Диффузионная аппроксимация процесса изменения состояний в математической модели устойчивых сетей множественного доступа в случайной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.А. Вавилов, А.А. Назаров

ДИФФУЗИОННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ СОСТОЯНИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ множественного

ДОСТУПА В СЛУЧАИНОИ СРЕДЕ

Предлагаются математические модели устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде. Исследуются величины отклонения нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего значения. Проводится глобальная аппроксимация процесса изменения числа заявок в источнике повторных вызовов и исследуется плотность распределения вероятностей значений этого процесса.

Высокая скорость и надежность передачи различного типа информации в современных сетях связи достигаются путем расширения пропускной способности физических каналов и разработки сетевых протоколов. Параллельно с этим ведется исследование математических моделей сетей передачи данных, что позволяет оценить параметры функционирования существующих сетей и выработать принципы построения новых сетей связи, отличающихся более высокой производительностью.

Исследования данной работы касаются сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа. Стохастические свойства таких сетей достаточно хорошо изучены [1 - 9]. Однако производительность сетей связи зависит еще и от воздействий случайной среды. Случайной средой будем называть изменяющиеся неконтролируемые внешние условия, влияющие на пропускную способность каналов связи. К таким условиям можно отнести: состояние ионосферы для радиосетей, атаки вирусов на компьютерные сети связи, функционирование локальной сети, подключенной к глобальной сети, несанкционированный доступ в сети связи и т. д.

Результаты исследований влияния случайной среды на функционирование сетей множественного доступа изложены авторами в трудах [10 - 14]. В данной работе представлены результаты исследований математических моделей устойчивых сетей множественного доступа в случайной среде.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И СРЕДНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

Рассмотрим математическую модель сети множественного доступа с оповещением о конфликте в виде однолинейной системы массового обслуживания (СМО) [15 - 18], на вход которой поступают заявки от конечного числа N абонентских станций (АС). Время генерирования заявки от одной АС имеет экспоненциальное распределение с параметром X / N. Суммарный поток требований от всех АС поступает на обслуживание. Прибор этой СМО может находиться в одном из трех состояний: к = 0, если он свободен; к = 1, когда он занят обслуживанием заявки; к = 2 , когда на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если за это время другие требования не поступили, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то они вступают в конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на этапе оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ).

Повторное обращение заявок к прибору из ИПВ происходит после случайной задержки, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром у / N . Число заявок в ИПВ обозначим I. Длины интервалов оповещения о конфликте имеют экспоненциальное распределение с параметром 1/ а, где а - средняя продолжительность этих интервалов. Каждая АС начинает генерировать новую заявку лишь после завершения успешного обслуживания своей предыдущей заявки.

Функционирование описанной модели будем рассматривать с учетом влияния случайной среды. В качестве математической модели случайной среды рассмотрим однородную цепь Маркова [19 - 20] 5^) с конечным множеством состояний 5 = 1,2,...,£ и непрерывным временем, для которой заданы ее инфи-нитезимальные характеристики д . Здесь при

= р( + Д/) = .,2 И< > = »,>

^ Д^0 Д/

а при = ,2 = ,

Р(я(/ + Д/) = ,1, (/) = ,) -1 Ъ, = 1іт'---------------------!-------------

Д/^0 5

Очевидно, что ^ д = 0 .

52 =1

Будем полагать, что влияние случайной среды на функционирование сети связи определяется зависимостью интенсивности ц обслуживания заявок от состояний ) = 5 случайной среды, то есть Ц = ц(5) ,

где 5 - текущее состояние случайной среды. Тогда вероятность окончания успешного обслуживания заявки на приборе за бесконечно малый промежуток времени Дt равна ц(s)At + о^).

