Анализ функционирующих в полумарковской среде RQ-систем с возвратом заявок Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Анализ функционирующих в полумарковской среде RQ-систем с возвратом заявок

Вавилов Вячеслав Анатольевич

кандидат физико-математических наук

доцент, кафедра программной инженерии, Национальный исследовательский Томский

государственный университет

634050, Россия, Томская область, г. Томск, ул. Ленина, 36 И vavilovv@yandex.ru

Статья из рубрики "Актуальный вопрос"

Аннотация.

Объектом исследования данной работы являются RQ-системы (retrial queueing systems, системы с повторными вызовами) с простейший входящим потоком требований, ожиданием на орбите, возвратом заявок и функционированием в случайной (полумарковской) среде. Рассматриваемые системы являются моделями широкого класса реальных систем обслуживания, в которых заявка по завершении успешного обслуживания может покинуть систему навсегда или через некоторый промежуток времени вернуться в систему для повторного обслуживания. Примерами таких систем являются банки, где выплативший кредит клиент может повторно обратиться за новым кредитом, центры занятости, где клиенты могут обращаться повторно в поисках новой работы и т. п. Эффективность функционирования таких систем зависит от ряда факторов, характер влияния которых можно определить как случайный (случайная полумарковская среда). В данной работе проводится математическое моделирование изучаемого класса систем. Инструментом исследования рассматриваемых систем является математический аппарат теории массового обслуживания. Предложенная математическая модель RQ-систем с возвратом заявок в полумарковской среде исследуется методом асимптотического анализа марковизируемых систем. Научная новизна работы заключается в том, что впервые предложена математическая модель функционирующей в полумарковской среде RQ-системы с вызываемыми заявками и проведён её асимптотический анализ. Найдено асимптотическое среднее нормированного числа заявок в системе, величины отклонения от среднего, получена основная вероятностно-временная характеристика - плотность распределения вероятностей значений процесса изменения состояний системы.

Ключевые слова: система массового обслуживания, орбита, случайная среда, полумарковский процесс, метод асимптотического анализа, диффузионная

аппроксимация, диффузионный процесс, цепь Маркова, переменные параметры, простейший поток заявок

DOI:

10.25136/2306-4196.2019.1.28838 Дата направления в редакцию:

02-02-2019

Дата рецензирования:

03-02-2019

1. Введение

Основным средством исследования стохастических систем являются марковские

процессы [1-7]. Марковские цепи накладывают определённые ограничение на исследуемые процессы, что обусловлено требованием перехода из одного состояния марковской цепи в другое в каждый единичный промежуток времени. Если же снять это ограничение и допустить произвольное распределение времени пребывания в данном состоянии, то получится полумарковский процесс [4-6, 8-11], являющийся обобщением марковских процессов.

Необходимость оптимизации сетей связи, математическими моделями которых являются системы массового обслуживания, привела к рассмотрению управляемых систем

массового обслуживания [12-15]. По-другому такие системы называют системами с

переменными параметрами. Таким системам посвящены работы Коротаева И. А. [16-21].

Изменение параметров может происходить как внутри системы в зависимости от ее состояния, так и под воздействием внешних условий, например изменения случайной

среды, в которой и функционирует система. В работе ^^ представлены исследования систем массового обслуживания со случайной интенсивностью входящего пуа с с о но в с ко г о по тока .

Впервые понятие дважды стохастического входящего потока было введено Кингманом ^^З!. Системы массового обслуживания с входящим дважды стохастическим пуассоновским потоком не сводятся к классическим системам массового обслуживания с постоянными параметрами, поскольку входящий поток в данном случае не является рекуррентным.

Можно рассматривать задачу, когда изменяются не только параметры входящего потока, но и параметры обслуживания. Такие системы принято называть системами массового обслуживания, функционирующими в случайной среде [24-25]. Впервые понятие система, функционирующая в случайной среде, появилось в работе [26].

Соответствующие исследования применительно не только к системам массового

обслуживания, но и к сетям связи представлены в трудах Дудина А.Н. [27-30], Neuts М.Р.

[31], Sztrick X [32], ТакаЬ^Ы Н., АИтаги Н. А [33]. Возможные значения параметров систем массового обслуживания связываются со значениями некоторого случайного процесса, который называют управляющим процессом. Изменения значений управляющего процесса приводит к изменению параметров функционирования системы.

