CC BY
23complexity is shown. On the basis of polyphase structure the architecture of processor DFT-modulated filter bank is offered.
DFT-Modulated filter bank, wide frequency range, integration of subbands, filter-prototype, polyphase structure, FPGA
Статья поступила в редакцию 12 декабря 2012 г.
УДК 621.37
А. В. Зубков, Е. А. Маврычев
Нижегородский государственный технический университет им Р. Е. Алексеева
Оптимизация предварительной пространственной обработки сигналов для оценки угловых положений источников с повышенным разрешением
Рассмотрен метод оценки угловых положений источников сигналов, принимаемых антенной решеткой, который использует алгоритм оценки с повышенным разрешением в сочетании с предварительной пространственной обработкой. Многоканальный пространственный фильтр оптимизирован по критерию максимума средней выходной мощности сигнала в секторе ожидаемых углов с условием декорреляции помехи. Применение предварительной пространственной обработки позволило повысить точность оценок в условиях воздействия коррелированных помех, а также снизить вычислительную сложность алгоритма. Математическим моделированием определены точности оценок угловых направлений.
Антенная решетка, пространственная обработка сигналов, алгоритм MUSIC
Оценка параметров сигналов, принимаемых антенными решетками (АР), применяется в радио- и гидролокации, радиосвязи, радиоастрономии, сейсмологии и других областях. Хорошо известные алгоритмы, такие, как алгоритм Кейпона [1] и алгоритм MUSIC [2], обладают повышенным разрешением и имеют высокие точности. Алгоритм MUSIC, являющийся одним из наиболее эффективных методов оценки угловых положений шумовых источников, позволяет получить несмещенные оценки с точностью, близкой к границе Крамера-Рао [2].
В литературе большое внимание уделено способам повышения эффективности алгоритма MUSIC, в том числе предварительной обработке сигналов [3]-[6]. Предварительная обработка снижает вычислительные затраты, повышает точность оценки параметров в условиях воздействия помех, а также разрешающую способность.
Наиболее распространенный подход к предварительной обработке основан на многолучевом преобразовании сигналов [3]-[4]. В работе [3] показано, что оно повышает пороговое разрешение сигналов. При этом уменьшение числа вторичных каналов при указанном преобразовании сигналов снижает вычислительные затраты. В [4] рассмотрен полиномиальный алгоритм MUSIC с многолучевым преобразованием, в котором значительно уменьшено число операций.
Вместо многолучевого преобразования используется пространственная фильтрация, которая максимизирует среднюю мощность сигнала в заданном секторе [5]. Другой под-64 © Зубков А. В., Маврычев Е. А., 2012
ход к предварительной обработке основан на обелении (декорреляции) помехи [6] с целью улучшения точности оценки в случае приема сигналов на фоне коррелированных помех.
В настоящей статье предложена предварительная пространственная обработка, сочетающая достоинства предыдущих методов. Синтез многоканального пространственного фильтра направлен на максимизацию суммарной мощности полезного сигнала, усредненной в секторе ожидаемых направлений его прихода, и на достижение ортогональности мешающих сигналов на выходе вторичных каналов, обеспечивающий подавление помех. В результате снижены количество вторичных каналов и вычислительная сложность при повышении пороговой чувствительности и точности измерения угловых положений источников в присутствии помех. Приведены результаты математического моделирования, подтверждающие эффективность предложенного метода.
Модель антенной решетки и алгоритм MUSIC. Рассмотрим модель сигналов, принимаемых ^-элементной АР произвольной геометрии с точно известным расположением элементов. Комплексные амплитуды сигнала, приходящего с направления В, в элементах решетки представим в виде вектора а 9 = ехр[^ /27т tn sinB + C/; cos В
п е1, И, где С,п, - координаты в длинах волн п-то элемента в решетке, - символ транспонирования.
