Анализ изменения диаметра пузыря при всплытии в вертикальной колонне с применением пи-теоремы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2013. № 4 (17)

ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА И ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ

УДК 628.356

М.В. Тищенко, Д.А. Макаров, Г.А. Захаров, К.В. Цыганкова

ТИЩЕНКО МИХАИЛ ВЛАДИМИРОВИЧ - магистрант кафедры инженерных систем зданий и сооружений Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: mishanyati@mail.ru

МАКАРОВ ДМИТРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ - магистрант, ассистент кафедры инженерных систем зданий и сооружений Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: makentosh101@mail.ru

ЗАХАРОВ ГЕННАДИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ - кандидат технических наук, профессор кафедры инженерных систем зданий и сооружений Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток).

ЦЫГАНКОВА КСЕНИЯ ВАСИЛЬЕВНА - старший преподаватель кафедры инженерных систем зданий и сооружений Инженерной школы (Дальневосточный федеральный университет, Владивосток). E-mail: tsygankova.kv@dvfu.ru

АНАЛИЗ ИЗМЕНЕНИЯ ДИАМЕТРА ПУЗЫРЯ ПРИ ВСПЛЫТИИ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ КОЛОННЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ПИ-ТЕОРЕМЫ

Рассмотрено применение пи-теоремы для анализа изменения диаметра пузыря при всплытии в вертикальной колонне. Получена теоретическая зависимость безразмерных комплексов.

Ключевые слова: гидродинамические параметры, геометрическая характеристика, безразмерные числа.

The application of Pi-theorem when investigating into changes in the diameter of an air bubble rising in a vertical column. Mikhail V. Tishchenko, Dmitrii A. Makarov, Gennadii A. Zakharov, Ksenia V. Tsygankova, School of Engineering, Far Eastern Federal University, Vladivostok.

The article deals with the application of Pi-theorem to investigate into changes in diameter of an air bubble rising in a vertical column. The theoretical dependence of dimensionless numbers has been obtained in the course of the investigation.

Key words: hydrodynamic parameters, geometric characteristics, dimensionless numbers.

© Тищенко М.В., Макаров Д.А., Захаров Г.А., Цыганкова К.В., 2013

Нефть и нефтепродукты - наиболее распространенные загрязняющие вещества для Мирового океана. Ежегодно в результате утечек в море попадает около 0,1 млн т нефти. Большое ее количество поступает в моря по рекам с бытовыми и ливневыми стоками. Объем загрязнений в этом случае составляет 2 млн т в год. А со стоками промышленных предприятий в моря ежегодно попадает 0,5 млн т нефти.

Существует множество способов очистки нефтесодержащих вод [1]. Один из перспективных - флотация. Исследования показали, что она позволяет уменьшить содержание нефтепродуктов в сточных водах до 20-35 мг/л, а при использовании флокулянтов - до 2-5 мг/л и ниже [2]. В то же время, при всех достоинствах флотации, теория этого процесса разработана недостаточно. Цель данной работы - получить математическую зависимость изменения диаметра пузырька при всплытии на основе пи-теоремы.

Эффективность процесса флотационного извлечения частиц нефтепродуктов в значительной степени зависит от гидродинамических параметров системы. К числу таких параметров можно отнести размеры пузырьков воздуха (рис. 1).

При всплытии в вертикальной колонне главная геометрическая характеристика пузырька - диаметр - будет зависеть от следующих параметров:

давления [м], - кинематическая вязкость жидкости [кг/мс], тп - масса пузырька [кг], ип - скорость всплытия пузырька [м/с],

В данной задаче п = 5 - число всех параметров, влияющих на изменение диаметра пузырька; к = 3 - число параметров, имеющих независимую размерность. Поэтому выражение (1) преобразуется:

О

Рис. 1. Схема движения пузырька

ёд = f (р ж 5 н, ^ тп ,ип),

где ёп - диаметр пузырька [м], р

ж

П = А(Л1,Л 2),

(2)

где

(3)

П2 = 1" ^-~. (5)

Степени а, а , а находятся по принципу однородности размерностей [3] и равны:

а1 = 0, а2 = 1, а3 = 0; а1'= 1, а2' = 3, а3' = 0; а1'' = 1, а2'' = 1, а3'' = 1. Подставив полученные степени в уравнения (3), (4), (5), получим: йп

п = — , (6)

тп

п1 = ^ • (7)

