунктирная линия соответствует

функции (63, 0, 63 + £, 0)

3. Одномерные распределения каскадов

Что касается одномерных распределений (#,?/), то они не зависят от значений координат (х,у), являются дискретными и сосредоточены на множестве, состоящем из 4П чисел, а при а\ — а2 лишь из 2п чисел (по этой причине каскадные модели с параметрами а\ ф а2 являются более предпочтительными). К утверждению об аппроксимации одномерных распределений каскадной модели логнормальным распределением нужно относиться весьма осторожно, так как погрешность такой аппроксимации может оказаться существенной (см. рис.З). Максимальные и минимальные значения для каскадов определяются выражениями

п

тах {£п(>, у), (х, у) е [0, Ь) х [0, V)} = ш0 Д (1 + аЪп), (6)

2 = 1 П

пип {£п(ж, у), (х, у) е [0, Ь) х [0, Ь)} = т0 ]^[ (1 - аЬп), (7)

І = l

а — тах{а1,02}.

4. Корреляционная структура каскадных моделей

Как уже было отмечено во введении, область применения каскадных моделей является достаточно обширной. В этом пункте получены точные выражения для корреляционной функции ограниченной каскадной модели, знание которой представляется полезным для оценки целесообразности использования каскадных моделей при имитации различных явлений и объектов.

Сначала рассмотрим «одномерную» каскадную модель, которая строится на интервале [О, V) аналогично двумерной модели, рассмотренной в п.1. Каскад £п(я?), х Е [0,1/), уровня п является ступенчатой случайной функцией, принимающей постоянные значения £г-п^ на интервалах = [г2_п1/, (г + 1)2_п1/), г — 0,..., 2П — 1. Каскадная модель

строится последовательно по следующему алгоритму:

Й0) = то, ЙЙ-т = т е (°; !}• (8)

Для фиксированных значений п и г Е {0,..., 2П — 1} случайные значения И^(г), т — 0,1, моделируются по формулам

^(г) = 1 + Л>6П, ^п(г) = 2- = 1 - Л>6П, (9)

где А™ последовательность независимых случайных величин принимающих значения { — 1, +1} с равной вероятностью. Таким образом, одномерная каскадная модель (8-9) описывается параметрами то, а и Ь:

п

£п(х) = тоП1У^{х)^(х)), (10)

к=1

где значения индексов т, г определяются очевидным образом координатой X.

Утверждение 1. Для модели (8-10) корреляционная функция

Вп(х,у) = Е[£п(х) - Е^п{х)][^п{у) - Е£п(у)\

каскада £п(я?), х Е [0,1/), уровня п с параметрами то, а, Ь определяется формулами:

Вп(х,у) = т20Еп(к(х,у)), х,уе[0,Ь), х<у,

рп(к) = | (1~[аЬк}2) П (1 Ч- [аЬг]2) — 1, к<п

I 1, к > п

0,15 -

0,10 -

0,05 -

0,00 -

"і----------'-------Г"

0 50

—і------------•-1-------'-1--------'-1------------'-1

100 150 200 250 300

Рис. 3: Гистограммы одномерных маргинальных распределений для каскада уровня п — 7 с параметрами, Ь = 0.8, т0 = 12.909, а\ — а2 = 0.514 (верхний рисунок) и а і — 0.355, а2 = 0.635 (нижний рисунок), шаг гистограммы 0.2. Пунктирная линия соответствует плотности логнормального распределения с параметрами с = 2.34, о — 0.65.

где к(х,у) это минимальное из целых к > 1, для которых найдется целое j такое, что х < фЬ < у.

Доказательство. Если точки х и у принадлежат одному интервалу А^\ ТО, очевидно, ЧТО Вп(х,у) = Шд.

Предположим теперь, что к Е {1, - это уровень каскадной мо-

дели, при котором точки х < у впервые оказались в соседних интер-

\-f\y є/{к) " ^ /п °к

:жно бьи

Лк).,Л(к) _ Лк-1)

валах х £ А^ , у £ 3 £ {0, ...,2 — 2}. Тогда очевидно, что зна-

ЛЮ о — 9^' С.(гА ------- -- !