В силу свойств приведенной математической модели трехмерный случайный процесс {к^), ), 5^)}

является цепью Маркова с непрерывным временем. Обозначим Р(Щ) = к, г'(0 = I, 5^) = 5) = Рк (I, 5,^ . В любой момент времени для этого распределения должно выполняться условие нормировки

2 да 5

ЪЪЪРк (1, ^t) =1

к=0 I=0 5=1

Нетрудно показать, что распределение Рк (I,5, t)

удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений Колмогорова:

др, (/',,, 1)

і ] і

д1 + |^Х ^- Nj+у Nі р0(і, ^ 1) = ц(,)р (і, ^ 1)+

1 5

+ - р (і, 5, 1) + X Р0 (І,5, 1)д;

0 51=1

515 >

др (і, 5, 1) ( ( і + Л і

-/-+ІД1 - —]+т N+иМ ір(1,*') =

= хҐ1 ^ І р„(і, 5,,) + у1±1 р„(і +1, ї. 1) +

“X р(1,^1 )9ї1ї

51 =1

є і = х(т) + єу,

-Рк (і, ї, 1) = Нк (у, 5, т, є).

1

Полагая, что функции Нк (у, ї, т, є) дифференцируемы по у , получим систему вида

є2 дН0<і£,Н) - єХ,(т) дН0(у,5тє) + (х(1 - (х +

дт ду

+єу)) + У(х + Єу))Н0 (у, 5, т, є) = Ц(ї)Нх (у, 5, т, є) +

1 5

+ -Н2 (У, 5 T, є) + X Н0 & 51, T, ^.5 ,

0 51=1 1

є2 дН!(у,5т,є) - є,.,,) дН1(у,5тє) + (Х(1 - (х +

дт ду

+є(у + є))) + у(х + єу) + ц(5))Н (у, 5, т, є) =

= Х(1 - (х + єу)) Н0 (у, 5, т, є) + у( х + є( у + є)) X

дР2(і, 5,1) ( ( і ^ 1 ^ л .

~1Г-+К1 - N ]+0 ]Р20,5 1) =

= Х| 1 -^ ) р (і-1, 5,1) +Х^1 -^ ) Р(і-2, 5,1) +

і -1 5

+^ ^ Р1 (і - 1 ^ 1) + X Р2 (І, 51 , 1 ^ . ( 1)

хН0( у + є, 5, т, є) + X Н (у, 51, т, є)д;

51 =1

515

2 дН (у, 5, т, є) , дН2 (у, 5, т, є)

є2------2^> > > / - єх'(т)-----' +

дт

ду

+ | Х(1 - (х + єу)) +- І Н2 (у, 5, т, є) =

Решение Рк (1,5, t) системы (1) достаточно полно определяет функционирование математической модели сети связи и ее вероятностно-временные характеристики. Но для (1) не существует точных аналитических методов решения, поэтому данную систему будем исследовать модифицированным для нестационарных распределений методом асимптотического анализа [21] в условиях большого количества абонентских станций N ^да .

Для этого обозначим

1/N = е2, е^ = т (2)

и рассмотрим предел

х(т) = Иш е2/(т/е2),

е^0

имеющий смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в ИПВ.

Рассмотрим также процесс

у(т) = Иш((е2/(т/е2) - х(т))/ е),

е^0

характеризующий изменение величин отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего, и покажем, что он является диффузионным процессом авторегрессии.

Покажем также, что для достаточно малых значений параметра е случайный процесс г(т) = х(т) + еу, аппроксимирующий процесс изменения числа заявок в ИПВ е2/(т / е2), является однородным диффузионным процессом.