Пусть АР принимает сигналы от J источников, приходящие с направлений 6у,
7 е 1, J. Вектор принимаемого АР сигнала х ( = [хп I ]Т, п е 1, А^, запишем в виде где = 9 у , ; е 1, - матрица с размерами ТЯу.3, состоящая из
векторов фазового распределения принимаемых сигналов; 8 t - вектор комплексных амплитуд с числом элементов У, определяющий временную форму сигналов; п t - вектор аддитивных шумов и внешних помех в антенной решетке с числом элементов N. Корреляционную матрицу входного сигнала представим как
Rxx=Extxнt = АЯ,5АН+Кпп, (1)
где - матрица взаимной корреляции сигналов различных источников с размерами 3 Т^д - матрица взаимной корреляции смеси собственных шумов и внешних помех; с "н"
Е • - символ статистического усреднения; - операция эрмитова сопряжения.
Оценка корреляционной матрицы по Т выборкам входного процесса запишется следующим образом:
1 т
Л(2)
1 1=\
Вектор сигнала во вторичных каналах после предварительной фильтрации определим в виде
у г =Л г , (3)
где F - матрица предварительной пространственной фильтрации с размерами NxM, причем M - число вторичных пространственных каналов.
Рассмотрим алгоритм MUSIC после выполнения предварительной обработки (3).
Обозначив Ryy = Е у t у11 t корреляционную матрицу сигналов во вторичных каналах,
с использованием модели (1) запишем:
Ryy = FnAR^AnF + F^R^F. (4)
Разложение корреляционной матрицы (4) в базис собственных векторов представим
следующим образом: Ryy =USTSU^ +ипТпи^, где Us, Un - матрицы с размерамиМ х J
и Мх M — J , состоящие из собственных векторов сигнального и шумового подпространств соответственно; Г5, Гп - диагональные матрицы с размерами JxJ и
M — J х M — J , состоящие из собственных чисел сигнального и шумового подпространств соответственно.
Выборочную корреляционную матрицу, усредненную по Т выборкам процесса, на
1 Т
выходе пространственного фильтра можно представить в виде Ryy = — ^]yiyHi,aee
т t=1
разложение в базис собственных векторов имеет вид
+ (5)
Оценивание параметров сигналов осуществляется по выборке конечного размера с проекцией выборочной корреляционной матрицы (5) на шумовое подпространство. Псевдоспектр, полученный на основе метода MUSIC с предварительной пространственной фильтрацией, записывается в виде
/Р-MUSIC е =l/[aH 6 FUnUlF*a 6 ]. (6)
Максимумы псевдоспектра (6) соответствуют оценкам направлений на источники сигналов.
В частности, задав F = IN (IN - единичная матрица с размерами Л'' х Л'), получим
классический алгоритм MUSIC без предварительной пространственной обработки.
Оптимизация предварительной обработки сигналов. Как отмечалось ранее, предварительная фильтрация улучшает характеристики алгоритма оценивания на фоне внешних помех, а также уменьшает число вторичных каналов, что дает возможность уменьшить вычислительную сложность алгоритма оценивания параметров. Синтез пространственного фильтра для предварительной обработки осуществлялся по критерию максимума средней выходной мощности сигнала. Суммарную мощность сигнала на выходе вторичных каналов, усредненную в секторе углов наблюдения 0, запишем в виде
PS=J ||fна 0 f р Q dQ, (7)
где р 0 - плотность распределения углового положения сигнала; 11-11 - евклидова норма.
======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 6
Предположим, что в секторе наблюдения 0 появление сигнала с различных углов равновероятно. Тогда выражение (7) с точностью до нормирующего множителя можно
переписать как Р8 = |Тг Рня В а11 6 Р ¿/9-Тг РНС 6 Р , где Тг • - след матрицы;
С = | а 0 а11 В ¿/9 - корреляционная матрица полезного сигнала, усредненная в секторе углов наблюдения.
Для обеления помехи на выходе вторичных каналов необходимо выполнить условие 1,иНпп1'' = / \/. Таким образом, задача оптимизации матрицы пространственной фильтрации запишется в виде
тахТг ^С (8)
при граничном условии Т7*1^^ = /дг.
Задача (8) является выпуклой задачей оптимизации квадратичной формы с ограничениями и может быть решена методом множителя Лагранжа, в котором находится максимум функционала Ь Л = Тг - Л - /дг , где Л - диагональная матрица множителей Лагранжа.