^2г+1

чение должно быть четным, т.е. 3 = 2г, ^, £*(у) = ф+1,

А$ и А^+1 = В соответствии с формулой (8) имеем

4* = 4ч = #“1>ИГ‘(!), Ш*. У) = Е (4*^!) -т1 =

Е

(«Г1,)2»о‘МИ'ї(і

-т0 = т0

к—1

Е{ 1 - (А‘о6‘)2) П (И^))2 - 1

г—1

Используя независимость случайных величин Л”, окончательно получаем

В„(х, у) = тМ (1 - [а»‘]2) П (1 + №7) ~ 1 ^ ■

Рассмотрим теперь значения следующего каскада ^+1 в интервале А{к~1)\

4+1> = 4’<+1(2») = 4*’(1 + Аи‘‘<^+1)>

4?;’ = 4Ч‘+1(2*) = 4’(1 -

4«' = + 1) = 4> ,(1 + \^\аьм),

4« = 4«И?+1(2* + 1) = 411(1 - \^\аЬм).

Случайные величины А^1-1 и А^1! являются независимыми, ЕХ^1 = В^2^+1 = 0) следовательно, Е ((1 ± Л^1 аЬк+1)(1 ± Л^+1а^к+1)) = 1 и

Лк+1) Лк+1) ______ Лк+1) Лк+1) _ т^^(/с+1)^(/с+1) ____ Лк+1) Лк+1) _ т?Ак)Ак)

^4г Мг+2 — ^Мг Мг+З — ^Мг+1 Мг+2 — ^Мг+1 Мг+З — ^2г Ъ2г+1*

Это означает, что В^{х,у) = Вк+г(х,у), так как значение ^+1(2;) совпадает либо с либо с £4*+^, а значение £*+1(2/) совпадает либо с

^1+2 либо с £4^+3^ • Аналогичным образом показывается, что для любого каскада уровня п > к корреляция между значениями в точках х £ А%) и У е будет равна Вп(х, у) = Еф^)+1-т1 = Вк(х, у). Утверждение 1 доказано.

Совершенно аналогичным образом доказывается следующее утверждение о корреляционной функции каскадной модели на плоскости из п.1.

Утверждение 2. Для модели (1-5) корреляционная функция

Вп(х1,у1,х2,у2) = Е[£п(х1, у\) - Е£п(х1,у1)][£п(х2,у2) ~ Е£п(х2,у2)]

каскада £п(х,у), (х,у) е [0,1/) х [0,1/), уровня п с параметрами то, аь

02, Ь определяется формулами:

Вп{хиУ1,х2,У2) = т1Еп(к(хъуъх2,у2)),

к — 1

1 [а^-'г+^гЬ'Т \

д (1+[“.>Т+МТ)_1, к<п

где к(х1,у1,х2,у2) - это минимальный уровень к > 1 каскадной модели, при котором точки (х\,у\), (х2,у2) находятся в разных квадратах: (хъу1) е А^, (х2,у2) е А{^\ (в,г) ф (г,]).

Заключительные замечания. Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы. Во-первых, следует критично относиться к заявлению о том, что одномерные распределения для ограниченных каскадных моделей хорошо описываются логнормальным законом. Желательно проводить более подробный численный анализ одномерного распределения и учитывать, что оно является дискретным и сосредоточено на конечном интервале, см. формулы (6-7). Автокорреляционную функцию каскадной модели можно вычислить на основе утверждений 1 и 2. Следует также учитывать, что каскадные модели на плоскости являются анизотропными и неоднородными. Таким образом, к применению каскадных моделей при решении прикладных задач следует относиться с определенной осторожностью, так как каскадные модели описывают достаточно специфический класс случайных полей

и не позволяют в значительной мере варьировать ни распределения, ни корреляционную структуру. В частности, именно по этой причине в работе [11] для моделирования стохастической структуры облачности наряду с каскадной моделью предлагается использовать более универсальный метод моделирования негауссовских полей на основе нелинейных преобразований гауссовских функций (см. [12-15]).