В связи с тем, что получение точных выражений для вычисления требуемых вероятностно-временных характеристик является достаточно сложной задачей, возникло направление решения задач теории массового обслуживания с помощью асимптотических методов [10, 34-37]. Эти методы позволяют отойти от явной разрешимости

с использованием диффузионных процессов.

В ряде работ при анализе систем массового обслуживания, функционирующих в случайной среде, применяется метод диффузионной аппроксимации. В этом случае задача сводится к анализу характеристик диффузионного процесса с изменяющимися в случайные моменты времени коэффициентами переноса и диффузии. Плотности распределения можно найти из системы дифференциальных уравнений Фоккера-П ланка. Такой подход используется в [38-43].

Особый интерес в последнее время представляет исследование RQ-систем (retrial queueing systems, системы с повторными вызовами), которые являются адекватными моделями широкого класса технических и социально-экономических систем Г43~501. Так, например, в работе J4411 приводится более семи сотен ссылок на работы данной направленности. Тем не менее, исследованию RQ-систем, функционирующих в случайной среде, уделяется недостаточно внимания. В наших работах представлены RQ-системы,

где в качестве математической модели случайной среды рассмотрена цепь Маркова полумарковский процесс [48~491, диффузионный процесс

В данной работе предлагается математическая модель RQ-систем с возвратом заявок и функционированием в полумарковской среде, проводится асимптотическое исследование.

Рассмотрим RQ-систему, на вход которой поступает простейший с параметром Л поток заявок. Прибор этой системы может находиться в одном из двух состояний: к =0, если он свободен; к =1, если он занят обслуживанием заявки. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает обслуживаться с интенсивностью Если в течение обслуживания этой заявки другие требования на прибор не поступают, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему с вероятностью г или с вероятностью 1-г переходит на орбиту. Если в течение обслуживания одной заявки поступает другая, то поступившая заявка переходит на орбиту. Повторное обращение заявок к прибору из орбиты происходит после случайной задержки, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром Y. Число заявок на орбите обозначим / .

Система функционирует в случайной среде. В качестве математической модели случайной среды рассмотрим полумарковский процесс s (£ ) с непрерывным временем t , то есть такой дискретный случайный процесс, который принимает значения из конечного множества состояний s =1,2,...,Б и для которого вложенная по моментам времени t п изменения состояний цепь s (£ п) является Марковской. Времена пребывания этого

процесса в различных состояниях являются условно независимыми случайными величинами, распределение вероятностей значений которых зависит лишь от номера состояния полумарковского процесса.

Для определения полумарковского процесса s (£ ) зададим стохастическую матрицу одношаговых вероятностей р s1s2 переходов вложенной цепи Маркова

2. Математическая модель

при этом будем полагать, что р ^=0. Понятно, что

Также зададим набор функций распределения G ^х ) значений времени пребывания полумарковского процесса в s -м состоянии.

Влияние случайной среды на функционирование RQ-системы определяется зависимостью интенсивности | обслуживания заявок от состояний s (£ )=$ случайной среды, то есть 1 = ), а также зависимостью параметров Л и Y от состояний s (£ )=$ случайной среды, то есть Л=Л^ ), Y=Y(s ). Вероятность окончания обслуживания заявки на приборе за бесконечно малый промежуток времени Д£ равна )Д£ + о(Д£ ). Вероятность

поступления нового требования в систему за бесконечно малый промежуток времени Д£ равна Л^ )Д£ +о (Д£ ). Вероятность обращения заявки на прибор из орбиты за бесконечно малый промежуток времени Д£ равна Y(s )Д£ + о (Д£ ).

В силу свойств приведенной математической модели трехмерный случайный вектор {к (£ ),/ (£ ),s (£ )} изменения во времени состояний {к (£ ),/ (£ )} RQ-системы и состояний ^ (£ )} математической модели случайной среды является полумарковским процессом.

Для исследования описанной математической модели марковизируем процесс {к (£ ),/ (£ (£ )} методом дополнительной переменной. Введем переменную ^ ), имеющую смысл длины интервала времени от момента t до момента смены текущего состояния случайной среды, тогда процесс изменения значений вектора {к (£ ),/ (£ (£ )} является

марковским процессом.