Приравняв нулю производную дЬ Т7, Л /д/<н, получим уравнение /^¡С '!• = /'Л, из которого следует, что столбцы матрицы Р являются собственными векторами матрицы С. Тогда для максимизации средней мощности сигнала в (8) необходимо отобрать М собственных векторов, которым соответствуют наибольшие собственные числа, т. е. можно записать:
Р = ТМ К^С , (9)
где Тм ■ - оператор, возвращающий матрицу, составленную из М собственных векторов, которым соответствуют наибольшие собственные числа.
Выражение (9) определяет матрицу пространственной предварительной обработки сигналов, которая обеспечивает максимизацию средней суммарной мощности полезного сигнала в секторе ожидаемых углов и декорреляцию внешних помех. Следует отметить, что полученное решение (9) обеспечивает также максимальное среднее отношение "сиг-нал/шум+помеха" на выходе вторичных каналов, поскольку задача (8) статистически эквивалентна максимизации отношения "сигнал/шум+помеха".
Матрица коэффициентов пространственного фильтра (9) синтезирована в предположении, что корреляционная матрица помехи априори известна. Однако на практике, как правило, имеется в наличии только оценка корреляционной матрицы входного процесса Кхх (2). Оценку корреляционной матрицы помехи запишем следующим образом:
(Ю)
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 6======================================
где П_|_=/д/--3^ С Т\) С - матрица-проектор на подпространство, ортогональное
подпространству ожидаемых сигналов.
Предлагаемый подход (10) для оценки корреляционной матрицы помехи основан на занулении сигнального подпространства в выборке входного процесса и на регуляризации оценки с помощью единичной матрицы IN. Данный подход является эвристическим, не
основанным на строгом статистическом критерии. Матрицу предварительной пространственной фильтрации в данном случае запишем как
F = TM В^С . (11)
Результаты моделирования. Далее (рис. 1-6) представлены результаты моделирования, показывающие точности оценки параметров сигналов с помощью предложенных алгоритмов. Моделировался прием линейной эквидистантной АР сигналов от двух некоррелированных шумовых источников одинаковой мощности, находящихся в направлениях 0! =-3° и 02 =2°. АР содержала N-12 элементов, расположенных на расстоянии половины длины волны друг от друга. Сектор ожидаемых сигналов для предварительной обработки выбран равным ±20°. Число вторичных каналов после предварительной обработки М = 4. Предполагалось, что при реализации проекционных алгоритмов число источников априори известно. Усреднение оценок и вычисление среднеквадратической ошибки (СКО) E выполнялись по 1000 независимым экспериментам.
Сравнивались характеристики трех методов - метода MUSIC без предварительной обработки (кривые 1), метода MUSIC с предварительной обработкой (9) (кривые 2) и метода MUSIC с предварительной обработкой (11), использующий оценку корреляционной матрицы (кривые 3).
Рассмотрим три примера с различной помеховой обстановкой. В первом примере прием сигналов осуществляется на фоне собственного некоррелированного шума. На рис. 1 показана зависимость СКО от отношения "сигнал/шум" (ОСШ) ¥ при оценке корреляционной матрицы на основе L = 100 выборок. На рис. 2 приведены зависимости СКО от числа выборок L для ОСШ Ч^ = 20 дБ. Из представленных зависимостей следует, что в случае некоррелированного шума характеристики алгоритма с предварительной обработкой не отличаются от характеристик алгоритма без предварительной обработки за исключением области малых ОСШ. Пороговая точность (при малых ОСШ) алгоритмов с предварительной обработкой выше, чем таковая без предварительной обработки.