= . (8) Рж'Н^п

Скорость всплытия пузыря определяется как

. = д^1<Рж-Рг) (9)

^ Мж ' (9)

где рг - плотность газа внутри пузыря [кг/м3]. Подставив (9) в (8), получим: и 2

п2 =--:. (10)

Плотность газа внутри пузыря определяется как рг-м

Рг = ^ . ('1)

Подставив (11) в (10), получим

дж2

П2 = ^ 'ТГг Р^Щ . (12)

Приняв давление газа внутри пузыря и давление жидкости равными Рг = Рж, получим

П2 =-—-Р .м . (13)

Рж' н • д-йП-(рж )

Прежде чем обрабатывать опытные данные в числах подобия, нужно определить, от каких чисел зависит определяемое значение. Для этого математическое описание процесса приводится к безразмерному виду:

О = (р(у, £) , (14)

О = - , (15)

Н

У =-——р^м-, (16)

Рж-Н-д-а2 -(Рж-ж-) тп

Е = 7~ПТз. (17)

По данным измерений подсчитываются значения е и у, а также соответствующие им значения а. Зависимость между числами подобия представляется в виде степенной функции а = c • уп • £m, где с, n, m - постоянные безразмерные числа.

Такого рода зависимости применимы лишь в тех пределах изменения аргумента, в которых подтверждены опытом.

Предположим, что число а зависит только от у, в этом случае а = c • уп . Логарифмируя последнее уравнение, получаем: lga = lgc + n • lgy.

Обозначая lga = Y, lgc = A, lgy = X, можно записать: Y = A + nX.

Последнее выражение является уравнением прямой линии. Показатель степени n представляет собой тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс. Следовательно, значение n можно найти с помощью графического представления опытных данных в координатах lga = f(lgy).

lga

igy

Рис .2. Зависимость вида а = с-ул

В данном случае искомая величина а является функцией двух аргументов а = Ду, г); на графике (рис. 2) получается прямая, первый аргумент берется в качестве параметра. Тогда по графику находится показатель при числе у, а затем опытные данные

представляются на графике (рис. 3) в виде зависимости = Г(1§£).

А

1дст\у

1д£

Рис. 3. Зависимость вида а = с уп • £т 28

Из последнего графика определяют показатель степени т, а затем по уравнению с

С = — определяют значение коэффициента с.

Был проведен ряд экспериментов, заключающихся в измерении диаметра пузырька на разных глубинах. В результате обработки экспериментальных данных были получены коэффициенты с = 7,673 • 1012 ; п = 1,172; т = 0,011. Выполнив математические преобразования, формулу, устанавливающую зависимость изменения диаметра пузырька при всплытии, можно записать в виде

а = 7,1312 • 103 • ( , мЖРж.м00'3504 ■ (^)0,00353 • (Я)-0'06205. (18)

Рж\Рж ^р) Рж

Данная зависимость может быть использована для расчета диаметра пузырьков в пределах изменения безразмерных комплексов с = 0,18 — 1,25; у = 3,5 • 10-12 — 1 • 10-11; £ = 2,5 ■ 10-11 — 1,5 ■ 10-9.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зубрилов С.П., Ищук Ю.Г., Косовский В.И. Охрана окружающей среды при эксплуатации судов. Л.: Судостроение, 1989. 256 с.

2. Ксенофонтов Б.С. Очистка сточных вод: флотация и сгущение осадков. М.: Химия, 1992. 144 с.

3. Yarin L.P., The Pi, Theorem: Applications to Fluid Mechanics and Heat and Mass Transfer. Springer, 2012, 305 p.

REFERENCES

1. Zubrilov S.P., Ishuk Ju.G., Kosovskii V.I., Environmental protection in the operation of vessels. L., Shipbuilding, 1989, 256 p. [Zubrilov S.P., Ishhuk Ju.G., Kosovskij V.I. Ohrana okruzhajushhej sredy pri jekspluatacii sudov. L.: Sudostroenie, 1989. 256 s.].

2. Ksenofontov B.S., Purification of wastewater: flotation and sludge thickening. M., Chemistr, 1992, 144 p. [Ksenofontov B.S. Ochistka stochnyh vod: flotacija i sgushhenie osadkov . M. : Himija, 1992. 144 s.].

3. Yarin L.P., The Pi, Theorem: Applications to Fluid Mechanics and Heat and Mass Transfer. Springer, 2012, 305 p.