CC BY
49Научная статья УДК 621.396.67
DOI:10.31854/1813-324X-2022-8-3-37-43
É
Анализ качества алгоритмов адаптивной пространственной и пространственно-частотной фильтрации сигналов в системах спутниковой навигации
Евгений Иванович Глушанков113, glushankov57@gmail.com © Владимир Игоревич Царик2, wladimirzarik@mail.ru
1Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. М.А. Бонч-Бруевича,
Санкт-Петербург, 193232, Российская Федерация 2ООО «Эйртэго», Санкт-Петербург, 197375, Российская Федерация
Аннотация: Рассмотрена задача компенсации помех при приеме спутникового навигационного сигнала. Приведены алгоритмы построения адаптивных пространственных и пространственно-частотных фильтров. Осуществлена обработка построенными фильтрами реальных спутниковых сигналов с широкополосной помехой в среде MATLAB. В результате сравнения различных показателей качества обработки выявлены наиболее эффективные алгоритмы фильтрации.
Ключевые слова: адаптивный пространственный фильтр, корреляционная матрица, вектор весовых коэффициентов, итерационная процедура, коэффициент подавления, пространственно-частотная обработка, антенная решетка, MATLAB, обращение мощности, формирование луча
Ссылка для цитирования: Глушанков Е.И., Царик В.И. Анализ качества алгоритмов адаптивной пространственной и пространственно-частотной фильтрации сигналов в системах спутниковой навигации // Труды учебных заведений связи. 2022. Т. 8. № 3. С. 37-43. DOI:10.31854/ 1813-324X^022-8-3-37-43
Quality Analysis of Space and Space-Frequency Adaptive Signal Processing Algorithms in Satellite Navigation Systems
Evgeniy Glushankov1 glushankov57@gmail.com © Vladimir Tsarik2, wladimirzarik@mail.ru
1The Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications,
St. Petersburg, 193232, Russian Federation 2Airtago, LLC, St. Petersburg, 197375, Russian Federation
Abstract: The problem of interference mitigation in satellite navigation signals is considered. Construction algorithms for space- and space-frequency adaptive filters are described. The processing of real satellite signals with broadband interference by means of the constructed filters is carried out in MATLAB. As a result of comparing different processing quality indicators, the most efficient filtering algorithms are identified.
© Глушанков Е.И., Царик В.И., 2022
37
tuzs.sut.ru
Keywords: space adaptive filter, correlation matrix, weight coefficients vector, iteration procedure, suppression coefficient, space-frequency processing, antenna array, MATLAB, power inversion, beamforming
For citation: Glushankov E., Tsarik V. Quality Analysis of Space and Space-Frequency Adaptive Signal Processing Algorithms in Satellite Navigation Systems. Proc. of Telecom. Universities. 2022;8(3):37-43. (in Russ.) DOI:10.31854/1813-324X-2022-8-3-37-43
1. Введение
Глобальная спутниковая система навигации находит широкое применение для определения координат различных объектов (наземных, водных, воздушных объектов, низкоорбитальных космических аппаратов). Однако полезные навигационные сигналы, поступающие от спутников, обладают повышенной уязвимостью к воздействию различных помех ввиду слабой мощности сигнала вблизи поверхности Земли. Наличие в спутниковом сигнале различного рода помех существенно затрудняет его обработку приемником и приводит к увеличению погрешности при вычислении навигационных характеристик. В этой связи задача подавления помехи при приеме спутниковых навигационных сигналов посредством их фильтрации является достаточно важной и актуальной [1].
