CC BY
61
УДК 620.678:539.371:518.12 А.М. Сулейманов
АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ ГЛАВНЫХ
КОМПОНЕНТ
При изучении сложных физических и химических систем можно выделить два принципиально разных подхода:
- детальное изучение процессов, происходящих в системе, и построение содержательных моделей (белые модели), обычно в виде систем дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений, далее - применение специальных пакетов или методов для их решения;
- гибкий и достаточно надежный способ анализа данных, основанный на многофакторном формальном моделировании (черные модели).
Каждый из этих подходов имеет свои плюсы и минусы, но в любом случае построенная модель, сколь сложна она ни будет, - всегда некоторое приближение к реальности. Однако хорошая модель является эффективным инструментом для анализа структуры данных. Формально-математический подход особенно эффективен в случаях, когда непонятно, как строить содержательную модель, либо на ее построение и дальнейшие вычисления требуются чрезмерные усилия.
В основе многофакторного анализа данных лежат проекционные математические методы. Эти методы позволяют выделить в больших массивах данных скрытые (латентные) переменные и анализировать связи, существующие в изучаемой системе. На западе такой подход, получивший название Chemometrics (хемометрика), бурно развивается: регулярно проводятся конференции, издаются журналы, такие как Journal of Chemometrics и Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. Важное место в методах анализа многомерных данных занимает метод главных компонент (МГК) - Principal Component Analysis (PCA). Идея метода главных компонент была сформулирована английским математиком Карлом Пирсоном [1] в 1901 году, и с тех пор плодотворно используется для анализа внутренних закономерностей в больших массивах. Центральная концепция такого подхода это понятие главного компонента. Так называют специальный тип переменной - латентную переменную, которая не может быть явно объявлена и непосредственно измерена. В математическом смысле латентная переменная является линейной комбинацией исходных
переменных [2], которая может быть формально определена как собственный вектор ковариационной матрицы данных. Главные компоненты [рис. 1] показывают скрытые систематические связи, присущие исходному набору данных. При этом новая модель имеет, как правило, существенно меньшее количество переменных, в силу чего такой подход и может интерпретироваться как проекционный, когда исходные данные проецируются на гиперплоскость [рис. 2] размерности меньшей, нежели исходное пространство.
Рис. 1. Поиск главных компонент модели
Рис.2. Проекция данных на плоскость главных компонент
При построении моделей с помощью проекционных методов основными являются два момента. Первый - это калибровка [2], т.е. создание модели [рис.3] исходных данных. Центральный момент здесь - это определение скрытой
размерности системы, т.е. количество латентных переменных. При таком выборе необходимо учитывать, что слишком малое количество переменных плохо опишет данные и оставит существенную часть информации вне модели. С другой стороны, слишком подробное описание модели, с помощью большого количества главных компонент, будет моделировать не только систематические связи в системе, но также и различные ошибки, неизбежно присутствующие в любых данных, что приведет затем к ошибкам при прогнозировании. Поэтому вторым важным моментом при построении модели является ее проверка, позволяющая исследовать качество предлагаемой модели. Отдельно необходимо изучать вопрос пригодности модели для последующего прогнозирования [рис.4]. При этом необходимо отметить, что матрицы входных (Х) и выходных (У) параметров могут состоять практически из неограниченного количества переменных. Также необходимо иметь в виду и другие стадии моделирования, такие как предварительная обработка данных и выявление выбросов. Хотя данный подход и называется формально-математическим, для эффективного анализа данных необходимо не только знание основ билинейного моделирования, но также очень важно и понимание сущности изучаемой системы.
ПВХ-профилей от состава смеси. Исследовалось влияние 2-х основных типов добавок, модификатора ударной прочности и стабилизатора. Исходный массив данных состоял из 15 образцов [табл], из них 11 образцов использовались для построения модели (калибровочные образцы) и 4 образца - в качестве тестовых . В качестве предикторов были выбраны массовые части добавок: два типа модификатора ударной прочности МУП (FM 22 и дакрилан); два типа стабилизатора (интерстаб 3009, нафтомикс GMX). Т.е. 4 переменные в матрице X. В качестве откликов использовались следующие ЭП: белизна (%); предел прочности при растяжении (МПа); ударная прочность (кДж/м2); показатель текучести (г/10мин); т.е. 4 переменные в матрице Y.