Учитывая обозначения (2), выполним следующие замены в системе (1):

= Х(1 - (х + е(у - е)))Н2 (у - е, 5, т, е) +

+Х(1 - (х + е(у - е)))Н1 (у - 2е, 5, т, е) + у (х +

+е(у - е))Н (у - е, 5, т, е) + ^ Н2 (у, 5!, т, е)д^. (4)

51 =

В работе [14] нами представлены результаты исследования асимптотических средних характеристик описанной математической модели устойчивых сетей множественного доступа в случайной среде. Под асимптотическими средними характеристиками рассматриваемой модели понимается двумерное распределение вероятностей Як (х, 5) состояний к канала связи и состояний 5 случайной среды, а также рас-

5

пределение Як (х) = ^ Як (х, 5) и функция х(т),

5=1

имеющая смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в ИПВ. Показано, что Як (х) имеет вид

Х(1 - х) + ух + v( х)

Дэ(х)=

^1(х)=

^( х) =

а(Х(1 - х) + ух) + 2(Х(1 - х) + ух) + v( х) X (1 - х) + ух а(Х(1 - х) + ух)2 + 2(Х(1 - х) + ух) + v( х) а(Х(1 - х) + ух)2 о(Х(1 - х) + ух)2 + 2(Х(1 - х) + ух) + v( х)

-. (5)

(3)

Здесь v( х) определяется равенством

V(х) = —]Г ц(5)^1 (х, 5) , (6)

К1( х) 5=1

где Яг (х, 5) определяется решением Як (х, 5) системы (Х(1 - х) + ух)Яз (х, 5) = ц(5)Я 1 (х, 5) +

15

+ Я2(^5)+Х Я0( x, ^д^,

а 51 =1

(Х(1 - х) + ух + ц( 5)) Я1 (х, 5) = (Х(1 - х) +

+ух)^0 (х, 5) + X К1 (х, 51 Ч

515 -

к

15

-Я 2 (х, 5) = (Х(1 - х) + ух)Я (х, 5) + X Я2 (х, 51 ^ (7)

а 51=1 1

и условием нормировки

25

XXЯk (х, 5) = 1. (8)

к=0 5=1

Параметры а, X, у и ц(5) в (5) - (7) заданы, а х = х(т) - детерминированная функция, определяемая дифференциальным уравнением вида

х'(т) = Х(1 - х) ^(х)Я1(х). (9)

В данной работе представим результаты последующих этапов исследования.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕЛИЧИН ОТКЛОНЕНИЯ НОРМИРОВАННОГО ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИСТОЧНИКЕ ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВ ОТ ИХ АСИМПТОТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ

Итак, рассмотрим процесс

у(т) = 1іт((є2і(т/є2) - х(т))/ є),

є^0

характеризующий изменение величин отклонения числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего и покажем, что он является диффузионным процессом авторегрессии.

Для этого в (4) функции Нк (у ± є, 5, т, є) разложим в ряд по приращениям аргумента у с точностью до о(є). В результате получим

V чдН0(у, 5, т, є)

-єх'(т)-

ду

■ = -(X + х + єу)Н0 (у, 5, т, є) +

+ц(5)Н1 (у, 5, т, є) + — Н2 (у, 5, т, є) + а

+X Н 0( у, т, єИ

51 =1

515 >

„ дН1( у, 5, т, є) ,л , _

-єх (т) —1--------------= -(X + х + єу + ц(5)) X

ду

хН1 (у, 5, т, є) + (X + х + єу) Н0 (у, 5, т, є) +

д

+є—{(х + єу) Н0 (у, 5, т, є)} +

ду

5

+ X Н1(У, ^ ^ є)?515 + 0(є),

51 =1

дН 2 (у, 5, т, є) 1

-єх (т)-----2— -= Н2(у, 5, т, є) +

ду

+^ + х + єу) Н1 (у, 5, т, є) - єX

дН2 (у, 5, т, є)

ду

(10)

-2Хе дН1( у 5 т, е) -е—{(х + еу )Н1( у, 5, т, е)} +

ду ду

5

+Х Н2( y, ^ т, е)д.^ +о(е).

51 =1 1

Будем искать решение системы (10) в виде разложения

Нк (у, 5, т, е) = Як (х, 5)Н(у, т) + екк (у, 5, т) + о(е). (11)

Касательно величин Нк (у, 5, т) докажем следующую теорему.