Обозначим Р (к (£ )=к ,/ (£ )=/ ,s (£ ^ , ^ )<0=Р к(/ ^ ). В любой момент времени должно выполняться условие нормировки

Для распределения Р к(/ ^ ) можно составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

авдим+№)+=т^о _ з^т+

дг 4 а;; з$

+(1- гм*щг - и&д»/^ук/лад+■

й;

+(ад , * - ^М +

ы вс щ

+м^о - им+адх ^мда ^.

Обозначим Y(s )= YO(s ) и перепишем данную систему в следующем виде

дг

дР00,з, СО ВД* ДО

аг; а;

+(1 - гыз)р}ц - + о>,со+- р** >

а;

м^ш++М(Ш5^ - мл - »м+

дг ос, од

+со+о + 1)усу(5>^(/+и,со+

+ -1,5,со + а(С)У М р^ (1)

Систему (1) будем исследовать методом асимптотического анализа в условиях большой задержки заявок на орбите Y^0. Для этого в (1) выполним замены:

тогда получим

й2 С?Я0Т. е) _ ^^ 5Я0(V,

от

ду

дН0 (V, я, £ т, е) дНа (у\* ,0, т, е)

©С ас

+ (1 - г)ц ($)#,(>■ - 6,5,^,1,6) + Т, е) +

ЛШоО^Дт^)

+ -^-л*

ас

от с^

ас

ас

+ + е(у + е))Н0(у + +

^=1

5 Ш^О^Д^е)

я;

(3)

3. Исследование асимптотических средних характеристик

Под асимптотическими средними характеристиками RQ-систем с вызываемыми заявками, будем понимать распределение вероятностей R к(х ) состояний к канала и предельную

функцию

имеющую смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в системе. В системе (3) перейдем к пределу при е^0 и, полагая, что существуют конечные

пределы

1ш1 = ПЛу^&х), (4)

получим систему

- Ьх'(т)°НЛУ^Т,г) + то + СТОК* + Т,Б) =

ду

дНа (у, С, т. 8) ая0 (V, 1, е)

ас

К

= _ М+(Л+,+ъуШул ^

+ _ +

Я

Уравнения системы (9) просуммируем по к и по s , и при получим

д [ 1 5 ) д \ 5 - БХЧт)— У У ^ = Б — \ - (1 - г)Уц(5)Я0(>',-

6у ¡су [ 73

5=1

Поделим на е обе части полученного уравнения, выполним предельный переход (4), учтём (6), получим

Учтём условие нормировки (8), обозначим

заметим, что R ) имеет смысл распределения вероятностей состояний канала, получим

Поскольку производная плотности распределения Н (у,т) не может тождественно равняться нулю, следовательно, функция х =х (т) является решением обыкновенного дифференциального уравнения

Получили, что х =х (т) является детерминированной функцией.

4. Величины отклонения нормированного числа заявок в системе от среднего

Рассмотрим процесс

который характеризует изменение величин отклонения нормированного числа заявок в системе от их асимптотического среднего и покажем, что он является диффузионным проце с с ом а в торе гре с сии.

Обозначим

Будем искать решение Н к(У ,£,т,е) системы (3) в виде

Подставим в систему (9) разложение (13), учтём (7) и запишем полученную систему, сократив на все уравнения, в следующем виде

- (ОД + X) + С, Т) +

ас дс ¿5 ^С ^

= оШ0Ш,ОуН(у, т)-

ау

ас ас ас

- ((х'(т) - (ЗД0 + 5,0• ^

бу

Будем искать решение системы (14) в следующем виде

Подставим (15) в (14) и представим систему в виде двух систем

Е д^Щ^О дк^(х^О) + 0)

ас ас Д ас - -хХт)о0(х35,с)+(1 -- м(*)/7Г(х,*,С) + (Ц*) + а(5)х)/^1)(х,5, С) +

Н--1---£--НСг(С))—1---Р =

0% сС

=-(^'(т)--(16)

и

- (ад + а(з)х)1г12}(х,х,С) + +

а^ ас * ас

( 0) | * а/^х^О)

ас ас ^ ас

= -<УШ0(х,*У (17)

Продифференцируем систему (7) по х , получим

_т++, чт-щ _

дх дх сС, [ ох )

ОХ Ш

ас 1 а* I ас I ох /

Из последней системы с учётом системы (17) следует, что решение системы (17) имеет вид