Естественно, строя МГК-модель для анализа данных такой относительно простой системы, мы не ставили задачи открыть что-то новое для материаловедения, а хотели просто показать, что данный подход дает всеобъемлющее представление о структуре данных, которое можно охватить одним взглядом. Например, модель (график нагрузок [рис 5]) показывает, что:
- МУП (FM 22 и дакрилан) располагаются рядом, т.е. они действуют на отклики одинаково;
- то же самое можно сказать и о стабилизаторах (интерснаб и нафтомикс);
- между МУП и стабилизаторами -отрицательная корреляция;
- между прочностью на растяжение и текучестью - также отрицательная корреляция;
- расположение белизны на нуле говорит о том, что на этот ЭП эти добавки не оказывают никакого действия.
Рис.3. Калибровка. Построение регрессионной модели по известным данным X и Y
Рис.4. Использование многомерной регрессионной модели для предсказания новых значений У
Основываясь на вышеописанном подходе, по полученным экспериментальным данным [3], используя пакет программ и^сгашЫег ® фирмы САМО, мы [4] построили модель для анализа зависимости эксплуатационных показателей (ЭП)
Рис.5. Графики нагрузок для ГК1 и ГК2
Таблица
X Y
МУП Стабилизатор
№ FM22 Дакрилан Интерстаб 3009 Нафтомикс GMX Наполнитель Пластификатор Пигмент Белизна Растяжение Удар Текучесть
1 7 0 5,5 0 6 0,1 5 82,5 43,5 30 0,2
2 6 0 5,5 0 6 0,1 5 85,5 45,5 26 0,15
3 « 5 0 4,2 0 6 0,1 5 85 44 28 0,17
4 Л К 0 6 5 0 6 0,1 5 84 55 28 0,008
5 V о 0 7 5,5 0 6 0,1 5 83,5 53 26 0,3
6 М О 0 8 6 0 6 0,1 5 86 43 26 0,2
7 & О 6 0 0 5,5 6 0,1 5 85,5 45 32 0,15
8 ц 6 0 0 6 6 0,1 5 84,5 46 30 0,12
9 м 7 0 0 5,3 6 0,1 5 86,5 48 24 0,13
10 7 0 0 3 6 0,1 5 84 44,5 31 0,17
11 5 0 0 6,5 6 0,1 5 83,5 42 28 0,2
12 6 0 0 4 6 0,1 5 83,5 55 26 0,2
13 3 м 0 6 4 0 6 0,1 5 84,5 48 30 0,15
14 £ о s 5 0 0 4,5 6 0,1 5 85 42,5 28 0,25
15 0 6,3 5,5 0 6 0,1 5 86,5 43,5 31 0,1
ЛИТЕРАТУРА
1. Pirson K. On lines and planes of closest fit to systems of points in space. Phil.Mag. (6), 2, 559-572, 1901.
2. Esbensen K.H. Multivariate Data Analysis - In Practice 4-th Ed., CAMO, (2000), 598p (ISBN 82-993330-2-4).
3. Абдрахманова Л.А., Шакуров Ф.Г., Сулейманов А.М.., Хозин В.Г. Поведение жестких поливинилхлоридных профилей при естественном и ускоренном старении //Деструкция и стабилизация полимеров. Тезисы докладов 9-ой конференции. РАН М., 2001. - С. 3-4.
4. Сулейманов А.М., Абдрахманова Л.А., РодионоваО.Е., Померанцев А.Л. Формально-математический подход к анализу многомерных массивов данных при исследовании свойств полимеров// Материалы научных трудов Вторых Воскресенских чтений " Полимеры в строительстве". Казань, 2004. - С.76.