Теорема 1. Величины Нк (у, 5, т) можно представить в виде

К(у,5,т) = и(к)(5)дHду,т) + уН(у,т)^5), (12) ду дх

где 41}( 5) являются решением системы (15), а

дЯк (х, 5)

дх

определяются решением системы (17).

Доказательство. С учетом (7) систему (10) можно записать в виде

-(Х(1 - х) + ух)к) (у, 5, т) + ц(5^1 (у, 5, т) +

15

+-k2(y, 5 т)+ Х кo(y, ^ т)д^5 = а 51 =1 1

дН (у, т)

= (У - X)Яo (х, 5) уН (у, т) - х'(т) Я0 (х, 5)-

ду

-^^ - х) + ух + ц(5))^1 (у, 5, т)) + (X(1 - х) + 5

+Ух)^ (У, ^ т) + X К (У, 51 , т)) ?515 =

51 =1 1

= (у - XX Я (х, 5) - Я (х, 5)) уН (у, т) -

дН (у, т)

-(х'(т) Я1 (х, 5) + ухЯ0 (х, 5)) -

1

ду

-----к2 (у, 5, т) + - х) + ух)/?1 (у, 5, т)) +

5

+ X А2 (у, 51, т))?515 = -(у - X)Я (х, 5)уН(у, т) +

51 =1 1

+[(X(1 - х) - х'(т)) Я2 (х, 5) +

+(2X(1- х) + ух)Я1(х, 5)]дН(у т) . (13)

ду

Просуммируем все уравнения системы (13), в результате получим

0 = - х'(т) - ухЯ0 (х) + X(1 - х) Я2 (х) +

+(2X(1 - х) + ух)Я1 (х),

но с учетом (9) имеем, что левая и правая части данного равенства равны 0. Значит, ранги матрицы системы (13) и расширенной матрицы (13) совпадают, то есть она имеет решение, определяемое с точностью до однопараметрического семейства векторов:

(Я (х, 1),...,Я0 (х, 5),...,Я2(х, 1),..., Я2 (х, 5))Т С ,

где С - произвольная скалярная величина.

Будем искать решение системы (13) в следующем виде:

\ (у, 5, т) = И‘к1)(5) дHду, т) + Н(кТ>(5)уН (у, т). (14)

ду

Подставим (14) в (13) и представим полученную систему в виде двух систем:

-(X(1 - х) + ух)^ (5) + ц(5)Й1(1) (5) +1 к2 (5) +

а

+ X А01)(5)?515 =- х'(т)Я0(X, 5),

-^^ - х) + ух + ц(5))Н1(1) (5) + (X(1 - х) + ух)к^1 (5) +

5

+ X ^1(1) (5)^515 = -х'(т)Я1 (х, 5) + ух(т)Я0 (х, 5),

51 =1 1

-1Н® (5) + (X(1 - х) + ух)/?® (5) + X ^ (5)^515 =

а 51 =1 1

= - х) - х'(т))Я2 (х, 5) + (2X(1 - х) + ух) Я1 (х, 5) (15)

-^^ - х) + ух)Н((2) (5) + ц(5)Н1(2) (5) +1 /22) (5) +

а

+^ Н02) (5)?515 =(У - X)Я0(x, 5),

51 =1 1

-(X(1 - х) + ух + ц( 5))Н1(2) (5) + (X(1 - х) + ух)/02) (5) +

+ ^ Н1(2) (5)?515 = (у - XXЯ (х, 5) - Я0 (х, 5)),

51 =1 1

-1 /22) (5) + (X(1 - х) + ух)/® (5) + X /22) (5)<7 =

0 51 =1 1

^(у^Ж х, 5). (16)

Продифференцировав систему (7) по х, получим

х) +ц( 5) дЯL<X^+1 +

дх дх а дх

Л дЯ0(х,51)

+ X ------ -----^5 = Я0(x, 5),

51 =1

дх

^ ччдЯ1(х, 5) чдЯ0(х, 5)

-(X + х + ц( 5))-------------+ (X + х)---------^-+

дх

дх

5 дЯ1( х, 51)

51 =1

дх

^515 = Я1(х, 5) - Я0(х, 5).