Среди различных методов фильтрации эффективными и достаточно часто применяемыми являются методы пространственной фильтрации, основанные на фокусировке диаграммы направленности антенной решетки радиотехнической системы таким образом, чтобы направление ее основного лепестка совпадало с направлением на источник полезного сигнала, а направления на источники помех попадали в ее нули. Такие методы фильтрации называются пространственными, так как их функционирование и качество определяется пространственной конфигурацией антенной решетки радиотехнической системы. Результаты работы пространственных фильтров можно существенно улучшить, если сделать их трансверсальными путем добавления в каждый из приемных каналов на выходе антенных элементов линий временных задержек. Такие фильтры, в свою очередь, называются пространственно-временными фильтрами. Добавление дополнительных временных отсчетов увеличивает количество степеней свободы при построении фильтра и, как следствие, увеличивает его устойчивость к широкополосным и многолучевым помехам. В свою очередь, обработка задержанных временных отсчетов в частотной области называется пространственно-частотной обработкой, которая также улучшает качество такой совместной фильтрации [1, 2].
В данной работе рассматривается несколько различных алгоритмов построения пространственных и пространственно-частотных фильтров. Сравнительный анализ качества пространственной и пространственно-частотной обработки сигналов построенными фильтрами будет проводиться по
быстродействию, коэффициенту подавления помех и отношению сигнал/шум на основе экспериментально записанных сигналов от спутников и помех в реальной спутниковой радиотехнической системе.
2.Постановка задачи
Рассмотрим следующую постановку задачи адаптивной пространственной (пространственно-частотной) фильтрации сигналов. Пусть в плоскости Oxy расположена кольцевая эквидистантная антенная решетка, состоящая из восьми антенных элементов (рисунок 1).
и источника сигнала (помехи)
Fig. 1. Mutual Displacement of an Antenna Array and a Signal (or Interference) Source
Такая реальная восьмиэлементная кольцевая решетка использовалась при экспериментальных исследованиях. Центр решетки расположен в начале координат, радиус окружности равен 7,19 см. В верхнем полупространстве (z > 0) расположены один источник полезного сигнала и несколько некоррелированных источников широкополосной помехи. На входе антенной решетки присутствует входной сигнал х 6 С8Х^, где K - количество временных отсчетов сигнала, представляющий собой аддитивную смесь полезного сигнала, помехи и шума, при этом уровень полезного сигнала выше уровня шума, а уровень помехи выше уровня полезного сигнала. Такая ситуация наиболее характерна при функционировании спутниковых навигационных систем. Пусть для обработки принимаемых сигналов и помех используется адаптивный пространственный (пространственно-частотный) фильтр, выходной сигнал y которого
представляет собой выделенный из смеси с помехой и шумом полезный сигнал, причем у 6 С^. На сегодняшний день известно большое количество различных алгоритмов построения фильтров, решающих поставленную выше задачу. В данной работе будет рассмотрен анализ и сравнение нескольких наиболее применимых для данной ситуации алгоритмов пространственной и пространственно-частотной фильтрации реальных спутниковых сигналов методом моделирования в среде MATLAB.
3. Построение фильтров
3.1. Пространственные фильтры
Рассмотрим несколько алгоритмов вычисления весовых коэффициентов пространственного фильтра, основанных на прямых и итерационных адаптивных процедурах.
Прямые алгоритмы
При использовании прямых алгоритмов весовые коэффициенты w вычисляются по формулам, использующим информацию о корреляционных характеристиках входных сигналов, путем непосредственного обращения корреляционных матриц, а выходной сигнал фильтра у определяется следующим образом:
т
у = w'x,
где w - вектор весовых коэффициентов пространственного (пространственно-частотного) фильтра.
Различные алгоритмы фильтрации отличаются друг от друга методом, используемым при вычислении весовых коэффициентов w. Рассмотрим прямые алгоритмы адаптации.
Алгоритм обращения мощности
Алгоритм обращения мощности или формирования нуля диаграммы направленности основывается на винеровском решении путем вычисления обратной корреляционной матрицы Д-1 входного сигнала [3]. Выполняя преобразование путем нормировки относительно средних значений мощности, весовые коэффициенты можно определить по следующей формуле:
/
W =
1
Д—1
й-1
^18 \ Дц1
Я-21
-1 28
Д
\д
1 81
1 88
Я-81
1
где Ду - элемент i-й строки j-го столбца корреляционной матрицы R (/, j = 1, 2, ..., 8); I - единичный вектор-столбец размерности 8.