С учётом (18)и (15)разложение (13) примет вид

Теперь найдём вид функции Н (у ,т). Для этого функции в правой части системы (3) разложим в ряд по приращениям аргумента у с точностью до о (е2), получим

от ду

+ (>„($) + О{л0(л: I £*))#<,(>, а, с) -_ бН0(у,5,^,т,Е) оЯ0Д,0,Т.Е)

6С

Ш

тлу,

е" д2НАу,з,^,т,Ъ)

-с(1 -гш^^^(1 -1 — +

ф- 2 0у

я

ат

ЙЯ, (у^, 4 т, е) 0Я, (V, 5 Д х, е)

+

д

+ (ад + сг(5)(л- + + е—{а{^)(л- 4 +

ду

+^у*- _ +

2 ду ду

+ ^^ (20)

2 Ф2 д ас

Сложим все уравнения системы (20) по к , получим

Подставим в полученную систему разложение функций Н к(у ^ ,Ст,е) в виде (19), учтём

10.25136/2306-4196.2019.1.28838 обозначение (10), получим

дН(у, г)

ОЛ*

I ^

I

ле2н(у,т)

\к=0

- е(— + {(1 - г)ц(^) + -

кЧ- - т*

+

& )

+ ((1 - гМз) + +

Просуммируем уравнения системы (21) по s , выполним предельный переход при воспользуемся условием нормировки (8), обозначением (10), также обозначим

шп - *$>(*>, 2ХЧ*) - Й(1>оо ,

С-*®

Нш ХЧ^Ч^А) = (22)

*=1

учтём, что

получим

В силу дифференциального уравнения (11) уничтожим в (23) слагаемые порядка о (е), поделим обе части полученного уравнения на е2, выполним преобразования, будем иметь

Получили уравнение Фоккера - Планка для плотности распределения вероятностей Н (у ,т) значений диффузионного процесса авторегрессии у (т). Заметим, что коэффициент переноса уравнения (24) есть производная по х от правой части дифференциального уравнения (11). В силу обозначения (12) можно записать

Коэффициент диффузии с учётом (24) обозначим следующим образом

если выражение в правой части больше нуля.

Из (24) следует, что Н (у ,т) является плотностью распределения вероятностей диффузионного процесса у (т), который удовлетворяет стохастическому

дифференциальному уравнению

где м (т) является стандартным процессом Винера, то есть у (т) является процессом авторегрессии.

5. Плотность распределения вероятностей процесса изменения состояний RQ-

системы

Используя предельные процессы х (т) и у (т) для достаточно малых значений параметра е, рассмотрим процесс г (т)=х (т)+е у , который аппроксимирует процесс изменения числа

заявок в системе е2/' (т/е2) и покажем, что он является однородным диффузионным процессом.

Дифференцируя г (т) по т получаем аг (т)=х '(т)а т+е ау . В силу (11) и (12) имеем

Так как правая часть содержит разложение в ряд по приращениям Еу аргументах, то мо ж но з а пис а ть

С точностью до о (е), имеем

Обозначим F (г ,т) плотность распределения вероятностей значений процесса г (т), тогда

можно записать уравнение Фоккера - Планка для плотности этого процесса

Рассмотрим функционирование процесса г (т) в стационарном режиме, то есть F (г ,т)=F (г ), тогда стабильное распределение можно найти из уравнения Фоккера - Планка

Уравнение (29) является однородным дифференциальным уравнением второго порядка и имеет решение:

6. Выводы

Таким образом, в данной работе предложена математическая модель функционирующей в полумарковской среде RQ-системы с вызываемыми заявками. Методом

асимптотического анализа ^ получено обыкновенное дифференциальное уравнение (11), определяющее асимптотическое среднее х = х (т) нормированного числа заявок в системе. Представлено распределение R к(х ), к =0,1, вероятностей состояний прибора в

виде (10), где величины Q к(х ^ ,0, к =0,1, имеющие смысл условного совместного распределения вероятностей состояний к канала и состояний s полумарковской среды, определяются системой уравнений вида (7). Показано, что процесс у (т), характеризующий изменение величин отклонения нормированного числа заявок в системе от их асимптотического среднего, является диффузионным процессом авторегрессии и определяется стохастическим дифференциальным уравнением вида (27). Показано, что для достаточно малых значений параметра £ процесс г (т)=х (т)+£у , является однородным диффузионным процессом. Найдена важнейшая вероятностно-временная характеристика процесса г (т) - плотность распределения вероятностей его значений в виде (30).