1 дЯ-( х,5) + (Х + х) дЯ1( х,5) +

а дх дх

+^ дЯ2 Е, 51)^515 = -Я1(x, 5). (17)

51 =1

Сравним полученную систему (17) с системой (16). Можно сделать вывод о том, что решение

к^2)(5) системы (7) имеет вид

Нк2)( 5) =дЯИX:£1.

дх

(18)

С учетом (18) представление Нк (у, 5, т) в виде (14) примет вид (12). Теорема доказана.

Далее найдем вид функции Н (у, т).

Теорема 2. Функция Н (у, т) является плотностью распределения вероятностей значений диффузионного процесса авторегрессии и определяется уравнением Фоккера - Планка вида

дН (у, т) дт

= -А( х)

дуН(у,т) 1 „2, ,д Н(у,т)

ду 2

+ -В 2( х)-

ду2

где

А( х) = -уЯ0 (х) - XЯ2 (х) - (IX - у) Я1 (х) - ух Я0( ) +

дх

+вд - х) Щх. + (2 X(1 - х) + ух) Щй,

ох дх

В2 (х) = ухЯ0 (х) + X (1 - х) Я2 (х) + (4X(1 - х) + ух) Я1 (х) +

+2[ух/01) - X(1 - х)/21) - (2X(1 - х) + ух)Н1(1) + +(X(1 - х) - v(х)Я1(х))Н(1)].

(21)

Здесь к(1) = ^ к([), к(1) = ^ к^-1 (5), а к^-1 (5) опреде-

к=0 5=1

ляются решением системы (15).

Доказательство. С учетом (12) разложение (11) примет вид

Нк (у, 5, т, е) = Як (х, 5) Н (у, т) + ек(р (5) дН ^ т) +

ду

+єуН(у,т)дКкдх5) + о(є). дх

(22)

Теперь найдем вид функции Н (у, т). Для этого функции в правой части системы (4) разложим в ряд по приращениям аргумента у с точностью до о(е2), сложим все уравнения полученной системы по к , подставим разложение функций Нк (у, 5, т, е) в виде (22), выполним несложные преобразования, получим

е2 (Я0 (х, 5) + Я1 (х, 5) + Я2 (х, 5)) дН^ т)

-єх'(т)(Я0 (х, 5) + Я1 (х, 5) + Я2 (х, 5))

2 д

-є х'(т) — {і^0 (х, 5) + Я0(х, 5) + Я)(х, 5)}

дх ду

дт

дН (у, т) -

ду

д{уН (у, т)}

-є2 х'(т) (1) (я) + Н1(1) (5) + /21) (5))

д 2 Н (у, т)

ду2 ‘

= -є(-ухЯ0 (х, 5) + X(1 - х) Я2 (х, 5) + (2X(1 - х) + дН (у, т)

+ух)Я1 (х, 5) -

ду

-є2 (-уЯ0 (х, 5) - XЯ2 (х, 5) - (IX + у) Я2 (х, 5) -

дЯ)(х, 5) lX<l ) дЯ2(х, 5) +

-ух— ---------- х)— ------------+

дх дх

дЯ (х, 5)^д{уН(у, т)}

+(2X(1 - х) + ух)

дх ) ду -є2 (-ухН101) (5) + X(1 - х)Н21) (5) +

+(2X (1 - х) + ух)/® (5)) +

су

+—(ухЯ0 (х, 5) + X(1 - х) Я2 (х, 5) +

+(4X (1 - х) + ух)Я1 (х, 5))

д 2 Н (у, т)