Алгоритм формирования луча
Алгоритм формирования луча [3], как и метод обращения мощности, основывается на обращении корреляционной матрицы входного сигнала, однако при его использовании применим следующую формулу для вычисления весовых коэффициентов:
ш(ф,0) =
Д-1а(ф, 0)
а(ф, 0)иД-1а(ф, 0)
(1)
где а (ф, 0) - управляющий вектор антенной решетки по направлению, заданному долготой ф и широтой 0 (см. рисунок 1), определяемый как:
2п
Т
( 2п ) а(ф, 0) = expji — uvj,
(2)
/ - мнимая единица; Я = 0,19 м - длина волны полезного сигнала, соответствующая центральной частоте сигнала GPSL1; и - матрица декартовых координат антенных элементов,
V =
^cos 0 cos фА cos 0 sin ф sin0
С учетом того, что направления 0 и ф на полезный сигнал априори неизвестны, оптимальные весовые коэффициенты определяются из условия максимизации коэффициента подавления помехи, равного отношению мощностей входного и выходного сигналов.
Алгоритм формирования луча с приближенными вычислением и обращением циркулянтной корреляционной матрицы
При данном подходе для вычисления вектора весовых коэффициентов также используется обратная корреляционная матрица входного сигнала и дополнительно учитывается тот факт, что у кольцевой эквидистантной антенной решетки корреляционная матрица является сопряженной цирку-лянтной [4]. При этом оценку сопряженной цирку-лянтной корреляционной матрицы можно получить следующим образом:
hi =
1
8 (8-(/-0)"
8 8-7+i
£=1 ¿=1
^N+1-7,1 = ^у, I > У.
Матрицу Д-1, обратную к полученной оценке сопряженной циркулянтной матрицы Д, можно вычислить с применением специального итерационного алгоритма, увеличивающего скорость вычислений [5]. Далее весовые коэффициенты фильтра вычисляются с использованием матрицы Д-1 и формулы (1).
Г
^11
1
/
1
22
^12
Использование спектрального разложения
В данном случае корреляционную матрицу входного сигнала представим в виде:
Д = ТО7*,
где V - матрица, составленная из собственных векторов R; D - диагональная матрица, составленная из собственных чисел А^,..., Ад, для которых выполняются соотношения:
Я1 « А2 . . ~ Ям < Ям + 1 <. . . < Яд
для некоторого М 6 {1,2,..., 8}. Далее из матрицы V выбирается подматрица 7, состоящая из первых M столбцов V. Тогда весовые коэффициенты w вычисляются по формуле:
w = 77й.
Итерационный пространственный фильтр В случае итерационной процедуры вычисления весовые коэффициенты wfc фильтра и отсчеты yfc выходного сигнала пересчитываются в соответствии с алгоритмом LMS (аббр. от англ. Least Mean Squares - наименьшие средние квадраты, то есть алгоритм, оптимальный по данному критерию) по формулам [6]:
w„ = (0,0,0,0,0,0,0,0f,
^fc = X1,fc,Xfc = (X2,fc, .",X8,fc)r, yfc = dfc - w^x,^ wfc = wfc_i + ^xfcyfc,
где k = 1, ..., K; ц - параметр алгоритма, называющийся «параметром забывания».
Во всех прямых методах адаптации в качестве корреляционных матриц используются выборочные, получаемые по обучающей матрице входных сигналов или помех, причем размерность обучающей выборки превышает число каналов пространственной (или пространственно-частотной) обработки, то есть матрицы являются невырожденными.