Библиография

1. Баруча-Рид А. Г. Теория марковских процессов и ее приложения. - М.: Наука, 1969. - 511 с.

2. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. - М.: Наука, 1987. - 336 с.

3. Жожикашвили В. А., Вишневский В. М. Сети массового обслуживания. Теория и применения к сетям ЭВМ. - М.: Радио и связь, 1988. - 192 с.

4. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979. - 432 с.

5. Матвеев В. Ф.; Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания. - М.: Изд-во МГУ 1984. - 240 с.

6. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. - М.: Сов. радио,1971. - 520 с.

7. Франкен П., Кениг Д., Арндт У., Шмидт Ф. Очереди и точечные процессы: Пер. с англ. - Киев: Наукова думка, 1984. - 284 с.

8. Апанасович В. В., Коледа А. А., Чернявский А. Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. - Минск: Университетское, 1988. - 254 с.

9. Башарин Г. П., Бочаров П. П., Коган Я. А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета. - М.: Наука, 1989. - 336 с.

10. Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. - М.: Наука, 1980. - 210 с.

11. Джевелл В. С. Управляемые полумарковские процессы // Кибернетический сборник. - М.: Мир, 1967. Вып. 4. - С. 97-137.

12. Головко Н. И., Коротаев И. А. Приближенный расчет средней длины очереди в системах массового обслуживания с переменной интенсивностью входящего потока // Управляемые системы массового обслуживания. - Томск, 1986. Вып. 4. - С. 2834.

13. Коротаев И. А. Системы массового обслуживания с переменными параметрами. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. - 167 с.

14. Назаров А. А. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1984. - 234 с.

15. Рыков В. В. Управляемые системы массового обслуживания // Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика, 1975. Т.12. С. 43-154.

16. Головко Н. И., Коротаев И. А. Анализ некоторых систем массового обслуживания с переменной интенсивностью входящего потока // Поиск сигнала в многоканальных системах. - Томск, 1987. Вып. 2. - С. 65-76.

17. Головко Н. И., Коротаев И. А. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и вычислительная техника, 1989. №2. С. 36-39.

18. Головко Н. И., Коротаев И. А. О времени задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Вычислительные сети коммутации пакетов. Рига: ИЭВТ, 1987. Т.1. С. 107-111.

19. Коротаев И. А. Системы массового обслуживания с переменными параметрами. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. - 167 с.

20. Коротаев И. А. Приближенный расчет средней длины очереди в адаптирующихся системах массового обслуживания с переменной интенсивностью обслуживания // Управляемые системы массового обслуживания. - Томск, 1984. Вып. 3. С. 50-57.

21. Коротаев И. А., Терпугов А. Ф. Приближенный расчет характеристик адаптирующихся многолинейных систем массового обслуживания со вспомогательными приборами // Автоматика и вычислительная техника, 1982. №6. -С. 61-65.

22. Каспарсон В. А. Об обслуживании пуассоновского потока требований со случайной интенсивностью // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1969. №6. С. 5257.

23. Kingman J. F. On doubly stochastic Poisson process // Proceedings of Cambridge Philosophical Society. 1964. Vol. 60. #4. P. 923-930.

24- Дудин А. Н., Клименок В. И. Расчет характеристик однолинейной системы

обслуживания, функционирующей в Марковской синхронной случайной среде // Автоматика и телемеханика, 1997. № 1. С. 74-84.

25. Коган Я. А., Литвин В. Г. К вычислению характеристик системы массового обслуживания с конечным буфером, работающей в случайной среде // Автоматика и телемеханика, 1976. № 12. С. 49-57.

26. Purdue P. The M/M/1 queue in a Markovian environment // Operations Research, 1974. Vol. 22. #3. P. 562-569.

27. Дудин А. Н. Об обслуживающей системе с переменным режимом работы // Автоматика и вычислительная техника, 1985. №2. С. 27-29.

28. Дудин А. Н., Клименок В. И. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания, функционирующей в Марковской синхронной случайной среде // Автоматика и телемеханика, 1997. № 1. С. 74-84.

29. Дудин А. Н. Оптимальное гистерезисное управление ненадежной системой BMAP/SM/1 с двумя режимами работы // Автоматика и телемеханика, 2002. №11. С. 58-73.