ду2

(19) + X [(Я0(х, 5а) + Жх, 5!) + Я2 (х, 51))Н(у, т) +

+є(Н(01) (5! ) + Н® (5! ) + Н21) (5! )) +

ду

д

+ —{Я0( х, 51) + Я1(х, 51) + Я2 (х, 51)}уН (у, т)]. (23)

дх

и

2

5 =1

Сложим все уравнения (23) по 5, обозначим Нк1) =2>Ю(5), н(1) = ^/$\

5=1 к=0

(24)

тогда в силу условия нормировки

Я0 (х) + Я1 (х) + Я2 (х) = 1 и дифференциального уравнения (9) запишем полученное уравнение, поделив его левую и правую части на е2 , в следующем виде: дН (у, т)

дт

■ = - (-УЯ (х) - XЯ2 (х) - ^ - у)Я (х) -^х) + X(1 - х)^ + (2 X(1 - х) +

+ух)

-ух . . _у_

дх дх

дЯ1( х) ЛдуН (у, т) +1

дх

+ - (ухЯ0 (х) + X (1 - х) Я2 (х) + ду 2

+(4X(1 - х) + ух)Я1 (х) + - х) -

-v(x)Я1 (х))Н(1) + ухН101) - X(1 - х)Н21) -\д 2 Н (у, т)

-(2X(1 - х) + ух) Н1(1))])-

ду2

(25)

где Н<к°') определяются системой (15) и равенствами (24).

Получили уравнение Фоккера - Планка для плотности распределения вероятностей Н (у, т) значений

диффузионного процесса авторегрессии у(т). Обозначим коэффициент переноса уравнения (25) как А(х), а коэффициент диффузии В2 (х), тогда (25) совпадает с (19). Теорема доказана.

Согласно (19), стохастическое дифференциальное уравнение [22] для процесса у(т) запишется в виде

Су(т) = А(х)у(т)Ст + В(х)С^(т) , (26)

где ^(т) есть стандартный винеровский процесс [19 -20], а функция А(х) совпадает с (20), В 2( х) совпадает с (21).

Нетрудно показать, что решением уравнения (26) является случайный процесс у(т) вида

т и

|А(х(и))Си т -|А(х(у))Су

у(т) = е0 | В(х(и))е 0 С^(и).

0

3. ГЛОБАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИСТОЧНИКЕ ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВ

Покажем, что для достаточно малых значений параметра є случайный процесс г(т) = х(т) + єу, аппроксимирующий процесс изменения числа заявок в ИПВ є2і(т / є2), является однородным диффузионным процессом [19 - 20]. Докажем следующую теорему.

Теорема 3. С точностью до о(є) случайный процесс г(т) является решением стохастического дифференциального уравнения

Сг(т) = А(г)Ст + єВ(г)См>(т), (27)

где ^(т) есть стандартный винеровский процесс, функция А(г) определяется равенством (20), а функция В(г) - равенством (21), то есть г(т) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса А(г) и коэффициентом диффузии

е2 В 2(г).

Доказательство. Поскольку г(т) = х(т) + еу, то, дифференцируя г(т) по т, имеем

Сг(т) = х'(т)С т + еСу.

В силу (9) и (26) правую часть этого уравнения перепишем в виде

х’ (т)С т + ес1у(т) = [-ухЯ0 (х) + Х(1 - х) Я2 (х) + +(2Х(1 - х) + ух)Я1 (х) +

д

+еу—{(-ухЯ0 (х) + Х(1 - х) Я2 (х) +

дх

+(2Х (1 - х) + ух) Я1 (х)}]С т + еВ(х)См>(т) =

= [-у( х + еу) Я (х + еу) + Х(1 - (х + еу)) Я2 (х + еу) + +(2Х(1 - (х + еу)) + у( х + еу)) Я1 (х + еу)]С т +

+еВ(г - еу)с^(т) = [-угЯ0 (г) + Х(1 - г)Я2 (г) + +(2Х(1 - г) + уг)Я1 (г)]Ст + еВ(г)с^(т) + о(е) =

= А(г)Ст + еВ(г)ём>(т) + о(е).