Авторы искренне признательны A.JI. Маршаку (NASA-GSFC, Грин-белт, США) и Т.Б. Журавлевой (ИОА СО РАН, Томск) за полезные обсуждения.

Литература

1. Marshak, A., Davis, A., Cahalan, R.F., and Wiscombe, W.J.

Bounded cascade models as non-stationary multifractals// Phys. Rev. E, 1994.

2. Resnick, S., Samorodnitsky, G., Gilbert, A. and Willinger, W.

Wavelet analysis of conservative cascades// Bernoulli Journal. 2003. V. 9. M 1. P. 97-135.

3. Cahalan, R.F., Ridgway, W., Wiscombe, W.J., Bell, T.L., and Snider, J.B. The albedo of fractal stratocumulus clouds// J. Atmos. Sci. 1994. V. 51. №. 16. P. 2434-2455.

4. Marshak, A., Davis, A., Wiscombe, W.J., and Titov, G. The

verisimilitude of the independent pixel approximation used in cloud remote sensing// Remote Sens. Environ. 1995. V. 52. P. 71-78.

5. Schertzer, D., and Lovejoy, S. Physical modeling and analysis of rain and clouds by anisotropic scaling multiplicative processes// J. Geophys. Res. V. 92. P. 9693-97Ц.

6. Barker, H.W., and Davies J.A. Cumulus cloud radiative properties and the characteristics of satellite radiance wavenumber spectra// Remote Sens. Environ. 1992. V. 42. P. 51-64-

7. Cahalan, R.F. Bounded cascade clouds: albedo and effective thickness// Nonlinear Proc. Geophys. 1994■ №. 1. P. 156-176.

8. Marshak, A., Davis, A., Wiscombe, W.J., and Cahalan, R.F.

Scale invariance in liquid water distribution in marine stratocumulus.

Part I: Spectral properties and stationarity issues// J. Atmos. Sci. 1996. V. 53. Ж. 11. P. 1538-1558.

9. Marshak, A., Davis, A., Wiscombe, W.J., and Cahalan, R.F.

Scale invariance in liquid water distribution in marine stratocumulus. Part II: Multifractal properties and intermittency issues// J. Atmos. Sci. 1997. V. 54. Ж. 11. P. 1423-1444.

10. Журавлева Т.Б., Маршак A.Jl. К вопросу о валидации пуассо-новской модели разорванной облачности// Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41- № 6. С. 783-191.

11. Prigarin, S.M., Gubina, N.I., and Oppel, U.G. Numerical modelling of stochastic fields of vertical optical thickness for stratocumulus clouds In: W.L. Smith and Yu. M. Timofeyev (Eds.) IRS 2000: Current Problems in Atmospheric Radiation. 2001. Deepak Publishing, Hampton. Virginia. P. 257-260

12. Пиранашвили З.А. Некоторые вопросы статистиковероятностного моделирования случайных процессов// Вопросы исследования операций. Тбилиси: Мецниереба. 1966. С. 53-91.

13. Пригарин С.М. Методы численного моделирования случайных процессов и полей.- Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН. 2005. 259 с.

14. Ogorodnikov, V.A., and Prigarin, S.М. Numerical Modelling of Random Processes and Fields: Algorithms and Applications. VSP, Utrecht. 1996. 240 p.

15. Prigarin, S.M. Spectral Models of Random Fields in Monte Carlo Methods. VSP, Utrecht. 2001. 198 p.

Summary

Eltsov N.P., Ogorodnikov V.A., Prigarin S.M. Analysis of cascade models of random fields

The stochastic process with piecewise linear trajectories is considered. The process is based on models of stochastic walk on a straight line. The distributions of stochastic variables, forming this process, and, in particular, distribution of relative time expectations for Poisson flow of

points are investigated. The appropriate mathematical expressions for these distributions, and also expressions for mean of process as time-varying function are received.

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Новосибирский госуниверситет Поступила 15.01.2009