3.2. Пространственно-частотная обработка
Пространственно-частотную обработку сигнала будем осуществлять путем деления каждого канала входного сигнала на секции по 1024 временных отсчетов. Такая реализация удобна тем, что впоследствии может быть достаточно легко приспособлена для использования в программируемых логических интегральных схемах. Сначала все временные отсчеты каждого входного канала х i (1 = 1, ..., 8) в секции преобразуем в частотную область с использованием дискретного преобразования Фурье, определяемого формулой [7]:
1024
(ft) = £ хг(/)
Затем в частотной области каждую секцию будем делить на сегменты по 128 отсчетов. В каждом сегменте частотные отсчеты У 6 С128 выходного сигнала вычисляются с помощью умножения частотных отсчетов X 6 С8Х128 входного сигнала на вектор весовых коэффициентов № 6 С8 пространственно-частотного фильтра:
У =
Как показано в [8], выбранное количество частотных отсчетов в сегменте вычисления весов фильтра, равное 128, обеспечивает оптимальную работу алгоритма фильтрации с точки зрения соотношения между вычислительными затратами и качеством фильтрации сигнала: уменьшение количества частотных отсчетов в сегменте снижает объем вычислений, но приводит к худшему подавлению помехи, а увеличение дает лишь незначительное улучшение качества компенсации, но серьезно повышает вычислительную сложность алгоритма.
Весовые коэффициенты w фильтра определяем в соответствии со следующим выражением [1]:
w =
R-1s
s^F1?
(3)
Здесь Д - оценка ковариационной матрицы частотных отсчетов входного сигнала с диагональной нагрузкой, вычисляемая по всему сегменту по формуле:
Д = Д + 0,001 • й-(д)Я8,
где
7 = 1
где i - мнимая единица; k = 1, ..., 1024.
Л=1
№ (•) - оператор следа матрицы; Я8 - единичная матрица порядка 8, а вектор 5 6 С8 будем задавать двумя следующими способами.
Первый способ заключается в задании 5 как вектора, все элементы которого равны нулю, кроме одного, равного единице. Данный подход аналогичен рассмотренному в подразделе Алгоритм обращения мощности. За счет многократного применения данного алгоритма с разным расположением единицы в векторе 5 можно получить до восьми различных выходных сигналов.
Второй способ заключается в задании вектора 5 как управляющего вектора антенной решетки в соответствии с формулой (2). В этом случае формула (3) для вычисления весовых коэффициентов совпадает с формулой (1) пространственного алгоритма формирования луча. При таком подходе получается только один выходной сигнал у.
Для ускорения вычисления весов w фильтра можно воспользоваться различными методами ор-тогонализации корреляционных матриц. Используем для этого разложение Холецкого оценки Д ко-
вариационной матрицы частотных отсчетов входного сигнала, определяемое выражением:
д = ын,
где Ь - нижнетреугольная матрица.
При использовании данного разложения обращение матрицы Д и умножение полученной обратной матрицы на вектор 5 сводится к решению двух систем линейных алгебраических уравнений с треугольными матрицами, которое осуществляется с использованием простых рекуррентных соотношений. В данном случае применение разложения Хо-лецкого возможно в связи с тем, что матрица Д является эрмитовой и положительно определенной, что обеспечивается как за счет способа определения матрицы Д и количества частотных отсчетов для ее вычисления, так и за счет диагональной нагрузки, которая сдвигает собственные значения матрицы Д дальше от нуля. После вычисления весов w фильтра и частотных отсчетов У выходного сигнала с помощью обратного преобразования Фурье вычисляются отсчеты выходного сигнала у во временной области для текущего сегмента. Далее вся процедура повторяется для каждого сегмента каждой секции отсчетов входного сигнала.
Компьютерное моделирование
Для сравнения работы описанных выше алгоритмов пространственной и пространственно-частотной фильтрации были проведены эксперименты по обработке в среде MATLAB экспериментальных записей реальных спутниковых сигналов с несколькими (от одного до трех) некоррелированными источниками широкополосной помехи. При записи сигналов антенная решетка и источники полезного сигнала и помехи находились в безэховой экранированной камере, при этом спутниковый сигнал принимался на крыше здания и подавался в камеру через систему кабелей. Схема эксперимента представлена на рисунке 2. Рассматривались различные сигнально-помеховые ситуации, отличающиеся числом помех (от одной до трех), энергетическими характеристиками и углами прихода. В результате проведения нескольких экспериментов были получены записи сигналов, состоящих из смеси помех, полезных спутниковых сигналов и шумов, уровни которых соответствуют заданным при постановке задачи фильтрации (уровень полезного сигнала выше уровня шума, а уровень помехи выше уровня полезного сигнала, что характерно для спутниковой навигации). Далее эти записи, имеющие вид дискретных последовательностей временных отсчетов сигналов, были подвергнуты равномерному квантованию (в блоке 6) и записаны в память ЭВМ (блок 7) для последующей обработки по анализируемым алгоритмам, программные блоки которых реализованы в виде отдельных функций (по числу алгоритмов фильтрации) в среде MATLAB.