Таким образом, г(т) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса А( г) и коэффициентом диффузии е2 В 2( г) и определяется с точностью до о(е) стохастическим дифференциальным уравнением вида (27). Теорема доказана.

Обозначив Е(г, т) плотность распределения вероятностей значений процесса г(т), можно записать уравнение Фоккера - Планка для плотности этого процесса:

дР (г, т) д

2 я2

є д

дт

= -—{(г)Е(2,т)} +——{В2 ({)Р(г,т)} .

дг ' я~2

2 дг2

Здесь А(г) определяется равенством (20), В (г) -равенством (21). Рассмотрим функционирование процесса г(т) в стационарном режиме, то есть Е(г, т) = Е(г), тогда стационарное распределение можно найти из уравнения Фоккера - Планка

0 = -д{А(г)Е(г)} + ^{2(г)Е(г)} .

дг 2 дг 2

Его решение можно представить в виде

В 2( г)

А(и) В2 (и)

Си

[^^ехр

0 В 2( г)

• А (и)

|В2^~)

(28)

Си

Сг

ЗАКЛЮЧЕНИЕ для процесса изменения этих величин в виде (26).

Проведена глобальная аппроксимация процесса изме-

Итак, в данной работе рассмотрены математиче-

нения числа заявок в источнике повторных вызовов

ские модели устойчивых сетей множественного дос:! тт процессом г(т). Показано, что случайный процесс г(т)

тупа в случайной среде. Исследованы величины от-

является решением стохастического дифференциаль-

клонения нормированного числа заявок в источнике

* ного уравнения (27). Найдена плотность распределе-

повторных вызовов от их асимптотического среднего

* л , ния вероятностей значений этого процесса в виде (28).

значения, и получено дифференциальное уравнение

ЛИТЕРАТУРА

1. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган А.Я. Анализ очередей в вычислительных сетях. М.: Наука, 1989.

2. БертсекасД., ГаллагерР. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989.

3. Бутакова Е.Л., Назаров А.А. Распределение времени доставки сообщения в сетях связи с протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и вычислительная техника. 1997. N° 6. С. 65 - 75.

4. Кузнецов Д.Ю., Назаров А.А. Исследование сетей связи с конечным числом абонентских станций, управляемых протоколами случайного множественного доступа // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1999. С. 89 - 98.

5. Назаров А. А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 1997. № 2. С. 101 - 111.

6. Хомичков И.И. Об оптимальном управлении в сети передачи данных со случайным множественным доступом // Автоматика и телемеханика. 1991. № 8. С. 176 - 188.

7. Хомичков И.И. Исследование моделей локальной сети с протоколом случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. 1993. № 12. С. 89 - 90.

8. Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование, анализ. М.: Наука, 1992.

9. Шварц М. Сети ЭВМ: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1981.

10. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде //

Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. С. 14 - 24.

11. Вавилов В. А. Исследование влияния случайной среды на величины отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от их

асимптотического среднего в неустойчивых сетях множественного доступа // Наука. Технологии. Инновации. Ч. 1. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. С. 12 - 13.

12. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей случайного множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде // Информационные технологии и математическое моделирование. Ч. 2. Томск: Изд-во Том. ун-та,

2004. С. 7 - 9.

13. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование математических моделей устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде // Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети. Вып. 18. Мн.: БГУ, 2005. С. 226 - 231.

14. Вавилов В.А., Назаров А.А. Исследование математических моделей многостабильных сетей множественного доступа в случайной среде // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005.

15. Гнеденко Б.В., Коваленко И.И. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.

16. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966.

17. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1971.

18. Королюк В.С. Стохастические модели систем. Киев: Наукова думка, 1989.

19. Баруча-РидА.Г. Теория марковских процессов и ее приложения. М.: Наука, 1969.

20. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.

21. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизуемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991.

22. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2005 г.