30. Dudin A. N. About queuing system operating in the random environment // Izvestia of USSR Academy of Sciences. Technical Cybernetics, 1985. С. 64-78.

31. Neuts M. P. Further results of the M/M/1 queue with randomly varying rates // Opsearch. 1978. Vol. 15. #4. P. 139-157.

32. Sztrick J. On the heterogeneous M/G/N blocking system in a random environment // Journal of Operations Research Society. 1987. Vol. 38. #1. P. 57-63.

33. Takahashi H., Akimaru H. A diffusion model for queues in a randomly varying environment // The Transactions of The IECE of Japan. 1986. Vol. E69. #1. P. 13-20.

34. Анисимов В. В., Закусило О. К., Донченко В. С. Элементы теории массового обслуживания и асимптотического анализа систем. - Киев: Вища школа, 1987. - 248 с.

35. Добрушин Р. Л., Прелов В. В. Асимптотический подход к исследованию сетей коммутации сообщений линейной структуры с большим числом узлов // Проблемы передачи информации. - 1979. Т.15. №1. - С. 61-73.

36. Коган Я. А., Нерсесян С. Г. Асимптотические методы анализа замкнутых сетей в условиях большой загрузки // Автоматика и телемеханика, 1984. №8. - С. 93-103.

37. Назаров А. А. Асимптотический анализ многолинейных систем массового обслуживания с повторными вызовами // Автоматика и вычислительная техника, 1990. №3. С. 65-71.

38. Коган Я. А., Литвин В. Г. К вычислению характеристик системы массового обслуживания с конечным буфером, работающей в случайной среде // Автоматика и телемеханика, 1976. №12. С. 49-57.

39. Kogan Ya. A., Litvin V. G. Piesewise diffusion approximations for queuing problems with heterogeneous arrivals and service // Problem of Operation and Theory Information, 1979. Vol. 8. #5-6. P. 133-143.

40. Назаров А. А., Моисеева С. П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.

41. Гарайшина И. Р., Моисеева С. П., Назаров А. А. Методы исследования коррелированных потоков и специальных систем массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2010. - 204 с.

42. Моисеев А. Н., Назаров А. А. Бесконечнолинейные системы и сети массового

обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2015. - 240 с.

43. Пауль С. В., Назаров А. А., Анализ RQ-системы M/GI/GI/1/1 с вызываемыми

заявками, ненадёжным прибором и дообслуживанием прерванных заявок // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2018): Материалы XVII Международной конференции имени А. Ф. Терпугова (10-15 сентября 2018 г.) - Томск: Изд-во НТЛ, 2018. - С. 139-145.

44. Artalejo J. R., Gomez-Corral A. Retrial Queueing Systems: A Computational Approach. Springer, Heidelberg, 2008.

45. Вавилов В. А. Исследование одноканальной системы с повторными вызовами // Методы прогнозирования в технике и технологиях: сборник статей Международной научно-практической конференции (г. Тюмень, 20 февраля 2018 г.). В 2 ч. Ч. 2. -Уфа: Аэтерна, 2018. - С. 6-13.

46. Вавилов В. А. Исследование немарковских RQ-систем, функционирующих в случайной среде // Современные концепции научных исследований: ежемесячный научный журнал. - М.: ЕСУ, 2014. - № 5 (13). - С. 56-59.

47. Вавилов В. А. Исследование RQ-систем в условиях возрастающего количества абонентских станций // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2012): Материалы XI Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (23-24 ноября 2012 г.) - Кемерово, 2012. Ч. 2. С. 80-85.

48. Вавилов В. А., Назаров А. А. Исследование RQ-систем в полумарковской среде // Международная конференция "Теория вероятностей и ее приложения", посвященная 100-летию со дня рождения Б. В. Гнеденко. - Москва: Ленанд, 2012. -С. 180-183.

49. Вавилов В. А. Исследование RQ-систем, функционирующих в полумарковской среде // Вестник Кемеровского госуниверситета. - Кемерово: Изд-во КемГУ, 2014. - № 3 (59). Т. 3. - С. 99-106.

50. Вавилов В. А. Математическое моделирование неустойчивых сетей случайного доступа в диффузионной среде при дважды стохастическом входящем потоке // Вестник Томского госуниверситета. Управление, вычислительная техника и информатика. Научный журнал. - Томск: Изд-во НТЛ, 2009. - № 2 (7). C. 31-51.