ленная в безэховой камере; 2 - антенна, принимающая спутниковый сигнал на крыше здания; 3 - антенна, передающая спутниковый сигнал в безэховую камеру; 4 -устройство для излучения помех; 5 - антенны, излучающие помехи; 6 - устройство для записи сигнала с антенной решетки; 7 - ЭВМ, осуществляющая цифровую обработку сигналов
Fig. 2. Experiment Scheme: 1 - Antenna Array in an Anechoic Chamber; 2 - Satellite Signal Receiving Antenna on the Building Roof; 3 - Antenna That Transmits the Satellite Signal into the Anechoic
Chamber; 4 - Jamming Device; 5 - Antennas That Transmit Interference; 6 - Device That Records Signals from Antenna Array;
7 - Computer That Implements Digital Signal Processing
При компьютерном моделировании с помощью встроенной в MATLAB функции измерялось время работы (ВР) каждого алгоритма и максимальный поканальный коэффициент подавления (КП) помехи, равный отношению мощностей входного и выходного сигналов. Для вычисления прямого и обратного дискретного преобразования Фурье использовалась встроенная в среду MATLAB функция вычисления быстрого преобразования Фурье. После компенсации выходной сигнал подавался на вход программного приемника спутниковых сигналов SoftGNSS [9], где измерялось среднее отношение сигнал/шум (ОСШ) для обнаруженного источника полезного спутникового сигнала, которое в указанном приемнике вычисляется с помощью метода суммирования дисперсии [10]. Результаты обработки сигналов длиной K = 5 • 106 отсчетов с абсолютным уровнем 37 дБ без помехи и отношением сигнал/шум 45 дБ приведены в таблице 1. Прочерки означают отсутствие видимых спутников в обработанном сигнале. Результаты анализа зависимости коэффициента подавления и среднего ОСШ приведены на рисунках 3 и 4, соответственно.
Из результатов экспериментов можно сделать следующие выводы. Быстродействие прямых алгоритмов пространственной обработки оказалось наибольшим, однако при этом значения основных показателей качества - КП и ОСШ при такой обработке получились меньше, чем у других алгоритмов.
ТАБЛИЦА 1. Результаты экспериментов
Table 1. Results of Experiments
Алгоритм
Nn УС Результаты обработки сигналов Обращение мощности Формирование луча ФЛ с циркулянтной матрицей Спектральное разложение LMS ПЧО с ФН ПЧО с ФЛ
ВР, с 1,03 2,19 0,92 1,09 24,12 66,84 17,48
1 60 КП, дБ 29 40 30 30 31 3 41
ОСШ, дБ 48 49 32 50 50 51 37
ВР, с 0,95 2,45 1,3 1,03 24,31 66,47 22,23
1 75 КП, дБ 34 52 38 34 45 45 55
ОСШ, дБ 39 47 37 39 51 51 39
ВР, с 0,96 2,59 1,31 1,01 20,82 63,64 15,96
2 69 КП, дБ 17 26 24 16 42 32 48
ОСШ, дБ - 25 - 25 25 46 42
ВР, с 0,98 3,1 1,56 1,07 20,47 64,12 15
3 72 КП, дБ 14 26 14 15 27 30 45
ОСШ, дБ - - - - 39 41 42
Условные обозначения:
Nп - количество помех; УС - уровень сигнала, дБ; странственно-частотная обработка; ФН - алгоритм ния нуля; ФЛ - алгоритм формирования луча
55 50 45 40
ш 35 d
^ 30
ПЧО - про-формирова-
25
20
/ / V
Ж Г S ' / / / / \ \
/✓ г \ \
\\ \ 1
\ \ \ \ \ \
---ФЛ
ФЛ с ЦМ —*— Спектр. LMS
ПЧО с ФН . -А -ПЧОс ФЛ
1
2 3
Номер эксперимента
4
Рис. 3. Значения КП исследуемых алгоритмов в различных экспериментах
Fig. 3. Suppression Coefficient Values of the Investigated Algorithms in Different Experiments
Особенно ухудшение работы прямых пространственных методов наблюдается при наличии более чем одного источника помехи, в этом случае полезные сигналы спутников в выходном сигнале решетки имеют минимальное значение, а иногда и вообще отсутствуют. Постепенное уменьшение значений ОСШ при обработке точными алгоритмами особенно хорошо видно на рисунке 4.