Е,
1=100
10
10
10
Е,
5-10
2-10
¥ = 20 дБ
1
2 ^
Е,
10°
10"
10
-2
10
-3
10 0 10 Рис. 1 20 дБ
2
- 1 1=100 3
1 1 ' '"5 |
10
-2
20
100
Рис. 2
200
Е,
5-10
2-10
10
¥ = 20 дБ
- 10
10
Рис. 3
20
4х, дБ
20
100
Рис. 4
200
Е,
100
10"
10"
2 ^^ 1= 100
1 ч Ч \ / 1 ^^^ 1 1
Е,
= 20 дБ
5-10 ~~
2-10 —
10
- 10
10
Рис. 5
20
V, ДБ
20
100
Рис. 6
200
Во втором примере рассмотрим прием сигналов в присутствии двух точечных поме-ховых источников, находящихся вне сектора приема полезных сигналов, в направлениях 35 и - 40°. Мощность помеховых сигналов составляет 30 дБ относительно собственного шума. Зависимости Е при Ь = 100 и Е Ь при = 2 дБ показаны на рис. 3 и 4 соответственно. В данном примере наблюдается значительное улучшение характеристик, обеспечиваемое предварительной пространственной фильтрацией (см. кривые 2, 3). Это связано с тем, что без предварительной обработки вектор проекции на подпространство сигналов оценивается некорректно из-за воздействия помех. Предварительная обработка производит декорреляцию помех и устраняет их влияние.
В третьем примере смоделировано обнаружение сигнала на фоне пространственно-распределенного источника помехи. Предполагалось, что помеха равномерно распределена в секторе углов от - 56 до - 35°. Средняя мощность источника помехи над собственным шумом составила 30 дБ. Зависимости Е ^Р при Л = 100 и Е Ь при *Р = 2 дБ для тестируемых алгоритмов приведены на рис. 5 и 6 соответственно. Как и в предыдущем примере, предварительная обработка значительно улучшает характеристики алгоритма оценивания.
L
1
0
L
1
2
0
L
Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что предварительная пространственная обработка с использованием оптимальных весовых коэффициентов (9) позволяет существенно повысить точность измерения параметров на фоне коррелированных помех, а также улучшить пороговые характеристики в беспомеховой обстановке. Алгоритм с предварительной обработкой (11) имеет потери в точности по сравнению с оптимальной предварительной обработкой, но при этом обеспечивает приемлемые характеристики.
В настоящей статье рассмотрена предварительная пространственная обработка сигналов, направленная на повышение эффективности проекционного алгоритма оценки угловых положений источников. Выполнена оптимизация пространственного фильтра на основе критерия максимума выходной мощности сигнала с обелением корреляционной матрицы помехи. Представлены результаты математического моделирования, свидетельствующие о том, что за счет предварительной обработки достигается повышение точности оценки при наличии коррелированных шумов и источников помех.
Библиографический список
1. Capon J. High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis // Proc. IEEE. 1969. Vol. 57. P. 1408-1418.
2. Stoica P., Nehorai A. MUSIC, maximum likelihood and Cramer-Rao bound // IEEE Trans. acoustics, speech and signal proc. 1989. Vol. ASS-37, № 5. P. 720-741.
3. Lee H. B., Wengrovitz M. S., Resolution threshold of beamspace MUSIC for two closely spaced emitters // IEEE Trans. acoustics, speech, and signal proc. 1990. Vol. 38, № 9. P. 1545-1559.
4. Zoltowski M. D., Kautz G. M., Silverstein S. D Beamspace root-MUSIC // IEEE Trans. signal proc. 1993. Vol. SP-41, № 1. P. 344-364.
5. Forster P. Vezzosi G., Application of spheroidal sequences to array processing // Proc. Int. conf. acoustics, speech, signal processing (ICASSP), Dallas, TX, May 1987. New York, NY: IEEE Inc., 1987. P. 2268-2271.
6. Kaveh M., Bassias A. Improving resolution of bearing in passive sonar arrays by eigenvalue analysis // IEEE Trans. acoust., speech, signal proc. 1982. Vol. 30, № 8. P. 638-647.
A. V. Zubkov, E. A. Mavrychev
Nizhny Novgorod state technical university
Spatial preprocessing optimization for direction-of-arrival estimation with high resolution
Direction-of-arrival estimation method of signal source in antenna array is considered. This method uses high resolution algorithm with spatial preprocessing. It is performed optimization of multichannel spatial filter based on maximization of mean output power of useful signal from expected angular sector. Additional constraint on interference whiting is imposed. The spatial preprocessing enables to increase the accuracy of direction-of-arrival estimation and reduce the computational complexity. Simulation results showing the performances of the proposed algorithm are presented.
Antenna array, spatial signal processing, MUSIC algorithm
Статья поступила в редакцию 21 декабря 2012 г.