60
50
40
30
20
10
-©— ФН
- - ФЛ
ФЛ с ЦМ * Спектр. -Ф— LMS -V— ПЧО с ФН ПЧО с ФЛ
1
23 Номер эксперимента
4
Рис. 4. Значения ОСШ в обработанном сигнале в различных экспериментах
Fig. 4. Signal-to-Noise Ratio Values of the Processed Signal in Different Experiments
С точки зрения быстродействия и качества обработки наилучшие результаты наблюдаются у алгоритма, основанного на спектральном разложении. Несмотря на то, что при обработке данным алгоритмом получаются относительно низкие значения КП, что следует из рисунка 3, значения ОСШ в выходном сигнале примерно равны средним значениям в каждом из экспериментов, что видно из положения соответствующей кривой (см. рисунок 4). Итерационный же пространственный алгоритм показывает большее время работы по сравнению с прямыми методами, но также и большую устойчивость к количеству помех и значения КП и ОСШ, близкие к пространственно-частотным методам.
В свою очередь, алгоритмы пространственно-частотной обработки одинаково справляются с любым количеством помех и показывают наилучшие значения КП и ОСШ в выходном сигнале. При этом пространственно-частотная обработка с применением алгоритма обращения мощности работает в 3-4 раза дольше, чем с алгоритмом формирования луча, но в то же время показывает лучшие значения КП и ОСШ. Стоит также отметить общее падение КП всех алгоритмов при увеличении числа помех, которое хорошо видно из рисунка 3.
5. Заключение
В данной работе были рассмотрены несколько алгоритмов адаптивной пространственной и пространственно-частотной фильтрации. Качество работы приведенных алгоритмов было проанализировано путем цифровой обработки на компьютере реальных спутниковых сигналов. Результаты компьютерного моделирования в разных сигнально-помеховых условиях свидетельствуют о преимуществах использования пространственно-частотных фильтров перед пространственными фильтрами.
15
При этом в зависимости от требований к быстродействию обработки сигналов возможно применение либо наиболее быстрых алгоритмов формирования луча, либо более медленных, но точных алго-
ритмов обращения мощности. Таким образом, можно рекомендовать пространственно-частотные алгоритмы фильтрации для использования в системах помехозащищенной навигации.
Список источников
1. Xu H., Cui X., Lu M. An SDR-Based Real-Time Testbed for GNSS Adaptive Array Anti-Jamming Algorithms Accelerated by GPU // Sensors. 2016. Vol. 16. Iss. 3. P. 356. D01:10.3390/s16030356
2. Sklar J.R. Interference Mitigation Approaches for the Global Positioning System // Lincoln Laboratory Journal. 2003. Vol. 14. Iss. 2. PP. 167-180.
3. Van Trees H.L. Optimum Array Processing. Part IV of Detection, Estimation and Modulation Theory. NewYork: John Wiley & Sons, 2002.
4. Glushankov E.I., Kirik D.I., Kirsanov D.M., Rylov E.A. Adaptation of antenna arrays with using correlation matrices of a special types // Proceedings of the Conference on Systems of Signal Synchronization, Generating and Processing in Telecommunications (SYNCHROINFO, Kaliningrad, Russia, 30 June-02 July 2021). IEEE, 2021. D0I:10.1109/SYNCHR0INF051390. 2021.9488331
5. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука, 1987. 320 с.
6. Джиган В.И. Адаптивная фильтрация сигналов: теория и алгоритмы. М.: Техносфера, 2013. 528 с.
7. Малозёмов В.Н., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа: учебное пособие. СПб.: «Лань», 2012. 304 с.
8. Melvin W.L. A STAP overview // IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine. 2004. Vol. 19. Iss. 1. PP. 19-35. D0I:10.1109/MAES.2004.1263229
9. Borre K., Akos D.M., Bertelsen N., Rinder P., Jensen S.H. A Software-Defined GPS and Galileo Receiver. A Single-Frequency Approach. Boston: Birkhäuser, 2007. 176 p.
10. Sharawi M.S., Akos D.M., Aloi D.N. GPS C/N0 estimation in the presence of interference and limited quantization levels // IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2007. Vol. 43. Iss. 1. PP. 227-238. D0I:10.1109/TAES.2007.357129
References
1. Xu H., Cui X., Lu M. An SDR-Based Real-Time Testbed for GNSS Adaptive Array Anti-Jamming Algorithms Accelerated by GPU. Sensors. 2016;16(3):356. D0I:10.3390/s16030356
2. Sklar J.R. Interference Mitigation Approaches for the Global Positioning System. Lincoln Laboratory Journal. 2003. Vol. 14. Iss. 2. PP. 167-180.
3. Van Trees H.L. Optimum Array Processing. Part IV of Detection, Estimation and Modulation Theory. NewYork: John Wiley & Sons; 2002.
4. Glushankov E.I., Kirik D.I., Kirsanov D.M., Rylov E.A. Adaptation of antenna arrays with using correlation matrices of a special types. Proceedings of the Conference on Systems of Signal Synchronization, Generating and Processing in Telecommunications, SYNCHROINFO, 30 June-02 July 2021, Kaliningrad, Russia. IEEE; 2021. D0I:10.1109/SYNCHR0INF051390.2021.9488331
5. Voevodin V.V., Tyrtyshnikov E.E. Calculation Processes with Toeplitz Matrices. Moscow: Nauka Publ.; 1987. 320 p. (in Russ.)
6. Dzhigan V.I. Adaptive Signal Processing: Theory and Algorithms. Moscow: Tekhnosfera Publ.; 2013. 528 p. (in Russ.)
7. Malozyomov V.N., Masharskiy S.M. Foundations of Discrete Harmonic Analysis. St. Petersburg: Lan' Publ.; 2012. 304 p. (in Russ.)
8. Melvin W.L. A STAP overview. IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine. 2004;19(1):19-35. D0I:10.1109/MAES. 2004.1263229
9. Borre K., Akos D.M., Bertelsen N., Rinder P., Jensen S.H. A Software-Defined GPS and Galileo Receiver. A Single-Frequency Approach. Boston: Birkhäuser; 2007. 176 p.
10. Sharawi M.S., Akos D.M., Aloi D.N. GPS C/N0 estimation in the presence of interference and limited quantization levels. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2007;43(1):227-238. D0I:10.1109/TAES.2007.357129
Статья поступила в редакцию 20.06.2022; одобрена после рецензирования 05.08.2022; принята к публикации 11.08.2022.
The article was submitted 20.06.2022; approved after reviewing 05.08.2022; accepted for publication 11.08.2022.
ГЛУШАНКОВ Евгений Иванович
Информация об авторах:
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры радиосистем и обработки сигналов Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича https://orcid.org/0000-0003-4148-3208
ЦАРИК Владимир Игоревич
ведущий инженер ООО «Эйртэго»
https://orcid.org/0000-0003-3428-9976
